浙江省宁波市古林中学2024-2025学年七年级上学期数学竞赛试卷（含解析）

古林中学初一数学竞赛试卷一、单选题(每题4分,共32分)1.若3a2−A.1B.-1C.19D.-192.若三个非零有理数a,b,c,满足A.a>b>c或b>cC.a>c>b或c>a3.小明在某月的日历上圈出三个数a,B.C.D.4.如图,已知数轴上点A,B,C所对应的数a,b,c都不为0,且A.A的左边B.A与C之间C.C与B之间D.B的右边5.如果M=12×3A.M<NB.M=NC.M6.一只小虫在数轴上从A点出发,第1次向正方向爬行1个单位后,第2次向负方向爬行2个单位,第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律,它第2023次刚好爬到数轴上的原点处,小虫爬行过程中经过数轴上-50这个数的次数是()A.99B.100C.101D.1027.若x、y、z为互不相等的正整数,且xyA.5种B.6种C.7种D.8种8.在长方形ABCD中放入3个正方形如图所示,若AI=CJ,A.BFB.EHC.CGD.BC二、填空题(每题5分,共20分)9.如图是用黑白两种颜色的正六边形拼成的图案,按此规律,第n(n为正整数)个图案中白色正六边形比黑色正六边形多_____个.(用含n的代数式表示)第1个图案第2个图案第3个图案10.老师规定[x)表示大于x的最小整数,如:[3①[0)=0;③[x)−x的最大值是1;④存在有理数x11.若a、b、c为整数,且a−12.已知关于x的绝对值方程2x−1三、解答题(第13题12分,第14题10分,第15题10分,第16题10分,第17题14分,第18题12分,共六题)13.(12分)计算题:(1)1−20244×14.(10分)求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如2÷2÷2,−3÷−3÷−3÷−3等.类比有理数的乘方,我们把(1)直接写出计算结果:2③=_____,(2)我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?除方→2仿照上图的算式,将下列运算结果直接写成乘方的形式.−(3)由(2)中的算式归纳:有理数aa≠0(4)计算27÷15.(10分)对于有理数x,y,a,t,若x−a+y−(1)-1和5关于4的“友谊数”为_____；(2)若2k和1关于3的“友谊数”为4,求k的值；(3)若x0和x1关于1的“友谊数”为1,x1和x2关于2的“友谊数”为1,①x0②x116.(10分)阅读理解:对于数轴上任意一点P,把与点P相距a个单位长度(a是正数)的两点所表示的数分别记作x和y(其中x<y),并把x,y这两个数叫做“点P关于a的对称数组”,记作MP,a=<x(1)如果点P表示数1,那么点P关于2的对称数组是_____；(2)如果MP,a=<−3(3)如果P表示数3,MP，a=<−2018(4)如果P、Q是数轴上两个动点,MP,3=<x,y>,M17.(14分)综合与实践阅读下列材料:进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统,约定逢十进一就是十进制,逢二进一就是二进制.也就是说,“逢几进一”就是几进制,几进制的基数就是几.为了区分不同的进位制,常在数的右下角标明基数.例如:(1101)2就是二进制数1101的简单写法,十进制数一般不标注基数,abcn表示这个n进制数从右起,第一位上的数字为c,第二位上的数字为b,第三位上的数字为a.一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.例如十进制数5678=5×103+6×102+7×101+8×100(当根据上述材料,解答下列问题.(1)①把二进制数(1011)2转换为十进制数；②把十进制数29转换为二进制数.(2)把十进制数63转换为五进制数；(3)若一个三进制数转换为十进制数为m,一个四进制数转换为十进制数为n,当m+①判断(1210)3与(303)4是否互为“久久数”,并说明理由；②若ab013与a3b4互为“久久数”,求18.(12分)在n×n棋盘中n≥2024.11古林中学初一数学竞赛试卷全解全析一、单选题(每题4分,共32分)1.解析：由3a2−4a−选B.2.解析：当a>0时,由于ab<ac,则b<c,又abc<0,则b<0,c>0,由题意a>c,故a>c>b;当a<故选B.解析：设最小的数a=对于A选项:此时b=x+7,对于B选项,则a+b+对于C选项,则a+b+对于D选项,则a+b+故选D.4.解析：C是AB的中点,则a+b=2c,则a−2c=−b,b−2c=−a,故a+b−a−2c+b−故选B.5.解析：设M′=2故M<故选A.解析：第1次以后相邻两次两两配对(如第2次和第3次)记为一组,合计向正方向爬行1个单位,故第2023次后小虫共计向正方向爬行1012个单位,故A点代表的数为-1012.而-50-(-1012)=962,故小虫爬行了962故选C.解析：2250①若x,y,②若x=③若y=1,则④若z=1,则y=3或5或15,对应的综上x+故选A.解析：设CG=x,BF=y,FG=z.由题MN=PQ,则EH=x+故选B.二、填空题(每题5分,共20分)9.解析：找规律可得,第n个图案中黑色正六边形有n个,白色正六边形有4n+故多3n+10.解析：①大于0的最小整数是1,故错误;②③由题x<[x)≤④取x=故正确的有:③④.11.解析：由于a、b、c为整数,且a−①a−b=1,②a−b=0,故a−12.解析：(i)x−1−2=(ii)x−1−2=−由于只有三个解,故有两个相等,①−a2−1=a2+313.解析：(1)设12原式==−M(2)原式==50614.解析：(1)2⊗(2)由观察可得,第一个除法得到的结果为1,因此乘方数等于2减除方数,因此−3(3)由第二小题推论可得:a2(4)原式====−115.解析：(1)6;(2)2k−3+1−3=4,解得k=52或k=12；(3)我们先来考虑如下绝对值方程:xn−k+xn+1−k=1.显然综上,2k−1≤②将k=2,4,…,16.解析：1<−(2)P为x,y的中点,故点P表示的数是1,(3)−2018+y(4)由题意得,x=当y−m=由两点同时从原点出发反向运动,且点Q的速度是点P速度的2倍,故Q=−2P,代入P+17.解析：(1)①1×②∵2∴29所以29转换为二进制数为111012(2)同(1)的②,可得63=63转换为五进制数为(223)5；(3)①12103与303(1210)3:303448+51=②由题意得,aa∴43a∵1≤a∴a解析：设每个格子上各有一个数,初始值为0,每次操作会使得当前格子上的数字+1,目标显然为让格子上的所有格子都变为奇数,做一次操作时,会让所有格子的数字总和+4,x当n为奇数时,最终目标状态的所有格子上的数字的总和为奇数,但4x必定为偶数,矛盾∴当n为奇数时,不能.当n为偶数时,分情况讨论①n=可以构造出一个4×基于该4×4的格子可以拼出任意∴当n=②n=考