高三数学一轮复习《数列》练习题（含答案）

高三数学一轮复习《数列》练习题（含答案）

一、单选题

1.已知递增等差数列｛4｝中，01a2=-2,则%的（）

A.最大值为一4B.最小值为4C.最小值为一4D.最大值为4

2.已知数列｛%,｝的前〃项和为S“，“22且"eN’,满足。“+2S,S,T=0,数列

的前”项和为则下列说法中错误的是（）

1211

A.«2=--B.—=—+—

4S6£s

C.数列｛S“+S”+「S”+J的最大项为［D.27；=士生+号晶

12nn+1

3.已知等差数列｛4｝的前”项和S“，且邑=4,邑=14,则S“-03最小时，”的值为（）.

A.2B.1或2C.2或3D.3或4

4.设等比数列｛%｝的公比为4,前〃项和为S”.若q>l,am+am+2=^am+l,且S2,“=9S”，

mGN\则加的值为（）

A.2B.3C.4D.5

5.设等差数列｛%｝的前〃项和为S,,若S«=2,S2k=S,则S〃=()

A.28B.32C.16D.24

6.某企业在今年年初贷款“万元，年利率为7,从今年年末开始每年偿还一定金额，预计

五年内还清，则每年应偿还（）

g(l+r)

D«/(1+7).一

A.八\5.万兀B.\51万兀

(1+7)-1(1+7)-1

g/(l+/)5ay一

C.4万兀D.\5万兀

(i+r)-1(1+7)

7.由％=4,d=3确定的等差数列｛4｝,当助=28时，序号"等于（）

A.9B.10C.11D.12

8.在等差数列｛%｝中，6+34+。15=6。，贝2〃9一。10的值为()

A.6B.8C.12D.13

9.在等差数列｛2｝中，S”为其前〃项和，若Q2+4+Q7=12,则Sg=

A.20B.27C.36D.45

10.设数列｛%｝的前〃项和为s“，且q=la“=｝+2(〃-l)(〃eN*),则数列［反先;的前

10项的和是

9510

A.290B.—C.—D.—

201111

11.记S“为等比数列｛q｝的前"项和.若S?=4,$4=6,则及=()

A.7B.8C.9D.10

12.等比数列｛4｝中，4=3,旬=384,则该数列的通项%=()

A.3?n~3B.3?"-1C.3?nD.3?"-3

二、填空题

13.在等比数列｛风｝中，a2+a3=l,a3+a4=2,则%+%=.

14.在正项等比数列｛%｝中，若色。4a5=3”,5诂（108301+1083。2+…+108307）的值为

15.已知数列｛。,｝的通项公式凡="］，其前。项和为S“，则/=___.（用分数作答）

n+2n

16.已知。是1,2的等差中项，b是-1,-16的等比中项，则H等于.

三、解答题

17.已知实数L纪成等差数列，求证：成等比数列.

abc222

18.设数列｛%｝的前”项和为S“，且邑=120,an+x=3an.

（I）求数列｛%,｝的通项公式；

（ID设〃=1“3。21，求数列4的前”项和却

W也+J

1

19.设数列｛4｝满足％=1,G„+1-a„=2-3"-.

（1）求数列｛凡｝的通项公式；

（2）令2=（2，+1甩,求数列出｝的前”项和S”.

_［an+1,〃为奇数,

20.已知数列｛〃“｝满足弓=1,岛=［应+2,〃为偶数

（1）记功=%,写出*b2,并求数列出｝的通项公式;

（2）求｛4,｝的前20项和.

21.已知数列｛4｝中，弓=3,点（a,,,%）在直线y=3x上.

（1）求数列｛4｝的通项公式及其前九项的和S“；

Tn、T*3

（2）设。=一，"wN,证明：bx+b2+---+bn<—.

an4

22.若数歹（］｛%｝的前〃项和S〃=2。〃一2,neN*.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）若2=log2%“T（〃eN*）,求数列也｝的前〃项和却

,、9

23.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且4sm=3'-9.

（1）求数列｛%｝的通项；

（2）设数列也｝满足她+（〃-4）a“=0（”eN*）,记也｝的前〃项和为（，若事V独,对任意

〃cN*恒成立，求实数2的取值范围.

24.已知数列q,a2,%”的项生仁｛1，2｝,其中i=l,2,3,…，6”，〃eN*,其前6〃项和

为无，记%,除以3余数为1的数列为,出，…，的个数构成的数列为圾｝，〃eN*.

（1）求4的值;

（2）求数列｛2｝的通项公式，并化简.

参考答案

1.B

解：•.•递增等差数列｛如｝中，*2=-2,

/.ai（ai+d）--2,且d>0,

2

:.d=ai,ai<0,

O3=ai+2d=~ai->2^（-0]=4,

当且仅当S=-2时，等号成立，

.。3有最小值4.

2.D

当"》2且〃eN*时，由=S”一,

由a,+2SnS“_i=0可得S“-S“T+2s£_[=0n1--J+2=0,

%—1%

J11c

整理得「『=2（"22且〃eN）.

则为以2为首项，以2为公差的等差数列n/=2+（八l）-2=2"，.•*=；.

可2n

A中，当〃=2时，a,=S2—S]=------=—,A选项正确；

424

B中，!为等差数列，显然有V=J+B选项正确；

13"%》8

C中，记b“=sn+Sn+1-Sn+2=4+0/1一,/二、,

2n+2(〃+2)

h=q_q=〔-L〔________〔

用一用“+2〃+3—2(〃+l)2(n+2)2(〃+3)'

71111"+6八(、

­-%一£=E一五-而⑶=-2小+2)(〃+3)<°,故也｝为递减数列，

1117

；•(〃)1mx=4=5+$2心=耳+4飞=诊，C选项正确；

D中，=y=〃(2：2〃)=“(“+]),,-.7；1+1=(«+1)(«+2).

—^+-^-7^1+1=金"5+1)+号•(〃+1)("+2)=(W+1)GL1)+W(W+2)

nn+inn+i

222

=n—1+n+2n=2n+2〃—1w2Tn,D选项错误.

3.C

解：设等差数列｛4｝的公差为d,

因为S3=4,S7=14,

3q=4

191

所以；「，解得％=1,d=<,

7卬+口=143

12

匚匚I、IC2n(n-I)1rl1.c、i2-5n-50

所以S〃一％+3=〃+---又[一[1+[(〃+2)]=-------------

ZJjlo

因为〃eN+，

所以当〃=2或〃=3时，其有最小值.

4.B

因为。m+“^二^卬向，

所以+。,/2~—amq,得至Uq。-—q+\=Q,

因为q>i，所以q=2.

由52„,=9与，得世土l=9x业之，又。尸0,

所以1一22'"=9(1一2'"),

因为〃zeN*,贝!)1一2"'片0,

所以1+2"'=9,解得〃?=3,

5.B

由等差数列｛%｝前n项和的性质，

可得又，S2k-Sk,S,k-S2k,S仅-$3k成等差数列,

2（S2k-Sk）=Sk+S3k-S2k,解得5我=18.

.2,6,10,S以T8成等差数列，

可得2X10=6+SL18,解得小=32.

6.B

设每年偿还x万元，

则x+x(l+y)+x(l+/)2+x(l+y)3+x(l+/)4=。(1+/丫,

1-(1+7丫

所以=<7(1+/)5,

1-(1+/)

解得户"

7.A

解：因为4=4,d=3,所以q=4+(〃—l)d=3〃+l,所以%=3〃+1=28,解得忆=9

8.C

因为q+34+〃15=60,所以5〃8=60,所以〃&=12,

所以2。9_4)=。8+4。―%0=4=12,

故选：C.

9.C

因为｛〃〃｝为等差数列，4+4+%=12,.*.3^+12d=\2,因止匕q+4d=4

QXQ

又・.•S9=9〃1+—6/=9q+36d=9(q+4d),「・S9=36.

10.C

由4=&+2(〃一得S〃=〃。“一2〃(〃一1),

当〃N2时,a”=S"—S"T=nan—(n-V)an_x—4(n—1),整理得an-an_x=4,

所以｛4｝是公差为4的等差数列，又q=l,

所以%=4〃-3(neN*),从而S“+3〃="(%；"")+3〃=2/+2〃=2MH+1),

111]

所以

Sn+3n2〃(〃+1)n+1)

数列一的前1。项的和5小$5

TT

11.A

•••S〃为等比数列｛为｝的前〃项和,

...s?,S4-S2,臬-S4成等比数列

/.S2=4,54—S2=6—4=2

56-S4=1,

/.S6=l+S4=1+6=7.

12.D

设等比数列｛4｝的公比为4,

7384

因为%=3,a10=384,可得/=^=亍=128,解得q=2,

所以数列也｝的通项公式为4=3X2"-3.

13.4

设公比为4，由%+。3=1,%+〃4=2,

得/+〃4=a2q+%q=q(a2+%)=q=2，

所以。4+%=4^+^^二夕3+6Z4)=2X2=4.

14.昱

2

数列｛。“｝是正项等比数列，

log3q+log3a2+.....+log30n-log3(q/…%)，

77£

q%...%==(ajp=33

(7兀、77r

log%+loga+.....+log%=log(“生…%)=log33

3323333

sin(log3ax+log3a2+...+log3%)=sin——=sin—=

因为数列｛叫的通项公式%

-Ifl111111

所以S=-------1---------1---------F...H----------,

102U324351012J

lfll_l_±LlZ5

=2U+21112J264，

175

故答案为：——

264

16.±6

1+23

因为。是1,2的等差中项，所以“一==5,

因为匕是-1,-16的等比中项,所以〃=(-l)x(-16)=16,

6=±4,所以而=±6.

故答案为：±6.

17.因为士!一成等差数列，所以工+，=£,即2=’幺且"CW0,

abcacb2a+c

1

/(b\b(xbac/、b2b2

I2)[22V74a+cy744

所以I—5卜—3=成立且各项均不为零，

所以：成等比数列.

222

18.(1)氏=3"(2)?；=——

2n+l

(I)V—=3,｛%｝是公比为4=3的等比数歹U,

又邑=业"=120,解得％=3.

{%}是以4=3为首项，以"=3为公比的等比数歹U,

通项公式为an=ad"'=3".

21

(II)・；^1=log33"-=2n-l

T_1111J11111

1x33x5(2??-l)(2n+l)2(3352«-12/7+1

19.(1)4=3"。"eN*;(2)Sn=n-T,nwN*.

(1)由已知，当时，

an=01+(%-%)+(%—%)+…+(%

=1+20+3+3?+…+3”+

当”=1时，41=31=1符合上式,

=3"1,n&N*.

(2)由(1)知£=(2W+1)%=(2"+1)X3"T,

S“=3x3°+5x3】+…+(2〃+1)X3"T①

35“=3x3】+5x3?+…+(2”-l)x3"T+(2”+l)x3"②

①-②得—2S"=3+20+32+…+3依)-(2〃+1>3"

=2(1+3)+32+---+3n-1)-(2M+l)-3H+l

=2x^p^—(2〃+l)3+l

=—2〃3

所以，S.=〃3,neN*.

20.(1)白=2也=5也=3〃一1；(2)300.

解：（1）［方法一］【最优解】：

显然2〃为偶数,则a2n+l=a2n+2,a2n+2=a2n+i+1,

所以出.+2=%+3,即〃+1=勿+3,且。=&=%+1=2,

所以｛2｝是以2为首项，3为公差的等差数列，

于是4=2也=5,"=3/7-1.

［方法二］:奇偶分类讨论

由题意知％=1,%=2,%=4,所以々=2=2,6?=%=%+1=5.

由（"为奇数）及4+1-4=2（〃为偶数）可知,

数列从第一项起，

若”为奇数，则其后一项减去该项的差为1，

若〃为偶数，则其后一项减去该项的差为2.

所以。“+2一%=3(〃wN*),则〃=^+(?/-l)x3=3n-l.

［方法三］:累加法

由题意知数列｛%｝满足q=l,a“+i=a“+~|+（；）-（“□N*）.

3f-l)1

所以4=2=q+a—--=i+i=2,

3(-1)33(-1)2_

Z?2=%=〃3+万-I--------=/+］=〃2+5------1-1-〃2+2+1=2+3=5,

则

b〃="2〃=(“2〃_〃2“-1)+(〃2〃_1_〃2九-2)+...+(%_%)+%=1+2+1+2+…+2+1+4

=〃x1+2(〃-1)+1=3n—1.

所以4=2也=5,数列也｝的通项公式a=3”1.

(2)［方法一］:奇偶分类讨论

5=23H----+〃20=(4+〃3+〃5■1----419)+(〃2+〃4+^6+，，*+6/20)

20ax+々+。

=(4—1+z?2—1+4—1+,•,+b、o—1)+4+n+4+,•,+济。

=2义"。)>10-10=300.

2

【方法二］:分组求和

由题意知数列｛%,｝满足q=1,%“=的.一1+1，。2用=%“+2,

a

所以。2”+1=2n+2=a2n-l+3.

所以数列｛%｝的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；

同理，由的“+2=。2m+1=%“+3知数列｛”“｝的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.

从而数列｛4｝的前20项和为：

S20=(%+〃3+%+..・+%9)+(〃2+〃4+〃6+・一+〃20)=10x1+----x3+10x2+-----x3=300.

&〃+1o

21.⑴。“=3",S"=^^；

因为点（。”,。向）在直线y=3x上，所以4包=3,又％=3,

an

故数列｛5｝是以3为公比，3为首项的等比数列，所以%=3",$=生刍=/=.

n1c0

由题可知记］=4+4+…+%

12

所以雹=-+^T+L+

@x->得]<=而②

z-\zn_IIInI

①]②，得/=§+?+•■•+谦-产=5

2

22.(1)。“=2"；(2)Tn=«.

(1)数列｛4｝的前w项和S“=2a“-2,n&N*.

“22时，约=S“-S“_i=2%-2-(24_]-2),化为：a“=2a,_\,

〃=1时，q=2q-2,解得q=2..•.数列｛%｝是等比数列，首项为2,公比为2.

⑵bn=log?。"]=2"1.因为bn+l-bn=2,

二数列｛。｝是等差数列，首项为1,公差为2,所以

九(q+4)n(l+2n-l)

.，=—3-=一^-"2

H

23.(1)cin——3•(~):(2)—3</I<1.

(1)当〃=1时，4(%+%)=3%-9,

当〃22时，由4s向=3S“—9①，

得4s.=3%-9②，①-②得4%=3%

%=一^"W0,册W。，•>-=-7,

16an4

又」期=彳3,「.,{%}、是首项为―Q彳，公比为3;的等比数歹U,

为444

(2)由3)+(〃-4)4=0,得以=-〃丁一44=(〃-4)守3,

所以1=一3、：一2乂(£|Tx[：+ox[j+…+(〃一4)•百,

I/前⑦图1喏。…+(•］沪(…・，：

两式相减得;(=一3x[+g]+日+]£|+…一5一4)(£|

=-汨-4图-(…闫一图

所以7；=