长沙市天心区2023年九年级上学期《数学》期中试题与参考答案

6/26长沙市天心区2023年九年级上学期《数学》期中试题与参考答案一、选择题本大题共10个小题，每小题3分，共30分。共10题；共30分。1.下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此定义即可得到答案．【详解】解：A、是旋转对称图形，最小旋转角为，旋转角不可能为，故不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是旋转对称图形，最小旋转角为，旋转角不可能为，故不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是旋转对称图形，最小旋转角为，旋转角可以为，故是中心对称图形，故此选项符合题意；故选D．【点睛】此题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解此题的关键．2.已知☉O的半径r=2cm,☉O的圆心到直线l的距离d=

cm,则直线l与☉O的位置关系是(

)A.相离

B.相交

C.相切

D.无法确定【答案】B【分析】因为⊙O的半径r=2cm，圆心O到直线l的距离为d=，所以d<r，所以直线l与⊙O的位置关系是相交．【详解】因为因为⊙O的半径r=2cm，圆心O到直线l的距离为d=,所以d<r,所以直线l与⊙O的位置关系是相交.故选:B.【点睛】考查了直线与圆的位置关系,设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．3.若为二次函数，则的值为（

）A.-2或1 B.-2 C.-1 D.1【答案】D【分析】由二次函数定义可知m2+m=2，同时满足.【详解】解：由题意可知m2+m=2，解得m=-2或1，因为，所以m=1，故选择D.4.如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B＝70°，则∠EDC的大小为()A.10° B.15° C.20° D.30°【答案】B【详解】根据菱形的对角相等得∠ADC=∠B=70°．因为AD=AB=AE，所以∠AED=∠ADE．根据折叠得∠AEB=∠B=70°．因为AD∥BC，所以∠DAE=∠AEB=70°，所以∠ADE=∠AED=55°．所以∠EDC=70°-55°=15°．故选B．5.二次函数的图象如图所示，则下列判断中错误的是（）A.图象的对称轴是直线 B.当时，随的增大而减小C.一元二次方程的两个根是， D.当时，【答案】D【分析】根据二次函数的图象分析对称轴和图象与x轴的交点，一一进行判断即可.【详解】由图像可知，对称轴是x＝，在对称轴右侧，图像是下降趋势，所以当x＞1时，y随x的增大而减小，图像与x轴的两个交点是－1，3，所以方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－1，3，当－1＜x＜3时，图像在x轴上方，所以y＞0，故选D.【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键.6.如图，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE沿着DE对折，点A落在BC边上的点F，若∠B=50°，则∠BDF的度数为（

）A.50°B.70°C.75°D.80°【答案】D【详解】试题解析：因为点D、E分别边AB、AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC，所以∠ADE=∠B=50°，因为△DEF是△DEA经过翻折变换得到的，所以∠EDF=50°，所以∠BDF=180°﹣2∠ADE=180°﹣100°=80°．故选D．7.二次函数的顶点坐标是（）A.（﹣1，﹣2） B.（﹣1，2） C.（1，﹣2） D.（1，2）【答案】A【分析】直接根据二次函数的顶点式即可求得顶点坐标．【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2）．故选：A．8.已知：如图，为⊙的直径，，交⊙于点，交⊙于点，度．给出以下五个结论：①；②；③；④劣弧是劣弧的倍；⑤．其中正确的是（）A.②③④ B.①②④C.①②⑤ D.①②③⑤【答案】B【详解】解：连接，是⊙直径，则．因为，，所以，．因为且，所以平分，，故②正确，又，所以，故③正确，因为，，所以，，所以劣弧是劣弧的倍，④正确；因为，，所以，，故③错误；因为，所以，又，所以，故⑤错误，故正确的有①②④．故选．9.如图，在⊙O中，∠BOC=54°，则∠BAC的度数为（）A.27° B.28° C.36° D.54°【答案】A【分析】由同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，可得，从而可得答案．【详解】解：故选：【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．”是解题的关键．10.下列对抛物线y=-2(x-1)2+3性质的描写中，正确的是(

)A.开口向上 B.对称轴是直线x=1 C.顶点坐标是(-1，3) D.函数y有最小值【答案】B【分析】由抛物线的解析式可求得开口方向、对称轴及顶点坐标，再逐一进行判断即可．【详解】解：A、因为−2＜0，所以抛物线的开口向下，故A错误，不符合题意；B、抛物线的对称轴为：x＝1，故B正确，符合题意；C、抛物线的顶点为（1，3），故C错误，不符合题意；D、因开口向下，故该函数有最大值，故D错误，不符合题意.故答案为：B.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−h)2+k中，顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h．二、填空题本大题共6个小题，每小题3分，共18分）（共6题；共18分。11.抛物线的顶点坐标是_________．【答案】（-4，-5）【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．【详解】因为二次函数的解析式为y=-3（x+4）2-5，所以其顶点坐标为：（-4，-5）．【点睛】考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．12.如图，是半圆的直径，，则的长为__．【答案】【分析】连接，根据圆周角定理得到，根据弧长公式计算即可．【详解】解：连接，由圆周角定理得，，所以的长=．故答案：．【点睛】本题考查的是圆周角定理及弧长的计算，解决本题的关键是熟练掌握弧长公式：（弧长为l,圆心角度数为n，圆的半径为R）．13.平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是__________．【答案】【分析】根据原点对称的坐标都互为相反数计算即可．【详解】因为点关于原点的对称点的坐标是,故答案为：．【点睛】本题考查了原点对称，熟练掌握原点对称的坐标都互为相反数是解题的关键．14.抛物线向上平移3个单位长度后得到的抛物线表达式为__．【答案】##【分析】根据抛物线平移的变化规律“左加右减、上加下减”可求解．【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为，即：，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知函数平移的变化规律“左加右减、上加下减”是解题的关键．15.若二次函数的的图像经过点，则_________．【答案】【分析】利用抛物线过点，则点的坐标满足解析式，把点代入即可．【详解】二次函数的y=ax2的图像经过点(1,−2)，-2=a，a=-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查二次项系数问题，关键掌握图像经过点，点的坐标满足解析式使问题得以解决．16.如图，等腰中，，平分，若，则____．【答案】【分析】过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，过点A作AM⊥BC，可得DF=DE，由，得，结合锐角三角函数的定义，即可求解．【详解】解：过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，过点A作AM⊥BC，因为平分，所以DF=DE，因为，即：，所以，因为，AM⊥BC，所以CM=BC，所以，故答案是：．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握角平分线的性质，添加辅助线是解题的关键．三、解答题本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。（共9题；共72分）17.计算：【答案】【分析】首先计算二次根式的乘法，再化简后计算二次根式的加法即可．【详解】解：原式＝，＝，＝【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18.解方程：【答案】，【分析】由公式法解一元二次方程，即可求出方程的解．【详解】解：，因为，所以所以所以，【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握公式法解一元二次方程．19.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；（2）请直接写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．【答案】（1）画图见解析；（2）6【分析】（1）由AE为网格正方形的对角线，作出点B关于AE的对称点F，然后连接AF、EF即可；（2）根据图象，重叠部分为两个直角三角形的面积的差，列式计算即可得解．【详解】（1）△AEF如图所示；（2）重叠部分的面积=×4×4﹣×2×2=8﹣2=6．考点：作图-轴对称变换20.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过、两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设抛物线与轴的另一个交点为，点是抛物线上一点，点是直线上的一点，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接，在的内部作射线与抛物线的对称轴相交于点，且使得，请你直接写出线段的长度．【答案】（1）；（2）；（3）8【分析】（1）先根据直线求出A、B坐标，利用待定系数法把A、B坐标代入y＝ax2+6x+c解方程组即可得答案；（2）让抛物线y=0求出C坐标，设Q坐标，根据平移表示P坐标代入抛物线可得方程求解即可；（3）CD与AB交于N，由∠QCD＝∠ABC可得△CQN∽△BQC，求出QN及N坐标，再求CN解析式及D坐标即可得出答案．【详解】（1）由直线，当x=0时，y=-5，当y=0时，，所以，，因为经过、两点，代入得，解得，所以．（2）在中令y＝0得，解得x1＝1，x2＝5，所以C（1，0），点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，因为在中，点平移到，点平移到，平移规律为：横轴方向，纵轴方向；所以设，则，因为在抛物线上，所以，所以．（3）设CD与AB交于N，抛物线对称轴交x轴于E，如图：因为B（0，﹣5），C（1，0），Q（3，﹣2），E（3，0），所以CQ=＝2，BQ＝3，因为∠QCD＝∠ABC，∠CQN＝∠BQC，所以△CQN∽△BQC，所以，即＝，所以QN＝，设N（t，t﹣5），而Q（3，﹣2），所以＝，所以t＝或t＝，因为在∠QCB内作射线CD，所以t＝，所以N（，﹣），设CN解析式为y＝kx+b，将N（，﹣），C（1，0）代入得：，解得，所以CN解析式为y＝﹣5x+5，令x＝3得y＝﹣10，所以D（3，﹣10），所以DQ＝﹣2﹣（﹣10）＝8．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数，一次函数解析式、平行四边形判定与性质及相似三角形判定与性质，解题关键是设出坐标，利用相似三角形性质求出QN的长度．21.如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，圆弧经过图中格点三点．（1）线段绕点A逆时针旋转得到线段，按要求作出线段．（2）连接交圆弧于点E，计算线段与圆弧围成的面积．（结果保留）【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）根据旋转的性质找出点B绕点A逆时针旋转的对应点D，然后连接即可；（2）设的中点为O，由圆周角定理可得，连接，由等腰直角三角形性质得，由勾股定理求出，进而得到，然后根据进行计算．【小问1详解】解：如图，线段AD即为所求；【小问2详解】解：设AB中点为O，连接．因为，所以AB是该圆弧所在圆的直径，所以，因为，所以，因为，所以，所以，所以．【点睛】本题考查了画旋转图形，求扇形的面积，掌握旋转的性质，圆周角定理，勾股定理，求扇形面积公式是解题的关键．22.某商店打算以40元/千克的价格购进一批商品，经市场调查发现，该商品的销售量（千克）与售价（元）之间的关系如下表：x45505560y190180170160（1）求关于的函数关系式；（2）若要控制成本不超过3200元的情况下，保证利润达到3200元，该如何定价？【答案】（1）；（2）定价120元．【分析】（1）根据表格利用待定系数法确定一次函数的解析式即可；（2）根据利润达到3200元列出方程求得定价，注意合理取舍．【详解】解：（1）由表格知：是的一次函数，设，，解得：，，关于的函数关系式为．（2）由题意得：，即：，解得：或，成本，得，，定价为120元．【点睛】本题考查了一次函数及一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润和销售量之间的关系，难度中等．23.如图，在△ABC中，AB=13，AC=23，点D在AC上，若BD=CD=10，AE平分∠BAC．（1）求AE的长；（2）若F是BC中点，求线段EF的长．【答案】（1）12；（2）5【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得DE=5，根据勾股定理计算AE的长即可；（2）根据三角形的中位线定理可得结论．【详解】解：（1）因为AC=23，CD=10，所以AD=23-10=13，因为AB=13，所以AB=CD，因为AE平分∠BAC，所以DE=BE，AE⊥BD，因为BD=10，所以DE=5，所以AE=，（2）因为E是BD的中点，F是BC中点，所以EF=CD=×10=5．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，熟练掌握这些性质是关键．24.在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2mx+4m（m为常数）的图象记为G，图象G的最低点为P(x0，y0)．（1）当m＝0时，写出这个函数的表达式，并在所给坐标系中画出对应的图象G．（2）当y0＝﹣1时，求m的值．（3）求y0的最大值．（4）当m＞0，且当图象G与x轴有两个交点时，左边交点的横坐标为x1，直接写出x1的取值范围．【答案】（1），作图见解析；（2）；（3）；（4）2＜＜4．【分析】（1）当m=0时，解析式为，利用描点法画出函数图象即可；（2）把解析式化成顶点式，令顶点纵坐标为，解关于m的方程：，解方程即可求得答案．（3）把化成顶点式，利用二次函数的最值性质即可求得结果；（4）先求得抛物线与x轴有一个交点时的m的取值，再根据当的最大值时m的值，再确定当时的函数值＞从而即可解决问题．【详解】解：（1）当m=0时，这个函数的表达式为，列表：描点并连线：图象如下：（2）由，因为时，所以（3）因为，所以当m=2时，的最大值是4．（4）当抛物线顶点在x轴上时，，所以m=4或，＞因为，当m=2时，的最大值是4，所以如图，观察图象可知，当时，＞所以当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为，则的取值范围是2＜＜4，【点睛】本题属于考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解法，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，最值问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．25.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：