高考数学专项复习：解三角形大题综合归类（解析版）

专题3-4解三角形大题综合归类

目录

题型01正余弦定理基础：正余余正求角（第一问）..................................................1

题型02正余弦定理基础：分式型求角（第一问）....................................................5

题型03正余弦定理基础：角度关系证明型（第一问）.................................................8

题型04正余弦定理基础：正切型求角（第一问）...................................................12

题型05解三角形最值：角与对边型求面积.........................................................16

题型06解三角形最值：角非对边型求面积.........................................................18

题型07解三角形最值：周长型最值...............................................................21

题型08解三角形最值：长度型最值...............................................................25

题型09解三角形最值：锐角三角形与边系数不等型.................................................27

题型10解三角形最值：四边形面积最值型..........................................................30

题型11三大线：中线（重心）型..................................................................32

题型12三大线：角平分线（内心）型.............................................................35

题型13三大线；高.............................................................................39

题型14辅助线型：双三角型.....................................................................41

高考练场......................................................................................45

热点题型归纳

题型01正余弦定理基础：正余余正求角（第一问）

【解题攻略】

正余弦定理求角基础：

两角和与差的正弦、余弦'正切公式

sin(a+1)=sinacosfi+cos(zsinp(S(a+/?))正余余正

sin(a—j^)=sinacos夕一cosasinp正余余正正角减余角

cos(a+)ff)=cosacosfl—sinasinP(C(«+/?))余余正正偶函数。谁减谁无所谓cos（a-

/J)=cos(fl—a)

cos(a—)ff)=cosacosjff+sinasinp(C(a-/?))

对于Sin（a+/3）与COS（a+p）简称为“正余余正，余余正正”

恒等变形和化简求角中，有如下经验：

1、SinC=Sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB:正用。逆用；见A与B的正余或者余正，不够，找

sinC拆

2、边的齐次式，正弦定理转为角的正弦；

3、cosC=-cos（A+B）=-[cosAcosB-sinAsinC]

【典例（2024上•天津西青•高三统考）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,且

(2Q-V3c)COSB-y/3bcosC.

⑴求3;

(2)若b=3,sinC=gsinA,求〃；

（3）若b=6a，求sin12A-；J.

【答案】（1）3；（2）。=3;（3）立二2叵.

68

【分析】（1）由正弦边化角及三角恒等变换可得2sinAcosB=6sinA,结合三角形内角性质求B.

（2）由正弦角化边及余弦定理列方程求。

（3）由题设及（1）得$由4=孚=1,注意A为锐角，应用倍角正余弦、差角正弦公式求目标式的值.

V24

【详解】（1）在AABC中，由正弦定理及（2〃-百c）cos3=V§/7cosC,

（2sinA-A/3sinC）cosB=A/3sinBcosC,

则2sinAcosB=A/3sinCcosB+y/3sinBcosC=\/3sin（B+C）=^3sinA,

而sinA>0,贝!Icos2=@,又8©（。,兀），所以8=^.

26

（2）由sinC=gsinA,得c=6a,由（1）及余弦定理/-2〃ccos5=〃？，

得a2+3a2—2y/3a2•=9，解得a=3,所以a=3.

2

1

（3）由/?=友〃及正弦定理，得sinB=0sinA，则（口,=‘由区=2=及，

~41—垃—4

显然b>a,即3>A,则A为锐角，cosA=Vl—sin2A=

于是sin2A=2sinAcosA=2xx，cos2A=2cos2A-l=2x(^^-)2-1=—,

44444

诉I'J.。人兀、-兀兀。713V7-3V3

J7T以sin（2A——）=sm2Acos——cos2Asin—=——x------x——=-------------.

33342428

【典例1・2】（2023•山东潍坊・统考模拟预测）已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,

A

（acosC+ccosA）cos—=asinB.

（1）求角A；

⑵若。为边3c上一点，且满足AD=CD,S.ACD=2S.ABD，证明：融。为直角三角形.

【答案】⑴A=5⑵证明见解析

A

【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式化简己知等式，可得sinA=cos,,再利用二倍

A

角公式即可得到sin,的值，即可求得答案；

（2）根据yAs=241W）得出CJD=2贬>,设NACD=6,表示出相关各角，在利用正弦定理即可求

得，，即可证明结论.

A

【详解】（1）在中，由正弦定理得（sinAcosC+sinCcosA）cos,=sinAsin3,

AA

所以sin（A+C）cos,=sinAsinb,即sinBcos—=sinAsinB,

A

因为5£（0,7r）,「.sin3wO,所以sinA=cos—,

2

A（jrAAAA

又因为Ac（0,兀），—G0,—,sinA=2sin—cos—,cos—wO,

2I2J222

所以sing：：，所以A=g；

(2)证明：因为2AC»=2S'B»,所以CD=2&),

设NACD=，，在AACD中，AD=CD=2BD,则NCAD=，.

jr27r

可得3-e,ZABC=--0,

BDAD

在△ABD中，由正弦定理得,

又因为AD=2BE>,所以2sin

化简得tanO=3,因为6e[o,g],即6=£,则NABC=g.

3I3/62

所以△ABC是直角三角形.

【变式1”】（2023上•重庆永川•高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）在融。中，角A、B、C所对

的边分别为。、b、C,且百acosC=G。-J^gcosA.

（1）求角A的大小；

⑵求cos15-2sin2m的取值范围.

【答案】⑴A=£(2)[_^^~2,6_I

6\2

【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知式，即可得出答案；

（2）由诱导公式、二倍角的正弦公式、两角差的余弦公式化简-Zsin?^,再由三角函数的性

质求解即可.

【详解】（1）由正弦定理可得，上sinAcosC=2sinBcosA-6sinCcosA,

从而可得6sin（A+C）=2sinBcosA,^3sinB=2sinBcosA,又3为三角形的内角,

所以sin^wO,于是cosA=无，又A为三角形的内角，因此A=?.

26

(2)cosfj-2sin2=cosfB+^j-2sin2g=sin5+cosC-l=sin3+cosfj-1

=sinB+cos—cosB+sin—sinB-1二一sin8-----cosB-l=J3sin|B--|-1,

6622I6)

由A.可知，力一2[一看母)，从而,

因止匕遭sin(B_F]_lc]一^省一1,

故cos(B-]J-2sin2：的取值范围为一6；？,6一1.

【变式1-2](2023•重庆沙坪坝•重庆八中校考模拟预测)已知。，b,c分别为AABC三个内角A,B,C的

对边，_S.bcosC+\/3bsinC-a-c=Q.

⑴求8；

⑵若S3C=W，点。在边AC上，守丝=@,且8。=5叵，求心

2^ABADC5

【答案】(1)5=1；(2)6=77.

【分析】(1)利用正弦定理化边为角，结合恒等变换可求角5的大小.

(2)根据给定条件，结合三角形面积公式求出ZAB2NC5。，再利用余弦定理、三角形面积公式计算即得.

【详解】(1)在AABC中，由正弦定理及bcosC+J§/?sinC-a-c=0,

sinBcosC+y/3sin5sinC-sinA-sinC=0，

即sinBcosC+GsinBsinC=sinA+sinC=sin(B+C)+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC,

则6sin5sinC=sinC+cos5sinC,而sinCw。，于是651!13-以)53=1,

即sin(5-g)=<，又0<B<71,即有一当，则5-£=£,所以3=2.

62666663

S—a'BDsinZ.CBD

(2)依题意，-^=-2----------------------贝UsinZABD=sinNCBD,ZABD+ZCBD=-f

SGAD-cBDsinZABDc3

2

干曰/ARD—/「RD—71cc,c160116413百

于1ABD-/CBD—%,SA5C=SACBD+5AABD=-«.^—-+-c-^—,

角军得a+c=5,X=^acs^n~^=ac=J角星得〃c=6,

由余弦定理得。2=tz2+c2-laccosB=(Q+C)2-3。。=7,解得人=近,

所以Z?=V7.

【变式1・3】(2024上•黑龙江齐齐哈尔・高三统考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为

a,b,c,(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.

⑴求角3的大小；

Q)若b=2后,求AABC周长的最大值.

【答案】⑴84(2)6百

【分析】(1)根据题意利用三角恒等变换运算求解即可；

(2)法一：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换以及正弦函数的有界性分析求解；法二：利用余弦定

理结合基本不等式运算求解.

【详解】(1)因为(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,即2sinAcosB=sinBcosC+sinCeos反

可得2sinAcosB=sin(5+C)=sinA

又因为A«0,兀)，则sinAwO,可得cos3=/,

jr

且0<3<兀，可得B=§.

a_b_c_2y/3_

(2)法一■：由正弦定理可得sin^sinBsinC^/3，贝lja=4sinA,c=4sinC,

~2

可得〃+/;+c=4sinA+2^3+4sinC=2百+4sinA+4sin(2兀一A]

=273+4sinA+2sinA+2V3cosA=2^+6sinA+2V3cosA=2^+45/3sin^A+^

因为0<A<2TI,则工<4+乌<2,可得4石<2石+4石sin(A+21w6』，

3666V6J

所以AABC周长的最大值为6G

法二：由余弦定理可得〃之=+c2—2accosB=a2+c2—ac?

可得12=(a+c)2—3acN(a+c)2—3x[^^,当且仅当a=c=2有时，等号成立,

解得〃+c<4百，所以AABC周长的最大值为6G.

题型02正余弦定理基础：分式型求角（第一问）

【解题攻略】

分式型特征：

1.分式中分子分母是边的齐次式。

2.分式中分子分母是正弦的齐次式

3.如果有余弦，一般情况下不计入次事计算

4.可以通过去分母，转化为无分式型齐次，再用正弦定理转化

【典例1-1］（2023上•湖南长沙•高三长沙市明德中学校考阶段练习）已知AABC的内角A,B,C的对边

八日1、1,sinA-sinCsin（A+C）

分别为。，b,c,----------------=---------L.

sinB+sinCsinA+sinC

⑴求A；

⑵若角A的平分线AD交BC于点。，且AD=2,求44BC面积的最小值.

【答案】（l）A=方-（2）4石

【分析】（1）根据条件，得到sm.-smf=s：B利用正弦定理角转边，得到62+02-/=_瓦..

sinB+smCsmA+smC

再利用余弦定理即可求出结果；

（2）利用条件，结合2tBe=53。+^^，得到6+c=；历，再利用基本不等式，得到历216,从而求出

结果.

・、斗生、…、.A.sinA-sinCsin（A+C）sinA-sinCsin3

【详角军】（1）由已知［-----：—=一^——，得ZR-----------=-----------，

sinB+sinCsinA+sinCsinB+sinCsinA4-sinC

在AASC中，由正弦定理得产=一也，^b2+c2-a2=-bc.

b+ca+c

再由余弦定理得cosA="+ci-be_1

2bc2bc~~2

又A£（0,7C）,所以A二竽.

jr

(2)因为AD是角A的平分线，则NR4O=NC4O=§,

11w

又Sac=SAAB。+S^ACD=-AB-AD-sinABAD+-ACAD-sinACAD=^(b+c),

又S^c=^-ABACsinA=^-bc,所以避+=—Z?c，得到'+c=gbe,

△24242

又因为6+c22^/^,得至,WW-Jbc>4,BPbc>i6,

当且仅当b=c时等号成立，所以黑；c=3的也4=手加？4名

即AABC面积的最小值是4石.

【典例12］（2023上・江苏•高三泰州中学校联考阶段练习）已知AABC的三个内角4民。所对的边分别是

7」「bsin2B

a,b,c.已知一=------,-----•

c2sinA+sinB

⑴求角C;

⑵若点。在边AB上，6=2,8=1,请在下列两个条件中任选一个，求边长AB.

①。。为AABC的角平分线；②。。为的中线.

【答案】（l）g（2）2班

【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合二倍角公式及两角和的正弦公式求得cosC,即可得答案；

（2）选①，由凡人8+5"8=2—根据三角形面积公式求得。，由余弦定理得AB.

选②，得丽+方=2②，平方后利用向量的运算可得。，由余弦定理得48.

【详解】（1）在AABC中，由正弦定理知2=2丝，

csinC

sinBsin2B2sinBcosB

所以

sinC2sinA+sinB2sinA+sinB

12cos5

又3£（0,兀），所以sin3>0,

sinC2sinA+sinB

2sinA+sinB=2cosBsinC,

又A=TI—(5+C),「.2sin(B+C)+sinB=2cosBsinC,

2sinBcosC+2cosBsinC+sinB=2cosBsinC,

化简得2sin3cosc+sin3=0,BPcosC=--,

2

2兀

又Ce（。/）,所以。=彳.

（2）选①，CO为AABC的角平分线,

由S&ACD+S^BCD=SAABC得:-CACDsinZACD+-CBCDsinZBCD=-CA-CB-sinZACB,

222

—△baB，所以♦+/?=〃/?,又6=2,所以。=2,

222222

2冗

在AABC中，由余弦定理得c~=a~+厅—2abcosC=2~+2~—8cos=12,所以AB=c=Z'v/§'.

选②，8为m1SC的中线，

则百+丽=2①，平方得SV+在2+292•旃2=4力2，

所以〃+/+2abcosC=4xl2,所以片+/-。/=4，乂6=2,所以。=2,

2冗

在△ABC中，由余弦定理得="+从—2Q/?COSC=2?+2?—8cos?~=12,所以43=c=2^/^.

【变式1”】.（2023上•重庆•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知"RC的内角A,B,。所对应的边分

nB

别为a,b,c,且满足片+一b：1.D=l.

b+cbsinA+csmB

⑴求角C的大小；

（2）若。=2,6=4,点、D为AB的中点，求tanZACD的值.

【答案】（1）；（2），

【分析】（1）根据题意利用正余弦定理边角转化分析求解;

（2）根据（1）中关系可得c=2出，进而可知2=],利用两角和差公式运算求解.

【详解】（1）因为号+,....=1,由正弦定理可得，二+―^=—+—竺=1,

b+cpsinA+csinBb+cab+bcb+ca+c

整理得标+/一。2=。匕，

由余弦定理可得cosC=""c一=—

lab2ab2

且Ce(O,7r),所以C=[.

(2)由(1)可得：a2+b2-c2^ab,贝Uc?=/+加一"，即c=2g,

可知"=标+02,即2=5,可得BD=6,tanZBCD=-=^-,

2BC2

ll-/…八/「八f「八'tanZACB-tanZ-BCD

所以tanZACD=tan(ZACB-NBCD)=--------------------

'71+tanZACBtanZBC£>1+居日5

sinB+sinCcosB一cosA

【变式1-2]（2023上•江苏常州•高三校联考阶段练习）在“IBC中，a=晒，且

cosB+cosAsinC

(1)求角A;

（2）若点。为5c边上一点，下不二i且AD_LAC,求AABC的面积.

【答案】（1）1（2）平

【分析】（1）根据同角的三角函数关系和正弦定理化简原式，结合余弦定理求解cosA='一♦=-1进而

2bc2

得到答案；

（2）根据已知条件转化为向量关系，通过向量数量积运算得到2c=38,结合余弦定理得到19=6?+c?+庆,

两式联立得到b=2,c=j3b=3,结合三角形面积公式即可得到答案.

sinB+sinCcosB-cosA

【详解】（1）因为，所以sinBsinC+sin?C=cos?B-cos?A,

cosB+cosAsinC

即sinBsinC+sin2C=^l-sin2B)-^l-sin2=sin2A-sin2B,

在AABC中，由正弦定理得，bc+c2=a2—b2,BPb2+c2—a2=—be,

2

在AABC中，由余弦定理得，cos」+：―，"又因为0<4<兀，所以A=?.

2bc23

（2）如图所示,

因为殷二3

DC4

所以AD=AB+—BC=AB+—^AC—AB^=—AB+亍AC因为ADJ_AC,所以AD-AC=0，

所以[1通/]/=o，所以g荏*.恁=o，

即即2仍=3必，又因为bwO,所以2c=3b,

在AABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2-2Z?ccosA,即19=廿+/+历，

33

代入。二="解得匕=±2（负值舍去），所以力=2,c==b=3,

22

所以5AABC=；bcsinAX2X3X^^=^^.

【变式>3]（2023下・贵州贵阳•高三校联考阶段练习）在△ABC中，角A,B,。所对的边分别为mb,c,

asinA+0sin5-csinC2^/3.一

-------------------------------=------sinC.

asinB3

⑴求角C；

⑵若AB边上的中线长为1,求△ABC面积的最大值.

【答案】（呜（2呼

【分析】（1）由条件利用正弦定理，余弦定理化简可得tanC,进而求出C；

（2）由题意可得2丽=石+而，利用向量运算可得4=1+>2+必，根据基本不等式可求得油的最大值,

进而得解.

【详解】（1）因为“sin.+'sinB-csinC=g^sinc,由正弦定理可得>+"一心=殛二（？,

asinB3ab3

又由余弦定理可得2HcosC=2臣sinC,.■.cosC=^sinC,

ab33

71

tanC='/3,又0<C<7l,C=—.

（2）设48边上的中线为CD,由向量关系可得，

2Ci5=CA+CB，

41CDI2=1C412+1CSI2+21c3|.|CBIcosC,又|CZ）|=1,C=-|,

..4=ci~+b~+cih，

2

.A-ab=Cr+b>2ab,abvg（当且仅当。=6=型时取等号）

33

/.SAM=L）sinC=*"《走.所以△ABC面积的最大值为^^

△244333

题型03正余弦定理基础：角度关系证明型（第一问）

JT

【典例1・1】（2023•全国•模拟预测）在AABC中，内角A,B,。的对边分别为。，b,c,满足

2bsinB-2csinC=6a.

jr

⑴求证：B-C=y.

TT

（2）若A=],c=2,求AABC的面积.

【答案】（1）证明见解析（2）2万

【分析】（1）方法一，由正弦定理得到2sin2B-2sin2c=6sinA>0,b>c,结合

sinB=sin（A+C）,sinC=sin（A+B）化简得到sin（B-C）=¥，证明出结论；

方法二：，由正弦定理得到2sin2B-2sin2c=/sinA>0,b>c,b2-c2=43Ra,结合余弦定理得到

2bcosC=a+y/3R,因为sinA=sin（B+C）,所以sin（B-C）=#，证明出结论；

（2）根据A=?和（1）中结论得到8=3，C=y,由正弦定理得到a=2百，利用三角形面积公式求出答

326

案._

【详解】（1）方法一：2Z?sinB-2csinC=V^a,

由正弦定理得2sin2B-2sin2C=gsinA>0,

故sin5>sinC,由正弦定理可知,

又A+5+C=TI,所以2sin_Bsin(A+C)-2sinCsin(A+_B)=百sinA,

所以2sin_B(sinAcosC+cosAsinC)-2sinC(sinAcosB+cosAsinB)=^3sinA,

所以2(sin3sinAcosC-sinCsinAcosB)=\/3sinA.

因为sinAwO,所以sin(B-C)=立.又AN：,所以0<8+(7《=.又b>c,所以

方法二：由2bsinB-2csinC=6a,由正弦定理得2sii?B-Zsin?C=百sinA>0,

故sin3>sinC,由正弦定理可知/?>c,

因为一^―=2R,所以2bsin3-2csinC=23RsinA,

smA

BPbsinB—csinC=5/37?sinA,所以根据正弦定理，得力一c?=6Ra.

又/+/—c2=〃+属Q,所以结合余弦定理，得2abeosC=H+6Ra,

所以2bcosC=a+gH，则2-2RsinB-cosC=2RsinA+6R，

即2sinBcosC=sinA+,由sinA=sin(B+C),可得2sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC+^-,

所以sin(B-C)=¥.又AN4,所以0<8+Cv/.又b>c,所以8-C=].

7T

(2)由(1)知B—C=

又4=?,A+B+C=TI,所以5='，C=—.

326

，=上=，=上=4厂

由正弦定理，知sinAsin8sinCsin工'所以1=2石，b=4,

6

故AASC的面积S=LacsinB=Lx26x2xl=2G.

22

【典例1-2】(2023•全国•高三专题练习)AABC的内角AB,C的对边分别为。也c,acosB^bcosA.

(1)证明：A=B；

(2)若c=Jia=6,求AABC的面积.

【答案】⑴证明见解析(2)3瓜

【分析】(1)用正弦定理转化，结合正弦差角公式即可求解。)结合第一问的结论和余弦定理求得。的余弦值,

代入面积公式求解即可.

【详解】(1)因为优os3=Zxx)sA,所以sinAcosB=cosAsinB,

则sin(A_J3)=0.

又A,B£(0,»),所以一万<A—5〈万，

故A—3=0,即A=B.

(2)由(1)可知，a=b.

因为c=\fia=6,所以cosC=61——=——,

2ab2

则sinC=Jl-cos2c=，

2

故MBC的面积S=-absinC=343.

一2

【变式1-1](2023上•重庆・高三西南大学附中校联考阶段练习)在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为

a,b,c,满足匕=Q—2Z?cosC

(1)求证：C=2B；

⑵若AABC为锐角三角形，求2sinC+cosB-sinB的最大值.

17

【答案】(1)证明见解析(2)工

O

【分析】(1)利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可.

IT7T

(2)利用△ABC为锐角三角形，求出:<3<:，表示出2sinC+cos3-sinB,并进行换元转化为二次函数,

64

进而求得最大值.

【详解】(1)由题b=a—2Z;cosc,

由正弦定理：sinB=sinA-2sinBcosC=sin(B+C)-2sinBcosC,

所以sing=sinBcosC+cosBsinC—2sinBcosC,

整理sinB=sinCcosB-cosCsinB,

所以sin8=sin(C—B),

:.B=C-B^B+C-B=TI(舍),:.C=2B.

7t

0<7t-3B<—

2

(2)•「△ABC为锐角三角形,，解得：~7<3所以。<:一5<一,

64'412

71

0<2B<-

2

717171717t^6-A/2

且sin——=sin

123434

由(1)问,C=2B,：.2sinC+cosB—sinB=2sin2B+cosB—sinB,

令/二cosB-sinB=^2sinIB,则sin25=l-(cos3-sinB)2,

17

所以2sinC+cosB-sinB二2(1-〃)+/=-2*+t+2=—2

因为力£0,

【变式12](2023•全国•模拟预测)在锐角AABC中，内角A,B,。所对的边分别为〃，b,c,且

6icosB=Z?(l+cosA).

(1)证明：A=2B；

(2)求£的取值范围.

A/222/3

【答案】(1)证明见解析(2)

【分析】(1)由正弦定理结合两角差的正弦公式化简已知式，即可得出答案；

(2)由AABC是锐角三角形，可求出进而求出也<cosB<3，由正弦定理结合两角和的正

6422

弦定理可得£=2COSB———,令cosB=f,y=2t--,由y=2--1-的单调性即可求出答案.

a2cosB2t2t

【详解】(1)由acos5=b(l+cosA),结合正弦定理得sinAcos5=sin5(l+cosA),

BPsinAcosB—cosAsin5=sinB,

所以sin(A-B)=sin5,

所以A—6=3或(A—3)+5=7i(舍去)，所以A=25.

(2)在锐角AA6C中，0<8<e，0<A=2B<-,0<C=n-3B<~,

222

目n兀n71匚616八6csinCsin3Bsin2BcosB+cos2BsinB一八1

即/所以｝<8SB(千•厂嬴大,---------------------------------=2cosB--------

sinIB2cosB

令cosB=£,y=2t——,te,因为>=2/一；在上单调递增，

2tk22JI227

t-r-pjpr^2A/2后^32^/3而|、]£二2A/^

所以y>j2—3=可，y<v3---=^—，所以•

【变式13](2023上•安徽•高三校联考阶段练习)在锐角AABC中，内角AB,C所对的边分别为〃也c,且

a2=b2be.

(1)证明：A=2B；

(2)若c=2,求AABC的周长的取值范围.

【答案】⑴证明见解析⑵(石+3,20+4)

【分析】(1)根据已知结合余弦定理可推得6+26cosA=c.进而根据正弦定理边化角以及三角恒等变换,

化简可得sinB=sin(A-B).结合锐角三角形，即可得出证明；

(2)先根据已知得出聿<8<：根据三角恒等变换化简得出sinC=sinB(4cos28T),然后根据正弦定理化

简得出6进而根据余弦函数的取值范围，即可得出答案.

2cosB-l

【详解】(1)由余弦定理可得，4=万2+02-2》CCOSA.又/=/+庆，

所以有b1+Z?c=〃2+c2-2bccosA,

整理可得h+2Z?cosA=c.

由正弦定理边化角可得，sinB+2sinBcosA=sinC.

又sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB,

所以，sinB+sinBcosA=sinAcosB+cosAsin3,

整理可得，sin5=sinAcos5-cosAsin5=sin(A—5).因为△ABC为锐角三角形，

jrIT

所以，。<4<5，O<3<5，所以，B=A—B,A=2B.

(2)由(1)知，A=2B，则C=TT—(A+3)=7I—38.

71

0<A=25<—

2

，解得已<：

因为AA6C为锐角三角形，所以，0<B<-5<.

2

71

0<C=TI-3B<-

2

根据正弦定理号=刍=’不可得，乌挈csinA

6=a-

sinAsmBsinCsmCsinC

因为sinC=sin(兀-33)=sin3B=sin(B+2B)

=sinBcosIB+cos8sinIB=sinB(cos2B-sin2B)+2sinBcos2B=sinB(4cos2B-l),

csinB_csinB_c_csinA_csin2B

所以，sinCsinB(4cos2B-l)4cos2B-l'sinCsin3(4cos?5-1)

=2csinBcos5=2ccos5c2ccos5_c

sinB(4cos2B-l)4cos2B-l'1''a+~4cos2B-l+4cos2B-l2cosB-l'

因为所以也<c°sB〈昱,V2-l<2cosB-l<^-l,

6422

1V3+111(后+

<-------------<~/==A/2+1,所以,6+1<Q+Z?<21),

A/3-122cosB-1v2-1

所以，g+3<a+b+c<20+4.所以，AABC的周长的取值范围为(6+3,2立+4).

题型04正余弦定理基础：正切型求角(第一问)

【解题攻略】

分式型与正切型

1.若式子含有d4c的2次齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边•

2.面积和凡瓦C2次齐次式，可构造余弦定理

3.正切型，可以“切化弦”，转化为分式型，在进行化简求角

【典例1-1](2023上•湖北•高三随州市曾都区第一中学校联考)AABC中，内角所对的边分别为。力,c,

h

满足Z7tanA+btanB=-.

cosA

⑴求角人

⑵若。是AC边上的一点，且8=2,BD=AD=6,求tanA.

【答案】(l)g(2)也

32

【分析】(1)根据题意，利用正弦定理和两角和的正弦，化简得到sinBsinC=V^sinCcosB,进而得到

sin8=6cosB，即可求得B的大小；

62

(2)根据题意，在△BCD中，利用正弦定理得.‘人兀、一.，71—二，进而化简得到gcosA=2sinA,

即可求解.

【详解】⑴解：由6tanA+btan3=①，可得6型冬+分甄2=且£,

cosAcosAcosBcosA

sinBsinAsin2BA^sinC

又由正弦定理得---------1-----

cosAcosBcosA

整理得sinB(cos5sinA+sinBcosA)=百sinCcosB,

可得sin5sinC=百sinCcosB,

因为C£(。,兀)，可得sinC>0,所以sin3=cosB，即tan3=6,

又因为6e(0,7i),所以B=

BDCD

(2)解：在△BCD中，由正弦定理得

sinZBCDsinZCBD

因为BQ=AD=6,且3=可得/A,

33

(人62

又因为sinC=sin(A+8)=sinb+*所以,2+3sin,A),

整理得退cosA=2sinA,所以tanA