2024学年武汉市十一中高三数学上学期12月考试卷附答案解析

学年武汉市十一中高三数学上学期12月考试卷试卷满分：150分一、单选题1．设全集，集合，集合，则集合（

）A． B． C． D．2．中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（）A． B．C． D．和3．在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知向量，满足，，，则（

）A． B． C．3 D．25．已知，，，则（

）A． B． C． D．6．已知，则（

）A． B． C． D．7．已知双曲线：的左､右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值10时，面积的最大值为（

）A．25 B． C． D．8．设函数，若，且的最小值为，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列选项中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．函数fx=−sinx2，gx=3sin⁡(ωx+A.ω=116B.ω=211．在边长为6的菱形中，，现将沿折起到的位置，使得二面角是锐角，则三棱锥的外接球的表面积可以是（

）A． B．48π C．50π 三、填空题12．若直线与直线平行，则实数.13．已知等差数列（）中，，成等比数列，，则.14．已知抛物线，过B的直线交W于M，N两点，若四边形AMCN为等腰梯形，则它的面积为．四、解答题15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)若，，求的周长.16．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点．(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．17．若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．(1)求椭圆的方程；(2)不过原点的直线与椭圆交于两点，当的面积为时，求直线的方程．18．已知函数．(1)求证：；(2)过点作直线与函数的图象均相切，求实数的值；(3)已知，若存在，使得成立，求实数的最大值．19．已知等差数列，若存在有穷等比数列，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”．(1)数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”；(2)等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值；(3)数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值．2024学年武汉市十一中高三数学上学期12月考试卷试卷满分：150分一、单选题1．设全集，集合，集合，则集合（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求集合，求出，再与集合求并集.【详解】由不等式，解得或，∴，∴，∴.故选：D.2．中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（）A． B．C． D．和【答案】B【分析】先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数.【详解】对于A，和定义域均为R，，故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误；对于B，和定义域均为R，，故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确；对于C，定义域为定义域为，故和定义域不相同，和不是同一个函数，故C错误；对于D，定义域为定义域为,故和定义域不相同，和不是同一个函数，故D错误；故选：B.3．在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】写出，利用复数的四则运算法则计算出，确定对应的点的坐标，得到答案.【详解】由题意得，则，对应的点为，位于第三象限.故选：C4．已知向量，满足，，，则（

）A． B． C．3 D．2【答案】A【分析】将分别进行平方，借助的值联系起它们的关系，从而求解.【详解】由题知，，则，，则.故选：A5．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据与的大小关系比较即可【详解】依题意得，，，，所以，故，故选：B.6．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件即可求得，代入即可求得.【详解】由，则，化简得，所以，由.故选：B7．已知双曲线：的左､右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值10时，面积的最大值为（

）A．25 B． C． D．【答案】B【分析】先利用定义判断，，三点共线时取最值计算得，再结合基本不等式求得的最大值，即得面积的最大值.【详解】由题意得，故，如图所示，则，当且仅当，，三点共线时取等号，∴的最小值为，∴，即，当且仅当时，等号成立，而到渐近线的距离，又，故，∴，即面积的最大值为.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于利用双曲线的定义将转移到的最值，即可知三点共线时去最值得到关系，才能再借用基本不等式求的面积的最值.8．设函数，若，且的最小值为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出的大致图象，令，结合图象得到的范围，再将所求转化为关于的表达式，构造函数，利用导数即可得解.【详解】因为，作出的大致图象，如图，

令，由图象可得，因为，所以，即，则，令，则，令，解得，当，即时，，则，单调递减，则，解得，符合；当，即时，当时，；当时，；故在单调递减，在单调递增，则，解得，不符合；综上，.故选：B.【点睛】方法点睛：本题考查双变量问题的函数与方程的应用，解决这种题的常见方法是利用换元法将变量转化为只有1个变量，注意利用数形结合考虑变量的取值范围.二、多选题9．下列选项中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AD【分析】由不等式性质判断A，取特殊值判断BC，利用作差法判断D.【详解】由不等式的性质知，，则，故A正确；当时，，但，故B错误；当时，，但，故C错误；因为，，所以，，所以，即，故D正确.故选：AD10．函数fx=−sinx2，gx=3sin⁡(ωx+A.ω=116B.ω=2ABC11．在边长为6的菱形中，，现将沿折起到的位置，使得二面角是锐角，则三棱锥的外接球的表面积可以是（

）A． B．48π C．50π 【答案】ACD【分析】作出二面角的平面角，利用球的性质确定外接球球心位置，求出球的半径，再由角的范围得出半径的范围，即可求出外接球表面积的范围.【详解】如图，由菱形边长为6，，可知是边长为6的正三角形，取的中点为，连接，则,所以是二面角的平面角，设，外接球球心为，取分别为靠近的三等分点，连接,则平面，平面，连接，因为，所以在中，，即，所以，由，可知，所以，故，所以.结合选项可知，ACD符合，B不符合.故选：ACD三、填空题12．若直线与直线平行，则实数.【答案】−2【分析】根据两条直线平行的系数关系列方程组计算求参即可.【详解】因为直线与直线平行，所以，所以，且且所以.故答案为：.13．已知等差数列（）中，，成等比数列，，则.【答案】25或13；【分析】设公差为，由已知条件求得后，利用等差数列的通项公式可得结论．【详解】设公差为，因为，，成等比数列，所以，即，所以或，若，则，，则，，，，故答案为：13或25.14．已知抛物线，过B的直线交W于M，N两点，若四边形AMCN为等腰梯形，则它的面积为．【答案】【分析】解法一：由几何性质可知：，设直线MN为，联立方程结合韦达定理可得，即可得，进而可求面积；解法二：根据题意结合二级结论可知，分析可知点M的横坐标为1，，即可得结果.【详解】易知M，N的位置交替不影响结论，不妨令图像如图所示以方便研究，解法一：由等腰梯形的性质得：，相似比为，所以，设直线MN为，与抛物线方程联立，得，所以，，解得，代入得，又因为，由勾股定理可确定，可得，所以AMCN为等腰梯形的面积为；解法二：（二级结论）由题可知，点A、B关于抛物线顶点对称，且弦MN经过点B，则，（二级结论）又因为AMCN为等腰梯形，所以，则，故，即点M的横坐标为1，又因为，所以，且，所以AMCN为等腰梯形的面积为；故答案为：.【点睛】方法点睛：在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的比例问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．四、解答题15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)若，，求的周长.【答案】(1)(2)6【分析】（1）由三角恒等变换得到，得到；（2）由正弦定理和，得到，由（1）知，，由余弦定理得到方程，求出，进而，得到三角形周长.【详解】（1）由得，，即，故，因为，所以，即，因为B∈0,π，所以，故，因为，所以；（2），由正弦定理得，因为，所以，由（1）知，，由余弦定理得，解得，故，所以，所以的周长为.16．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点．(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）由等边三角形三线合一得到，在直角梯形中通过已知边和角求得长，由勾股定理得到长，再由勾股定理逆定理得到，结合面面垂直，得到平面，然后得到，然后得证平面；（2）由（1）得到三条两两垂直的直线，以这三条线建立空间直角坐标系，写出点坐标和向量坐标，从而求得平面的法向量的坐标，由轴⊥平面直接写出平面法向量，由空间向量的关系求得面面角的余弦值.【详解】（1）因为为等边三角形，为的中点，所以．过作，垂足为，因为底面为直角梯形，，，，，所以，则，由得，所以因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．因为平面，所以．又，平面，所以平面．（2）由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，过且平行于的直线为轴，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为m=x,y,z则，令，则，由（1）可知，轴⊥平面，不妨取平面的法向量为，则，故平面与平面夹角的余弦值为．17．若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．(1)求椭圆的方程；(2)不过原点的直线与椭圆交于两点，当的面积为时，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据抛物线和双曲线的焦点，结合椭圆的几何性质即可求解，（2）联立直线于椭圆方程，根据弦长公式以及点到直线的距离公式，即可由面积求解.【详解】（1）抛物线的焦点为双曲线的焦点为依题意可得，，则，所以椭圆的方程为；（2）根据题意，设，联立直线与椭圆方程，可得，消去并整理可得，，则，，由弦长公式可得，，又点到直线的距离为，依题意，令，当且仅当，即或，此时均满足，的面积取得最大值为,此时直线l的方程为或即或18．已知函数．(1)求证：；(2)过点作直线与函数的图象均相切，求实数的值；(3)已知，若存在，使得成立，求实数的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）等价变形所证不等式，再构造函数，利用导数求出最大值即得.（2）设出直线与函数图象相切的切点，利用导数求出切线方程，再与联立结合判别式求出值.（3）结合（1）的结论，按分类，借助导数讨论得解.【详解】（1）函数的定义域为，不等式，令，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，则，即，因此，所以.（2）依题意，，设直线与函数图象相切的切点为，则切线的方程为：，又直线过点，于是，整理得，即，令，求导得，即在上单调增，又，因此，切线的方程为，由与函数的图象相切，得，即，于是，解得，所以实数的值是.（3）①当时，，则，使，符合题意；②当时，，，则，又由（1）知，，因此，不合题意；③当时，令，当时，，则，当时，，则，则，令，求导得，由，得时；由，得时，函数在上单调递增，在上单调递减，因此，即当时，不合题意，所以的最大值为.19．已知等差数列，若存在有穷等比数列，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”．(1)数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”；(2)等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值；(3)数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值．【答案】(1)（答案不唯一）(2)(3)【分析】（1）根据“等比伴随数列”的定义选取等比数列验证即可；（2）根据“等比伴随数列”的定义列出不等式组，两两联立然后求解出的取值范围，则最大值可确定；（3）先分析的情况，当时，将问题转化为“”，利用导数思想构造函数分别求解出对应最值，由此可确定出关于的不等式，再通过构造关于的函数，分析其单调性和取值正负，从而确定出的最大值.【详解】（1）因为，所以，因为，所以数列满足要求，所以数列的一个长度为的“等比伴随数列”为（答案不唯一）.（2）由题意可知，，所以，联立，所以，即，联立，所以，即，联立，所以，即，由上可知，，当时，取的前项为，经验证可知满足条件，综上所述，.（3）设