长沙市天心区2023年九年级上学期《数学》期末试题与参考答案

6/30长沙市天心区2023年九年级上学期《数学》期末试题与参考答案一、选择题在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本题共10个小题，每小题3分，共30分。1.下列各数中是无理数的是()A. B. C. D.【答案】B【分析】根据无理数的定义判断即可．【详解】解：A.是有理数，不符合题意；B.是无理数，符合题意；C.是有理数，不符合题意；D.是有理数，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π；开不尽方的数；以及像等有这样规律的数．2.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.赵爽弦图 B.笛卡尔心形线C.科克曲线 D.斐波那契螺旋线【答案】C【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.今年一季度，湖南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达21470000000元，数据“21470000000”用科学记数法表示为()A. B. C. D.【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．【详解】解：，故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.如图，，，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据平行线的性质解答即可．【详解】解：，，，，故选B．【点睛】本题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．5.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运算即可；【详解】解：，A错误；，B错误；，C错误；，D正确；故选D．【点睛】本题考查整式的运算；熟练掌握合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键．6.一元二次方程的根的情况是()A.没有实数根 B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根 D.有两个不相等的实数根【答案】D【分析】将原方程化为一般式，由根的判别式，即可得出答案．【详解】将原方程化为一般式为：，因为，所以原方程有两个不相等的实数根，故选：D7.一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是()A. B. C. D.【答案】C【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长．【详解】解：因为圆锥的底面半径是6，高是8，所以圆锥的母线长=，所以这个圆锥的侧面展开图的面积．故选：C．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键在于熟练掌握圆锥的侧面积的计算公式：．8.已知抛物线经过和两点，则n的值为()A. B. C.2 D.4【答案】D【分析】根据和两点，确定，确定b的值，回代解析式计算即可．【详解】因为抛物线经过和两点，且它们是对称点，所以，解得，所以抛物线解析式为，所以，故选D．【点睛】本题考查了抛物线对称点坐标与对称轴的关系，熟练掌握这个关系是解题的关键．9.如图，在中，已知，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧在两侧分别交于P、Q两点，作直线交于点D，交于点E．若，则的长为()A. B.5 C.6 D.【答案】A【分析】连接，过A点作于点F，根据作图可知：垂直平分，即可得，，在中，，同理可得，利用勾股定理即可得，易得，即有，问题随之得解．【详解】解：连接，过A点作于点F，如图，根据作图可知：垂直平分，所以，，因为，，所以，，所以，，在中，，，所以，所以，因为，，所以，所以，，，因为，所以，所以，因为，所以在中，，故选：A．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图法，垂直平分线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，掌握含角的直角三角形的性质是解答本题的关键．10.如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．利用AB与⊙O相切，△BAP是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用x表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象：【详解】因为AB与⊙O相切，所以∠BAP=90°，因为OP=x，AP=2－x，∠BPA=60°，所以AB=，所以△APB的面积，（0≤x≤2）．所以△PAB的面积y关于x的函数图像是经过（2，0）的抛物线在0≤x≤2的部分．故选D．二、填空题本题共6个小题，每小题3分，共18分。11.因式分解=_________________________．【答案】．【详解】试题分析：原式=．故答案为．考点：提公因式法与公式法的综合运用．12.若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____．【答案】##【分析】先根据二次根式有意义条件列出关于的不等式，求出的范围即可．【详解】因为代数式在实数范围内有意义，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0．13.已知，的是一元二次方程的两个实数根，则_____．【答案】【分析】利用根与系数的关系定理计算即可．【详解】因为，的是一元二次方程的两个实数根，所以．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，正确理解定理是解题的关键．14.若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是_______．【答案】【分析】把依次代入解析式求解，即可比较．【详解】解：因为反比例系数，所以函数在第二象限和第四象限内的函数值随的增大而增大，，，故答案为：．【点睛】此题主要考查函数值的大小，解题的关键把代入求解．15.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为__________．【答案】【分析】先找到圆心O，得到∠BOC=45°，利用弧长公式即可求解．【详解】解：连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为的圆心O，从图中可得：的半径为OB=5，连接OC，因为∠BAC=22.5°，所以∠BOC=222.5°=45°，的长为．．故答案为：【点睛】本题考查了弧长公式，找到的圆心是解题的关键．16.如图，在矩形中，点为的中点，点为射线上一动点，与关于所在直线对称，连接，分别交、于点、，，．若与相似，则的长为_____．【答案】1或3【分析】分两种情况：①当时，；②当时，，分别求解即可．【详解】当时，，因为四边形是矩形，所以，，，所以，所以，所以，，因为与关于所在直线对称，所以，所以，当时，，因为，所以，在中，因为，所以故答案为：1或3【点睛】本题主要考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点．三、解答题共8个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤。17.计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．【答案】3【分析】先计算20、、（）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．【详解】20+（）﹣1•﹣4tan45°＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．【点睛】本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．18.先化简，再求值：其中．【答案】，3【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．【详解】解：===，当时，=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．19.如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．（1）过直线m作四边形的对称图形；（2）求四边形的面积．【答案】（1）见解析；（2）8【分析】（1）先作出四边形ABCD各个顶点关于直线m的对称点，再顺次连接起来，即可；（2）四边形对角线的乘积÷2，即可求解．【详解】（1）如图所示：（2）．【点睛】本题主要考查画轴对称图形以及四边形的面积，掌握轴对称图形的性质，是解题的关键．20.为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）此次调查的总人数为________；（2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是________°；（3）请将条形统计图补充完整；（4）为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．【答案】（1）20人（2）36（3）见解析（4）【分析】（1）由条形统计图中B类学生数及扇形统计图中B类学生的百分比即可求得参与调查的总人数；（2）由扇形统计图可求得不达标的学生所占的百分比，它与360°的积即为所求的结果；（3）现两种统计图及（1）中所求得的总人数，可分别求得C类、D类学生的人数，从而可求得这两类中未知的学生数，从而可补充完整条形统计图；（4）记A类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记D类学生的一男一女分别为“男”、“女”，列表即可求得所有可能的结果数及所选两位同学恰好是相同性别的结果数，从而可求得概率．【小问1详解】由条形统计图知，B类学生共有6+4=10（人），由扇形统计图知，B类学生所占的百分比为50%，则参与调查的总人数为：（人）故答案：20人【小问2详解】由扇形统计图知，D类学生所占的百分比为：，则扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是：360°×10%=36°故答案为：36【小问3详解】C类学生总人数为：20×25%=5（人），则C类学生中女生人数为：（人）D类学生总人数为：20×10%=2（人），则C类学生中男生人数为：（人）补充完整的条形统计图如下：【小问4详解】记A类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记D类学生的一男一女分别为“男”、“女”，列表如下：男1女1女2男男男1男女1男女2女女男1女女1女女2则选取两位同学的所有可能结果数为6种，所选两位同学恰好是相同性别的结果数有3种，所以所选两位同学恰好是相同性别的概率为：【点睛】本题是统计图的综合，考查了条形统计图与扇形统计图，简单事件的概率，关键是读懂两个统计图并能从图中获取信息．21.如图，中，，相交于点，，分别是，的中点．（1）求证：；（2）设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）当时，四边形是矩形，理由见解析【分析】（1）连接，先根据平行四边形的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证；（2）先根据矩形的判定可得当时，四边形是矩形，再根据线段中点的定义、平行四边形的性质可得，由此即可得出的值．【小问1详解】证明：如图，连接，四边形是平行四边形，，分别是，的中点，，四边形是平行四边形，．【小问2详解】解：由（1）已证：四边形是平行四边形，要使平行四边形是矩形，则，，，即，，故当时，四边形是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．22.学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．（1）求A，B两种奖品的单价；（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】（1）A的单价30元，B的单价15元（2）购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少【分析】（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意列出方程组，即可求解；（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为个，购买奖品的花费为W元，根据题意得到由题意可知，，，根据一次函数的性质，即可求解；【详解】解：（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意，得，，A的单价30元，B的单价15元；（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为个，购买奖品的花费为W元，由题意可知，，，，当时，W有最小值为570元，即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少；【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键．23.如图，在中，，点O在上，以线段的长为半径的与相交于点D，分别交、于点E、F，连接并延长，交的延长线于点G．若，的半径为3．（1）求证：是的切线．（2）若，求的长．（3）连接，当四边形为菱形，求长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）；【分析】（1）与相交于点D根据圆的基本性质得到，根据三角形外角得到，结合已知得到从而证明，结合可证，得到结论；（2）由（1）可知在中，，根据勾股定理求得，结合得到，利用相似三角形的性质得到，代入求解即可；（3）如图，连接，根据菱形的性质结合已知易证为等边三角形，结合（1）可求得，在中解三角形即可求得，结合得到，利用相似三角形的性质得到，代入求解即可．【小问1详解】证明：与相交于点D，所以，又是半径是的切线【小问2详解】解：由（1）可知，的半径为3在中，，因为，，即，，【小问3详解】如下图，连接，当四边形为菱形时，，，为等边三角形，，由（1）可知，在中，所以，因为，，即，解得：【点睛】本题主要考查圆的基本性质，三角形的外角，平行线的判定与性质，切线的证明，相似三角形的判定和性质，菱形的性质以及解直角三角形；解此题的关键在于熟练掌握与灵活运用其知识点．24.北京冬奥会上，由于中国冰雪健儿们的发挥出色，中国金牌总数位列第三，向世界证明了中国是冰雪运动强国！青蛙公主谷爱凌发挥出色一人斩获两金一银．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“爱凌点”，经过点的函数，称为“爱凌函数”．（1）若点是“爱凌点”，关于x的数都是“爱凌函数”，则_____，_____，_____．（2）若关于x的函数和都是“爱凌函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k的值．（3）如图，点、是抛物线上两点，其中D在第四象限，C在第一象限对称轴右侧，直线AC、AD分别交y轴于F、E两点：①求点E，F的坐标；（用含，的代数式表示）；②若，试判断经过C、D两点的一次函数是否为“爱凌函数”，并说明理由．【答案】（1）2；-1；-1；（2）；（3）①；；②经过C、D两点的一次函数y=kx+b(k≠0)是“爱凌函数”；理由见解析【分析】（1）根据已知条件，代入求解即可；（2）首先用待定系数法求出反比例函数解析式，然后应用一元二次方程根的判别式求出k的值；（3）首先根据前提条件推出x1与x2的关系，然后利用C，D坐标用x1和x2表示出直线斜率kCD，进一步代入点C或者点D的坐标，表示出截距b，然后将坐标（2，1）代入一次函数，和前面的结论比较是否符合条件．【小问1详解】解：因为（3r＋4s，r＋s）为“爱凌点”，所以，解得：，将（2，1）代入y＝x2−x＋t得：，解得t＝−1．故答案为：2；-1；-1．【小问2详解】当k≠0时，将（2，1）分别代入y＝kx＋b与y＝中，得，即，因为两个函数图象有且只有一个交点，所以kx＋1−2k＝只有一个根，即：kx2＋（1−2k）x−2＝0，Δ＝（1−2k）2＋8k＝0，所以k＝−．当k=0时，y=b，因为函数y=b是“爱凌函数”，所以b=1，此时，符合题意，所以k＝【小问3详解】①令x2−3x＋2＝0，得：，x2=2，所以A（1，0），B（2，0），因为C、D两点在抛物线上，所以C（x1，x12−3x1＋2），D（x2，），设AD的函数关系式为：，则，解得：，所以，令x＝0，则，所以，设AC的函数关系式为：，则，解得：，所以，令x＝0，则，所以；②y＝kx＋b是“爱凌函数”，理由如下：因为若OE•OF＝1，所以，所以（2−x2）（x1−2）−1＝0，所以2x1−x1x2＋2x2−5＝0，因为一次函数y=kx+b经过C、D两点，所以，解得：，所以CD的关系式为：y＝（x1＋x2−3）x＋2−x1x2，将（2，1）代入得：2（x1＋x2−3）＋2−x1x2=1，即2x1−x1x2＋2x2−5＝0，与前提条件OE•OF＝1所得出的结论一致，所以经过C，D的一次函数y＝kx＋b是“爱凌函数”．