人教版九年级数学上册《二次函数 整 理与复习》示范公开课教学课件

整理与复习第22章

二次函数请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧.1．举例说明，一些实际问题中变量之间的关系可以用二次函数表示，列出函数解析式并画出图象．2．结合二次函数的图象回顾二次函数的性质，例如根据抛物线的开口方向、顶点，说明二次函数在什么情况下取得最大（小）值．3．结合抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系，说明方程ax2＋bx＋c＝0的根的各种情况．4．在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值．请举例说明如何分析、解决这样的问题．5．回顾一次函数和二次函数，体会函数这种数学模型在反映现实世界的运动变化中的作用．例1

若二次函数y＝(x－m)2－3，当x＞2时，y

随x

的增大而增大，则m

的取值范围是（）．A．m＝2

B．m＞2

C．m≥2

D．m≤2考点一二次函数的增减性解析：∵二次函数y＝(x－m)2－3

的图象开口向上，对称轴为直线x＝m，∴当x＞m

时，y

随x

的增大而增大．又∵当x＞2

时，y

随x

的增大而增大，∴直线x＝2

应在对称轴x＝m

的右侧或与对称轴重合，∴m≤2．故选D．D根据二次函数的增减性求字母的取值范围的步骤第1步：根据二次函数的顶点式，确定抛物线的开口方向和对称轴．第2步：明确函数在对称轴两侧的增减情况．第3步：借助图象或性质确定字母的取值范围．考点一二次函数的增减性例2

在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b

与y＝ax2－bx的图象可能是（）．A

B

C

D考点二二次函数的图象解析：选项A，对于直线y＝ax＋b

来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0，而对于抛物线y＝ax2－bx

来说，对称轴＞0，应在y

轴的右侧，故错误；考点二二次函数的图象解析：选项B，对于直线y＝ax＋b

来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0，而对于抛物线y＝ax2－bx

来说，对称轴＜0，应在y

轴的左侧，故错误；选项C，对于直线y＝ax＋b

来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0，而对于抛物线y＝ax2－bx

来说，对称轴＞0，应在y

轴的右侧，故正确；选项D，对于直线y＝ax＋b

来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0，而对于抛物线y＝ax2－bx

来说，图象应开口向上，故错误．故选C．假设验证法判断图象的位置判断具有某种联系的两种函数图象在同一平面直角坐标系中的位置，常用的办法是假设其中一种图象位置正确，用另一种图象的位置进行验证，从而得出正确的结论．考点二二次函数的图象例3

如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a＋b－c＝0；④若点B

，C

为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确的是（）．A．②④

B．①④C．①③D．②③考点三二次函数图象与系数的关系B考点三二次函数图象与系数的关系解析：∵二次函数的图象与x

轴有两个不同的交点，∴b2－4ac＞0，∴结论①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，∴＝－1，∴2a－b＝0，∴结论②错误；∵图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，∴抛物线与x

轴的另一交点坐标为(1，0)，∴a＋b＋c＝0，结论③错误；考点三二次函数图象与系数的关系解析：∵点B

，C

为函数图象上的两点，对称轴为直线x＝－1，∴点B

距对称轴较远．又∵抛物线开口向下，∴y1＜y2，∴结论④正确．故选B．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c

的图象，推断与a，b，c

有关的式子的值的问题，通常会用到下面的思路：（1）由口诀“上正下负”“左同右异”推断a，b，c

的符号．①图象开口向上，则a＞0；开口向下，则a＜0．可简记为“上正下负”．②抛物线与y

轴交点的位置可以确定c

的符号：抛物线与y

轴交于原点时，c＝0，交于x

轴上方时，c＞0，交于x轴下方时，c＜0．可简记为“上正下负”．考点三二次函数图象与系数的关系③由a

的符号及对称轴直线x＝的位置可确定b

的符号：对称轴为y

轴时，b＝0；对称轴在y

轴左侧，a，b

同号；对称轴在y

轴右侧，a，b

异号．可简记为“左同右异”．（2）抛物线与x

轴的交点个数可以确定b2－4ac

的值的正负，抛物线与x

轴有两个交点时，b2－4ac＞0；抛物线与x

轴有唯一的交点时，b2－4ac＝0；抛物线与x

轴没有交点时，b2－4ac＜0．（3）结合图象，通过给x

赋值，判断出函数值的正负．如分别令x＝1，－1，2，－2时相应的函数值的大小可判断形如“a＋b＋c”“a－b＋c”“4a＋2b＋c”“4a－2b＋c”等式子的正负．考点三二次函数图象与系数的关系例4

若抛物线y＝＋3

不动，将平面直角坐标系xOy

先沿水平方向向右平移1

个单位长度，再沿竖直方向向上平移3

个单位长度，则原抛物线对应的函数解析式应变为（）．A．B．C．D．考点四二次函数图象的平移解析：将平面直角坐标系xOy

先沿水平方向向右平移1

个单位长度，再沿竖直方向向上平移3

个单位长度，就相当于把抛物线先向左平移1

个单位长度，再向下平移3

个单位长度．考点四二次函数图象的平移解析：∵，∴原抛物线对应的函数解析式应变为y＝(x－1＋1)2＋2－3＝x2－1．故选C．抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”：（1）上下平移：抛物线y＝a(x－h)2＋k

向上平移m(m＞0)个单位长度，得抛物线y＝a(x－h)2＋k＋m；抛物线y＝a(x－h)2＋k

向下平移m(m＞0)个单位长度，得抛物线y＝a(x－h)2＋k－m．（2）左右平移：抛物线y＝a(x－h)2＋k

向左平移n(n＞0)个单位长度，得抛物线y＝a(x－h＋n)2＋k；抛物线y＝a(x－h)2＋k

向右平移n(n＞0)个单位长度，得抛物线y＝a(x－h－n)2＋k．考点四二次函数图象的平移例5

已知抛物线经过(1，0)，(3，0)，(0，3)三点，求该二次函数的解析式．考点五确定二次函数的解析式解：方法1：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，把三点的坐标分别代入，得解得故二次函数的解析式为y＝x2－4x＋3．考点五确定二次函数的解析式解：方法2：设二次函数的解析式为，由题意，得x1＝1，x2＝3，故．∵抛物线过点(0，3)，∴3＝a×(－1)×(－3)，解得a＝1．故二次函数的解析式为y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3．考点五确定二次函数的解析式解：方法3：设二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k，由抛物线过点(1，0)，(3，0)，知抛物线的对称轴为直线x＝2，故h＝2，y＝a(x－2)2＋k．将点(1，0)，(0，3)代入上式，得解得故二次函数的解析式为y＝(x－2)2－1＝x2－4x＋3．求解二次函数解析式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数的解析式：（1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式．（2）当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k．（3）当已知抛物线与x

轴的交点或交点横坐标时，通常设为交点式．考点五确定二次函数的解析式例6

下列对二次函数y＝ax2－2ax＋1(a＞1)的图象与x

轴交点的判断正确的是（）．A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y

轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y

轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y

轴右侧考点六二次函数与一元二次方程D考点六二次函数与一元二次方程解析：令y＝0，得ax2－2ax＋1＝0，∴Δ＝(－2a)2－4a＝4a(a－1)．∵a＞1，∴4a(a－1)＞0，∴抛物线与x

轴有两个交点．设两个交点的横坐标分别为x1，x2，则由题意可知x1＋x2＝2＞0，x1x2＝＞0．∴x1＞0，x2＞0．∴二次函数的图象与x

轴有两个交点且均位于y

轴右侧．故选D．判断二次函数的图象与x

轴交点个数的关键是计算b2－4ac的值，然后与0

进行比较．如果二次函数的图象与x

轴有两个交点，要判断这两个交点在y

轴的同侧还是异侧，应通过相应一元二次方程根与系数的关系计算这两个点的横坐标的和与积，然后进行判断．考点六二次函数与一元二次方程

例7

如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8

m，拱高为4

m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4

m的隔离带，一辆宽为2

m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5

m的空隙，按图②建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线对应的函数关系式；（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．考点七二次函数的实际应用考点七二次函数的实际应用解：（1）如图②中，B(4，0)，C(0，4)，设抛物线解析式为y＝ax2＋k，由题意，得解得∴抛物线解析式为．考点七二次函数的实际应用解：（2）2＋＝2.2，当x＝2.2

时，，当y＝2.79

时，2.79－0.5＝2.29（m）．答：该货车能够通行的最大高度为2.29

m．运用二次函数解决实际生活中的最值问题：（1）利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出二次函数的解析式．（2）把函数解析式转化为二次函数的顶点式．（3）根据二次函数自变量的取值范围求二次函数的最大值或最小值．若自变量的取值范围包含顶点的横坐标，则在顶点处取得最值；若自变量的取值范围不含顶点的横坐标，则应根据函数的增减