2024-2025学年浙江省杭州十三中九年级（上）月考数学试卷（12月份）

第1页（共1页）2024-2025学年浙江省杭州十三中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（）A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件2．（3分）将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线解析式为（）A．y＝2（x﹣3）2+4 B．y＝﹣2（x+3）2+4 C．y＝﹣2（x+3）2﹣4 D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣43．（3分）若△ABC∽△DEF，若∠A＝50°，∠B＝60°（）A．50° B．60° C．70° D．80°4．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°（）A．88° B．92° C．106° D．136°5．（3分）如图，下列条件不能判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠1＝∠2，∠B＝∠D B． C．∠1＝∠2， D．∠1＝∠2，6．（3分）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），AB＝4（）A． B． C． D．7．（3分）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m+n）（a＜0，m，n是实数），则（）A．当n＝﹣4时，函数y的最大值为﹣2a B．当n＝﹣2时，函数y的最大值为﹣2a C．当n＝﹣4时，函数y的最大值为﹣4a D．当n＝﹣2时，函数y的最大值为﹣4a8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC分别交于点D，E，连接AE，若∠BED＝45°，AB＝2（）A． B． C． D．π9．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＞0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．若点A，B都在直线y＝﹣3a的下方，且y1＞y2，则m的取值范围是（）A． B． C． D．m＜210．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，把沿着BC折叠交弦AB于点D，若AB＝4，OD＝1（）A．OD⊥AB B．点D为的中点 C．＝ D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率显示出一定的稳定性．（精确到0.001）12．（3分）如果抛物线y＝x2+2x+m的顶点在x轴上，那么m的值为．13．（3分）如图，已知在△ABC中，点F是三角形的重心，交BC与点G，过点F作DE∥BC，交AC于点E，若DE＝6．14．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c≥0的解集为．15．（3分）如图，已知，点D是线段BC上的点，BD：CD＝1：2，AE：ED＝2：3．16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（不与点B、C重合），AE＝EF，FG⊥BC交BC延长线于点G，连结AF交CD于点H，点P是AF的中点①∠ABP的度数为°；②当时，＝．（用m的代数式表示）三、解答题（本题共有8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）17．（8分）按要求进行计算．（1）已知x＝3y，求的值．（2）已知，且x+y+z＝18，求x的值．18．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有A（0，4），B（4，4），C（6，2）（1）经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为；（2）点A绕点B逆时针旋转90°后的点D的坐标为，此时点A旋转到点D所经过的路径长为（结果保留π）．19．（8分）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为A、B、C、D四个等级根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）参加知识竞赛的学生共有人；（2）扇形统计图中，m＝，C等级对应的圆心角为度；（3）小永是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选2人，参加区举办的知识竞赛，求小永被选中参加区知识竞赛的概率．20．（8分）如图，在▱ABCD中，点E在AD的延长线上（1）求证：△ABE∽△CFB；（2）若△DEF的面积为4，，求△ABE的面积．21．（8分）现有成135°角且足够长的墙角和可建总长为15m栅栏的建筑材料来修建花坛．（材料要用完）（1）如图1，修建成四边形ABCD的一个花坛，使BC∥AD，线段BC，CD为新建栅栏，当CD为多少米时，此时花坛的面积最大？（2）爱动脑筋的小聪建议：把新建的栅栏建成如图2所示的以A为圆心的圆弧BD，这样修建的花坛面积会更大．聪明的你认为小聪的建议合理吗？请说明理由．22．（10分）问题情境：如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，假定在水流量稳定的情况下，每旋转一周用时120秒．问题设置：如图2，把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．筒车涉水宽度AB＝3.6m，筒车涉水深度（劣弧AB中点E到水面AB的距离）问题解决：（1）求该筒车半径r．（2）筒车开始工作时，⊙O上C处的某盛水筒到水面AB的距离是0.9m，经过85秒后①求∠COD的度数．②当盛水筒旋转至D处时，求它到水面AB的距离．23．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣3，9），对称轴为直线．（1）求二次函数的表达式；（2）若点B（1，6）向左平移m（m＞0）个单位长度（m+4）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值；（3）当﹣3≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为6.25，求n的取值范围．24．（12分）如图，等腰△ABD内接于⊙O，BA＝BD．点C是劣弧BD上的动点，AC与BD相交于点E．（1）如图1，若∠ABD＝α°，BE＝BC．①求∠DBC的度数；（用含α的代数式表示）②若，求的值．（2）如图2，当AC刚好过圆心O，且AB＝4BC，时

2024-2025学年浙江省杭州十三中九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析题号12345678910答案BDCDCDCABB一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（）A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件【解答】解：抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件．故选：B．2．（3分）将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线解析式为（）A．y＝2（x﹣3）2+4 B．y＝﹣2（x+3）2+4 C．y＝﹣2（x+3）2﹣4 D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣4【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（3，0），向右平移3个单位，再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为（3，所以，所得图象的解析式为y＝﹣2（x﹣7）2﹣4，故选：D．3．（3分）若△ABC∽△DEF，若∠A＝50°，∠B＝60°（）A．50° B．60° C．70° D．80°【解答】解：在△ABC中，∠A＝50°，∴∠C＝70°，又∵△ABC∽△DEF，∴∠F＝∠C＝70°．故选：C．4．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°（）A．88° B．92° C．106° D．136°【解答】解：∵∠BOD＝88°，∴∠BAD＝88°÷2＝44°，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣44°＝136°，即∠BCD的度数是136°．故选：D．5．（3分）如图，下列条件不能判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠1＝∠2，∠B＝∠D B． C．∠1＝∠2， D．∠1＝∠2，【解答】解：若∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE，又∵∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE，故选项A不符合题意；若，∴△ABC∽△ADE，故选项B不符合题意；若∠3＝∠2，，不能证明△ABC∽△ADE；若∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠DAE，又∵，∴△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意；故选：C．6．（3分）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），AB＝4（）A． B． C． D．【解答】解：设线段BC的长为x，则AC＝4﹣x，根据黄金分割定义，得（4﹣x）4＝4x，解得，x1＝3﹣2，x6＝6+2（不符合题意，所以BC＝6﹣2．故选：D．7．（3分）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m+n）（a＜0，m，n是实数），则（）A．当n＝﹣4时，函数y的最大值为﹣2a B．当n＝﹣2时，函数y的最大值为﹣2a C．当n＝﹣4时，函数y的最大值为﹣4a D．当n＝﹣2时，函数y的最大值为﹣4a【解答】解：由题意，令y＝0，∴a（x﹣m）（x﹣m+n）＝0，∴x5＝m，x2＝m﹣n．∴抛物线与x轴的交点坐标是（m，0），6）．∴抛物线对称轴是直线：．由a＜0可知y有最大值．当，y最大，即，当n＝﹣4时，函数y的最大值为y＝﹣4a；当n＝﹣6时，函数y的最大值为y＝﹣a．综上，C选项正确．故选：C．8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC分别交于点D，E，连接AE，若∠BED＝45°，AB＝2（）A． B． C． D．π【解答】解：连接OE，OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∵AB＝AC，∴BE＝CE，即点E是BC的中点，∵点O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AB，∴S△AOD＝S△AED，∴S阴影＝S扇形OAD，∵∠AEC＝90°，∴∠AEB＝90°，∵∠BED＝45°，∴∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°，∴，∴，故选：A．9．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＞0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．若点A，B都在直线y＝﹣3a的下方，且y1＞y2，则m的取值范围是（）A． B． C． D．m＜2【解答】解：∵a＞0，∴y＝﹣3a＜6，∵A（m，y1）和B（2m，y6）两点都在直线y＝﹣3a的下方，∴am2﹣4am＜﹣3a，∴m2﹣5m+3＜0，解得：4＜m＜3①，又∵y1＞y8，∴am2﹣4am＞2am2﹣8am，∴6am2＜4am，∵a＞6，m＞0，∴②，由①②，得．故选：B．10．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，把沿着BC折叠交弦AB于点D，若AB＝4，OD＝1（）A．OD⊥AB B．点D为的中点 C．＝ D．【解答】解：如图，作直径AQ，OC，过点C作CE⊥AB于E，∵点D为AB的中点，∴OD⊥AB，故选项A正确，符合题意；∵AQ是⊙O的直径，∴∠ABQ＝90°，∵AB＝4，点D为AB的中点，∴AD＝BD＝2，∵AO＝OQ，∴OD是△ABQ的中位线，∴BQ＝3OD＝2，∴BD＝BQ，∴Q与D关于BC对称，∴OQ⊥BC，∴AQ与BC不垂直，∴Q不是的中点，∴点D不是的中点，故选项B错误，符合题意；∵Q与D关于BC对称，∴∠CBQ＝∠CBD＝∠ABQ＝45°，∴∠AOC＝∠COQ＝90°，∴＝＝，故选项C正确，不符合题意；在Rt△AOD中，∵AD＝2，∴AO＝＝，在Rt△AOC中，AC＝＝，∵∠CBE＝45°，∠CEB＝90°，∴△CEB是等腰直角三角形，∴CE＝BE，设BE＝x（2＜x＜4），则AE＝4﹣x，在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，∴（）2＝x5+（4﹣x）2，∴x4＝1（不符合题意，舍），x2＝8，∴BE＝3，∴BC＝＝6，故选项D正确，不符合题意；故选：B．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率显示出一定的稳定性0.440．（精确到0.001）【解答】解：由图可知，随着试验次数的增加，∴“凸面向上”的概率为0.440，故答案为：0.440．12．（3分）如果抛物线y＝x2+2x+m的顶点在x轴上，那么m的值为1．【解答】解：∵y＝x2+2x+m＝（x+2）2+m﹣1，∴抛物线顶点坐标为（﹣6，m﹣1），当抛物线顶点落在x轴上时，m﹣1＝4，∴m＝1．故答案为：1．13．（3分）如图，已知在△ABC中，点F是三角形的重心，交BC与点G，过点F作DE∥BC，交AC于点E，若DE＝69．【解答】解：连接CF并延长交AB于点H，连接GH，∵点F是△ABC的重心，∴AG与CH是△ABC的中线，∴点G、点H是BC，∴GH＝AC，∴，∴，∵DE∥BC，∴，∴BC＝＝＝9．故答案为：9．14．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c≥0的解集为﹣5≤x≤3．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣6，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为（3，4），∴不等式ax2+bx+c≥0的解集为﹣6≤x≤3．故答案为：﹣5≤x≤5．15．（3分）如图，已知，点D是线段BC上的点，BD：CD＝1：2，AE：ED＝2：3．【解答】解：如图，过点D作DH∥BF，∴＝，∴设AF＝8x，FH＝3x，∵DH∥BF，∴＝，∴CH＝6x，∴CF＝9x，∴AF：CF＝，故答案为：．16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（不与点B、C重合），AE＝EF，FG⊥BC交BC延长线于点G，连结AF交CD于点H，点P是AF的中点①∠ABP的度数为45°；②当时，＝．（用m的代数式表示）【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∵FG⊥BC，∴∠G＝90°，∵∠B＝∠G，∠BAE＝∠GEF，∴△ABE≌△EGF（AAS）；∴∠AEB＝∠EFG，∴∠AEB+∠GEF＝∠AEB+∠BAE＝90°，即∠AEF＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∵点P是AF的中点，∴EP⊥AF，∴∠APE＝90°，∠AEP＝∠FEP＝45°，∵∠ABE＝90°，∴A、B、E、P四点共圆，∴∠ABP＝∠AEP＝45°；故答案为：45；②∵△ABE≌△EGF，∴AB＝EG＝BC，BE＝FG，∴BE＝CG＝FG，∵FQ⊥CD，∴∠FQC＝∠FGC＝∠GCQ＝90°，∴四边形CGFQ是正方形，∴CG＝FG，连接BD，由①得点P在∠ABC的平分线即正方形的对角线上，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥HD，∴△ABP∽△HDP，∴＝，∵m，∴HC＝mHD，∴DC＝DH+HC＝（m+1）HD，∴＝＝＝m+1，设AP＝PF＝（m+7）k，PH＝k，∴HF＝mk，∵AD∥FG，∴△ADH∽△FGH，∴＝＝，∴＝，故答案为：．三、解答题（本题共有8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）17．（8分）按要求进行计算．（1）已知x＝3y，求的值．（2）已知，且x+y+z＝18，求x的值．【解答】解：（1）∵x＝3y，∴＝＝＝4；（2）设＝k，∴x＝2k，y＝7k，∵x+y+z＝18，∴2k+3k+2k＝18，解得：k＝2，∴x＝4．18．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有A（0，4），B（4，4），C（6，2）（1）经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为（2，0）；（2）点A绕点B逆时针旋转90°后的点D的坐标为（4，0），此时点A旋转到点D所经过的路径长为2π（结果保留π）．【解答】解：（1）根据图中的数据分析可得：点M坐标为（2，0），故答案为：（8，0）；（2）点A绕点B逆时针旋转90°后的点D的坐标为（4，7），此时点A旋转到点D所经过的路径长为2π×4＝2π．故答案为：（3，0）．19．（8分）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为A、B、C、D四个等级根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）参加知识竞赛的学生共有40人；（2）扇形统计图中，m＝10，C等级对应的圆心角为144度；（3）小永是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选2人，参加区举办的知识竞赛，求小永被选中参加区知识竞赛的概率．【解答】解：（1）参加知识竞赛的学生共有：12÷30%＝40（人）；故答案为：40；（2）m%＝×100%＝10%；C等级对应的圆心角为：360°×（1﹣20%﹣10%﹣30%）＝144°；故答案为：10，144；（3）小永用A表示，其他5名同学分别用B、C，根据题意画图如下：共有12种等可能的情况数，其中小永被选中参加区知识竞赛的有6种，则小永被选中参加区知识竞赛的概率是＝．20．（8分）如图，在▱ABCD中，点E在AD的延长线上（1）求证：△ABE∽△CFB；（2）若△DEF的面积为4，，求△ABE的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠A＝∠C，∴∠CBE＝∠E，∴△ABE∽△CFB；（2）解∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△DEF∽△AEB，∵∴，∴S△DEF：S△AEB＝＝4：25，∵S△DEF＝2，∴S△ABE＝25．21．（8分）现有成135°角且足够长的墙角和可建总长为15m栅栏的建筑材料来修建花坛．（材料要用完）（1）如图1，修建成四边形ABCD的一个花坛，使BC∥AD，线段BC，CD为新建栅栏，当CD为多少米时，此时花坛的面积最大？（2）爱动脑筋的小聪建议：把新建的栅栏建成如图2所示的以A为圆心的圆弧BD，这样修建的花坛面积会更大．聪明的你认为小聪的建议合理吗？请说明理由．【解答】解：（1）如图所示：过点A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，则∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD＝45°，设DC＝AE＝xm，在Rt△AEB中，又∵∠AEB＝90°，∴∠B＝45°，∴AE＝BE＝xm，∴AD＝CE＝（15﹣2x）m，∴梯形ABCD面积S＝（AD+BC）•CD＝6+15x＝﹣（x﹣4）2+，∴当x＝2时，S最大＝；∴当CD长为5m时，才能使花坛的面积最大；（2）小聪建议合理．理由如下：由题意得＝15，∴AD＝，∴S＝＝，∵＞37.5，∴小聪的建议是合理的．22．（10分）问题情境：如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，假定在水流量稳定的情况下，每旋转一周用时120秒．问题设置：如图2，把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．筒车涉水宽度AB＝3.6m，筒车涉水深度（劣弧AB中点E到水面AB的距离）问题解决：（1）求该筒车半径r．（2）筒车开始工作时，⊙O上C处的某盛水筒到水面AB的距离是0.9m，经过85秒后①求∠COD的度数．②当盛水筒旋转至D处时，求它到水面AB的距离．【解答】解：（1）连接OA、OB，垂足为E，如图1，设半径为rm，即OA＝rm，由题意得EF＝0.6m，∴OE＝（r﹣0.6）m，由根据垂径定理可得AE＝AB＝1.2m，在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE6，即r2＝（1.7）2+（r﹣0.3）2，解得r＝3m，答：该筒车半径r为6m．（2）①过点D作DG⊥OE，过点C作CH⊥OE，∵筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120s，∴每秒旋转360°÷120＝3°，由于经过85s后该盛水筒旋转到点D处，∴∠COD＝360°﹣85×3°＝255°＝105°；②∵⊙O上C处的某盛水筒到水面AB的距离是4.9m，∴HE＝0.7m，∴OH＝r﹣EF﹣HE＝3﹣0.8﹣0.6＝3.5（m），∴sin∠OCH＝＝，∴∠OCH＝30°，∴∠COH＝90°﹣30°＝60°，∴∠DOE＝360°﹣255°﹣60°＝45°，∵∠DOE＝90°，∴△OGD为等腰直角三角形，∴OG＝DG，在Rt△OGD中，OG2+DG2＝OD4，∴OG＝DG＝，∴GE＝OE﹣OG＝（3﹣0.2﹣）＝．答：它到水面AB的距离为m．23．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣3，9），对称轴为直线．（1）求二次函数的表达式；（2）若点B（1，6）向左平移m（m＞0）个单位长度（m+4