河北大学自控课件

第八章非线性控制系统8.1非线性控制系统概述8.2相平面法8.3描述函数法12/21/20241电子信息工程学院8.1非线件控制系统概述一、为什么研究非线性控制系统理想的线性系统并不存在，实际系统往往都是非线性系统，只是做了一些合理的假设以后把他们看成线性系统来处理。但是，这种线性方法并不是在一切情况下都适用的。系统中的非线性主要存在于两个部分1）控制仪表和传动机构2）对象本身的特性12/21/20242电子信息工程学院小偏差线性化：实质：将连续变化的非线性函数y=f(x)在平衡工作点（x0y0）展开为泰勒级数：xyy=f(x)x0增量较小时略去其高次幂项，则有12/21/20243电子信息工程学院例单摆运动

lMgsinθMgθ单摆运动示意图根据牛顿运动定律可以直接导出此系统的动态方程为非线性项这是一输入为零，输出量为摆幅的二阶非线性微分方程。当控制系统处在自动调节状态的小摆幅下运行时，可应用小偏差线性化方法将非线性系统线性化。平衡状态为

线性二阶微分方程12/21/20244电子信息工程学院小偏差线性化条件：（1）系统中的变量在某一额定工作点附近做微小变化。（2）非线性特性在此工作点可导，也就是曲线光滑。在许多情况下，上述条件并不能够满足，如：存在有本质非线性情况。1、饱和特性－aak0ue放大器等很多元件都具有饱和特性2、死区特性－aak0ue测量元件，电机等都有死区12/21/20245电子信息工程学院3、间隙特性－aak0xe齿轮间隙是典型的间隙特性4、继电器特性12/21/20246电子信息工程学院二、非线性控制系统的特点2、稳定性分析复杂。

1、非线性系统的重要特征是不满足线性叠加原理。例：一阶非线性系统：两个平衡状态，其解为平衡状态是稳定的平衡状态—小范围稳定平衡状态是不稳定的平衡状态c=1c(t)c=0tc0>1c0<1由于描述非线性系统运动的数学模型为非线性微分方程，因此叠加原理不能应用。故能否应用叠加原理是两类系统的本质区别。12/21/20247电子信息工程学院对于线性系统，只有一个平衡状态，而且其稳定性只取决于系统本身的结构和参数，与外作用和初始条件无关。对于非线性系统，系统可能存在多个平衡状态，系统的稳定性需要考虑各个平衡状态的稳定性，而且其平衡状态的稳定性与外作用和初始条件有关。总结：3、可能存在自激振荡现象所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动。范德波尔方程非线性阻尼项12/21/20248电子信息工程学院当扰动使时—系统具有负阻尼此时系统从外部获得能量，的运动呈发散形式当扰动使时—系统具有正阻尼此时系统消耗能量，的运动呈收敛形式当时，系统为零阻尼，其运动呈等幅振荡形式系统能克服扰动的影响，保持幅值为1的等幅振荡——自持振荡

tc(t)10-1非线性系统的自持振荡12/21/20249电子信息工程学院4、频率响应发生畸变非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量(基频分量)外，还含有关于的高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。例：死区非线性特性三、非线性系统的分析与设计方法(1)相平面法相平面法是推广应用时域分析法的一种图解分析方法。该方法既能提供稳定性信息，又能提供时间响应信息，特别适用于分析非线性系统在不同初始条件下或非周期信号输入(脉冲、阶跃、斜坡等)作用下的瞬态响应特性。但相平面法只限于一阶、二阶系统的分析和设计。(2)描述函数法描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化的一种图解分析方法。特别适用于分析非线性系统的稳定性或自激振荡。(3)逆系统法12/21/202410电子信息工程学院常见的本质非线性－aak0ue－aak0ue－aak0xe12/21/202411电子信息工程学院8.2相平面法一、相平面的基本概念描述二阶时不变系统的常微分方程为是和的线性或非线性函数——系统运动的相变量(状态变量)

—横坐标—纵坐标0相平面（，）直角坐标平面称为相平面

在一定的初始条件下，求解相变量从初始时刻对应的状态点起，随着时间的推移，状态点在相平面上运动形成的曲线称为相轨迹。不同的初始状态对应不同的相轨迹—相轨迹簇。12/21/202412电子信息工程学院相平面图相轨迹簇相平面相平面法——根据相平面图分析系统的运动特征0t1t2t3t4t1t2t3t4t1t2t3t412/21/202413电子信息工程学院例8-1某弹簧-质量运动系统如图所示，若初始条件为，，试确定系统自由运动的相轨迹。描述系统自由运动的微分方程式为该系统自由运动的相轨迹为以坐标原点为圆心、为半径的圆分离变量积分得：012/21/202414电子信息工程学院例8-2已知系统的结构图如下图所示，求零初始条件，单位阶跃输入下系统运动的相轨迹。-系统的开环传递函数对单位阶跃输入关于误差的微分方程为由给定零初始条件得(1,0)0MP12/21/202415电子信息工程学院二、相轨迹的性质：（1）相轨迹上每一点斜率—相轨迹斜率（2）相轨迹的奇点

当相轨迹同时满足，时，该点相轨迹的斜率为0/0，是一个不定值，因此通过该点的相轨迹就有无数多条。同时满足，的点称为奇点。如果在一条线上满足，则该直线为奇线。12/21/202416电子信息工程学院（3）相轨迹正交于轴在轴上，因而除去奇点外，在这些点上的斜率为∞，这表示相轨迹与相平面的横轴正交。（4）相轨迹的运动方向在相平面的上半平面，随着时间的推移，系统状态沿相轨迹的运动方向是的增大方向，即向右运动。在相平面的下半平面，随着时间的推移，系统状态沿相轨迹的运动方向是的减小方向，即向左运动。012/21/202417电子信息工程学院三、相轨迹的绘制方法（1）解析法（2）等倾线法直接由微分方程获得和的解析关系式。基本思想：基本思想：先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。（不需求解微分方程）等倾线：相平面上相轨迹具有相等斜率的点的连线。该方程给出了相轨迹在相平面上任一点处切线的斜率。取相轨迹切线的斜率为某一常数，得等倾线方程：对于线性系统，等倾线为直线，非线性系统的等倾线为曲线。12/21/202418电子信息工程学院试用等倾线法绘制二阶系统的相轨迹图。例8-3—等倾线方程，

设，等倾线方程为—过原点，斜率的直线据此，求得取不同值时的等倾线：当取不同的值时，就得到不同斜率的等倾线，在每一条等倾线上作一系列相应斜率为的短线段。12/21/202419电子信息工程学院（3）法（圆弧近似法）在绘制相轨迹时，只要从初始点出发，沿着方向场依次连接各等倾线上的短线段。就得到系统在确定初始条件下的完整的相轨迹。由图可见，由任何初始状态出发的相轨迹是一卷向坐标原点的螺旋线。使用等倾线法绘制相轨迹应注意：坐标轴小和应选用相同的比例尺，以便于根据等倾线斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线；一般地，等倾线分布越密，则所作的相轨迹越准确。但随所取等倾线的增加，绘图工作量增加，同时也使作图产生的积累误差增大。为提高作图精度，可采用平均斜率法，即取相邻两条等倾线所对应的斜率的平均值为两条等倾线间直线的斜率。12/21/202420电子信息工程学院四、线性系统的相轨迹一阶线性系统一阶线性系统自由运动的微分方程：T<0T>0稳定不稳定12/21/202421电子信息工程学院二阶线性系统二阶线性系统自由运动的微分方程：对应的特征方程的特征根求其等倾线方程：令等倾线方程等倾线斜率为：两条特殊的等倾线：等倾线斜率＝过等倾线的相轨迹的斜率当相轨迹运动至特殊的等倾线时，将沿着等倾线收敛或发散——渐近线12/21/202422电子信息工程学院两条特殊的等倾线斜率满足：——二阶线性系统自由运动的微分方程所对应的特征方程的特征根1、12/21/202423电子信息工程学院2、—奇线发散收敛12/21/202424电子信息工程学院3、取（1）0相轨迹是以振荡的方式卷向平衡点（2）两个相等的负实根相轨迹是以非振荡的方式趋向平衡点12/21/202425电子信息工程学院（3）两个互异的负实根相轨迹是以非振荡的方式趋向平衡点（4）一对纯虚根0相轨迹为等幅振荡12/21/202426电子信息工程学院（5）0（6）12/21/202427电子信息工程学院（6）总结：12/21/202428电子信息工程学院3、奇点与极限环（1）奇点同时满足，的点称为奇点。12/21/202429电子信息工程学院c&cwjawjac&c0wjac&c0wjac&cwjac&c0wjac&c稳定焦点不稳定焦点稳定节点不稳定节点中心点鞍点12/21/202430电子信息工程学院00尽量增大此类极限环的尺寸尽量减小此类极限环的尺寸稳定的极限环不稳定的极限环12/21/202431电子信息工程学院00尽量增大此类极限环的尺寸尽量避免此类极限环的存在半稳定的极限环半稳定的极限环12/21/202432电子信息工程学院非线性系统的相平面分析（针对于本质非线性）基本思想：分段线性化非线性系统分区线性系统相轨迹开关线-M－M继电型非线性元件特性开关线：Ⅱ区Ⅰ区继电型非线性系统的分析例8-412/21/202433电子信息工程学院设在Ⅰ区内

系统误差方程为由令等倾线方程显然等倾线是平行于轴的一族直线，因此相轨迹是沿水平方向平移的一族曲线。渐近线：令Ⅱ区Ⅰ区12/21/202434电子信息工程学院在Ⅱ区内

系统误差方程为两个区域的相平面图关于原点对称等倾线方程渐近线：Ⅱ区Ⅰ区12/21/202435电子信息工程学院初始状态(1，0)Ⅱ区Ⅰ区ABCD由A点开始，沿相轨迹曲线Ⅰ运动到开关线上的衔接点B；进入Ⅱ区，再从B点开始沿相轨迹曲线Ⅱ运动到分界线上的衔接点C；然后再进入I区，如此往复……。经过如此的往返振荡，从理论上说系统状态最后收敛于原点(0，0)。系统运动曲线呈衰减振荡形式，静态误差为零。12/21/202436电子信息工程学院)(tc-)(tx)(ty0)(=tr)(sGN非线性环节线性部分设非线性环节输入输出描述为当非线性环节的输入信号为正弦信号8.3描述函数法一、描述函数的基本概念一般情况下，为非正弦周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：直流分量第n次谐波分量12/21/202437电子信息工程学院直流分量当非线性元件的特性对坐标原点是奇对称时，直流分量第n次谐波分量一般本质非线性均满足当系统的线性环节具有低通滤波特性时，可认为中只有一次谐波分量会对输出产生影响。非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式。12/21/202438电子信息工程学院定义：正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数。

非线性系统描述函数法分析的应用有三个条件：

1、非线性系统应简化成一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构形式

。2、非线性元件的特性对坐标原点是奇对称的。3、系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能。12/21/202439电子信息工程学院二