2024-2025学年陕西省西安三中九年级（上）月考数学试卷（12月份）

第1页（共1页）2024-2025学年陕西省西安三中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图所示几何体的俯视图是（）A． B． C． D．2．（3分）学校运动会中，运动员小明与小刚，要从铅球、跳高两个项目中任意选择一个项目参加比赛（）A． B． C． D．3．（3分）如果α是锐角，且cosα＝，那么sinα的值（）A． B． C． D．4．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，将正方形ABCD沿对角线BD向右平移1cm1D等于（）A． B．2cm C． D．5．（3分）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．6．（3分）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x（）A．2500（1+x）2＝9100 B．9100（1﹣x）2＝2500 C．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100 D．9100（1+x）2＝25007．（3分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣8．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0）（0，﹣2），（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论正确的个数是（）①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝x+1两根为m，n（m＜n），则﹣3＜m＜1＜n；④．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）9．（3分）四条线段a，b，c，d成比例，若a＝3cm，c＝6cm，则线段d的长为cm．10．（3分）因式分解：x2y﹣4y＝．11．（3分）若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是．12．（3分）如图，菱形ABCD的边长为3，∠ADC＝60°，交BA的延长线于点E，连结CE分别交BD，F，则FG的长为．13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC的四等分点（靠近点B的位置），连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，则CG的最小值为．三、解答题（共12小题，共81.分）14．（5分）计算：．15．（5分）解方程：（x﹣1）2＝9（2x+5）2．16．（5分）解分式方程：．17．（5分）如图，在，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，请用尺规作图法，使得（保留作图痕迹，不写作法）．18．（5分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB、AC上的点，且∠ADE＝∠ACB．若AD＝2DB，AE＝4，求BD的长．19．（7分）某班四个数学小组，准备研读四部古代数学著作．现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》《五经算术》《数術记遗》，每个小组选一代表从中依次抽取一张卡片．（1）第一学习小组抽到《五经算术》的概率是．（2）若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率．20．（7分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，1），C（0，3）；（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）在第四象限画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2；△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2．21．（7分）某学校组织了爱心义卖公益活动，所有义卖物品均为5元/件，为了解活动中同学们的参与情况，并用得到的数据绘制了统计图（如图所示）．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的同学人数为，图1中m的值为．（2）求统计数据的众数和中位数．（3）已知该校有800名同学，请估计该校购买金额不少于15元的同学人数．22．（8分）某商城双12促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．（1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，最后以每个12.8元的价格售出，求商城每次降价的百分率；（2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润23．（8分）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2m，台阶AC的坡度为1：，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．24．（9分）打水漂是小伙伴们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点O），飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起．据试验，最大高度减少到原来最大高度的一半：（1）求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式；（2）若此次水漂可以在水面上飞越2次，且第一次击打水面时距离河岸1米，问水漂能否飞过8米宽的河面．25．（10分）问题提出如图（1），在△ABC中，AB＝AC，延长BC至点E，使DE＝DB，探究的值．问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出；（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展如图（3），在△ABC中，AB＝AC，G是边BC上一点，＝（n＜2），延长BC至点E，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）．

2024-2025学年陕西省西安三中九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析题号12345678答案DCCDDCBB一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图所示几何体的俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从上往下看，易得一个长方形，如图所示：故选：D．2．（3分）学校运动会中，运动员小明与小刚，要从铅球、跳高两个项目中任意选择一个项目参加比赛（）A． B． C． D．【解答】解：画树状图为：共有4种等可能的结果，其中两人恰好都选择铅球项目的结果数为1种，所以两人恰好都选择铅球项目的概率＝．故选：C．3．（3分）如果α是锐角，且cosα＝，那么sinα的值（）A． B． C． D．【解答】解：∵sin2α+cos2α＝8，∴sinα＝＝＝．故选：C．4．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，将正方形ABCD沿对角线BD向右平移1cm1D等于（）A． B．2cm C． D．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠C＝90°，由勾股定理得：，∵正方形ABCD沿对角线BD向右平移6cm得到正方形A1B1C4D1，∴BB1＝8cm，∴，故选：D．5．（3分）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．【解答】解：∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，故A不符合题意；∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，故B不符合题意；∵AB2＝AD•AC，∴＝，又∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，故C不符合题意；根据＝，不能判定△ADB∽△ABC，故D符合题意；故选：D．6．（3分）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x（）A．2500（1+x）2＝9100 B．9100（1﹣x）2＝2500 C．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100 D．9100（1+x）2＝2500【解答】解：设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，根据题意可列的方程为2500+2500（1+x）+2500（1+x）3＝9100，故选：C．7．（3分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA＝90°，∴∠BOC+∠AOD＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠BOC＝∠OAD，又∵∠BCO＝∠ADO＝90°，∴△BCO∽△ODA，∴＝tan30°＝，∴＝（）2＝，∵点A在反比例函数y＝上，∴xy＝4，∵×AD×DO＝，∴S△BCO＝×BC×CO＝S△AOD＝3，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y＝﹣．故选：B．8．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0）（0，﹣2），（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论正确的个数是（）①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝x+1两根为m，n（m＜n），则﹣3＜m＜1＜n；④．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x＝﹣1＜7，a、b同号，∴b＞0，∵与y轴的交点B在（0，﹣7）和（0，∴﹣3＜c＜﹣7＜0，∴abc＜0，故①不正确；∵对称轴为直线x＝﹣3，且该抛物线与x轴交于点A（1，∴与x轴交于另一点（﹣3，7），∵x＝﹣2，y＝4a﹣5b+c＜0，故②正确；若方程ax2+bx+c＝x+4两根为m，n（m＜n），n，∵直线y＝x+1过一、二、三象限，0），∴直线y＝x+5与抛物线的交点在第一、第三象限，由图象可知﹣3＜m＜1＜n．故③正确；由题意可得，方程ax8+bx+c＝0的两个根为x1＝6，x2＝﹣3，又∵x5•x2＝，即c＝﹣3a，∵﹣5＜c＜﹣2，∴﹣3＜﹣7a＜﹣2，因此＜a＜1，故④不正确；故选：B．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）9．（3分）四条线段a，b，c，d成比例，若a＝3cm，c＝6cm，则线段d的长为8cm．【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，∴ad＝bc，∵a＝3cm，b＝4cm，∴d＝＝＝5（cm）．故答案为：8．10．（3分）因式分解：x2y﹣4y＝y（x+2）（x﹣2）．【解答】解：x2y﹣4y＝y（x5﹣4）＝y（x+2）（x﹣5），故答案为：y（x+2）（x﹣2）．11．（3分）若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是c＞．【解答】解：由题意，∵抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，∴Δ＝1﹣8c＜0．∴c＞．故答案为：c＞．12．（3分）如图，菱形ABCD的边长为3，∠ADC＝60°，交BA的延长线于点E，连结CE分别交BD，F，则FG的长为．【解答】解：∵DE⊥AB，交BA的延长线于点E，∴∠AED＝90°，∵四边形ABCD是边长为3的菱形，∠ADC＝60°，∴AD＝AB＝CD＝3，AB∥CD，∴∠EDC＝180°﹣∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠ADC＝30°，∴EA＝AD＝，∴EB＝EA+AB＝+8＝7＝AD2﹣EA2＝32﹣＝，∴CE＝＝＝，∵CD∥EB，∴△CDG∽△EBG，∴＝＝＝，∴CG＝CE＝×＝，∵EA∥CD，∴△EAF∽△CDF，∴＝＝＝，∴EF＝CE＝×＝，∴FG＝CE﹣CG﹣EF＝﹣﹣＝，故答案为：．13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC的四等分点（靠近点B的位置），连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，则CG的最小值为5．【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点F在线段上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝6+3＝5，故答案为：2．三、解答题（共12小题，共81.分）14．（5分）计算：．【解答】解：＝1﹣×﹣×＝1﹣﹣1＝﹣．15．（5分）解方程：（x﹣1）2＝9（2x+5）2．【解答】解：（x﹣1）2＝2（2x+5）5．（x﹣1）2﹣7（2x+5）3＝0，（x﹣1+5x+15）（x﹣1﹣6x﹣15）＝6，（7x+14）（﹣5x﹣16）＝4，x1＝﹣2，x7＝﹣．16．（5分）解分式方程：．【解答】解：原方程去分母得：x+x﹣3＝x﹣2，解得：x＝2，检验：当x＝1时，x﹣2≠6，故原方程的解为x＝1．17．（5分）如图，在，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，请用尺规作图法，使得（保留作图痕迹，不写作法）．【解答】解：如图，点D即为所求作，∵∠C＝90°，AC＝3，∴，由作图，DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠BAD＝∠B，∴．18．（5分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB、AC上的点，且∠ADE＝∠ACB．若AD＝2DB，AE＝4，求BD的长．【解答】解：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴＝，设BD＝x，则AD＝2x，∵AE＝4，AC＝2，∴＝，解得：x＝（负值舍去），∴BD的长是．19．（7分）某班四个数学小组，准备研读四部古代数学著作．现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》《五经算术》《数術记遗》，每个小组选一代表从中依次抽取一张卡片．（1）第一学习小组抽到《五经算术》的概率是．（2）若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率．【解答】解：（1）第一学习小组抽到《五经算术》的概率是：；故答案为：；（2）《九章算术》《周髀算经》《五经算术》《数術记遗》4张卡片分别用A、B、C、D表示*ABCDA*（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）*（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）*（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）*∴一共有12种情况，其中这两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的有8种情况，∴这两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是＝．20．（7分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，1），C（0，3）；（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）在第四象限画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2；△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2．【解答】解：（1）如图，△A1B1C4即为所求；（2）如图，△A2B2C6即为所求．21．（7分）某学校组织了爱心义卖公益活动，所有义卖物品均为5元/件，为了解活动中同学们的参与情况，并用得到的数据绘制了统计图（如图所示）．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的同学人数为40，图1中m的值为25．（2）求统计数据的众数和中位数．（3）已知该校有800名同学，请估计该校购买金额不少于15元的同学人数．【解答】解：（1）根据表格可知，本次接受调查的同学人数为：4+6+12+10+7＝40；，∴m＝25．故答案为：40；25；（2）购买金额最多的人数为：15，故众数为15，位于第20和第21个的数据为：15，15，∴中位数为：；（3）（人）． 答：该校购买金额不少于15元的同学人数为600人．22．（8分）某商城双12促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．（1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，最后以每个12.8元的价格售出，求商城每次降价的百分率；（2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润【解答】解：（1）标价为每个20元，商城连续两次降价，最后以每个12.8元的价格售出，依题意得：20（1﹣x）2＝12.8，解得：x1＝8.2＝20%，x2＝4.8（不合题意，舍去）．答：商城每次降价的百分率为20%；（2）设每个商品应降价y元，则平均每天可售出（40+10y）个，则利润：w＝（20﹣y﹣14）（40+10y），整理得：w＝﹣10（y﹣1）2+250，∵每个商品的售价不低于进价，∴20﹣y≥14，解得：y≤6，当y＝1时，获得利润最大，此时每个商品的定价为20﹣8＝19（元），答：要想获得最大利润，每个商品的定价为19元．23．（8分）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2m，台阶AC的坡度为1：，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．【解答】解：∵AF⊥AB，AB⊥BE，∴四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝2设DE＝x，在Rt△CDE中＝＝x，在Rt△ABC中，∵＝，AB＝2，∴BC＝2，在Rt△AFD中，DF＝DE﹣EF＝x﹣6，∴AF＝＝＝（x﹣4），∵AF＝BE＝BC+CE．∴（x﹣2）＝4+x，解得x＝6．答：树DE的高度为6米．24．（9分）打水漂是小伙伴们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点O），飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起．据试验，最大高度减少到原来最大高度的一半：（1）求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式；（2）若此次水漂可以在水面上飞越2次，且第一次击打水面时距离河岸1米，问水漂能否飞过8米宽的河面．【解答】解：（1）由题意，水漂第一次飞越时，第二次从距离O点4米的A处飞起，∴OA＝4米，第