湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题（含答案）

1PAGE第7页高三年级12月份月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数满足（其中为虚数单位），则（）A．1 B．2 C． D．52．已知集合，，则（）A． B． C． D．3．有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（）A．平均数 B．第50百分位数 C．极差 D．众数4．已知，且，则的值为（）A． B． C． D．5．已知函数QUOTE是减函数，则的取值范围为（）A． B． C． D．6．已知数列的前项和为，且，，则的值为（）A． B． C． D．7．若直线与曲线相切，则的取值范围为（）A． B． C． D．8．已知分别为双曲线的左，右焦点，点为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．已知直线与圆，则（）A．直线过定点 B．圆的半径为4C．直线与圆一定相交 D．圆心到直线的距离的最大值是110．已知函数，则下列说法正确的是（）A．是的一个周期 B．的图象关于点中心对称C．在区间上的零点个数为4 D．的最大值为11．已知正方体的棱长为3，为正方体表面上的一个动点，为线段上的动点，．则下列说法正确的是（）A．当点在侧面（含边界）内时，为定值B．当点在侧面（含边界）内时，直线与直线所成角的大小为C．当点在侧面（含边界）内时，对任意点，总存在点，使得D．点的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中，常数项为__________．13．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球．第一次从红箱内取出一球，观察颜色后放回原处；第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内再取出一球，则第二次取到红球的概率为__________．14．已知函数，满足，且，则QUOTE的最小值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分15．（本题满分13分）已知内角的对边分别为，，且．（1）求边的值；（2）若为边的中点，，求的面积．16．（本题满分15分）已知数列满足QUOTE，（1）求证：数列QUOTE是等差数列；（2）令，QUOTE求数列的前的和．17．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是等边三角形，平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．（1）若为棱的中点，为棱的中点，求证：平面平面．（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．18．（本题满分17分）已知函数（1）求的单调性;（2）若有两个不相同的零点，，设的导函数为．证明：19．（本题满分17分）黄冈地处湖北省东部，以山带水，胜迹如云．为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来黄冈旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观罗田天堂寨，另外的人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁．每位游客若只参观罗田天堂寨，则记1分；若既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，则记2分．假设每位首次来黄冈旅游的游客计划是否游览东坡赤壁相互独立，视频率为概率．（1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望；（2）从游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求；（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．答案选择题1234567891011CBACDDCBACDABDACD三、填空题12．613．14．9四、解答题15．解：（1）因为，由正弦定理得：，且，所以．（2）延长至点，满足，连接，在中，由余弦定理得：，因为，，代入上式整理得：，所以所以．16．（1）略（2）17．（1）因为分别是的中点，所以//，在矩形中，，所以，又平面，平面，所以平面．又是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面．因为，，平面，所以平面平面．（2）假设在棱上存在点满足题意．在等边三角形中，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以是四棱锥的高．设，则，，所以，所以．以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，18．（1）∵，，当时，恒成立，当时，令，解得，令，解得，∴当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．证明：（2）∵有两个不相同的零点，∴由（1）知，，，，，∴，不妨设，令，则．构造函数，则恒成立，∴在上单调递增，则，∴成立．19．由题意得，随机变量的可能取值为2，3，4，可得，，．所以的分布列如下表所示：234所以，数学期望为．【小问2解析】由这人的合计得分为分，则其中只有1人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，所以，则，由两式相减，可得，，所以．【小问3解析】在随机抽取的若干人的合