高考数学专项复习：不等关系与不等式性质【六大题型】

专题L3不等关系与不等式性质【六大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1不等式性质的应用】......................................................................2

【题型2比较数(式)的大小】....................................................................3

【题型3证明不等式】.............................................................................5

【题型4利用不等式的性质求目标式的取值范围】..................................................7

【题型5不等式的综合问题】......................................................................9

【题型6糖水不等式】............................................................................12

►考情分析

1、不等关系与不等式性质

考点要求真题统计考情分析

高考对不等式的性质的考查比较稳定，

一般以选择题、填空题为主，主要考查

不等式的求解；单独考查的题目虽然不

(1)等式性质

多，但不等式的相关知识往往可以渗透

(2)比较两个数的大小

2022年H卷：第12题，5分到高考的各个知识领域，作为解题工具

(3)理解不等式的性质，并

与函数、向量、解析几何、数列等知识

能简单应用

相结合，在知识的交汇处命题，是进行

不等式变形、证明以及解不等式的依据，

是高考考查的一个重点内容.

►知识梳理

【知识点1等式性质与不等式性质】

1.等式的基本性质

性质1如果a=b,那么b=a；

性质2如果a=b,b=c,那么a=c；

性质3如果a=b,那么=

性质4如果a=b,那么ac=bc\

性质5如果a—b,今o,那么@=2

CC

2.不等式的性质

(1)如果a>b,那么b<a；如果b<a,那么Q>6.即a>b=b<a.

(2)如果a>b,b>c,那么q>c.即b>c=>a>c.

(3)如果a>b,那么a+c>b+c.

(4)如果a>bfc>Of那么ac>bc；如果a>b,c<0,那么ac<bc.

(5)如果a>b,c>d,那么a-\-c>b-\-d.

(6)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

⑺如果Q>6>0,那么n>2).

3.比较大小的基本方法

方法

关系作差法作商法

与0比较与1比较

a>ba-b>0—>1(«,>0)或@<l(a,b<0)

bb

a=ba-b=01=l(^0)

a<ba-b=0q<1(。，6>0)或q>l(a,b<0)

bb

【方法技巧与总结】

1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时,

有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.

2,比较数（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函

数的单调性，需要灵活运用方法求解.

►举一反三

【题型1不等式性质的应用】

【例1】（2024•上海杨浦・二模）已知实数a,b,c,d满足：a>b>Q>c>d,则下列不等式一定正确的

是（）

A.a+d>b+cB.ad>beC.a+c>b+dD.ac>bd

【解题思路】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.

【解答过程】对于ABD,取a=2,匕=l,c=-2,d=-4,满足a>b>0>c>d,

显然a+d=-2<—1=b+c,ccd=—8V—2=be,ac=-4=bd,ABD错误；

对于C,a>b>O>c>d,贝!Ja+c>b+d,C正确.

故选：C.

【变式1-1］（2024•全国•模拟预测）"V0<y”是“（％-丫）2>%2+、2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】由不等式的性质结合充分不必要的条件即可得解.

【解答过程】若（x-y）2=x2+y2-2xy>x2+y2,贝！Jxy<0,所以y<0<x或者x<0<y,

所以"x<0<y”是“（x-y）2>x2+产，的充分不必要条件.

故选：A.

【变式1-2］（2023•上海杨浦•一模）已知实数a,b满足a>b,则下列不等式恒成立的是（）

A.a2>b2B.a?>b3C.|a|>\b\D.a-1>b-1

【解题思路】根据函数的性质判断即可.

【解答过程】因为/O）=/,/（x）=田是定义在R上的偶函数，

所以当实数a,b满足a>b时，a2>振,|可>向不一定成立，故A,C不符合题意；

因为/（%）=/是定义在R上单调递增的奇函数，

所以当实数a,b满足a>b时，则a3>〃，故B符合题意；

因为/'（X）=在（一8,0）,（0,+00）上单调递减，

所以当实数a,b满足a>b时，aT>6T不一定成立，不符合题意.

故选：B.

【变式1-3］（2023・贵州遵义•模拟预测）已知a,6,x均为实数，下列不等式恒成立的是（）

A.若a<b,则a2°24<62024

D/7rT|.（20242024

B.右a〈b,则丁（工

2024

C.若Q/024<^,则a<b

D.若a<b,贝|JQ%2024<b%2024

【解题思路】结合特殊值与不等式的性质可求.

【解答过程】A,当。=一2/=1时，（—2）2024>"024,人错误；

B,当a=0时，也没意义，B错误；

a

C,由a/°24<6乂2024,知刀2024>0,所以a<6,C正确；

D,当X=0时，a/024<b/024不成立，D错误.

故选：C.

【题型2比较数（式）的大小】

【例2】（2023•湖南•模拟预测）已知正实数x,y满足久<y,设。=xe*+y,b-yey+x,c-yex+x（

中e为自然对数：2.71828…)，则。，b,c的大小关系是()

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

【解题思路】利用作差比较法，结合指数函数的单调性可得答案.

【解答过程】因为a=xex+y,b=yey+%,c=yex+x,所以b—c=y(ey—ex)

又y>%>0,e>1,所以e'Ae”,所以b>c；

又c—a=(%—y)+(y—x)ex=(x—y)(l—ex),

又y>%>0,ex>1,所以c>a.

综上，a<c<b.

故选：A.

【变式2-1](2023・江西•模拟预测)已知logs。>logsb,则下列不等式一定成立的是()

A.y[a<4bB.log5(a—b)>0

C.Sa-b>1D.ac>be

【解题思路】由log5a>log5b可得a>b>0,然后对选项一一分析即可得出答案.

【解答过程】由log5a>log5b可知a>b>0,所以所以A错误；

因为a—b>0,但无法判定a—b与1的大小，所以B错误；

当cWO时，ac<be,故D错误；

因为a—b>0,所以5。-匕>5。=1,故C正确.

故选：C.

【变式2-2](2023•北京东城•一模)已知久V-1,那么在下列不等式中，不成立的是

O1

A.%2-1>0B.x+-<—2C.sinx—%>0D.cosx+%>0

X

【解题思路】利用作差法可判断A、B选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C、D选项的正误.

综合可得出结论.

【解答过程】•••X<-1,则/一1=(%—1)(%+1)>0,%+工+2=/+2X+1=处之<0,

XXX

又•・,sin%、cosxG[—1,1],sinx—x>0,cosx+x<0.

可得：ABC成立，D不成立.

故选：D.

【变式2-3](2024・福建泉州•模拟预测)若c>b>a>0,贝!J()

A.abbc>acbbB.21nb<Ina+Inc

C.CL—>b—D.logc>log^

aba

【解题思路】利用不等式的基本性质，并对选项化简，转化，判断对错即可.

【解答过程】解：选项A中，由于得=4-758=仁?1>1,所以a5c>a%b成立；故A正确;

选项B中，21nh=Inb2,Ina+Inc=Inac,扶与此大小不能确定,故B错误；

选项C中，由于。一：一（b-3=（。-5）（1+京）V0，故C错误；

选项D中，令c=l,则log/=log8c=0,故。错误.

故选：A.

【题型3证明不等式】

【例3】（2024高三・全国•专题练习）已知a,b为正实数.求证：^-+—>a+6.

ba

【解题思路】根据题意，化简得到《+眩-（a+b）=生空坦，结合不等式的性质，即可得证.

baab

【解答过程】证明：因为］+.一（a+b）=a旺氏十加=a2（~）=（j）?a+b）,

baababab

又因为a>0,6>0,所以空斗上丝20,当且仅当a=b时等号成立，

ab

所以j+匕>a+b.

ba

【变式3-1］（22-23高一上•全国•课后作业）证明下列不等式：

（1）已知a>b,e>f,c>0,求证/—acVe—be

（2）已知。>b>0,cVd<0,求证：苦V小.

【解题思路】（1）（2）利用不等式的基本性质即可证明.

【解答过程】（1）证明：c>0,

・••ac>be,・"ac<—be,

又因为e>f,即/<e,

所以/—ac<e—be.

（2）证明：vcVdCO,・,・一”>一工>0；

acac

又a>b>0,T>」，；.中；

acac

【变式3-2］（2023高三・全国・专题练习）证明命题：“若在△ABC中a、仇c分别为角A、B、C所对的边长,

则上〈捻+W”

aab

【解题思路】由作差法证明白<再由--------<----------------<白证明盘<

1+cl，+:c等+(a+『b—c)=-1+a+b1+a+bl+cz+b1+a+b1+af1+a+b

士+£

【解答过程】证明：取l+c=d,a+b-c=zn,:c+m_c(d+m)—d(c+m)_m(c­d)

ad+md^d+m)d^d+m)

因为d>c>0,m>0,所以宏之<0,即:<善・

a{a+m)aa+m

匚匕i、ic,c+fa+b—c)a+ba,a

所以---<-------------=------=--------1----------

1+cl+c+(a+b—c)1+a+bl+a+匕1+a+b

aab,b./a,a,a,b

又因为•<___sy_______|----------<_____|-------

1+b1+a+b1+a+b1+a1+b

所以擀+

1+c1+a1+b

【变式3-3](22-23高二下•湖北省直辖县级单位•期末)若a>b>0,c<d<0,网>|c|

(1)求证：b+c>0；

b+c/a+d

(2)求证:----<-•

(a-c)2----(b—d)2,

(3)在(2)中的不等式中,能否找到一个代数式，满足券<所求式<白？若能,请直接写出该代数

式；若不能，请说明理由.

【解题思路】(1)根据b,c的符号去绝对值可证不等式成立;

(2)根据同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性质可证明不等式成立;

⑶在°<旨<小的两边同时乘以b+c，得蒜<般，在a+d>b+c>。的两边同时乘以七,

a+db+cb+ca+d

得所以b+c<…<_____

(b—d)2>(b-d)2'(a-c)2(匕一02(b-d)2'

【解答过程】(1)因为网>|c|,且b>0,c<0,所以b>—c,所以b+c>0.

(2)因为c<d<0,所以—c>—d>0.又因为a>b>0,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相

加得a—c>b—d>0,所以(a—c)2>(b—d)2>0.

11

所以0V(a-c)2V{b—d)2f

因为a>b,d>c,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a+d>b+c.

所以Q+d>b+c>0,

所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得高

<(…产

(3)因为b+c>0,0<-^-2<-i-2，

(a-c)z(b—d)

匕匕I、I

所以Eb+c<,Eb+c，

-1

因为Ovb+c<a+d,——7>0,

(b-dy

所以就<台,

6[I、]b+cb+ca+d

所'(a-c)2(b-d)2(b-d)2'

所以在(2)中的不等式中，能找到一个代数式小鼻满足题意.

(*-d)

【题型4利用不等式的性质求目标式的取值范围】

【例4】(2023•江苏南通•模拟预测)已知a—be[0,l],a+be[2,4],则4a-2b的取值范围是()

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

【解题思路】利用方程组以及不等式的性质计算求解.

【解答过程】设4a—2b=m(a—b)+n(a+h)=(m+ri)a—(m—n)b,

所以fn+〃=3解得[爪=

—n=2tn=1

所以4a—2b=3(a—b)+(a+b),

又a—be[0,1],a+bC[2,4],

所以3(a—b)w[0,3],4a—2bE[2,7],故A,C,D错误.

故选：B.

【变式4-1](23-24高一上•山东荷泽•阶段练习)已知一l〈X+y4l,1<x-y<3,则3%-2y的取值

范围是()

A.2<3%—2y<8B.3<3x—2y<8

C.2<3%—2y<7D.5<3%—2y<10

【解题思路】

设3%-2y=m(x+y)-n(x-y)=(m-n)x4-(m+n)y,利用待定系数法求得皿九，利用不等式的性质

即可求3%-2y的取值范围.

【解答过程】设3%—2y=m(x+y)—n(x—y)=(m—n)x+(m+n)y,

所以7113解得[“一]，即可得3x—2y=；(x+y)+“x—y),

l/n十71——ZI-yj—___ZL

因为一+第一yW3,

所以2W3%-2y=[(x+y)+|(x-y)<8,

故选：A.

【变式4-2](23-24高三上•湖北•阶段练习)已知a<6<c且a+2b+4c=0,贝暇的取值范围是()

a

A-(一8，-9B.C.(o,i)D.g,l)

【解题思路】根据题目条件得到a<0,c>0,由©=—"―1和b<c得至上>—由a<b得至暇<1,从而

42a6a

得到答案.

【解答过程】因为a+2b+4c=0,a<b<c,所以a<0,c>0,

由a+2b+4c=0得到c=--a--b,则一工。—工匕>0,解得>-

4242a2

由b<c得b<—La—整理得;a<—解得2>—3

4242a6

由a<b得1,

a

综上，-J<eVL

6a

故选：B.

【变式4-3](2023,广西南宁•模拟预测)已知函数/(%)=第2++c,0<x1<l<x2<2,

/(X1)=/(%2)=。，贝昉+2c的取值范围为()

A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,1)D.(-1,2)

【解题思路】先利用一元二次方程根的分布求得关于实数瓦c的不等式组，再利用不等式的性质即可求得b+

2c的取值范围

【解答过程】由函数/(%)=/++。中，/(x1)=f(x2)=0,0<x1<l<x2<2f

可知一元二次方程/+b%+c=0有二相异根，分别位于区间(0,1)和(1,2)内

(7(0)>o'c>0c>0

则"⑴V0,即1+6+c<0,即b+c<-1

1/(2)>04+2b+c>02b+c>—4

^Cb+c<-l-rzf3(h+c)<-3

由12b+c4'可信Bt—(2b+c)<4

则3(Z)+c)—(2Z?+c)V4—3,即b+2c<1

由X-可得｛3c>0

2b+c>—4

则(2b+c)+3c>-4,贝昉+2c>-2

综上，b+2c的取值范围为(-2,1)

故选：B.

【题型5不等式的综合问题】

【例5】(23-24高一上•上海浦东新•阶段练习)解决下列问题：

(1)已知m,nCR,设a=(爪2+1)52+4),b=(mn+2尸.比较a与b的大小;

(2)已知a>b>0,c<d<0,e>0,求证：—<—.

a—cb—d

【解题思路】(1)利用作差法进行求解即可;

(2)利用作差法,结合不等式的性质进行证明即可

【解答过程】(1)a—b=(m2+l)(n2+4)—(jnn+2)2=m2n2+4m2+n2+4—m2n2—4mn—4=

4m2+n2—4mn=(2m—n)2>0=>a—fo>O=>a>b；

(2)ee_e(b-d)-e(a-c)_e(b-d-a+c)_e[(d—d)—(a—c)]

a—cb-d(a—c)(b—d)(a—c)(b—d)(a—c)(b-d)

因为c<d<0,所以一c>-d>0,

因为a>b>0,所以a—c〉b—d>0今(a—c)一(b—d)>0,

因为e>0,所以上—£=平陪?<on上〈意.

a—cb—a{a—c){b—a)a—cb—a

【变式5-1](2023高一•上海・专题练习)给定无理数ee(0,1).若正整数a,b,c,d满足

(1)试比较三数三，g5的大小；

b+dba

(2)若bc-ad=l,证明下面三个不等式中至少有一个不成立

①I"股看②I”恕2^^;③卜。|2春

【解题思路】(1)作差法比较大小；

(2)利用反证法，因等又三故可分然与8〈器证明・

bb+dabab+aab+d

【解答过程】(1)由题意可知，所以bc>ad,

ba

所以£±£—乌=上%>0,所以£±£>9，

7/1b(b+d)b7/1^b+db

a+cc_ad-be<0所以鬻<3

b+dd(b+d)d'b+aa

所以产

(2)证明：由(1)汽<3又？

bb+aaba

若/<吟

假设①9一(2意；②一会2焉了；需一92点都成立,

①③之和可得:2+，

②③之和可得：就r>需2点+—©，

④化简得02/+-V5bd,⑤化简得02(2-V5)d2+(2-㈣bd+b2,

由④⑤之和可得：0>2[(3-V5)d2+2(1-V5)hd+2b2]=[(V5-l)d]2-4(V5-l)bd+(2b)2,

即02[(V5-l)d-2b]2,贝%=后，

又a,b,c,d为正整数，所以[是有理数，故矛盾；假设不成立

若9<咨且be-ad=l,同理可证下列三个不等式中至少有一个不成立；

b+d

①。一韩康②鬻一。27^^；③点

所以三个不等式中至少有一个不成立.

【变式5-21(23-24高一上•河北保定•阶段练习)(1)当pq都为正数且p+q=l时,试比较代数式(px+qyY

与p%24-qy2的大小.

(2)已知14%-y<2,3<2%+y44,求4%—y的取值范围.

【解题思路】(1)利用作差比较法比较大小即可；

(2)先利用％-y,2%+y表示出4%-y,结合式一y,2%+y的范围可得答案.

【解答过程】(1)(px+qy)2—(px2+qy2)=p(p-l)%2+q(q—l)y2+2pqxy.

因为p+q=l,所以p—1=—q,q—1=—p,

所以(p%+qy)2—(px2+qy2)=—PQ(X2+y2—2xy)=—pq(x—y)2.

因为p，q都为正数，所以一pq(%-y)2W0,

因此(p%+qy)2<px24-qy2,当且仅当汽=y时等号成立.

(2)由题意可设4%—y=a(%-y)+b(2%+y),

则｛4;"2b,解得&=2,6=1,

l—l=b—a

因为1W%—yW2,3W2%+yW4,

所以2<2(%—y)<4,3<2%+y<4,

则5W4%—y<8.

【变式5-3K23-24高一上•上海普陀•期中)设t是不小于1的实数.若对任意a,bC[一14,总存在c,d€

使得(a+c)(b+d)=1,则称这样的t满足“性质r

(1)分别判断t>2和1<t<决寸是否满足“性质1”；

(2)先证明:若u>且〃+u>贝！>1;并由此证明当|<t<2时，对任意a,b6[-1,。，总存在“心G

[-1,t],使得(a+ci)(b+&)N+

(3)求出所有满足“性质1”的实数t

【解题思路】(1)分别举反例证明t>2和1Wt<m时性质1不成立；

(2)先分别就|a-切Wg,|a-训>g讨论证明若a,u2g,且a+u2|,贝！再利用这个结论可得

证；

(3)结合(2)的结论可得解.

【解答过程】(1)iH/t=[—1,t],S=(a+c)(b+d),

假如t>2,则当a=b=t时，对任意c,dE/t，均有SN(t-1)2>1,不满足要求；

假如则当。=-1,b=2-t时，对任意c,5均有-2<a+c<t—1,l-t<b+d<2,

若Q+C,b+d同正或同负，则S42(t—l)<l,其余情况下总有S40V1,不满足要求.

(2)先来证明：若〃,uN?，且〃+"之|,则“uNl,同时该结论记为引理.

当也一训W|时，"V=(^)2-(JT)22(丁一(J=L

当也一切>|时，不妨设UN",则u>〃+|,又〃之3所以〃u>D|)=l.

所以右〃,UNQ,且〃+贝!N1.

下面证当力工2时，对任意a,bE[—1用，总存在“森E[—1用，使得(a+q)(b+盛)21,

若a+b<—则取Q—di——1,此时S=(d—1)(/?—1)—(1—a)(l—b),

其中，1——人之日+0之1,且(1—a)+(1—b)=2—(a+b)N

由引理可得SNL

33

r3\

--Ga+T+-

12Jt2

27

3315

其礼b

a+-+->--

2222

综上，当53亡42时，对任意a,bE[-1,打，总存在“翁E[-1用，使得(a+q)(b+獭)21.

(3)当2时，当a,be/七时，可取cE4，使得|a+c|WL理由如下：

当ae[一1,1]时，取c=0,则|a+c|=\a\<1；

当ae(l，H时，取。=-1,贝iJlVaWt42,贝ij0<a—lWl,故|a+c|=|a-1|41,

同理，可取deIt,使得|b+d|<1,此时S=(a+c)(b+d)<|a+c|•|&+d|<1,

所以当时，对任意£[-1,t],总存在c,d£[-1,打，使得(a+c)(b+d)W1.

结合(2)的结论可得，对任意a,bE[-1,t],总存在c,d£[-1用，使得(a+c)(b+d)=1.

综上，所有满足性质1的实数te[|,2].

【题型6糖水不等式】

[例6](22-23高一上•贵州六盘水•期末)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”

作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“〉”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对

不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果a克糖水中含有b

克糖(a>6>0),再添加n克糖(n>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正

确的是()

A.也>2B.

a+naa+na

cb+nbca+na

a+nab+nb

【解题思路】根据加糖前后糖水浓度的变化即可得答案.

【解答过程】解：由题意可知，加入ri克糖(n>0)后糖水变甜了，

即糖水的浓度增加了，

加糖之前，糖水的浓度为：-；加糖之后，糖水的浓度为：~

aa+n

所以也>2

a+na

故选：A.

【变式6-1](23-24高一上•广东揭阳•阶段练习)已知bg糖水中含有ag糖(b>a>0),若再添加mg糖

完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大).根据这个事实，下列不等式中一定不成

立的有()

m

Aa一a+mca+m,a+2

A.—<---B.---<----

•bb+mb+mb+2m

2i

C.(a+2.171)(^b+TH)V(a+m)(b+2TTI)D.--V^a-i

【解题思路】根据题意得三<产，进而根据？<产依次讨论各选项即可得答案.

bb+mbb+m

【解答过程】对于A选项，由题意可知？<产，故正确；

bb+m

对于B选项，因为0<小<2『所以誓=故正确；

b+mb+m+2,H—mb+2,H

对于C选项，由？v?”可得（四v进而得（a+2m）（b+zn）>（a+m）（b+2m）,故错误；

bb+mb+mb+2m

对于D选项，/<曰=*<击，故正确•

故选：C.

【变式6-21（22-23高一上•广东东莞•阶段练习）（1）已知6克糖水中含有a克糖（b>a>0）,再添加根克糖（爪>0）

（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.

（2）东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：力种糖每千克pi元，B种糖每千克「2元（两种糖

价格不相等）.东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是

多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格=物品的总价钱+物品的总质量）

【解题思路】（1）根据糖在糖水中所占的比例的变化可得出不等式，再利用作差法可证得结论成立；

（2）求出两人买到的糖的平均价格，利用作差法可得出结论.

【解答过程】解：（1）b克糖水中含有a克糖（b>a>0）,则糖在糖水中所占的比例为今

再添加M克糖（巾>0）（假设全部溶解）,则糖在糖水中所占的比例黑,

糖水变甜了，说明加糖后，糖在糖水中所占的比例变大了，即有黑瑕，证明如下:

m+aa(m+a)6—(m+b)am(b—a)、八i?n+a、a

----------------------------=〉U,则mi〉—：

m+bbb(m+b)b(m+b)-------m+bb

（2）对于东东而言，他买到的糖的平均价格为号（元/千克），

对于华华而言，设华华买两种糖的费用均为c元，则他买到的糖的总质量为上+❷千克，

PlP2

故华华买到的糖的平均价格为3=呼（元/千克），

港+逅P1+P2

中-呼=粤三/>0,即东东买到的糖的平均价格较高.

2P1+P22（P1+P2）

【变式6-3］（22-23高一上・江苏苏州•阶段练习）已知她糖水中有ag糖（6>a>0）,往糖水中加入mg

糖（m>0）,（假设全部溶解）糖水更甜了.

（1）请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式.

⑵利用（1）的结论证明命题：“若在△ABC中a、6、c分别为角/、B、C所对的边长，贝匕亍<3+3”

【解题思路】（1）根据题意直接写出答案，利用作差法证明该不等式;

（2）利用三角形的三边关系和放缩法即可证明.

【解答过程】（1）由题可得，汴恶

ab+am—ab—bm

证明：因为7—鲁b>a>0,m>0,

bb+mb(b+m)b(b+m)'

所以，a—b<0,b+m>0,从而晟—F^<0,即？<

bb+mbb+m

（2）由三角形三边关系，可得a+b>c,而函数y=W=l-2,为单调递增函数,

.cvc+(a+b-c)a+ba,b

---------=------------1,

1+cl+c+(a+b—c)1+a+b----1+a+b-----1+a+b

a<ab<b

1+a+b1+a1+a+b1+b

AA_B

1+a+b1+a+b

ab

所以，上<---1.

1+a----1+b

►过关测试

一、单选题

1.（2024・全国•模拟预测）已知x>y,则下列不等式正确的是（）

A.l-x<l—yB.x2>y2C.|||>1D.xz>yz

【解题思路】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误.

【解答过程】•；x>y,x<-y,x+1<—y+LBP1-x<1—y,故选项A正确；

当％=-1,?=一2时，满足久〉y,但/=l,y2=4,此时%2<必，|^|=|Z1|=|<1,故选项B,C错误;

当z<0时，由无〉y可得xz<yz,故选项D错误.

故选:A.

2.（2024•北京丰台•二模）若a,beR,且a>b,贝1J（）

A."n—V—B.a2b>ab2

cz2+lb2+l

a+b

C.a2>ab>b2D.a>、—>、bR

2

【解题思路】举反例即可求解ABC,根据不等式的性质即可求解D.

【解答过程】由于Q>b,取a=l,b=-1,=*■=a2b=ab2=1,无法得到蔡匕<**，02b>ab2,

故AB错误，

22

取a=0,b=—2,则小=Qfab=0,b=4,无法得到/>ab>b,C错误，

由于Q>b,贝ij2a>b+a>2b,所以a>>b,

故选：D.

3.（2023・湖南岳阳•模拟预测）已知1Va<3,3VbV6,则二的取值范围为（）

A.（|,1）B.（2,6）C.（1,6）D.&3）

【解题思路】由不等式的性质即可得解.

【解答过程】因为l<a<3,3<6<6,所以2<2a<6,

62a2

所以工<2<2<2<3.

262a2

故选：D.

4.（2024•江西•模拟预测）已知a,b,c£R,则下列选项中是“a<b”的一个充分不必要条件的是（）

A.—>B.ac2<be2

ab

C.a3<b3D.3a<3b

【解题思路】根据充分不必要条件的定义，结合不等式的性质判断即可.

【解答过程】由回〉可得工>3因为a,b的符号不确定，推不出a<b,故A不满足题意；

abab

由ac?vbe?,可得a<b,反之当a<b,c=0时不成立，故"ac2<be?”是"a<b”的充分不必要条件，故B

满足题意；

因为a3Vb30a<b,3a<3ba<b,所以C,D不满足题意.

故选：B.

5.（2023・湖南岳阳•模拟预测）已知内瓦c为实数，则下列命题成立的是（）

A.若aVb,则ac<be

B.若a<b,则Q—c>b—c

C.若a|c|>b|c|,则a>b

D.若a>b9则,<—

ab

【解题思路】根据不等式性质对选项逐一判断即可得出结论.

【解答过程】对于A,若a<b,当c=0时，不满足ac<bc,即A错误;

对于B,若aVb,则Q—cVb—c,所以B错误；

对于C,若a|c|>b|c|,可知cAO,不等式两边同时除以|c|,即萼〉誓，可得a>b,即C正确；

\c\\c\

对于D,若a>b,不妨取a=l,b=—1,贝胫=2>]=—2,可得D错误；

ab

故选：c.

6.（2023・全国•模拟预测）已知实数a,b.设甲：义>与乙：§<卢|,则（）

y/a7bbD+3

A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

【解题思路】根据不等式的性质由命题甲可得到b>a>0,作差法可判断命题乙正确，得出甲是乙的充分

条件；将命题乙变形后分类讨论得出甲是乙的不必要条件，即可得出答案.

【解答过程】由连>吃可知a>0,b>0.

所以工>3即b>a>0.

ab

因为k震3(a—b)

b(b+3)

所以寝<0,即£〈寝.

aD+3bD+3

所以甲是乙的充分条件.

若二〈出，即巴一出=迤也<0,

bb+3bb+3b（b+3）

a—b<0词/a-b>0

人」+3）>0或+3）<0,

当L2二贝肪>。或匕<一3,显然小>W不一定成立;

1b（b4-3）>0VaVb

当二H°n，则一3<b<0,显然右>去不成立.

（伏。+3J<Uyjay/b

所以甲是乙的不必要条件.

综上可知，甲是乙的充分不必要条件.

故选：A.

7.（2023・广东•二模）若。=百++6=有—总c=&+专，则（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>b>aD.b>c>a

【解题思路】利用作差法比较大小即可得出正确选项.

【解答过程】因为a-c=用-五+>°>所以a>c.c-b=&-遍+奈=

2V2+V3-2V5

因为（2金+遮）2-（2V5）2=4V6-9=V96-V81>0,

且2a+百>0,2*>0,所以2e+国>2通，所以c—b>0,所以c>b.故a>c>尻

故选：A.

8.（2023・陕西・模拟预测）已知一1Va<5,—3<b<l,则以下错误的是（）

A.-15<ab<5