高考数学专项复习：立体几何（新高考专用）含答案及解析

专题09立体几何

题型一：斜二测求算面积及周长义易错点：对斜二测法规则掌握不牢

迹二：点、线、面之间的关系0、易错点：空间点、线、面位置关系不清

题型三：异面直线成角问题又易错点：忽略异面直线的夹角与向量的夹角范围不同

题型四：求线面角0、易错点：线面角与向量夹角转化不清等问题

题型五:求二面角白、易错点：忽略二面角范围有重新的规定

易错点一：对斜二测法规则掌握不牢(斜二测求算面积及周长)

水平放置的平面图形的直观图的画法

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

空间几何体直观图的画法

立体图形直观图的画法步骤

(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个二轴，直观图中与之对应的是Z轴.

(2)画底面：平面x'0'y'表示水平平面,平面y'0'z'和V。力表示竖直平面,按照平面图形的画法，

画底面的直观图.

(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.

(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.

易错提醒：①建立坐标系；②“位置规则”一与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”一图形

中平行于X轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半.

三9

例.如图矩形O'ABC是水平放置的一个平面四边形0A8C的直观图，其中。0=3,O'C'=1,

(1)判断平面四边形OA8C的形状并求周长;

(2)若该四边形0A2C以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.

变形1.如图，梯形是一水平放置的平面图形ABC。在斜二测画法下的直观图.若平行于y轴,

9

4月〃CXDX,\B}=jGR=2,AR=1,求梯形ABCD的面积.

变形2.如图所示，正方形ON'3'C'是一个水平放置的平面图形0A8C的直观图，其中O'A'=2.

(1)求原图形的面积；

⑵将原图形以0A所在的直线为轴,旋转一周得到一个几何体,求该几何体的表面积与体积.(注：图形OABC

与正方形O'AB'C'的各点分别一对应，如0B对应直观图中的0B)

变形3.(1)如图，夕C是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；

(2)在⑴中若|AC[=2,8T>7/y轴且怛必=1.5,求原平面图形"BC的面积.

1.如图，AA'3'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图,

⑵若AC“的面积是冬求原图形中AC边上的高和原图形的面积.

2.画出图中水平放置的四边形ABCD的直观图AB'C'O',并求出直观图中三角形8也。?的面积.

3.用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知A'3'=3,BC'=1,A'Z)'=3,且

AD'//B'C.

(1)求原平面图形ABCD的面积；

(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.

4.如图所示，正方形O'A'B'C是一个水平放置的平面图形Q4BC的直观图，其中04=1.

(1)求原图形的面积；

(2)将原图形以Q4所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.(注：图形Q4BC

与正方形O'AB'C'的各点分别对应，如OB对应直观图中的O®)

9

5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示，已知AB'=5,B'C'=2,AD='且

AD//B'C.

(1)求原平面图形ABCD的面积；

(2)将原平面图形ABCD绕AD旋转一周，求所形成的几何体的体积.

6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示.已知A®=4,==且A。

(1)在平面直角坐标系中作出原平面图形ABCZ)并求面积；

(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.

7.如图，梯形O'AB'C是水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图，已知。O'A=2,

(1)在下面给定的表格中画出四边形Q4BC(不需写作图过程);

(2)若四边形Q45c以Q4所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构

特征，并求该几何体的体积.

8.如图，一个水平放置的平面图形的直观图AB'C'D是边长为2的菱形，且。。=2,求原平面图形的周

9.如图所示，O'43'C'为四边形。12C的斜二测直观图，其中O'A'=3,O'C'=1,B'C'=1.

(1)画出四边形0ABe的平面图并标出边长，并求平面四边形0ABe的面积；

(2)若该四边形048c以0A为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.

10.如图，矩形O'AB'C'是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形0Ase的直观图，其中。4=3,

O'C'=1.

(1)画出平面四边形。1SC的平面图，并计算其面积；

(2)若该四边形Q4BC以。4为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.

11.在AABC中，角A,B,C所对边分别为a,6,c,若a?+从+°2=2>/§a6sinC.

(1)证明：AABC为等边三角形；

(2)若(1)中的等边AABC边长为2,试用斜二测法画出其直观图，并求直观图面积.

注：只需画出直观图并求面积，不用写出详细的作图步骤.

易错点二：空间点、线、面位置关系不清(点、线、面之间的关系)

[结论：）①要证线〃面，条件为3个，其中必有《线•面》

②要证线，面，条件为2个，其中必有《线〃线或面〃面》

③要证线〃线（面〃面），条件为2或3个，其中必有《两个线，面》

④要证线，线（面，面），条件为2个，其中必有《_!、〃（u）》

⑤要证线，线（面，面），条件为3个，其中必有e〃〃》

线J_面、〃〃

易错提醒：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程

度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明

作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。

三三

例.已知为两条不同的直线，"为两个不同的平面，且。，a,bl/3,则下列命题中的假命题是

A.若a1/b,则a〃6B.若。则；J

C.若a,b相交，则a,夕相交D.若a,£相交，则相交

变式1.在空间中，已知/,加，〃为不同的直线，a,0,/为不同的平面，则下列判断正确的是（）

A.若m//n,则”//&B.若租_1_<7且加〃分，则

C.若/_1_加，Un,rnua,〃ua,贝D.若。_L〃，,贝!]/?〃/

变式2.已知a,b为两条不同的直线，a,尸为两个不同的平面，则（）

①若a_L6Z,bL/3,且a〃4，则a〃匕；

②若a±a,b//P,且a〃/，则._|_6；

③若a//a,b1/3,且则a〃6；

④若a_La,bL/3,且a_L尸，则联_L力.

其中真命题的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

变式3.若/，机为两条不同的直线，a为平面，且〃/c,贝I」a”是（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

三9

1.已知不同直线。，b,不同平面Q,%%下列说法正确的是（）

A.岩aua,bua,a〃B，b〃B,则a〃/?

B.若〃〃〃二/也二，则b尸。

C.若a工/,0工y,ac0=a,贝!Ja_L/

D.若ac]3=a,a1b,bu0,则a_L/7

2.已知6万为两个不同的平面，加，2/为三条不同的直线，则下列结论中不一定成立的是（）

A.若a工0,1"a,贝心〃尸

B.若/_L〃,/_La,则a//6

C.若/_Lm』_L〃，且/ua,机,〃u/,则a_L4

D,若///根,///〃，且机ua,〃u£,则a///?

3.设人〃是两条不同的直线，①〃是两个不同的平面，且mua,〃u£,则下列命题正确的为（）

A.若相〃人〃〃斯则a〃/?；B.若m上0,则。_L/7；

C.若a〃/，则根〃/7,〃〃&；D.若a_L^,则m_L"〃_La.

4.已知/,m,〃为三条不同的直线，。，£,7为三个不同的平面，则下列说法中正确的有（）

A.若/_La,m±Z,则m//a

B.若二_L7,。工丫,。口尸=/，贝l"，/

C.若a邛，I,加分别与。，，所成的角相等，则〃加

D.若。门夕=/,=/Ia=n,且/口机=「，则/，加，几交于点P

5.设/是直线，。，仅是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若///□,111（3,则a〃/?B.若。，尸，Illa,贝I"，尸

C.若/_La,,则D.若。〃/?,l_La,则/，分

6.已知专为直线/的方向向量，晨晨分别为平面a,夕的法向量（①〃不重合），那么下列说法中正确的有（）

A.U_L&o///aB.勺_1%0a_L/?

C.nJIn10aliBD.e_L"=/_La

7.已知平面afl平面尸=根，则下列结论一定正确的是（）

A.存在直线〃u平面。，使得直线“，平面夕

B.存在直线〃u平面a,使得直线Q〃平面夕

C.存在直线。u平面a,直线平面夕，使得直线。，直线〃

D.存在直线〃u平面。，直线bu平面使得直线〃〃直线5

8.设机，〃是两条不同的直线，。，夕是两个不同的平面，则下列说法中正确的有（）

A.若a_L尸，。口尸=加，nLm,则〃_L4

B.若mlla,mlIn,nu0,则a〃尸

C.若m/M,nl/3,mua,则a_L4

D.若m_La,RU0,allp,则相_L〃

9.若机，〃为空间中两条不同的直线，a,B，/为空间三个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若a_Ly,B]丫，则。〃尸B.若m_La,机///7,则。，尸

C.若mlla,〃_La,则加_L〃D.若all。，mlla,nu/3,则加〃几

10.加、〃是两条不同的直线，。、夕是两个不重合的平面，下列说法正确的是（）

A.加、〃是异面直线，若加//a,mlIp,nila,nllp,则。〃分

B.若a1/3,mlla,则机/〃？

C.若机_L〃，mua,nu0,则a_L尸

D.若加_La,mlIn,nil[3,则a_L4

11.已知孤〃为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（）

A.若m/la,nua,贝lj加〃〃B.若mLa,n〃a,则m_L〃

C.若mLa,nLB，al/B,则刃//〃D.若机_L〃,〃_L尸,a_L尸，则m_La

易错点三：忽略异面直线的夹角与向量的夹角范围不同（异面直线成角问

题）

避规方法:）

第一步：将所求直线中的一条用刻度尺进行平移然后与另一条直线衔接出现三角形

第二步：将三角形画到草稿纸上并利用空间图求出各边的长

第三步：利用余弦定理求出待求角

第四步：检查若求出的角为锐角或直角则即为所求，若求出的角为钝角则补角即为所求

秒杀：

四面体的任何一组对棱都是异面直线，因此以四面体为载体，把异面直线放在四面体对棱所在的位置,

利用四面体对棱夹角公式处理异面直线角度问题

结论：（在四中体A—BCD中,若AC与所成的角为。

四面体对棱夹角公式：cose=卜加+3-吐+研

2ACDB

ACDB2ACDB

证明如下:costAC,DB)=产=[

,1MAQDB2AC-DB

=ACDA+ACAB+CABC+CACD=ACAB-ACBC+CACD-CADA

=AC(AB-BC)+G4-^5-ZM)=(AB+BC)(AB-BC)+^5+ZM)-^5-DA)

|(AB2+CD2)-(BC2+ZM2]

所以cos（正函=

2ACDB

易错提醒：两异面直线所成角的范围是（o,g］。两向量的夹角的范围是［0,万］,需要注意两者的区别与联系.

例.已知正四面体ABC。，M为A3中点，则直线CM与直线8。所成角的余弦值为（）

A2

c・粤D,坦

■321

变式1.如图，正方形ABCRABM的边长均为2,动点N在线段43上移动，M,。分别为线段AC中

点，且A/OL平面ABCQ,则当NMM9取最大值时，异面直线与尸C所成角的余弦值为（）

AV2A/2n石

A.DR.C.Lf.

4223

变式2.已知三棱锥P—ABC中，PA_L平面A3C,AB=2,AC=2,BC=2肥,PA=3,。为依的中点,

则异面直线AD与尸C所成角的余弦值为（）

变式3.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD,四边形ABCD为菱形，PD=AB,ZZMS=600,点E为

PO的中点，则异面直线CE与PB所成角的余弦值为（）

1.在正方体ABC。-中，若点N是棱B⑸上的动点，点M是线段AC（不含线段的端点）上的动

点，则下列说法正确的是（）

A.存在直线MN,使MNHB\CB.异面直线CM与AB所成的角可能为三

JT

C.直线CAf与平面&VD所成的角为HD.平面BMC〃平面C]M4

2.棱长为1的正方体ABCD-4B1CQ1中，若点P为线段A/上的动点（不含端点），则下列结论错误的是

A.平面AQjP，平面A43PB.四面体DL&CP的体积是定值

C.△APR可能是钝角三角形D.直线D?与所成的角可能为£

6

如图在长方体。-。中,

3.ABCA4GAB=AAi=2,AD=4,X是下底面矩形4qGR的中心，设异面直

线47与。G所成的角为贝盼=（）

4.在正四面体尸-ABC中，棱长为2,且E是棱A3中点，则异面直线PE与3c夹角的余弦值为（）

A.—BB.在C.BD.-且

6633

5.已知正方体A3CO-A耳G2的棱长为1,P是空间中任意一点，则下列说法中错误的是（）

A.该正方体外接球的体积为必兀

2

B.若M是棱G2中点，则异面直线AM与cq夹角的余弦值为耳

C.若点尸在线段AQ上运动，则始终有瓦

D.若点尸在线段AQ上运动，则三棱锥。-BPG体积为定值L

6.在直三棱柱ABC-A瓦G中，/8。1=90。，2，£分别是的中点，BC=CA=CClt则22与A耳所

成角的余弦值是（)

「叵

BA/30D.

-I1510

7.把边长为应的正方形ABCD对角线折起，使得平面与平面C8D所成二面角的大小为120。，则

异面直线与3C所成角的余弦值为（)

11

A.-B.——cD

44-4-1

8.如图，在棱长为1的正方体中，下列结论不正确的是（）

A.异面直线AC与BG所成的角为60。

B.直线AB】与平面ABC?所成角为45。

C.二面角A-8的正切值为血

D.四面体R-AB。的外接球的体积为迫兀

2

9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD,PA=2,底面A3C。为边长为2的正方形，£为PO的

中点，则异面直线3。与AE所成的角的余弦值为（）

10.如图，在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=2,34=0,则AG与所成角的大小为（）

11.棱长为2的正方体ABC。-4462中，P是5G中点，则异面直线尸£＞与A8所成角的余弦值是（）

A.3B.克C.昱D.立

6633

易错点四：线面角与向量夹角转化不清等问题（求线面角）

线与面的夹角

①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角.

②范围：[0,g]

2

③求法：

常规法：过平面外一点3做8B'_L平面"，交平面。于点3';连接A5',则ZB4笈即为直线钻与平

RR，h

面。的夹角.接下来在中解三角形.即sinZBABf=—(其中//即点5到面a的距离,

斜线长

可以采用等体积法求〃，斜线长即为线段4?的长度);

.°ABn.<*

向量法：线面角©°$&=51118=何回]8610,51

提示：a是线AB与平面法向量的夹角，。是线AB与平面的夹角

易错提醒：若直线与平面所成的角为。，直线的方向向量为％,平面的法向量为贝i]sine=|cos<[)>|。

容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平

面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值.

三

例.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PZU底面ABCD,£,尸分别是的

中点.

(1)求证：DE〃平面PFB；

(2)若尸8与平面PCD所成角为30。，PB=2,求二面角P-P3-C的正弦值.

变式L如图，在四棱锥P-A3CD中，底面A8CD为直角梯形，AD//BC,AD1DC,PA=PD=PB,

BC=DC=^AD=2,E为A£>的中点，且PE=4.记PE的中点为N,若M在线段8C上(异于5、C两

点).

⑴若点M是8c中点，证明：〃平面PCD；

⑵若直线MN与平面所成角的正弦值为且，求线段的长.

9

4

变式2.如图，三棱柱中，M=,AC_L底面ABC,ZACB=90°,AC=AXC.

⑴求点A到平面BCQBi的距离;

⑵若直线AA,与BB｝距离为4,求AB与平面BCCR所成角的正弦值.

变式3.如图，在四棱锥尸-"CD中，底面ABC。为矩形，ADL平面ABP,AD=2AB=2BP=4,E为

8C的中点.

(1)证明：平面PED_L平面E4D

(2)若点A到平面PED的距离为孚，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.

1.已知三棱锥尸-ABC中，AB，AC,PA，平面ABC,PA=45=3,AC=4,M为JBC中点，过点M分别作平行于

平面的的直线交AC、PC于点E、F.

(1)求直线PM与平面ABC所成的角的正切值;

(2)证明：平面MEF〃平面X4B,并求直线Affi■到平面上钻的距离.

2.如图，在体积为26的四棱柱ABCO-A耳GR中，底面A8CD是正方形，^AAC是边长为2的正三角

⑴求证：平面ACGA，平面2口〃4.

(2)求AC与平面BDDA所成角的正弦值.

3.如图，已知四棱锥P-ABCD中，B4_L平面ABC。，AB±AD,AD!IBC,PA=AB=AD=2BC=2,E

为PO中点.

(2)求直线CE与平面PAC所成角的正弦值.

4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD为正方形，PE1,AB,PA±PD,PA=PD,E为AD的中点.

(2)求直线PE和平面PBC所成角的正弦值.

5.如图，在四棱柱A8CZ)—中，AB=BC=CA=>/3,AD=CD=1,平面A4CU_L平面ABC。,

A4]±AB.

D}

B

(1)求证：A41平面ABC。；

(2)若E为线段BC的中点，直线AE与平面A3CD所成角为45。，求平面也再与平面A4G的夹角的余弦值.

6.如图，已知&4垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形&WE的对角线交于点EG为S3的中点，

711

ZABC=ZBAD=-,SA=AB=BC=-AD=1.

22

(1)求证：8£>〃平面AEG；

(2)在线段EG上是否存在一点使得3〃与平面SCD所成角的大小为9■7T?若存在，求出GH的长；若不

6

存在，说明理由.

7.如图，P是矩形45co所在平面外一点，且P4_L平面ABCD.已知上4=AB=2,3C=1.

(1)求二面角P-3C-O的大小；

(2)求直线尸8与平面PAC所成角的大小.

8.如图，在四棱锥尸―ABCD中，底面ABCD为平行四边形，^ADC=45°,AD=AC=1,。为AC中点，POL

平面ABC。，PO=2,M为尸。中点.

(1)证明：尸3//平面ACM；

(2)证明：平面尸AC；

(3)求直线AM与平面ABCD所成角的余弦值.

9.如图，在四棱锥尸一ABCD中，PA±nABCD,ADLCD,AB//CD,PA=AD=CD^1,A5=2,点M

是PB的中点.

(1)证明：PB=2CM；

(2)求直线DM与平面ACM所成的角的正弦值.

10.如图，在正二棱柱ABC-A耳G中，A4,=3,此二棱柱的体积为66，P为侧棱441上点，且AP=1,

H、G分别为A3、AG的中点.

(1)求此三棱柱的表面积；

(2)求异面直线GH与Pg所成角的大小;

(3)求PC,与平面4414g所成角的大小.

（了解一下）11.如图，在长方体ABCD-ABiGA中，己知AS=5C=2,M=3.

（1）若点P是棱DA上的中点，求证：AC与3P垂直;

（2）求直线A为与平面ACCW的夹角大小.

易错点五：忽略二面角范围有重新的规定（求二面角）

二面角的求法

法一：定义法

在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，

如图在二面角夕-/-6的棱上任取一点O,以。为垂足，分别在半平面口和月内作垂直于棱的射线。4和

OB,则射线。4和OB所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就

相当于求两条异面直线的夹角即可）.

在面e或面£内找一合适的点A,作于O,过A作于3,则30为斜线的在面尸内的

射影，/ABO为二面角a-c-6的平面角.如图1,具体步骤：

①找点做面的垂线；即过点A,作于O；

②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过A作于3,连接30；

③计算：NABO为二面角。-。一夕的平面角，在HA4BO中解三角形.

图1图2图3

法三：射影面积法

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公

式（cosd=*、^,

如图2)求出二面角的大小;

3斜3AAsc

法四：向量法二面角的平面角cos3=W帝®e(O，》))

可•性

提示：a是二面角的夹角，具体cos。取正取负完全用眼神法观察，二面角不存在钝角之说.

易错提醒：若两个平面的法向量分别为5,b,若两个平面所成的锐二面角为。，则cose=gs<Z,B〉b

规定两个平面所成二面角范围[o,9O°],则cos。=-|cos<«J>|o

三

例.如图(1),六边形ABCDEF是由等腰梯形ADEF和直角梯形A5CD拼接而成，且/BAD=ZADC=90°,

AB=AF=EF=ED=2,AD=CD=4,沿A。进行翻折，得到的图形如图(2)所示，且/AEC=90°.

(1)求证：CD_L平面

(2)求二面角C-AE-O的余弦值;

变式1.如图，在三棱锥尸―ABC中，PAL平面ABC,PA=BC=2,AB=PC=5

(1)求点B到平面PAC的距离；

(2)设点E为线段尸3的中点，求二面角A-CE-3的正弦值.

变式2.在正方体ABC。-44GA中，设N分别为棱GA，AA的中点.

(1)证明：CM7/平面比VD；

(2)求二面角A-8D-N的余弦值.

变式3.如图1,AABC为等边三角形，边长为4,区。分别为8C,AC的中点，以DE为折痕，将△£>(?_£折

⑴设平面的>G与平面2EG的交线为/,证明：平面ABC；

(2)求二面角Q-DE-A的余弦值.

1.如图所示，在三棱柱ABC-A4G中，侧棱AA1底面ABCABLBC,。为AC的中点.

(1)证明：A用〃平面BCQ；

(2)求二面角Q-BD-C的余弦值.

2.如图，在四棱锥尸―ABCD中，底面ABC。是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2应，ZPAB=60°.

P

⑴证明AD_L平面PAB；

(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值;

(3)求二面角P-BD-A的正切值.

3.如图，三棱柱ABC-A4G的底面是等边三角形，AB=AAt=6,ZABBt=60°,D,E,尸分别为2片，

CG,BC的中点.

(1)在线段AA上找一点G,使产G〃平面AQE,并说明理由;

(2)若平面A\BXB±平面ABC,求平面\DE与平面ABC所成二面角的正弦值.

4.如图，在四棱锥PABCD中，PAJL平面ABCD,四边形ABCD为菱形，NADC=60。，PA=AD^4,E

为AD的中点.

(1)求证：平面PCE_L平面PAD；

(2)求二面角4-尸。-。的平面角的正弦值.

5.如图，在圆锥尸。中，48是底面的直径，且PO=3,AB=4,ZBAC=3(f,■是BC的中点.

p

(1)求证：平面BBC」平面尸ON；

(2)求二面角O-PB-C的余弦值.

6.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为梯形，CD//AB,AB±BC,PA^PD,

BC=CD=PA=PD=1,AB=2,平面PA。J_平面尸3c.

P

-------------

(1)若尸8的中点为N,求证：CN〃平面PAD；

(2)求二面角P-AD-B的正弦值.

7.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,NABC=三,AB=BC=a,/ADC=arccos撞，PAL平面ABCD

25

且24=。.

(1)求直线AD到平面PBC的距离；

(2)求二面角P-CD-A的大小；

(3)在线段A。上是否存在一点F,使点A到平面PC尸的距离为"a?

3

8.如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A3的动点，CD,仍是圆柱的两条

母线.

D

E

⑴求证：ACD_L平面BCZ5E；

(2)若AB=6,3c=3,圆柱的母线长为26，求平面3与平面A3c所成的锐二面角的余弦值.

9.如图，正方体A8CD-中.

(1)求证：8Q和为异面直线；

(2)求二面角4。-A的大小.

10.如图,正方形ABCO所在平面与平面四边形A8EF所在平面互相垂直，A/WE是等腰直角三角形，AB^AE,

FA=FE,NAEF=45°.

(1)求证：£F工平面BCE；

(2)求二面角尸—3D—A的正切值.

11.如图，在三棱柱ABC-ABC中，8与，平面ABC,△ABC为正三角形，侧面488出是边长为2的正方

形，。为BC的中点.

⑴求证：平面A〃G，平面BCC4；

(2)取AB的中点E,连接CE，GE,求二面角C-AB-G的余弦值.

专题09立体几何

题型一：斜二测求算面积及周长义易错点：对斜二测法规则掌握不牢

迹二：点、线、面之间的关系0、易错点：空间点、线、面位置关系不清

题型三：异面直线成角问题又易错点：忽略异面直线的夹角与向量的夹角范围不同

题型四：求线面角0、易错点：线面角与向量夹角转化不清等问题

题型五:求二面角白、易错点：忽略二面角范围有重新的规定

易错点一：对斜二测法规则掌握不牢(斜二测求算面积及周长)

水平放置的平面图形的直观图的画法

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

空间几何体直观图的画法

立体图形直观图的画法步骤

(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个二轴，直观图中与之对应的是Z轴.

(2)画底面：平面x'0'y'表示水平平面,平面y'0'z'和V。力表示竖直平面,按照平面图形的画法，

画底面的直观图.

(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.

(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.

易错提醒：①建立坐标系；②“位置规则”一与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”一图形

中平行于X轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半.

例.如图矩形O'ABC是水平放置的一个平面四边形0A8C的直观图，其中。0=3,O,C=\,

(D判断平面四边形OA8C的形状并求周长;

(2)若该四边形。42c以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.

【解析】(1)将直观图还原得口0ABC,如下图,

A

X

所以0A=3,CC=jF+(20)2=3,

所以平面四边形。4SC为菱形，其周长为3x43

(2)四边形Q4BC以Q4为旋转轴，旋转一周，得到一个圆柱和两个一样的圆锥，M=4”="(20)2-3=24%

="+(2扬2=3

S圆锥恻,S圆柱恻=2%77?=2万—20・3=12夜;小

所以5表=S圆柱恻+2s圆锥恻=24垃兀.

变形I.如图，梯形A4GR是一水平放置的平面图形A3CD在斜二测画法下的直观图.若AA平行于y轴,

2

A用〃GA，A4=]GA=2,42=晨求梯形ABCD的面积.

DxG

【解析】如图，根据直观图画法的规贝人

直观图中4。平行于y轴，AR=i，n原图中AO〃OV,

从而得出ADJ_OC,且AD=2AR=2,

22

直观图中44//C|R,4用=§G2=2,今原图中AB//CD,AB=-CD=2,

即四边形ABC。上底和下底边长分别为2,3,高为2,如图.

故其面积S=gx（2+3）x2=5.

变形2.如图所示，正方形O'AB'C'是一个水平放置的平面图形042c的直观图，其中O'A=2.

（D求原图形的面积；

（2）将原图形以0A所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.（注：图形OABC

与正方形O'AB'C的各点分别一对应，如0B对应直观图中的O'B'）

【解析】（1）原图形0ABe是个平行四边形，如下图所示

底为。4=2,高为03=209=2x2后=4及，

•**S0ABe~OB=8^2；

(2)得到的几何体是一个组合体，其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥，另一侧有多出一个相同的圆锥,

•；几彳可体体积V=x2=64万

,几何体表面积S=2%x472x2+2x%x4&x44历+2?=64日

变形3.(1)如图，AA0。是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；

(2)在⑴中若|AC[=2,8T»7/y轴且忸M=1.5,求原平面图形及48。的面积.

【解析】(1)画法：①画直角坐标系尤Oy,在无轴上取。4=(7A,即C4=CA.

②在题图中，过"作3'O7/y轴，交丁轴于D,在x轴上取0。=。。，过。作轴，并使DB=2DB.

③连接AB,BC,则AABC即为△49。原来的图形，如图.

(2)B'Df/ly',：.BD±AC.

又忸m=1.5且HC[=2,

...即=3,|AC|=2.AS^ABC=^\BD\-\AC\=3.

1.如图，AAB'C是水平放置的平面图形的斜二测直观图,

⑴画出它的原图形，

(2)若AC'=2qAaC'的面积是且，求原图形中AC边上的高和原图形的面积.

2

【解析】⑴画出平面直角坐标系彳分，在无轴上取04=0,A',即CA=C'A'，

在图①中，过作轴，交V轴于DC,在X轴上取0D=0力'，

过点。作Z>3//y轴，并使£>8=2£)'3'，

连接AB,BC,则AABC即为AAB'C'原来的图形，如图②所示:

(2)由(1)知，原图形中,比)_LAC于点。，则为原图形中AC边上的高，且或)=2377,

在直观图中作B'E」A'C于点E',

则AAB'C'的面积S^B.C.=gAC'xB'E'=B'E'=与,

在直角三角形8'E'D中，B'D'=s/2B'E'=—,所以BD=2B，D=&,

2

所以S“ABc=gACx2O=#-

故原图形中AC边上的高为后，原图形的面积为后.

2.画出图中水平放置的四边形ABC。的直观图A'B'C'O',并求出直观图中三角形8号。?的面积.

【解析】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形ABCD的直观图AB'C'D,

如图所示，则Vf的面积为,…融小常坐

3.用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知A?=3,BC=1,A'D'=3,且

AD'//B'C.

(1)求原平面图形ABC。的面积；

(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.

【解析】(1)还原平面图形ABCQ,如图，

因为A'B'=3,BC'=1，AD'=3,且为

所以AB=3,BC=2,AD=6,U.AD//BC,ABJ_AD,

原平面图形A3。为直角梯形,故“CL四*=⑵

(2)将原平面图形ABC。绕8c旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，如图,

其中圆柱的底面半径为3,高为6,圆锥的底面半径为3,高为4,母线长为5,

所以几何体的表面积为S=7IX3X5+27tx3x6+7rx32=60兀，

几何体的体积为丫=7IX32X6--TIX32X4=42TL

3

4.如图所示，正方形O'A'B'C'是一个水平放置的平面图形OLBC的直观图，其中OA=1.

(2)将原图形以Q4所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.(注：图形。4BC

与正方形O'AZC'的各点分别对应，如对应直观图中的0E)

【解析】(1)原图形。4fiC是个平行四边形，如下图所示，底为。4=1,高为OB=2O'B'=2拒.

S0ABe-OA-OB=lx2\/2=2-\/2.

(2)得到的几何体是一个组合体，其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥，

另一侧有多出一个相同的圆锥.

,几何体表面积S=2兀X2夜X1+2无x2夜xJ(2应尸+1=16叵it•

几何体体积V=7ix(20)2x1=8兀.

9

5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示，已知A'?=5,B'C'=2,AD=，且

AEf//B'C.

(1)求原平面图形43a＞的面积；

(2)将原平面图形ABCD绕AQ旋转一周，求所形成的几何体的体积.

【解析】(1)将直观图复原为原图，如图，作ECLAD,

则NDAB=ZABC=90°,AB=5AD=9,BC=4,

贝[]DE=EC=5,AE=4,

即原图形ABCD为直角梯形，

故原平面图形ABCD的面积为S=—4+9x5=6?5.

22

(2)将原平面图形ABC。绕AD旋转一周，

所形成的几何体是一个以EC为底面半径的圆锥和一个以A5为底面半径的圆柱组成的组合体，

其体积为丫=除锥+%柱=|x7tx52x5+7ix52x4=^y^.

6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示.已知AB=4,EC=1,AD=3,且AD

2

//BC.

(1)在平面直角坐标系中作出原平面图形ABCZ)并求面积；

(2)将原平面图形ABC。绕2C旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.

【解析】(1)如图所示：梯形ABC。为还原的平面图形，作CELAD交4。于点,

因为AD=5,AB