函数模型及其应用（7题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题10函数模型及其应用7题型分类

彩题如工总

题型1:二次函数模型

题型7：巳知函数模型的实际问题

题型2：分段函数模型

题型6：幕函数模型

专题10函数模型及其应用

7题型分类题型3：对勾函数模型

题型5：对数型函数

题型4：指数型函数

彩和也宝库

1、几种常见的函数模型:

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)=cuc+b(a,Z?为常数且

反比例函数模型f(x)=-+b(k,b为常数且awO)

X

二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,。为常数且

指数函数模型/(x)=bax+c(6z,b,。为常数，bwO,tz>0,〃wl)

对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，b^O,a>0,a^l)

幕函数模型f(x)=axn+b{a,/?为常数，

2、解函数应用问题的步骤：

（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型;

（3）解模：求解数学模型，得出结论；

（4）还原：将数学问题还原为实际问题.

彩他题秘籍

（_）

二次函数模型与分段函数模型

1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化规律分

别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.

2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏.

题型1：二次函数模型

1-1.（2024高二上•山东潍坊•期末）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止,

一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为40km/h的弯道上，

甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离

略超过6m,乙车的刹车距离略超过10m.已知甲车的刹车距离sm与车速vkm/h之间的关系为

5甲=看”一《丫，乙车的刹车距离sm与车速vkm/h之间的关系为5乙=募/-'y.请判断甲、乙两车哪

辆车有超速现象（）

A.甲、乙两车均超速B.甲车超速但乙车未超速

C.乙车超速但甲车未超速D.甲、乙两车均未超速

【答案】C

【分析】根据题意列出方程即可确定是否超速.

【详解】对于甲车，4^V2-^V«6,BPV2-10V-600«0

解得UP—20km/h（舍）或VQ30km/h,所以甲未超速；

对于甲车，4-^rv2-^-v»10,BPv2-10v-2000^0

解得vaT0km/h（舍）或口出50kln/h,所以乙超速；

故选:C.

1-2.（2024.黑龙江哈尔滨.三模）如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友

谊比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的P点处接球，止匕时tanNAPB=（,假设甲沿着平行边线的方向

向前带球，并准备在点。处射门，为获得最佳的射门角度（即NAQ8最大），则射门时甲离上方端线的距离

为（）

C.10拒D.10V3

【答案】B

/72+150

【分析】先根据题意解出AB长度，谈QH=h,得到cosZAQB=再分析求值域，判

，r+325/+22500

断取等条件即可求解.

【详解】设AB=x,并根据题意作如下示意图，由图和题意得：PH=25,BH=10,

所以tanZB/W=^=竺=2,且tan/APB=9,

HP25531

52

----1—3

所以tanZAPH=tan(ZAPS+NBPH)=3、50=_

AprAB+BHx+10匚x+103五刀/曰u

又tan/APH=——一i丁，所以一^―=M，解得％=5即AB=5,

PHPH

设。H=/z,/7e[0,25],则AQ=QQH。+曲=J吩+E,

BQ=^QH2+BH-=J/+1()2,所以在AA。中，

士/…A^+B^-AB2川+150

有cosZAQB=-----------------=::

2AQxBQJ/+325/+22500

令2片+150(150</?!<775),所以h2=m-150,

一cosAAQB=j-------=/=

所以J(m-150)2+325(加一150)+225001驾)+空十],

因为150〈机《775,所以—――,则要使—AQ5最大，

775m150

cosZAQB=।_I_375f）~~

即375025।要取得最小值,即+2+1取得最大值，

J——^+―+1Vm2m

Vmm

即-W3750+22+51在』ivl_Llv9取得最大值，

mm775m150

令/=』£,/（z）=-3750r2+25r+l,

m|_775150_

所以了”）的对称轴为：”击，所以/⑺在J，/单调递增，在贵，专单调递减,

所以当,=工时，/⑺取得最大值，即-AQ3最大，此时,=工，即机=300，

300m300

所以外=150,所以/i=5后，即为获得最佳的射门角度（即NAQ2最大），

则射门时甲离上方端线的距离为：5瓜

故选：B.

1-3.（2024•北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件

下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a,b,c是常数），如图记录了三次

实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为

0.5.................

0345f

A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟

【答案】B

【详解】由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数0=〃2+加+°的图象上，

9a+3b+c=0.7

所以｛16a+4b+c=0.8,解得a=-0.2,6=1.5,c=-2,

25a+5b+c=0.5

所以P=—。.2厂+1.5t—2=—0.2(/-----)-H■——,因为1>0,所以当r=二~=3.75时，。取最大值，

4164

故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间，故选B.

考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查

同学们分析问题与解决问题的能力.

题型2:分段函数模型

2-1.(2024.云南.二模)下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格:

一次购买件数5-10件11-50件51-100#101-300件300件以上

每件价格37元32元30元27元25元

张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具()

A.116件B.110件C.107件D.106件

【答案】C

【分析】根据题意，设购买的件数为X,花费为y元，根据表中的数据列出满足的函数关系式，当yV2900

时，求出X的最大值即可.

【详解】设购买的件数为X,花费为y元，

37^,1<^<10

32x,11<x<50

贝i]y=130x,51Wx4100,当x=107时，v=2889<2990,

27x,101<x<300

25x,x>300

当x=108时，y=2916>2900,所以最多可购买这种产品107件，

故选：C.

2-2.(2024•四川绵阳•模拟预测)某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用

电量划分为三挡：月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元

/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.

（1）求某户居民月用电费y（单位：元）关于月用电量无（单位：度）的函数解析式；

（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如

图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%,求a,b的值.

0.5x,0<x<200

【答案】⑴y=<0.8x-60,200<xW400,

x-140,x>400

（2）。=00015力M00020

【分析】（1）根据题目条件，分段列出函数解析式即可;

（2）将y=260代入（1）中解析式得到x的值，再结合频率分布直方图求a,6的值;

【详解】（1）当0WXW200时，V=0.5x；

当200cx<400时，y=0.5*200+0.8x（x-200）=0.8x-60,

当X>400时，>=0.5x200+0.8x200+1.Ox(x-400)=x-140,

0.5x,0<x<200

所以>与x之间的函数解析式为y=0.8x-60,200<xV400,

x-140,x>400

(2)由(1)可知：当>=260时，x=400,则)(xV400)=0.80,

0.1+2x1006+0.3=0.8

结合频率分布直方图可知:

100。+0.05=0.2

A=0.0015,/?=0.0020

2-3.（2024•全国）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出It该产品获利润500元，未售出的

产品，每It亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商

为下一个销售季度购进了130t该农产品.以无（单位：t,100WXW150）表示下一个销售季度内的市场需求量,

T（单位:元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

频率/组距

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

100110120130140150需求量/t

（I）将T表示为x的函数；

（II）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.

800x-39000,100<x<130

【答案】（I）T=百一一射（11）0.7

65000,130<x<150

【详解】试题分析：（D由题意先分段写出，当Xe[100,130）时，当XW[130,150）时，和利润值，最

后利用分段函数的形式进行综合即可.

（II）由（D知，利润T不少于57000元，当且仅当120SXW150.再由直方图知需求量XG[120,150]的频

率为0.7,利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值.

解:（I）由题意得,当XG）00,130）时，T=500X-300（130-X）=800X-39000,

当XG[130,150]时，T=500x130=65000,

f800X-39000,x€[100,130）

•T-<

"165000,XE[130,150]

（ID由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120WXS150.

由直方图知需求量XG[120,150]的频率为0.7,

所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.

考点：频率分布直方图.

2-4.（2024高一上.江西赣州•期中）《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，

开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展.为深入践行习

近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路.某乡镇为

全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量/（单位：kg）与肥料费用x（单位：元）

g（尤2+43）,04尤43,

满足如下关系：4尤）=其它总成本为3x（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每

20-------,3<xW10,

千克5元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为/•（工）（单位：元）.

⑴求“X）的函数关系式;

（2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元?

X2-4X+43,0<X<3,

【答案】（l）/（x）=100-41—+x|,3<x<10.

（2）当投入的肥料费用为6元时，该单株农作物获得的利润最大，最大利润为52元

【分析】（1）根据利润=毛收入-成本可得结果;

（2）分段求出最大值，再两者中的更大的为最大值.

I+43)_4x,0<x<3,

【详解】（1）由题意可得，/（无）=5f（x）-尤一3尤=144

100------4x,3<x<10.

x

x2-4x+43,0<x<3,

所以函数”尤）的函数关系式为Ax）=，100-4(—+xj,3<x<10.

（2）当0VxV3时，/（x）=f-4x+43在［0,2）上单调递减，在（2,3］上单调递增,

又"0)=43,又3)=40,所以八元)鹏=43,

36

当3VxM10时，〃x)=100-4|—+x|<100-4x2j--x=52,

XX

当且仅当羽=x,即X=6时等号成立，止匕时/（X）max=52

X

综上：当投入的肥料费用为6元时，单株农作物获得的利润最大为52元.

2-5.（2024高二下•四川眉山•阶段练习）某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量工,

（10WxW20,单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获

利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销

售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为>元.

（1）求商店日利润y关于需求量冗的函数表达式;

（2）估计日利润在区间［580,760］内的概率.

30x+280,14<x<20

【答案】⑴>二

60x-140,10<x<14

(2)0.54

【分析】（1）根据题意列出分段函数解析式，即得答案；

［30x+280,14<x<20——一

（2）判断丫=60X_14010<犬<14的单调性，确定日利润在区间［580,760］内的概率即为求海鲜需求量x在

区间［12,16］的频率，结合频率分布直方图可得答案.

_f50xl4+30x(x-14),14<x<20

【详解】（1）商店的日利润》关于需求量尤的函数表达式为:

[50x-10x(14-.x),10<x<14

30x+280,14<x<20

化简得：y=

60.r-140,10<x<14

（2）由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间［12,14）的频率是2x0.12=0.24；

海鲜需求量在区间［14,16）的频率是2x0.15=0.30；

由于x=14时，30x14+280=60x14-140=700,

「

故尸［f360。x1+428。0,1。4"<x<<1240在^区间股2。1］上单调递增，

令y=580=60x-140,得x=12；令y=760=30x+280,得彳=16；

故求日利润V在区间［580,760］内的概率即求海鲜需求量x在区间［12,16］的频率,

即为0.24+0.30=0.54；

2-6.（2024全国）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售,

如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润V（单位：元）关于当天需求量〃（单位：枝，nwN）的函

数解析式.

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表:

日需求

14151617181920

量n

频数10201616151310

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差;

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

10〃-80(〃415)

【答案】⑴…8。……

2)⑴EX=60x0.1+70x0.2+80x0.7=76

Z)X=162x0.1+62x0.2+42x0.7=44

（ii）应购进17枝

【详解】(1)当“216时，y=16x(10-5)=80

当〃V15时，y=5〃-5(16-〃)=1。"-8。

10n-80(w<15)

得：y={(〃wN)

80(«>16)

(2)(i)X可取60,70,80

P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7X的分布列为

X607080

P0.10.20.7

=60x0.1+70x0.2+80x0.7=76

DX=162X0.1+62X0.2+42X0.7=44

(ii)购进17枝时，当天的利润为

=(14x5-3x5)x0.1+(15x5-2x5)x0.2+(16x5-1x5)x0.16+17x5x0.54=76.4

76.4>76得：应购进17枝

彩健题秘籍。

对勾函数模型

1、解决此类问题一定要注意函数定义域；

2、利用模型求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件.

X

题型3:对勾函数模型

3-1.（2024高三下•河北唐山•阶段练习）迷你K7V是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类

似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎.如图是某间迷你K7V的横截面示

3

意图，其中AB=AE=],NA=NB=NE=90。，曲线段CD是圆心角为90。的圆弧，设该迷你K7V横截面

的面积为S,周长为L,则l的最大值为.（本题中取万=3进行计算）

【答案】12-3715

q

【分析】设圆弧的半径为X,根据平面几何知识写出:关于X的函数关系式，运用基本不等式求解函数的最

大值即可.

33

【详解】设圆弧的半径为M0<xW2，根据题意可得：BC=DE=AB-x=^-x

S=AEDE+（AB-DE）（AE一尤）+：乃尤？

._____,_7TX

L=2A5+BC+DEH------=6—2xH------

42

Q-r*23*1

・・・%=3「.S=-------,L=6一一x

42

•s-9~%2

"L~24-2x

令t=24—2x（214f<24）,贝I]24-/

x=------

2

根据基本不等式，1号=3而,当却仅当；=手,即f=6厉时取

6V15e[21,24),.」=6小时，=12-3厉

故答案为：12-3A/15.

3-2.(2024高一下.浙江•期末)砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵

生动、极富书卷气.如图是一扇环形成雕，可视为扇形。CD截去同心扇形。4B所得部分.已知扇环周长

=300cm,大扇形半径QD=100cm,设小扇形半径。4=xcm,/AO3=6弧度，则

①。关于x的函数关系式。(幻=.

②若雕刻费用关于X的解析式为w(x)=Wx+1700，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为.

【答案】嚷产，xe(O』OO)；3

【分析】利用弧长公式求A8与DC根据扇环周长可得e关于X的函数关系式；根据扇形面积公式求出扇环

面积，进而得出砖雕面积与雕刻费用之比，再利用基本不等式即可求解.

【详解】由题意可知，ZAOB=0,OA^x,00=100,

所以AD^BC=100-x,DC=1006*,

扇环周长4B+AD+BC+OC=9％+200-2*+100。=300,

解得。=需生，xe(0」00)，

砖雕面积即为图中环形面积，记为S,

则S=S扇形的一s扇形AOB=^ODDC-OAAB

=1x100x100。一[・尤•6>x=5000e—2尤2=(5OOO-=]1P2±^

222I2)100+x

即雕刻面积与雕刻费用之比为加，

s_(10000-x2)(100+2x)_(100-x)(50+x)

'm一^00-2(100+x)(10x+1700)-—10(1+170)-'

令t=x+170,贝”=t-170,

_（270-r）（r-120）_-t2+390/-120x270_t12x270

..TYl———r3Jz

lOrlOz10t

12x270+39=-36+39=3，当且仅当f=180时（即x=10）取等号，

V10t

所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为3.

故答案为：粤二，（0,100）；3

33（2024高三.全国.专题练习）某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此

外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增

加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（）

A.8B.10C.12D.13

【答案】B

【分析】设该企业需要更新设备的年数为x（尤eN*）,设备年平均费用为y万元，求得y关于无的表达式，

利用基本不等式求出y的最小值及其对应的x值，即可得出结论.

【详解】设该企业需要更新设备的年数为x（尤eN*）,设备年平均费用为y万元，

则X年后的设备维护费用为2+4+6+…+2x=M^产=x（x+l）,

,4击出建中斗100+0.5x+x（x+l）1003二II。。343「匚一、

所cc以rx年的1Vl平均费用为y=------------------——=尤+——+-22J尤——+-=—（万兀），

xx2Vx22

当且仅当x=10时，等号成立，

因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为10.

故选：B.

彩健题秘籍（二）

指数型函数、对数型函数、幕函数模型

1、在解题时，要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增

长率、银行利率有关的问题都属于指数模型.

2、在解决指数型函数、对数型函数、幕函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，再借

助函数图像求解最值问题.

题型4:指数型函数

4-1.(2024高三下•云南•阶段练习)近年来，天然气表观消费量从2006年的不到600xl()8m3激增到2021年

的3726xl08m3.从2000年开始统计，记忆表示从2000年开始的第几年，ov—%eN.经计算机拟合后发

现，天然气表观消费量随时间的变化情况符合匕=%。+%丫，其中匕是从2000年后第4年天然气消费量，

力是2000年的天然气消费量，心是过去20年的年复合增长率.已知2009年的天然气消费量为900x1()8irf,

2018年的天然气消费量为2880xl()8m3,根据拟合的模型，可以预测2024年的天然气消费量约为()

222

(参考数据:2.881~2.02''3.21®2.1741®2.52

A.5817.6xl0sm3B.6249.6xlO8m3

C.6928.2xlO8m3D.7257.6xl08m3

【答案】B

【分析】由题意，匕=匕(1+4)9，匕8=%(1+%/，由已知数据解出(1+了=3.2,再由％4=匕8(1+，；,)6,代

入参考数据计算即可.

1883

【详解】据题意％=%(1+0)9=900x108m3,^8=^(l+<,)=2880xl0m,两式相除可得(1+4户=3.2,

2

又因为=0(1+弓)6=2880xl08x(3.2户~6249.6x108m3>

故选：B.

4-2.(2024.山东)基本再生数凡与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传

染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：

/⑺=e"描述累计感染病例数/⑺随时间/(单位:天)的变化规律，指数增长率r与Ro,T近似满足Rn=l+rT.

有学者基于已有数据估计出Ro=3.28,T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要

的时间约为(ln2=：0.69)()

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【分析】根据题意可得/(/)=〃=泮3&,设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间

为"天，根据e°38($)=2e°38',解得%即可得结果.

［详解］因为&=3.28,T=6,&=1+”,所以r=^|~^=0.38,所以/(f)=，=,

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为。天,

则0。38（，+，,）=2e038"所以e03M=2所以0.3甑=ln2,

b,、，In20.69,门十

所以%=——x——"8天.

0.380.38

故选：B.

【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.

4-3.（2024•浙江・二模）提丢斯一波得定则，简称“波得定律”，是表示各行星与太阳平均距离的一种经验规

则.它是在1766年德国的一位中学教师戴维•提丢斯发现的.后来被柏林天文台的台长波得归纳成了一个如下

经验公式来表示：记太阳到地球的平均距离为1,若某行星的编号为"，则该行星到太阳的平均距离表示为

nl

a+bx2~,那么编号为9的行星用该公式推得的平均距离位于（）

行星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星

编号12345678

公式推得值0.711.62.85.21019.638.8

实测值0.7211.522.95.29.5419.1830.06

A.（30,50）B.（50,60）C.（60,70）D.（70,80）

【答案】D

【分析】代入数据计算。涉的值即可.

[a+b'x.l0=0.7[A=0.4„.,、

【详解】由表格可得,小，=,a+x29-1=77.2e（70,80）,

[a+bx2=1\b=0.3

故选：D

题型5:对数型函数

5-1.（2024・陕西咸阳・模拟预测）血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红

蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数.正常人体的血氧饱和度一般情况

下不低于96%,否则为供养不足.在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型:S（f）=S°e"描述血氧饱

和度5（0（单位％）随机给氧时间”单位:时）的变化规律，其中斗为初始血氧饱和度，k为参数.已知跖=60,

给氧1小时后，血氧饱和度为70,若使血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（）小时.（参

考数据：ln5=1.61,ln6=1.79,ln7=1.95,ln8=2.07）

A.1.525B.1.675C.1.725D.1.875

【答案】D

【分析】根据题意，分别表示出左与笈的范围，然后结合对数的运算，即可得到结果.

【详解】由题意可得，60e'=70,60efe>96,贝Z=ln四=ln7—ln6,fc>ln—=ln8-ln5,

6060

则使血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要2.875-1=1.875小时.

故选：D.

5-2.（2024•全国•二模）昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之

间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、

追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等.人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤

其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用.研究发现，某昆虫释放信息素f秒后，在距释放处尤米

的地方测得的信息素浓度y满足lny=IMV+a,其中鼠。为非零常数.已知释放信息素1秒后，在

距释放处2米的地方测得信息素浓度为如若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为葭，

贝”（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根据已知的浓度解析式，代入变量，结合对数的运算，化简求值.

【详解】由题意Inm=—4左+。，In—=—In4—b1+a,

224

（1k、

所以Inm—ln5=-4k+a-\-—]n4--b2+a\）,

k

即+又左wo,所以〃=16.

因为b>。，所以Z?=4.

故选：B.

5-3.（2024.四川绵阳•二模）经研究发现：某昆虫释放信息素/秒后，在距释放处x米的地方测得信息素浓

度y满足函数=（A,K为非零常数）.已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信

息素浓度为。，则释放信息素4秒后，信息素浓度为［a的位置距释放处的距离为（）米.

2

A.2&B.2C.0D.4

【答案】D

【分析】根据已知数据可得lna=-4K+A,再根据ln《=-1ln4-+A即可求出尤值.

224

【详解】由题知：当t=l,x=2时，y=a,

代入Iny=-gln/一+A得：

lna=-AK+A,

当i=4,y=时，

.a1,.K.

In—=——In4-----x2+A,

224

K

即In«-ln2=-ln2-—X92+A,

而Ina—~~4K+A,

解得：x=4或T（舍）

故选：D.

题型6：森函数模型

6-1.（2024高三上・安徽亳州•阶段练习）“小黄城外芍药花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家种花

如桑麻.”这是清代文学家刘开有描写安徽毫州的诗句，毫州位于安徽省西北部，有“中华药都”之称.毫州自商

汤建都到今，已有3700年的文明史，是汉代著名医学家华佗的故乡，由于一代名医的影响，带动了毫州医

药的发展，到明、清时期毫州就是全国四大药都之一，现已是“四大药都”之首.毫州建有全球规模最大、设施

最好、档次最高的“中国（毫州）中药材交易中心”，己成为全球最大的中药材集散地，以及价格形成中心.

某校数学学习小组在假期社会实践活动中，通过对某药厂一种中药材销售情况的调查发现：该中药材在2021

年的价格浮动最大的一个月内（以30天计）日平均销售单价加（x）（单位：元/千克）与第x天

（1<X<3O,XG7V*）的函数关系满足M（X）=£+20（左为正常数）.该中药材的日销售量N（X）（单位：

千克）与x的部分数据如下表所示：

X4102030

N（x）149155165155

已知第4天该中药材的日销售收入为3129元.（日销售收入=日销售单价x日销售量）

⑴求上的值；

（2）给出以下四种函数模型：①N（x）="+b,②N（x）=a（x—20y+6,③双（力=小—20|+A,④

N（x）=elog/,请你根据表中的数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该中药材的日

销售量N（x）与x的关系，并求出该函数的解析式和日销售收入/（X）（单位：元）的最小值.

【答案】⑴左=5

（2）③，N（x）=-|龙一20|+165（0（尤430）,最小值为3125元

【分析】（1）根据题中条件，第4天该中药的日销售收入为3129元，将其代入函数关系式中即可求出％的值;

（2）首先根据数据的变化规律和特点选定合适的销售量函数，再根据函数的解析式结合均值定理求解日销

售收入的最小值即可.

启+2。

【详解】（1）由x=4时,-149=3129,得％=5；

（2）因为数据有增有减，①④不合符题意,

将二三组数据代入②类函数解析式可得:

1

〃（10—20）+b=155a二-----

\，解得：10,

（）

Q20-20+Z?=165b=165

即得②类函数解析式为N（X）=-，（X-20）2+165.

将二三组数据代入③类函数解析式可得：

al0-20|+&=155,,咱（a=-l

a20-20|+&=165'解得：［b=165

即得③类函数解析式为N（x）=-|x-20|+165,

1

将第一组数据代入N（x）=-而（x-20y9+165,

19

可知：?/（1）=-—（4-20）-+165=139.4,

将第一组数据代入N（x）=-|x-20|+165,

可知：？/(1)=一|4一20|+165=149,

因此N（"=T尤-20|+165（04%<30）最合适.

当xe[1,20)时

〃力=++2。卜+145)=告+20)(尤+1+144)

(

=5+20(x+1)++2880>2885+2j20x+0-=3125,

当且仅当x=5时，等号成立

当xe[20,30]时

告一)

小)=+201x+185-1+186)=牝詈-20(x+l)+3715

函数〃x）在xe[20,30]上单调递减,

所以""2"30）=3125,当且仅当x=30时，等号成立

综上可知，当x=5或x=30日销售收入最小值为3125元.

6-2.（2024.四川泸州.模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大

胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动.该

企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元.若要实现2024年

初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：<82«1.22,<73«1.2）（）

A.10%B.20%C.22%D.32%

【答案】B

【分析】设年平均增长率为x，依题意列方程求x即可.

【详解】由题意，设年平均增长率为X,贝I]150（1+X）3+10=270,

所以x=d-1«1.2-1=0.2,故年平均增长率为20%.

故选：B

6-3.（2024・广西・模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以塞

函数形式表示.比如，某类动物的新陈代谢率,与其体重x满足>=依"，其中左和。为正常数，该类动物某

一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则

a为（）

23

B.C.D.

~234

【答案】D

【分析】初始状态设为（国,必），变化后为（Z，%），根据HZ，%的关系代入后可求解.

【详解】设初始状态为（国，%），则％2=16』,%=8%,

又y2=kx2,即8%=左（16玉）。=女,

8%匕16。%：3

，16a=8,24a=23,4。=3,a=—

4

故选：D.

彩傩甄祕籍

—（四）

已知函数模型的实际问题

求解已知函数模型解决实际问题的关键

（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

题型7:已知函数模型的实际问题

7-1.（2024高三.全国.专题练习）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：6=（4-%）e*+q,其中1

为时间（单位：min）,%为环境温度，4为物体初始温度，。为冷却后温度），假设在室内温度为2（TC的

情况下，一桶咖啡由10（TC降低到60℃需要20min.贝I]k的值为.

【答案】野

【分析】根据所给模型代入数据，即可根据指对互化求解.

【详解】由题意，把4=20,4=100,0=60,f=20代入。=（4—4）厂+%中,

得80厂"+20=60,所以e-

所以一20左=—ln2,解得左=嗡.

心田以二In2

故答案为：――.

20

7-2.（2024高二下•浙江宁波•学业考试）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某建筑物准备建

造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元.根据建筑公司的前期

研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度场（单位：厘米）满足

关系：N（〃）=^^（OV〃W1。）.经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10

万元.设尸（〃）为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使尸伍）达到最小值的隔热层的

厚度/?=_____厘米.

【答案】2

【分析】根据题意可得函数+荒言+9//=茫言+3（3/7+4）-12,利用基本不等式求解.

【详解】由题意及N（〃）=加q,可得N（0）=彳=10,即加=40,

/.N（h）=-^—.

'/3/1+4

隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和/㈤=30N㈤+9/7=蓝詈+9/?=黑号+3（3〃+4）-12