广东省湛江市某中学2024-2025学年上学期第一次教学质量检测九年级数学试题（含答案）

湛江第一中学2024-2025学年第一学期第一次综合素养评价

初三级数学科试卷

时间：120分钟满分120分说明：1.全卷共6页，共23道题.

2.请考生把答案填写在答题卡指定区域.

一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）

点”在无宝上，则乙B/C的度数为（

C.75°D.130°

3.已知抛物线y=的对称轴为直线尤=2,则加的值是（）

A.4B.2C.-2D.-4

4.两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种

药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意，下列方程正确的是

（）

A.80（1-巧=60B.80（1-x）2=60

C.80（1-%）=60D,80（l-2x）=60

5.如图，3。是。。的直径，A,C在圆上，N/=50。，ND5C的度数是（）

试卷第1页，共6页

B

A

D

A.50°B.45°C.40°D.35°

6.若关于x的一元二次方程（。+2甘+工+/-4=0的一个根是x=o,则。的值为（）

A.2B.-2C.2或-2D.-

2

7.关于二次函数y=（x-l>+5,下列说法正确的是（）

A.函数图象的开口向下B.函数图象的顶点坐标是（-1,5）

C.该函数有最大值，最大值是5D.当尤>1时，y随x的增大而增大

8.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，

因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的

两个根是—2和-5.则原来的方程是（）

A.%2+6x+5=0B.%2—7x+10=0

C.X2-5X+2=0D.X2-6X-10=0

9.如图，是。。的直径，a1垂直于弦/c于点。，。。的延长线交。。于点£.若

AC=4也,DE=4,则8c的长是（）

A.1B.V2C.2D.4

10.如图，△NBC中，ZACB=90°,将△/8C绕点C顺时针旋转得到△EOC,使点5的对

应点。恰好落在43边上，AC,ED交于点、F.若/BCD=a,则乙即C的度数是（用含a

的代数式表示）（）

试卷第2页，共6页

3

C.180°——aD

2-9

二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11.已知点”（-2,6）与点8m3）关于原点对称，则“2=—.

12.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示

的测量，测得/B=12cm,3C=5cm,则圆形镜面的直径为cm.

13.如图，NDCE是。。内接四边形N8CD的一个外角，若〃>CE=72。，那么乙8。。的度数

14.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30。角的方向击出时，小球的飞行路线将是一

条抛物线.如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度〃（单位：m）与飞行时间单位：

s）之间具有函数关系〃=20/5/，则小球从飞出到落地要用s

试卷第3页，共6页

15.已知实数a、6满足a—〃=4,则代数式14的最小值是

三.解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)

16.解方程：X2-2X-3=0.

17.数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，下图都是由边长为1的

小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下

的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形

或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形.规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种

图形)

18.已知关于x的一元二次方程X?-(m+2)x+机-1=0.

(1)求证：无论冽取何值，方程都有两个不相等的实数根；

(2)如果方程的两个实数根为占，x2,且X]+X2-3X,X2=9,求入的值.

四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)

19.如图，已知二次函数了=-/+云+。的图像与x轴交于4-2,0),2(1,0)两点.

(1)求6、c的值；

⑵若点P在该二次函数的图像上，且AP/8的面积为6,求点P的坐标.

20.为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其

试卷第4页，共6页

平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x(2<x<8,且x为整数)构成一种函数关

系.每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株

数每增加1株，单株产量减少0.5千克.

(1)求〉关于x的函数表达式.

(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？

21.如图，四边形4BCD内接于。。，/C为。。的直径，NADB=NCDB.

(1)试判断△/BC的形状，并给出证明；

Q)若AB=亚,40=1,求8的长度.

五、解答题(三)(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分)

22.综合与实践

问题情境:在中，ABAC=90°,AB=6,ZC=30°,直角三角板EZR中AEDF=90°,

将三角板的直角顶点。放在斜边5c的中点处，并将三角板绕点。旋转，三角板

的两边DE,。尸分别与边/C交于点M,N.

猜想证明：

(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点河为边N8的中点时，试判断四边形4MW的形状,

并说明理由；

问题解决：

(2)在三角板旋转过程中，当/8=/地次时，求线段/N的长；

(3)在三角板旋转过程中，当=时，直接写出线段NN的长.

试卷第5页，共6页

23.综合与实践

问题情境：如图①，矩形跖\也是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由

抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点48在矩形的边上.现要对该花坛内

种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案.

方案设计：如图②，/8=6米，48的垂直平分线与抛物线交于点尸，与交于点。，点

尸是抛物线的顶点，且尸。=9米.欣欣设计的方案如下：

第一步：在线段OP上确定点C,使N/C5=90°,用篱笆沿线段/C,8C分隔出zx/BC区域，

种植串串红；

第二步：在线段CP上取点尸(不与C,尸重合)，过点尸作的平行线，交抛物线于点D,

E.用篱笆沿。瓦C户将线段/C,2C与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花

色的月季.

方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△/SC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆

材料.若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长.为此，欣欣在图②

中以所在直线为x轴，。尸所在直线为》轴建立平面直角坐标系.请按照她的方法解决

问题：

图1图2

(1)在图②中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；

⑵求6米材料恰好用完时DE与CF的长；

(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形.她

尝试借助图②设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在

线段/C,2C上.直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值.

试卷第6页，共6页

1.c

【分析】本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图

形是解题的关键.根据轴对称图形以及中心对称图形的定义即可得到答案.

既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项A不符合题意;

不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意;

既是轴对称图形也是中心对称图形，故选项C符合题意;

是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意;

2.B

【分析】利用圆周角直接可得答案.

【详解】解：：〃。。=130。，点/在嬴上，

ZBAC=-ZBOC=65°,

2

故选B

【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所

对的圆心角的一半”是解本题的关键.

3.D

【分析】根据二次函数对称轴的公式可求出抛物线的对称轴为直线X=-=2,求出机的

2x1

值即可.

【详解】解：y=x2+mx,

答案第1页，共14页

，对称轴为直线》=-4=2,

2x1

解得"7=-4,

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的性质，熟记公式是解题关键.

4.B

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为x,利用现

在生产1千克甲种药品的成本=两年前生产1千克甲种药品的成本年x（1-平均下降率）

2,即可得出关于的一元二次方程.

【详解】解：.•・甲种药品成本的年平均下降率为X,

根据题意可得80（1-4=60,

故选：B.

5.C

【分析】由8。是圆。的直径，可求得乙8CD=90。又由圆周角定理可得乙0=乙4=50。，继而

求得答案.

【详解】解：方。是。。的直径，

.-.ABCD=90°,

；ZD=U=50°,

；/DBC=90°-zZ>=40°,

故选：C.

【点睛】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，此题难度不大，解题的关键是注意

掌握数形结合思想的应用.

6.A

【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0.由一元二

次方程的定义，可知4+270；一根是0,代入（a+2）/+x+/-4=。可得/一4=0,即可

求答案.

【详解】解：（“+2）/+》+/-4=0是关于％的一元二次方程，

q+2w0,即aW-2①

由~个木艮x=0,代入（。+2）12+%+〃2-4=0,

答案第2页，共14页

可得/一4=0,解之得。=±2；②

由①②得。=2；

故选A

7.D

【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可.

【详解】解：对于产(x-1)2+5,

•・•。=1>0,故抛物线开口向上，故A错误；

顶点坐标为(1,5),故B错误；

该函数有最小值，最小值是5,故C错误；

当x>l时，y随x的增大而增大，故D正确，

故选：D.

【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生

非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征.

8.B

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中再+Z=7,

毛％=10,逐项分析判断，即可求解.

【详解】解：••・小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1；

+x2=6+1=7,

又•••小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是一2和-5.

x1x2=10

A.公+6%+5=0中，X[+X2=-6,X.X2=5,故该选项不符合题意；

B./一7%+10=0中，玉+%2=7,2%2=10，故该选项符合题意；

C.5%+2=0中，西+%=5,x{x2=2,故该选项不符合题意；

D.6%—10=0中，X]+々=6,x1x2=—10,故该选项不符合题意；

故选：B.

9.C

【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可.

答案第3页，共14页

【详解】设OD=x,则OE=OA=DE-OD=4-x.

•・•/8是。。的直径，垂直于弦/C于点，AC=442

.-.AD=DC=-AC=2y[2

2

是△/8C的中位线

：.BC=20D

0A2=OD2+AD2

(4—x)2=x2+(2>/2)2,解得x=l

:.BC=2OD=2x=2

故选：C

【点睛】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出。。的长是解

题的关键.

10.C

【分析】根据旋转的性质可得，BC=DC,UCE=a,小乙E,贝！j乙B=NADC,利用三角形内

角和可求得乙8,进而可求得则可求得答案.

【详解】解：••・将△4BC绕点C顺时针旋转得到△瓦兀，且=a

：.BC=DC,Z-ACE=a,乙4=4,

■'-Z.B=Z.BDC,

・•./—丁=9。。4

.・.N/=NE=900—N5=90。—90。+4=4,

22

:.NA=NE=—,

2

(X3

/.ZEFC=180°-ZACE-ZE=180°-a一一=180。一一a,

22

故选：c.

【点睛】本题考查了旋转变换、三角形内角和、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转

的性质.

2

11.——

3

【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标的特点.根据平面直角坐标系中，关于原点

对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a,b的值即可.

答案第4页，共14页

【详解】解：•.•点z(-2,6)与5(a,3)关于原点对称,

Q=2,b——3,

故答案为：-;2.

12.13

【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点.连接NC,根据N48C=90。，得出NC

是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出/C即可.

【详解】解：连接NC,

ZABC=90°,且//2C是圆周角，

・••/C是圆形镜面的直径，

由勾股定理得：AC=^AB2+BC2=V122+52=13cm，

所以圆形镜面的直径为13cm,

故答案为：13.

13.144°##144度

【分析】先求解々CD,再利用圆的内接四边形的性质求解N4再利用圆周角定理可得

NBOD的大小.

【详解】解：•••ZDCE=72。,

z5CD=180°-72°=108°,

••・四边形ABCD是。0内接四边形，

:"A=18Q°-NBCD=72。,

zBOD=2zA=144°,

故答案为：144。.

【点睛】本题考查的是邻补角的含义，圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，熟练掌

握圆中的圆周角定理与圆的内接四边形的性质是解本题的关键.

答案第5页，共14页

14.4

【分析】本题考查了二次函数的应用，令力=0,求/即可.

【详解】解:令6=20"5/=0,

解得％=。（舍去），t2=A,

小球从飞出到落地要用4s.

故答案为：4.

15.6

【分析】根据。一〃=4得出一4,代入代数式3〃+。-14中，通过计算即可得到

答案.

【详解】••,0—62=4

-,-b2=a-4

将/=.-4代入a2—3b2+a—14中

得：。2-3/+。—14=Y-3（。-4）+。-14=1-2a-2

u~-2a-2=4~-2a+l-3=（。-1）—-3

,"2=0-420

•t•a>4

当a=4时，（a-I）'3取得最小值为6

.­■a2-2a-2的最小值为6

"a2—3/+a—14—a2—2a—2

a2—36?+a—14的最小值6

故答案为：6.

【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求

解.

16.西=-1,x=3.

【分析】利用因式分解法解方程.此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平

方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题

的关键.

【详解】解：X2-2X-3=0

答案第6页，共14页

（x+l）（x-3）=0

x+l=O或x-3=0,

;X]=-1,x=3.

17.见解析

【分析】根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义画出图形即可

运用所学知识解决问题.

18.⑴见解析

（2）加=-2.

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系.

（1）只需要证明△=[-（仅+2）7一4（加一1）>0即可；

（2）根据根与系数的关系得到X1+%2=777+2,中2=777-1,再根据国+工2-3国工2=9建

立方程（机+2）-3（加-1）=9,解方程即可得到答案.

【详解】（1）证明：由题意得，A=[-（m+2）]2-4（m-l）

=m2+4m+4-4m+4

=疗+8,

m2>0,

•••m2+8>0,

・•・无论冽取何值，方程都有两个不相等的实数根；

（2）解：・关于x的一元二次方程/-（加+2）x+〃7-l=O的两个实数根为X],无2，

：.x^+x2=m+2,xAx2=m-1,

x{+x2-3X{X2=9,

答案第7页，共14页

(m+2)-3(m-l)=9,

•••m=-2.

19.(1)Z>=-1,c=2

(2)耳(2,-4),巴(一3,-4)

【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次

方程的方法是解题的关键.

(1)运用待定系数法即可求解；

(2)根据题意设「(见"),结合几何图形面积计算方法可得点P的纵坐标，代入后解一元二

次方程即可求解.

【详解】(1)解：二次函数>=一/+云+，的图像与x轴交于/(-2,0),2(1,0)两点，

一4一2b+c=0

-l+Z?+c=0

b=-l

解得,

c=2

•••6=-1,c=2；

(2)解:由(1)可知二次函数解析式为：y=-x2-x+2,4(-2,0),5(1,0),

AB=1—(—2)=3,

设尸(叫"),

・•・S.B同=6,

•1•«=4,

••・H=±4,

・・•当-/_%+2=4时，A=l-8=-7<0,无解，不符合题意，舍去;

当_12_1+2=_4时，项=-3,X2=2；

"(2,-4),6(-3,-4).

20.(l)y=-0.5x+5(2<x<8,且x为整数)

(2)每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克

答案第8页，共14页

【分析】(1)由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析

式；

(2)设每平方米小番茄产量为〃千克，由产量=每平方米种植株数x单株产量即可列函数关

系式，由二次函数性质可得答案.

【详解】(1)解：•••每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，

,,,y=4—0.5(x—2)=-0.5x+5(2<x<8,且尤为整数)；

(2)解：设每平方米小番茄产量为平千克，

w-x(—0.5x+5)=—0.5x~+5x=—0.5(x—5)~+12.5.

••.当x=5时，w有最大值12.5千克.

答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克.

【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式.

21.(1)A48C是等腰直角三角形；证明见解析；

⑵5

【分析】(1)根据圆周角定理可得乙48c=90。，由根据等弧对等角可得

乙4cB=KC4B,即可证明；

(2)RtA48C中由勾股定理可得NC,RtA4DC中由勾股定理求得CD即可；

【详解】(1)证明：以。是圆的直径，则-2C=乙4DC=90。，

■■■AADB=ACDB,AADB=^ACB,乙CDB=£CAB,

：./-ACB=/-CAB,

・•・△4BC是等腰直角三角形；

(2)解：:A42c是等腰直角三角形，

••BC—AB=-^2，

■■AC=^AB2+BC2=2，

RtA^DC中，^ADC=90°,AD=\,则。。々叱-必=6,

.­.CD=43.

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等

弧对等角是解题关键.

22.(1)四边形NMW是矩形，证明见解析

答案第9页，共14页

⑵3=4收

(3)/N=6如-6.

【分析】(1)由三角形中位线定理可得地)〃/C,可证//=4M)=/〃LW=90。，即可

求解；

(2)由勾股定理可求8c的长，由中点的性质可得CG的长，由勾股定理列式可求解;

(3)延长到点G,使得"D=QG,推出ABDMQACDG$A%,得到NNCG=90°,设

AM=AN=a,在RtZXNCG中，利用勾股定理列式，即可求解.

【详解】(1)解：四边形NMDN是矩形，

理由：,点。是2c的中点，点〃是N8的中点，

:.MD//AC,

.­.ZA+ZAMD=ISO°,

ZA=90°,

■.ZA=ZAMD=ZMDN=90°,

四边形ZMEW是矩形；

(2)解：如图2,过点N作以;，8于6,

；.BC=2AB=12,AC=^BC2-AB~=6A/3-

•••点。是的中点，

BD=CD=6,

•；/MDN=90。=ZA,

Z5+ZC=90°,Z5DAf+Zl=90°,

•・•ZB=ZMDB,

・•・Nl=NC=30。，

答案第10页，共14页

.-.DN=CN,NG=-CN,

2

.-.CG=-CZ）=3；

2

由勾股定理得NG'CG?=CN，即+32=CN2,

解得CN=2石，

■■AN=6y[3~2y/3=4y[3;

（3）解:延长MD到点G,使得MD=DG,连接NG,CG,MN,

•：MD=DG,ZBDM=ZCDG,BD=CD,

：.ABDM知CDG（SAS）,

：.BM=CG,ZB=ZDCG,

ZB+ZACB=90°,

：.ZDCG+ZACB=90°,

即ZNCG=90°,

■:MD=DG,ZMDN=90°,

：.MN=NG,

设AM=AN=a,则BM=CG=6-a,NC=6c-a，

■：NN=90°,

:.MN=NG=4ia，

在R3NCG中，CG2+NG2=NG2,

二（6-。）~+（6月-°）=（啦a），

解得a=6G-6,

■■■AJV=6>/3-6.

答案第11页，共14页

【点睛】本题考查了矩形的判定，直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，等腰

三角形的判定和性质.熟练掌握其性质是解题的关键.

23.⑴平面直角坐标系见解析，J.=-X2+9（-3<X<3）

（2）。£的长为4米，CF的长为2米

（