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文档简介
景山学校2025届高三3月份第一次模拟考试数学试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,若方程恰有两个不同实根,则正数m的取值范围为()A. B.C. D.2.如图,圆的半径为,,是圆上的定点,,是圆上的动点,点关于直线的对称点为,角的始边为射线,终边为射线,将表示为的函数,则在上的图像大致为()A. B. C. D.3.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a–1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是A. B.C. D.4.数列满足,且,,则()A. B.9 C. D.75.将函数f(x)=sin3x-cos3x+1的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,给出下列关于g(x)的结论:①它的图象关于直线x=对称;②它的最小正周期为;③它的图象关于点(,1)对称;④它在[]上单调递增.其中所有正确结论的编号是()A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④6.函数在上的图象大致为()A. B.C. D.7.若均为任意实数,且,则的最小值为()A. B. C. D.8.已知集合,集合,则().A. B.C. D.9.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数值的个数为()A.1 B.2 C.3 D.410.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,若点在角的终边上,则()A. B. C. D.11.在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.在长方体中,,则直线与平面所成角的余弦值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在平行四边形中,已知,,,若,,则____________.14.已知在△ABC中,(2sin32°,2cos32°),(cos77°,﹣cos13°),则⋅_____,△ABC的面积为_____.15.设实数x,y满足,则点表示的区域面积为______.16.在中,、的坐标分别为,,且满足,为坐标原点,若点的坐标为,则的取值范围为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等差数列{an}的各项均为正数,Sn为等差数列{an}的前n项和,.(1)求数列{an}的通项an;(2)设bn=an⋅3n,求数列{bn}的前n项和Tn.18.(12分)某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示,该封闭区域由以为圆心的半圆及直径围成.在此区域内原有一个以为直径、为圆心的半圆形展示区,该广告商欲在此基础上,将其改建成一个凸四边形的展示区,其中、分别在半圆与半圆的圆弧上,且与半圆相切于点.已知长为40米,设为.(上述图形均视作在同一平面内)(1)记四边形的周长为,求的表达式;(2)要使改建成的展示区的面积最大,求的值.19.(12分)已知椭圆,左、右焦点为,点为上任意一点,若的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆的方程;(2)动直线过点与交于两点,在轴上是否存在定点,使成立,说明理由.20.(12分)如图是圆的直径,垂直于圆所在的平面,为圆周上不同于的任意一点(1)求证:平面平面;(2)设为的中点,为上的动点(不与重合)求二面角的正切值的最小值21.(12分)在中,角,,的对边分别为,,,,,且的面积为.(1)求;(2)求的周长.22.(10分)已知等差数列an,和等比数列b(I)求数列{an}(II)求数列n2an⋅a
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
当时,函数周期为,画出函数图像,如图所示,方程两个不同实根,即函数和有图像两个交点,计算,,根据图像得到答案.【详解】当时,,故函数周期为,画出函数图像,如图所示:方程,即,即函数和有两个交点.,,故,,,,.根据图像知:.故选:.【点睛】本题考查了函数的零点问题,确定函数周期画出函数图像是解题的关键.2、B【解析】
根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域,即可排除错误选项,得到函数图象,即可求解.【详解】由题意,当时,P与A重合,则与B重合,所以,故排除C,D选项;当时,,由图象可知选B.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.3、B【解析】
依照偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f(﹣x)=f(x),且定义域关于原点对称,a﹣1=﹣2a,即可得解.【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称,且f(x)是定义在[a–1,2a]上的偶函数,得a–1=–2a,解得a=,又f(–x)=f(x),∴b=0,∴a+b=.故选B.【点睛】本题考查偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f(﹣x)=f(x);奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称,定义域区间两个端点互为相反数.4、A【解析】
先由题意可得数列为等差数列,再根据,,可求出公差,即可求出.【详解】数列满足,则数列为等差数列,,,,,,,故选:.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.5、B【解析】
根据函数图象的平移变换公式求出函数的解析式,再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.【详解】因为f(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1,由图象的平移变换公式知,函数g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1,其最小正周期为,故②正确;令3x+=kπ+,得x=+(k∈Z),所以x=不是对称轴,故①错误;令3x+=kπ,得x=-(k∈Z),取k=2,得x=,故函数g(x)的图象关于点(,1)对称,故③正确;令2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈Z,得-≤x≤+,取k=2,得≤x≤,取k=3,得≤x≤,故④错误;故选:B【点睛】本题考查图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质;考查运算求解能力和整体代换思想;熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型6、A【解析】
首先判断函数的奇偶性,再根据特殊值即可利用排除法解得;【详解】解:依题意,,故函数为偶函数,图象关于轴对称,排除C;而,排除B;,排除D.故选:.【点睛】本题考查函数图象的识别,函数的奇偶性的应用,属于基础题.7、D【解析】
该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题,可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题,结合图形,可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决,从而求得切点坐标,即满足条件的点,代入求得结果.【详解】由题意可得,其结果应为曲线上的点与以为圆心,以为半径的圆上的点的距离的平方的最小值,可以求曲线上的点与圆心的距离的最小值,在曲线上取一点,曲线有在点M处的切线的斜率为,从而有,即,整理得,解得,所以点满足条件,其到圆心的距离为,故其结果为,故选D.【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用,考查圆的程,两条直线垂直的斜率关系,属中档题.8、A【解析】
算出集合A、B及,再求补集即可.【详解】由,得,所以,又,所以,故或.故选:A.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.9、C【解析】试题分析:根据题意,当时,令,得;当时,令,得,故输入的实数值的个数为1.考点:程序框图.10、D【解析】
由题知,又,代入计算可得.【详解】由题知,又.故选:D【点睛】本题主要考查了三角函数的定义,诱导公式,二倍角公式的应用求值.11、D【解析】
将复数化简得,,即可得到对应的点为,即可得出结果.【详解】,对应的点位于第四象限.故选:.【点睛】本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.12、C【解析】
在长方体中,得与平面交于,过做于,可证平面,可得为所求解的角,解,即可求出结论.【详解】在长方体中,平面即为平面,过做于,平面,平面,平面,为与平面所成角,在,,直线与平面所成角的余弦值为.故选:C.【点睛】本题考查直线与平面所成的角,定义法求空间角要体现“做”“证”“算”,三步骤缺一不可,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
设,则,得到,,利用向量的数量积的运算,即可求解.【详解】由题意,如图所示,设,则,又由,,所以为的中点,为的三等分点,则,,所以.【点睛】本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算,其中解答中熟记向量的线性运算法则,以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.14、【解析】
①根据向量数量积的坐标表示结合两角差的正弦公式的逆用即可得解;②结合①求出,根据面积公式即可得解.【详解】①2(sin32°•cos77°﹣cos32°•sin77°),②,,∴,∴.故答案为:.【点睛】此题考查平面向量与三角函数解三角形综合应用,涉及平面向量数量积的坐标表示,三角恒等变换,根据三角形面积公式求解三角形面积,综合性强.15、【解析】
先画出满足条件的平面区域,求出交点坐标,利用定积分即可求解.【详解】画出实数x,y满足表示的平面区域,如图(阴影部分):则阴影部分的面积,故答案为:【点睛】本题考查了定积分求曲边梯形的面积,考查了微积分基本定理,属于基础题.16、【解析】
由正弦定理可得点在曲线上,设,则,将代入可得,利用二次函数的性质可得范围.【详解】解:由正弦定理得,则点在曲线上,设,则,,又,,因为,则,即的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查双曲线的定义,考查向量数量积的坐标运算,考查学生计算能力,有一定的综合性,但难度不大.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2)【解析】
(1)先设等差数列{an}的公差为d(d>0),然后根据等差数列的通项公式及已知条件可列出关于d的方程,解出d的值,即可得到数列{an}的通项an;(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{bn}的通项公式,然后运用错位相减法计算前n项和Tn.【详解】(1)由题意,设等差数列{an}的公差为d(d>0),则a4a5=(1+3d)(1+4d)=11,整理,得12d2+7d﹣10=0,解得d(舍去),或d,∴an=1(n﹣1),n∈N*.(2)由(1)知,bn=an⋅3n•3n=(2n+1)•3n﹣1,∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=3×1+5×31+7×32+…+(2n+1)•3n﹣1,∴3Tn=3×31+5×32+…+(2n﹣1)•3n﹣1+(2n+1)•3n,两式相减,可得:﹣2Tn=3×1+2×31+2×32+…+2•3n﹣1﹣(2n+1)•3n=3+2×(31+32+…+3n﹣1)﹣(2n+1)•3n=3+2(2n+1)•3n=﹣2n•3n,∴Tn=n•3n.【点睛】本题主要考查等差数列基本量的计算,以及运用错位相减法计算前n项和.考查了转化与化归思想,方程思想,错位相减法的运用,以及逻辑思维能力和数学运算能力.属于中档题.18、(1),.(2)【解析】
(1)由余弦定理的,然后根据直线与圆相切的性质求出,从而求出;(2)求得的表达式,通过求导研究函数的单调性求得最大值.【详解】解:(1)连.由条件得.在三角形中,,,,由余弦定理,得,因为与半圆相切于,所以,所以,所以.所以四边形的周长为,.(2)设四边形的面积为,则,.所以,.令,得列表:+0-增最大值减答:要使改建成的展示区的面积最大,的值为.【点睛】本题考查余弦定理、直线与圆的位置关系、导数与函数最值的关系,考查考生的逻辑思维能力,运算求解能力,以及函数与方程的思想.19、(1)(2)存在;详见解析【解析】
(1)由椭圆的性质得,解得后可得,从而得椭圆方程;(2)设,当直线斜率存在时,设为,代入椭圆方程,整理后应用韦达定理得,代入=0由恒成立问题可求得.验证斜率不存在时也适合即得.【详解】解:(1)由题易知解得,所以椭圆方程为(2)设当直线斜率存在时,设为与椭圆方程联立得,显然所以因为化简解得即所以此时存在定点满足题意当直线斜率不存在时,显然也满足综上所述,存在定点,使成立【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查直线与椭圆相交问题中的定点问题,解题方法是设而不求的思想方法.设而不求思想方法是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法,只要涉及交点坐标,一般就用此法.20、(1)见解析(2)【解析】
(1)推导出,,从而平面,由面面垂直的判定定理即可得证.(2)过作,以为坐标原点,建立如图所示空间坐标系,设,利用空间向量法表示出二面角的余弦值,当余弦值取得最大时,正切值求得最小值;【详解】(1)因为,面,,平面,平面,平面,又平面,平面平面;(2)过作,以为坐标原点,建立如图所示空间坐标系,则,设,则平面的一个法向量为设平面的一个法向量为则,即,令,如图二面角的平面角为锐角,设二面角为,则,时取得最大值,最大值为,则最小值为【点睛】本题考查面面垂直的证明,利用空间向量法解决立体几何问题,属于中档题
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