2022届黑龙江省大庆市高三上学期第一次教学质量检测数学（理）试题 附答案

大庆市高三年级第一次教学质量检测理科数学试题第1页共3页大庆市高三年级第一次教学质量检测试题数学（理）2021.11本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则A． B．C．D．2.若复数，则的虚部为A． B． C． D．3.命题“，”的否定是A．， B．，C．， D．，4.某团支部随机抽取甲乙两位同学连续9期“青年大学习”的成绩（单位：分），得到如图所示的成绩茎叶图，关于这9期的成绩，下列说法正确的是A.甲成绩的中位数为32 B.乙成绩的极差为40C.甲乙两人成绩的众数相等 D.甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数5.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是A. B.C.D.6.与双曲线共焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为A．B． C． D．7.函数的最大值为A.B.C.D.8.已知等差数列中，为其前项和，，，则A.B.C.D.9.已知向量，下列说法正确的是A．，与的夹角不小于B．，C．，使得D．，使得10.定义新运算“”：，则下列计算错误的是A． B．C. D.11.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点，的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，间的距离为，动点满足，则的最大值为A．B．C． D．12.设，，，其中是自然对数的底数，则A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13.抛物线的焦点坐标为,则的值为.14.若实数满足不等式组，则的最大值为.15.在中，角的对边分别为，设的面积为，若，则的最大值为.16.如图，矩形中，为的中点，，将沿直线翻折成（不在平面内），连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是.①平面②存在某个位置，使得③线段长度为定值④当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列是等差数列，，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．18.（本小题满分12分）国际学生评估项目（PISA），是经济合作与发展组织（OECD）举办的，该项目的内容是对15岁学生的阅读、数学、科学能力进行评价研究．在2020年的79个参测国家（地区）的抽样测试中，中国四省市（北京、上海、江苏、浙江）作为一个整体在所有参测国家（地区）中取得各项科目都第一的好成绩，某机构为了分析测试结果优劣的原因，从参加测试的中国学生中随机抽取了200名学生进行调研，得到如下统计数据：成绩优秀成绩一般总计家长高度重视学生教育90家长重视学生教育程度一般30总计12080200若从上表“家长高度重视学生教育”的参测学生中随机抽取一人，则选到的是“成绩一般”的学生的概率为．（Ⅰ）判断是否有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关；（Ⅱ）现从成绩优秀的学生中按照分层抽样的方法抽取20人．进行“家长对学生情感支持”的调查，再从这20人中抽取3人进行“学生家庭教育资源保障”的调查．记进行“学生家庭教育资源保障”调查中抽取到“家长高度重视学生教育”的人数为，求的分布列和数学期望．附：，．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819.（本小题满分12分）如图，平面，四边形为直角梯形，，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，点在线段上，且，求二面角的余弦值的绝对值．20.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其离心率为.椭圆的左、右顶点分别为，，且.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于点，（不与顶点重合），过右顶点分别作直线，与直线相交于，两点，以为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）当时，证明：；（Ⅱ）是否存在不相等的正实数，，满足，且？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线与曲线公共点的极坐标；（Ⅱ）若点的极坐标为，设曲线与轴相交于点，点在曲线上，满足，求出点的直角坐标.23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）设函数的最小值为，若实数，，满足，求的最大值．

黑龙江省大庆市2022届高三第一次教学质量检测数学（理）试题参考答案一．二．13．14．15．16．=1\*GB3①=3\*GB3③=4\*GB3④17．解：（1）由成等差数列，设公差为,则……………3分∴；…………6分（2）由（1）可得，……8分∴10分……………12分18．解：（1）由条件知，解得，，，，2分由题意得，，4分有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关．...6分（2）从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取20人，则“家长高度重视学生教育”的应抽取15人，“家长重视学生教育度一般”的应抽取5人．由题意，的所有可能取值为0，1，2，3．7分，，，．9分的分布列为012310分数学期望．12分19.解（1）证明：由题意易知．作，垂足为H，则，故．………2分，则．由平面平面，则．…4分平面平面，且，平面．…5分由平面，则．…6分（2）解：因为，且，所以．以A为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．7分则，8分从而．…8分设平面的法向量为．则令，得．…9分设平面的法向量为，则令，得．…10分设二面角为，由图可知为锐角，则．…12分解：（Ⅰ）由离心率.且左右顶点间距离为，所以，，，2分∴椭圆的标准方程为.…………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入椭圆的方程，整理得.………………6分设，，则，②由直线，令，得，同理，…………8分∴以为直径的圆的方程为，即，③由②得，代入③得圆的方程为.…………10分若圆过定点，则…………11分解得或∴以为直径的圆恒过两定点，.…………12分21.解（1）当时，，即，也即.令，则.………2分由得，.当时，，是减函数；当时，，是增函数.∴，所以原不等式成立.………4分（2）由及得，即.由于为不相等的正实数，则问题转化为关于的方程有不等于1的正实根.5分令，当时，若，则，若，则，∴当时，方程没有不等于1的正实根；………7分当时，令，得，当时，，是减函数；当时，，是增函数，∴的最小值为，又，当，即时，是函数唯一的零点，不合题意；………………9分当，即时，，.令，则，∴当时，，是减函数，当时，，是增函数，由此，显然.………10分∴在上存在零点.当，即时，，∴，，则在上存在零点11分综上所述，的取值范围是.………12分22、解：（1）由题知，曲线消去参数得到曲线的直角坐标方程为，曲线消去参数得到曲线的直角坐标方程为，2分联立与的直角坐标方程解得或，故两曲线的公共点的直角坐标为和，…………3分∴曲线与曲线的公共点的极坐标为，；………………5分（2）点的直角坐标为，点的直角坐标为，假设存在点满足条件，不妨设点，则，……………7分因为，所以，即，且，得，化简得，联立，得或，所以点或（舍）