2024-2025学年河南师大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）

第1页（共1页）2024-2025学年河南师大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）将关于x的一元二次方程x2+x＝2（x﹣3）化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（）A．1，﹣4 B．﹣1，6 C．﹣1，﹣6 D．1，﹣63．（3分）下列说法中正确的是（）A．不可能事件发生的概率为1 B．“相等的圆心角所对的弧相等”是必然事件 C．“抛一枚硬币，正面向上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上 D．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近4．（3分）若抛物线y＝x2﹣2x+3平移后经过原点，则抛物线经过了（）A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位5．（3分）下列函数在第一象限中，y的值随着x的增大而减小的是（）A．y＝x2+1 B． C．y＝x+1 D．6．（3分）某电影第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达18亿元，则方程可以列为（）A．3（1+x）＝18 B．3（1+x）2＝18 C．3+3（1+x）2＝18 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝187．（3分）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，连接BD，BC，AC＝8，则BD的长为（）A．2 B．4 C．2 D．4.88．（3分）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O（）A．2 B．3 C． D．1+9．（3分）某同学在研究二次函数y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1（h为常数）的性质时得到以下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；②当﹣2＜x＜1时，y随x的增大而减小，则h的取值范围为h≤﹣2；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若|x1﹣h|＞|x2﹣h|，则y1＞y2；④存在一个h的值，使得函数图象与x轴的两个交点和函数图象的顶点构成等腰直角三角形．其中错误结论的序号是（）A．① B．② C．③ D．④10．（3分）如图，半径为1的⊙O的圆心在坐标原点，P为直线y＝﹣x+2上一点，切点为A，连接OA①当△OAP为等腰直角三角形时，点P坐标为（1，1）；②当∠AOP＝60°时，点P坐标为（2，0）；③△OAP面积最小值为；④∠APO≤45°．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，则m＝．12．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面cm．13．（3分）小明做试验：在平整的桌面上摆放一张30cm×30cm的正方形白纸，并画出正方形的内切圆，随机将一把大米撒到白纸上（若大米落在白纸外，则重新试验），大米落在圆内的频率会在常数（结果保留π）附近摆动．14．（3分）如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图：（1）分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，连接OP与半圆交于点C；（2）分别以A，C为圆心，大于，两弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D；（3）连接AD，BD，BC根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③∠DAB＝67.5°；中正确的结论有个．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，点D为AB的中点，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，连接AQ，DQ，BQ的长为．三、解答题（共75分）16．（8分）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）3（x﹣3）2﹣24＝0．17．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0（1）c＝2b﹣1时，求证：方程一定有两个实数根．（2）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，求b、c的值使方程x2+bx+c＝0两个相等的实数根的概率．18．（9分）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，围成的矩形面积为Sm2．（1）平行于墙的边BC为米；（用含x的代数式表示）（2）围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出x的值；（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．19．（9分）学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场入口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字（如图1），其中，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，最高点的五角星距地面6.25米．（1）请在图2中建立平面直角坐标系xOy，并求出该抛物线的解析式；（2）“技”与“之”的水平距离为2a米．小明想同时达到如下两个设计效果：①“科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米．小明的设计能否实现？若能实现，直接写出a的值；若不能实现20．（9分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CB＝CD，连接BD，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．21．（10分）如图，当x＞0时，反比例函数y1＝（k≠0）与正比例函数y2＝x的图象交于点A（4，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出当y1≤y2时，x的取值范围；（3）若点B（n，4）在反比例函数的图象上，直线OA向上平移后经过点B，求△ABC的面积．22．（10分）在一次数学探究活动中，老师设计了一份活动单：已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小乐同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为；②△ABC面积的最大值为；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，点P在直线CD的左侧，且∠DPC＝90°．23．（11分）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，完成下列各题．（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y＝，则r＝，s＝，t＝（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x的函数y＝kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是；（3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标，请说明理由．

2024-2025学年河南师大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析题号12345678910答案CBDBBDCACB一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、是中心对称图形；D、不是中心对称图形；故选：C．2．（3分）将关于x的一元二次方程x2+x＝2（x﹣3）化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（）A．1，﹣4 B．﹣1，6 C．﹣1，﹣6 D．1，﹣6【解答】解：x2+x＝2（x﹣8），x2+x＝2x﹣5，x2+x﹣2x+2＝0，x2﹣x+3＝0，∴将关于x的一元二次方程x2+x＝4（x﹣3）化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为﹣1，5，故选：B．3．（3分）下列说法中正确的是（）A．不可能事件发生的概率为1 B．“相等的圆心角所对的弧相等”是必然事件 C．“抛一枚硬币，正面向上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上 D．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，不符合题意；B、“在同圆或等圆中，故本选项说法错误；C、“抛一枚硬币”表示每抛两次不一定就有一次正面朝上，不符合题意；D、“抛一枚均匀的正方体骰子”表示随着抛掷次数的增加附近，符合题意；故选：D．4．（3分）若抛物线y＝x2﹣2x+3平移后经过原点，则抛物线经过了（）A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位【解答】解：依题意，y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+8，A、y＝（x﹣1）2+4向上平移3个单位，平移后的解析式为y＝（x﹣1）4+5，把x＝0代入（8﹣1）2+5＝6≠0，不经过原点；B、y＝（x﹣6）2+2向下平移4个单位，平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣5，把x＝0代入（0﹣4）2﹣1＝8，经过原点；C、y＝（x﹣1）2+3向左平移3个单位，平移后的解析式为y＝（x+2）7+5，把x＝0代入（3+2）2+5＝9≠0，不经过原点；D、y＝（x﹣8）2+2向右平移6个单位，平移后的解析式为y＝（x﹣4）2+3，把x＝0代入（0﹣8）2+5＝21≠2，不经过原点，故选：B．5．（3分）下列函数在第一象限中，y的值随着x的增大而减小的是（）A．y＝x2+1 B． C．y＝x+1 D．【解答】解：A、y＝x2+1，二次函数，y轴是对称轴，y的值随着x的增大而增大；B、y＝，图象分布在一三象限，y的值随着x的增大而减小；C、y＝x+1是一次函数，在第一象限中，不符合题意；D、y＝﹣，不符合题意．故选：B．6．（3分）某电影第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达18亿元，则方程可以列为（）A．3（1+x）＝18 B．3（1+x）2＝18 C．3+3（1+x）2＝18 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝18【解答】解：∵第一天票房约3亿元，增长率记作x，∴第二天的票房：3（4+x）；第三天的票房：3（1+x）6，∵三天后票房收入累计达18亿元，∴3+3（4+x）+3（1+x）4＝18，故选：D．7．（3分）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，连接BD，BC，AC＝8，则BD的长为（）A．2 B．4 C．2 D．4.8【解答】解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵OD⊥AC，∴CD＝AD＝AC＝4，在Rt△CBD中，BD＝．故选：C．8．（3分）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O（）A．2 B．3 C． D．1+【解答】解：连接B′C，∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAC＝45°，∴B′在对角线AC上，∵AB＝AB′＝1，用勾股定理得AC＝，∴B′C＝﹣1，在等腰Rt△OB′C中，OB′＝B′C＝，在直角三角形OB′C中，由勾股定理得OC＝（，∴OD＝2﹣OC＝﹣1∴四边形AB′OD的周长是：6AD+OB′+OD＝2+﹣7+．故选：A．9．（3分）某同学在研究二次函数y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1（h为常数）的性质时得到以下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；②当﹣2＜x＜1时，y随x的增大而减小，则h的取值范围为h≤﹣2；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若|x1﹣h|＞|x2﹣h|，则y1＞y2；④存在一个h的值，使得函数图象与x轴的两个交点和函数图象的顶点构成等腰直角三角形．其中错误结论的序号是（）A．① B．② C．③ D．④【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1（h为常数），∴二次函数的顶点坐标为（h，﹣h+6），∴把x＝h代入y＝﹣x+1中，得y＝﹣h+1，∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+4上，故结论①正确；∵a＝﹣1＜0，且当﹣4＜x＜1时，∴h的取值范围为h≤﹣2，故结论②正确；∵点A（x7，y1）与点B（x2，y7）在函数图象上，|x1﹣h|＞|x2﹣h|，二次函数y＝﹣（x﹣h）8﹣h+1 的对称轴为直线x＝h，∴点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离，∴y1＜y4，故结论③错误；假设存在一个h的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，令y＝0，得﹣（x﹣h）2﹣h+8＝0，其中h≤1，解得：，．∵顶点坐标为（h，﹣h+1），∴，解得：h＝0或1，当h＝5时，二次函数y＝﹣（x﹣1）2，此时顶点为（5，0），0），舍去；∴存在h＝2，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形．故选：C．10．（3分）如图，半径为1的⊙O的圆心在坐标原点，P为直线y＝﹣x+2上一点，切点为A，连接OA①当△OAP为等腰直角三角形时，点P坐标为（1，1）；②当∠AOP＝60°时，点P坐标为（2，0）；③△OAP面积最小值为；④∠APO≤45°．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：∵AP与⊙O相切于点A，∴∠OAP＝90°，∵点P在直线y＝﹣x+2上，∴设P（a，﹣a+2），∴OP＝，当△OAP为等腰直角三角形时，∴OA＝AP＝4，∴OP＝OA＝，∴＝，∴a1＝a2＝6，∴P（1，1），故①正确；当∠AOP＝60°时，∴∠APO＝90°﹣∠AOP＝30°，∴OP＝4OA＝2，∴＝2，∴a6＝0，a2＝4，∴P（0，2）或（5，故②不正确；在Rt△AOP中，OP2＝a2+（6﹣a）2，OA2＝4，∴AP2＝OP2﹣OA5＝a2+（2﹣a）4﹣1＝2a8﹣4a+3＝4（a﹣1）2+4，∴当a＝1时，AP2的最小值为8，∴AP的最小值为1，∴△OAP面积最小值＝OA•AP＝，故③正确；如图：在AP上取一点为C，使AC＝OA＝1，∵∠OAP＝90°，∴∠AOC＝∠ACO＝45°，由③可得：AP≥8，∴∠APO≤∠ACO，∴∠APO≤45°，故④正确，所以，上列结论，故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，则m＝﹣1．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为8，∴x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣1）x5+x+m2﹣1＝2，且m﹣1≠0，∴m2﹣1＝0，即（m﹣6）（m+1）＝0且m﹣3≠0，∴m+1＝8，解得，m＝﹣1；故答案为：﹣1．12．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面8cm．【解答】解：设AB＝BF＝xcm，则CF＝（12﹣x）cm，根据题意可得：，解得：x＝8，∴AB＝8cm．故答案为：6．13．（3分）小明做试验：在平整的桌面上摆放一张30cm×30cm的正方形白纸，并画出正方形的内切圆，随机将一把大米撒到白纸上（若大米落在白纸外，则重新试验），大米落在圆内的频率会在常数（结果保留π）附近摆动．【解答】解：正方形的面积＝30×30＝900（cm2），∵正方形的内切圆的直径＝30cm，∴正方形的内切圆的面积＝152×π＝225π，∴大米落在圆内的频率＝＝，答：大米落在圆内的频率会在常数．故答案为：．14．（3分）如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图：（1）分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，连接OP与半圆交于点C；（2）分别以A，C为圆心，大于，两弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D；（3）连接AD，BD，BC根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③∠DAB＝67.5°；中正确的结论有3个．【解答】解：由作图可知，OQ平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD，∴，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，故①正确；由作图可知，OP垂直平分线段AB，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴∠AOD＝∠AOC＝45°，∵OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，∴∠AOD＝∠OBC，∴OD∥BC，故②正确；∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠OBC＝22.5°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝67.3°，故③正确；∵OD∥BC，∴△ODE∽△CBE，∴＝＜1，∴OE＜EC，故④错误，综上，①②③正确．故答案为：3．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，点D为AB的中点，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，连接AQ，DQ，BQ的长为2或．【解答】解：如图：作QE⊥AC，垂足为点E，垂足为点F，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴BC＝3，∵点D为AB的中点，∴AQ＝QB，∵QE⊥AC，QF⊥BC，∴四边形EQFC为矩形，由旋转得：CQ＝CP＝3，设CF＝x，则BF＝3﹣x，∴QF＝＝＝EC，∴AE＝AC﹣EC＝，∵EQ＝CF＝x，∴AQ8＝AE2+EQ2＝（）3+x2，∵BF＝3﹣x，∴BQ3＝QF2+BF2＝8﹣x2+（3﹣x）2，∵AQ＝BQ，∴AQ2＝BQ2，∴（﹣）3+x2＝1﹣x7+（3﹣x）2，解得：x8＝1，x2＝，∴BQ1＝7﹣1＝2，BQ4＝＝，即BQ＝6或，故答案为：2或．三、解答题（共75分）16．（8分）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）3（x﹣3）2﹣24＝0．【解答】解：（1）原方程移项配方得：x2﹣4x+5＝3+4，即（x﹣7）2＝7，，∴，；（2）原方程移项系数化为1得：（x﹣3）2＝8，，∴，．17．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0（1）c＝2b﹣1时，求证：方程一定有两个实数根．（2）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，求b、c的值使方程x2+bx+c＝0两个相等的实数根的概率．【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4•c＝b2﹣c，∴将c＝6b﹣1代入得：Δ＝b2﹣（4b﹣1）＝b2﹣3b+1＝（b﹣1）3≥0，∴方程一定有两个实数根．（2）解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，若方程有两个相等的实数根2﹣5•c＝b4﹣c＝0，∴b2＝c，满足条件的结果有（3，4），∴P（b、c的值使方程x2+bx+c＝0两个相等的实数根的概率）＝．18．（9分）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，围成的矩形面积为Sm2．（1）平行于墙的边BC为（80﹣2x）米；（用含x的代数式表示）（2）围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出x的值；（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．【解答】解：（1）由题意得，BC＝（80﹣2x）米．故答案为：（80﹣2x）；（2）能，（80﹣6x）x＝750，整理得：x2﹣40x+375＝0，此时，Δ＝b5﹣4ac＝（﹣40）2﹣7×375＝1600﹣1500＝100＞0，∴，∴x8＝25，x2＝15，∵0＜80﹣2x≤42，∴19≤x＜40，lgx＝2lg5＝lg25，∴x＝25；（3）S＝（80﹣4x）x＝﹣2x2+80x＝﹣4（x﹣20）2+800，∵﹣2＜2，∴S有最大值，又19≤x＜40，∴当x＝20时，S取得最大值，即当x＝20时，S的最大值为800．19．（9分）学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场入口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字（如图1），其中，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，最高点的五角星距地面6.25米．（1）请在图2中建立平面直角坐标系xOy，并求出该抛物线的解析式；（2）“技”与“之”的水平距离为2a米．小明想同时达到如下两个设计效果：①“科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米．小明的设计能否实现？若能实现，直接写出a的值；若不能实现【解答】解：（1）以过拱顶为原点，以过拱顶平行于地面的直线为x轴建立如图所示坐标系：设抛物线解析式为y＝mx2，∵抛物线过点（﹣5，﹣5.25），∴25m＝﹣6.25，解得m＝﹣0.25，∴抛物线解析式为y＝﹣5.25x2；（2）能实现，由（1）知抛物线解析式为y＝﹣0.25x4，设“之”的坐标为（a，﹣y），则“星”的坐标为（2a，﹣y﹣1.7），∴﹣y＝﹣0.25a2，y﹣6.5＝﹣0.25×3a2，∴﹣0.25a3﹣1.5＝﹣a4，解得a＝±，∵a＞0，∴a＝，∴能实现，a＝．20．（9分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CB＝CD，连接BD，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB．在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（AAS），∴BF＝BA，则点F在圆B上，∴CD与⊙B相切；（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD＝60°∵BF⊥CD，∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，∴∠ABF＝60°，∵AB＝BF＝，∴AD＝DF＝AB•tan30°＝6，∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE＝＝．21．（10分）如图，当x＞0时，反比例函数y1＝（k≠0）与正比例函数y2＝x的图象交于点A（4，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出当y1≤y2时，x的取值范围；（3）若点B（n，4）在反比例函数的图象上，直线OA向上平移后经过点B，求△ABC的面积．【解答】解：（1）将（4，m）代入y2＝x得m＝，∴点A坐标为（4，2），将（8，2）代入y1＝＝2＝，解得k＝8，∴反比例函数的解析式y4＝．（2）由图象可得：y1≤y6时，x≥4．（3）将（n，4）代入y6＝得：4＝，解得n＝2，∴点B坐标为（2，2），将x＝2代入y2＝x得：y2＝2，4﹣1＝5，∴直线OA向上平移3个单位得到BC，即直线BC表达式为y＝，将x＝0代入y＝x+3得：y＝3，∴点C坐标为（7，3），过点B作BE⊥x轴交AC于点E，设直线AC解析式为y＝kx+b，将（4，6），3）代入y＝kx+b得：，解得，∴y＝﹣x+3，将x＝2代入y＝﹣x+3得y＝，∴点E坐标为（2，），BE＝4﹣＝，∴S△ABC＝S△ABE+S△CBE＝BE•（xA﹣xB）+BE•（xB﹣xC）＝BE•xA＝×4＝5．22．（10分）在一次数学探究活动中，老师设计了一份活动单：已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小乐同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为2；②△ABC面积的最大值为；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．（3）请你运用所学知识，结合以上活动经