《高考数学压轴题通法训练•高分必刷系列》专题11导数中的极值偏移问题（全题型压轴题）含答案及解析

专题11导数中的极值偏移问题（全题型压轴题）目录TOC\o"1-1"\h\u①对称化构造法 1②差值代换法 3③比值代换法 4④对数均值不等式法 5①对称化构造法1．（多选）（2023春·山东德州·高二统考期末）定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（

）A．在处取得极小值B．有两个零点C．若，恒成立，则D．若，，，，则2．（2023春·河北张家口·高二统考期末）已知函数.(1)求函数的单调区间和极值；(2)若方程的两个解为、，求证：.3．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知函数，(1)若，求的单调区间；(2)若，，是方程的两个实数根，证明：．4．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数为其极小值点．(1)求实数的值；(2)若存在，使得，求证：．5．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间与极值．(2)若，求证：．②差值代换法1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，．其中为自然对数的底数．（1）若，讨论的单调性；（2）已知，函数恰有两个不同的极值点，，证明：．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的导函数为.(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若，求证：方程在上有两个不同的实数根，且.3．（2023·河南·校联考模拟预测）设函数.(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点和，设，证明：（为的导函数）.③比值代换法1．（2023春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个零点、，证明.2．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：．3．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数，．(1)当时，恒成立，求a的取值范围．(2)若的两个相异零点为，，求证：．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）.(1)若函数的最小值为2，求的值；(2)在（1）的条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，且，求证：.④对数均值不等式法1．（2023春·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）已知函数(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值；(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.(3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明.2．（2023春·福建莆田·高二校考期中）已知函数.(1)讨论函数的单调性：(2)若是方程的两不等实根，求证：；3．（2023·全国·高三专题练习）设函数.(1)若对恒成立，求实数的取值范围；(2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数.4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.(1)求证：，；(2)若存在、，且当时，使得成立，求证：.

专题11导数中的极值偏移问题（全题型压轴题）目录TOC\o"1-1"\h\u①对称化构造法 1②差值代换法 7③比值代换法 10④对数均值不等式法 17①对称化构造法1．（多选）（2023春·山东德州·高二统考期末）定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（

）A．在处取得极小值B．有两个零点C．若，恒成立，则D．若，，，，则【答案】AD【详解】因为，所以，令，则，所以设，所以，又因为，所以；对于A，因为，所以，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得极小值，故A正确；对于B，令，得，所以有一个零点，故B错误；对于C，因为在单调递增，所以时，，所以，故C错误；对于D，因为在单调递减，在单调递增，且唯一零点为，当时，且，所以若，，，，可以设，假设正确，下证明，即证，因为，在单调递减，所以即证，即证，构造，则，因为，所以，，，则，所以在上单调递增，所以，即得证，原式成立，故D正确.故选：AD2．（2023春·河北张家口·高二统考期末）已知函数.(1)求函数的单调区间和极值；(2)若方程的两个解为、，求证：.【答案】(1)减区间为，增区间为，极小值为，无极大值；(2)证明见解析【详解】（1）解：函数的定义域为，且，令可得，列表如下：减极小值增所以，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.（2）解：设，其中，则，令，可得，此时，函数在上单调递减，令，可得，此时，函数在上单调递增，所以，是函数的极小值点，因为函数有两个零点、，设，则，即且，要证，即证，因为函数在上单调递增，所以，只需证明：，即证，令，其中，则，因为，则，所以，，故函数在上为减函数，又因为，所以，对任意的恒成立，则，即，故成立.3．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知函数，(1)若，求的单调区间；(2)若，，是方程的两个实数根，证明：．【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，(2)证明见解析【详解】（1）由题可知的定义域为，.令，则的两根分别为，．当或时，；当时，；所以的单调递增区间为，单调递减区间为，．（2）原方程可化为，设，则，．令，得．∵在上，，在上，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且当，趋向于0时，趋向于，当趋向于时，趋向于．则在和上分别有一个零点，，不妨设，∵，∴，设，则，．当时，，∴在上单调递增，而，∴当时，，，即．∵，∴．∵在上单调递减，∴，即．4．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数为其极小值点．(1)求实数的值；(2)若存在，使得，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）的定义域为，，依题意得，得，此时，当时，，，，故，在内单调递减，当时，，，，故，在内单调递增，故在处取得极小值，符合题意.综上所述：.（2）由（1）知，，不妨设，当时，不等式显然成立；当，时，不等式显然成立；当，时，由（1）知在内单调递减，因为存在，使得，所以，要证，只要证，因为，所以，又在内单调递减，所以只要证，又，所以只要证，设，则，令，则，因为，所以，在上为减函数，所以，即，所以在上为减函数，所以，即.综上所述：.5．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间与极值．(2)若，求证：．【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为(2)证明见解析【详解】（1）定义域为，，令，解得：或，当时，；当时，；的单调递增区间为和，单调递减区间为；的极大值为，极小值为.（2）由（1）知：，，．令，，则；令，则；令，则，在上恒成立，在上单调递增，，在上恒成立，在上单调递增，，在上恒成立，在上单调递增，，对任意恒成立．，，又，，在上单调递增，，，即；令，，则；在上单调递增，，在上恒成立，在上单调递增，，对任意恒成立．，．又，，在上单调递增，且，，；由得：，，.②差值代换法1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，．其中为自然对数的底数．（1）若，讨论的单调性；（2）已知，函数恰有两个不同的极值点，，证明：．【答案】（1）当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在单调递增；（2）证明见解析．【详解】解：（1），，（i）当时，，函数在上递减；（ii）当时，令，解得；令，解得，函数在递减，在递增；综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在单调递增；（2）证明：，依题意，不妨设，则，两式相减得，，因为，要证，即证，即证，两边同除以，即证.令，即证，令，则，令，则，当时，，所以在上递减，，在上递减，，即，故．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的导函数为.(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若，求证：方程在上有两个不同的实数根，且.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1），设，则，所以在上单调递增，，所以令，得，即.设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，此时，在上单调递增，故a的取值范围是.（2）要证在上有两个不同的实数根.即证方程在上有两个不同的实数根，即证方程在上有两个不同的实数根，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，又，，所以方程在上有两个不同的实数根，，且.因为，所以，又，所以，（点拨：根据函数的单调性得到的范围）易知，，两式分别相加、相减得，，得，设，则，，所以.（换元，将双变量问题转化为单变量问题）设，则，所以在上单调递减，所以，得证.3．（2023·河南·校联考模拟预测）设函数.(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点和，设，证明：（为的导函数）.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【详解】（1）解：因为，则，若，对任意的，则，函数的单调递减区间为；若，令，得，当时，，当时，.所以的增区间为，减区间为.综上所述，当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的增区间为，减区间为.（2）证明：不妨令，由题设可得，两式相减整理可得.所以，要证，即证，即证，令，即证，其中，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，所以，当时，，即，故原不等式得证.③比值代换法1．（2023春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个零点、，证明.【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为(2)证明见解析【详解】（1）解：因为的定义域为，则，令，解得，令，解得，所以的单调减区间为，单调增区间为.（2）证明：不妨设，由（1）知：必有.要证，即证，即证，又，即证.令，其中，则，令，则在时恒成立，所以在上单调递减，即在上单调递减，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以；接下来证明，令，则，又，即，所以，要证，即证，有，不等式两边取对数，即证，即证，即证，令，，则，令，其中，则，所以，在上单调递增，则当时，，故当时，可得函数单调递增，可得，即，所以，综上，.2．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：．【答案】(1)答案见解析(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【详解】（1）解：因为，所以，其中.①当时，，所以函数的减区间为，无增区间；②当时，由得，由可得.所以函数的增区间为，减区间为．综上：当时，函数的减区间为，无增区间；当时，函数的增区间为，减区间为．（2）解：（i）方程可化为，即．令，因为函数在上单调递增，易知函数的值域为，结合题意，关于的方程（*）有两个不等的实根．又因为不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为．令，其中，则．由可得或，由可得，所以，函数在和上单调递减，在上单调递增．所以，函数的极小值为，且当时，；当时，则.作出函数和的图象如下图所示：由图可知，当时，函数与的图象有两个交点，所以，实数的取值范围是.（ii）要证，只需证，即证．因为，所以只需证．由（ⅰ）知，不妨设．因为，所以，即，作差可得．所以只需证，即只需证．令，只需证．令，其中，则，所以在上单调递增，故，即在上恒成立．所以原不等式得证．3．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数，．(1)当时，恒成立，求a的取值范围．(2)若的两个相异零点为，，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）当时，恒成立，即当时，恒成立，设，所以，即，，设，则，所以，当时，，即在上单调递增，所以，所以当时，，即在上单调递增，所以，若恒成立，则．所以时，恒成立，a的取值范围为.（2）由题意知，，不妨设，由得，则，令，则，即：．要证，只需证，只需证，即证，即证（），令（），因为，所以在上单调递增，当时，，所以成立，故．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）.(1)若函数的最小值为2，求的值；(2)在（1）的条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，且，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）解：因为，，所以，.当时，有，所以函数在上单调递增，所以函数不存在最小值；所以不合题意，故.当时，令，得.当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.所以，解得.所以，的值为.（2）解：方法一：由（1）知，，.因为为方程的两个不同的实数根，所以①；②.①－②得：，即，所以，令，有，所以，从而得.令，则，所以函数在上单调递增，即，即，又，所以，恒成立，即，得证.方法二：由（1）知，，.因为为方程的两个不同的实数根，所以，即方程有两个不同的实数根.令，，则，.令，得.当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.因为，所以.令，，则.所以在上单调递减，所以，即.所以，所以.又在上单调递增，所以.即，得证.④对数均值不等式法1．（2023春·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）已知函数(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值；(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.(3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明.【答案】(1)(2)(3)，证明见解析【详解】（1）因为，所以.所以，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，所以，解得..（2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数，所以在（0，+∞）上恒成立.即恒成立.，即，令，所以，时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即.（3）定义域为当时，，所以在（0，+∞）上单调递减，不合题意.当时，在（0，）上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，函数存在两个零点的必要条件是，即，又，所以在（1，）上存在一个零点（）.当时，，所以在（，+∞）上存在一个零点，综上函数有两个零点，实数a的取值范围是.不妨设两个零点由，所以，所以，所以，要证，只需证，只需证，由，只需证，只需证，只需证，令，只需证，令，，∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴，即成立，所以成立.2．（2023春·福建莆田·高二校考期中）已知函数.(1)讨论函数的单调性：(2)若是方程的两不等实根，求证：；【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【详解】（1）由题意得，函数的定义域为.由得：，当时，在上单调递增；当时，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减.（2）因为是方程的两不等实根，，即是方程的两不等实根，令，则，即是方