人教版九年级数学上册一元二次方程《一元二次方程整 理与复习》示范公开课教学课件

整理与复习第21章

一元二次方程

请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！

1．比较你所学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数与次数．你能写出这些方程的一般形式吗？

2．一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下比较适用？你能说说“降次”在解一元二次方程中的作用吗？

3．求根公式与配方法有什么关系？如何判别一元二次方程根的情况？

请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！

4．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？我们是如何得到这种关系的？

5．你能举例说明用一元二次方程解决实际问题的过程吗？例1

已知关于x的方程(2k＋1)x2＋k－4kx＋(k－1)＝0．当k为何值时，此方程是一元二次方程？写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．考点一一元二次方程及其相关概念

解：由题意得2＋k＝2且2k＋1≠0，解得k＝0．∴当

k＝0时，关于

x

的方程是一元二次方程，该一元二次方程为x2－1＝0．∴这个一元二次方程的二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－1．

一元二次方程满足的三个条件

（1）整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2．

考点一一元二次方程及其相关概念一元二次方程的二次项系数不为

0是易考点，同时也是易错点．

1．已知关于x的方程是一元二次方程，试求代数式m2＋2m－4的值．考点一一元二次方程及其相关概念

解：根据题意，得m2－2＝2且m－2≠0，解得m＝±2且m≠2，

∴m＝－2．∴m2＋2m－4＝(－2)2＋2×(－2)－4＝4－4－4＝－4．

例2

用适当的方法解下列方程：

（1）2(x－1)2＝18；

（2）x2－2x＝2x＋1；

（3）(3y－1)(y＋1)＝4；

（4）x(2x＋3)＝2x＋3．考点二一元二次方程的解法解：（1）方程两边除以2，得(x－1)2＝9，则x－1＝3或－3，即x1＝4，x2＝－2．

（2）原方程可整理为x2－4x＋4＝5，

则(x－2)2＝5，解得x1＝，x2＝．

例2

用适当的方法解下列方程：

（1）2(x－1)2＝18；

（2）x2－2x＝2x＋1；

（3）(3y－1)(y＋1)＝4；

（4）x(2x＋3)＝2x＋3．考点二一元二次方程的解法解：（3）整理得3y2＋2y－5＝0，

则b2－4ac＝64＞0，

∴y＝＝，

∴y1＝1，y2＝．

例2

用适当的方法解下列方程：

（1）2(x－1)2＝18；

（2）x2－2x＝2x＋1；

（3）(3y－1)(y＋1)＝4；

（4）x(2x＋3)＝2x＋3．考点二一元二次方程的解法解：（4）移项得x(2x＋3)－(2x＋3)＝0，因式分解得(2x＋3)(x－1)＝0，则2x＋3＝0或x－1＝0，解得x1＝，x2＝1．

一元二次方程解法的选择

（1）若方程符合a(x－n)2＝m(am≥0，a≠0)的形式，用直接开平方法解方程比较简单；对于一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

而言，当b＝0时，用直接开平方法求解较好．

（2）对于一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当c＝0时，用因式分解法比较简单．考点二一元二次方程的解法

一元二次方程解法的选择

（3）对于一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当a，b，c均不为0，且不易因式分解时，一般采用公式法．

（4）配方法也是一种重要的解法，当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，应用此方法比较简单．对于复杂的一元二次方程，一般不急于化为方程的一般形式，应观察其特点，看能否用直接开平方法或因式分解法；若不能，优先选取的算法依次为直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法．考点二一元二次方程的解法

例3

下列一元二次方程中，没有实数根的是（）．

A．4x2－5x＋2＝0

B．x2－6x＝－9

C．5x2－4x－1＝0

D．3x2－4x＋1＝0考点三一元二次方程根的判别式

解析：选项A，Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×4×2＝－7＜0，所以方程没有实数根；选项B，方程变形得x2－6x＋9＝0，Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×1×9＝0，所以方程有两个相等的实数根；

分析：计算各方程Δ＝b2－4ac的值，根据Δ＝b2－4ac与0

的大小关系进行判断．

例3

下列一元二次方程中，没有实数根的是（）．

A．4x2－5x＋2＝0

B．x2－6x＝－9

C．5x2－4x－1＝0

D．3x2－4x＋1＝0考点三一元二次方程根的判别式

选项C，Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，

所以方程有两个不相等的实数根；选项D，Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×3×1＝4＞0，

所以方程有两个不相等的实数根．

故选A．A

一元二次方程根的判别式是判断方程的根的情况的重要工具，主要从两个方面考查：

一是利用根的判别式判断一元二次方程根的情况；

二是已知一元二次方程根的情况，利用根的判别式求方程中未知系数的取值范围．考点三一元二次方程根的判别式

2．已知关于x

的方程ax2＋2x－3＝0有两个不相等的实数根．（1）求a

的取值范围；（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．考点三一元二次方程根的判别式解：（1）∵关于x

的方程ax2＋2x－3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，且a≠0，即22－4a·(－3)＞0，且a≠0，∴a＞且a≠0．

2．已知关于x

的方程ax2＋2x－3＝0有两个不相等的实数根．（1）求a

的取值范围；（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．考点三一元二次方程根的判别式解：（2）将x＝1

代入方程ax2＋2x－3＝0，解得a＝1．把a＝1代入，得方程x2＋2x－3＝0，解方程得x1＝1，x2＝－3．

∴a

的值为

1，方程的另一个实数根为－3．考点四一元二次方程根与系数的关系

例4

设x1，x2

是方程

2x2＋5x－7＝0

的两个实数根，不解方程，求下列式子的值．（1）；

（2）．解：∵x1，x2是方程2x2＋5x－7＝0

的两个实数根，∴

x1＋x2＝，x1x2＝．

（1）原式＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋7＝．考点四一元二次方程根与系数的关系

例4

设x1，x2

是方程

2x2＋5x－7＝0

的两个实数根，不解方程，求下列式子的值．（1）；

（2）．

解：（2）原式

在实数范围内，一元二次方程根与系数的关系的四个主要应用

一是已知方程的两个根，可写出一元二次方程；

二是已知方程的一个根，可求方程的另一个根及方程中的字母参数；

三是不解方程，直接利用两根之积与两根之和求与一元二次方程两个实数根有关的代数式的值；

四是已知与方程两个实数根有关的代数式的值，确定方程中的字母参数．考点四一元二次方程根与系数的关系

3．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0

有实数根．

（1）求

m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围．考点四一元二次方程根与系数的关系解：（1）根据题意，得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，

解得m≤4．

（2）根据题意，得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1．∵2x1x2＋x1＋x2≥20，∴2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3．

由（1）得m≤4，∴m的取值范围为3≤m≤4．考点五一元二次方程的应用

例5

新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有

169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），求每轮传染中平均每个人传染的人数．解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染后有x

人被传染，第二轮传染后有x(1＋x)

人被传染．

根据题意，得1＋x＋x(1＋x)＝169，解得x1＝12，x2＝－14（不合题意，舍去）．

答：每轮传染中平均每个人传染了12人．

一元二次方程是有效刻画实际问题的一类数学模型．在实际问题中，读懂题意、分析数量关系、建立方程模型是关键，需要注意以下三点：

一是整体地、系统地审清题意；

二是准确把握问题中的等量关系，并列方程；

三是正确求解方程，并检验解的合理性．考点五一元二次方程的应用

4．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x

．根据题意，得

400(1－x)2＝324，

解得x＝0.1或x＝1.9（不合题意，舍去）．

答：该种商品每次降价的百分率为10%．考点五一元二次方程的应用

4．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．