高考数学22道压轴题：导数及其应用（练习及参考答案）

【高考数学】22道压轴题

导数及其应用(练习及参考答案)

1.已知函数/(%)=1口%+色.

x

(1)若函数/(%)有零点，求实数。的取值范围;

2

(2)证明:当—时，f(x)>e~x.

2.已知函数/(X)=/-Mnx(awE),F(x)=bx(Z?e7?).

(1)讨论了(九)的单调性；

(2)设Q=2,g(x)=/(x)+F(x),若％(。<%<%2)是g(九)的两个零点，且

%=出上三，试问曲线y=g(x)在点/处的切线能否与x轴平行？请说明理由.

3.已知函数/(x)=d+加；2+依(.m,neR)

(1)若/'(X)在x=l处取得极大值，求实数机的取值范围；

(2)若/(1)=0,且过点P(0,l)有且只有两条直线与曲线y=/(x)相切，求实数机的

值.

1

4.已知函数/(%)=x2ex,g(x)=2x3.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)求证：Vxe7?,/(%)>g(x)

x

5.已知函数/(x)=--Qx+b在点(e,/(e))处的切线方程为产-”x+2e.

Inx

(I)求实数人的值；

(II)若存在xG[e,e2],满足/(x)<-+e,求实数a的取值范围.

4

111

6.已知函数/(乃=111%—5依92+云+1的图像在％=1处的切线/过点(5,5).

(1)若函数g(x)=/(x)-(a—l)x(a>0),求g(x)的最大值(用。表示)；

(2)若〃=7,/(玉)+/(无2)+工1+%2+3%1%2=2，证明：%1+%22g.

2

7.已知函数/(%)=%ln%+3,g(x)=x3-x2-3,aeR.

x

(1)当〃=—1时，求曲线y=/(x)在x=l处的切线方程；

(2)若对任意的4/eg,2],都有;'(石))g(%)成立，求实数。的取值范围.

8.设函数/(x)=ex-ax-2

(1)求)(元)的单调区间；

k—x

(2)若”=1,左为整数，且当x>0时，恒成立，其中/'(%)为/(x)的导

X+1

函数，求左的最大值.

9.设函数/(%)=x2+Z?ln(x+1).

(1)若对定义域内的任意了,都有/(x)2/(I)成立，求实数b的值；

(2)若函数/(x)的定义域上是单调函数，求实数匕的取值范围；

〃1111

(3)若匕=—1,证明对任意的正整数〃，y/(-)<i+—+—+.

k2333万

3

10.已知函数/(x)=罐-e(x+l)lna—,(a>0且a/1),e为自然对数的底数.

a

(I)当a=e时，求函数y=/(x)在区间xe[0,2]上的最大值；

(II)若函数/(x)只有一个零点，求。的值.

11.已知函数/(x)=x—4，g(x)=2alnx.

x

(1)当—1时，求2x)=/(x)—g(x)的单调递增区间；

(2)设/z(x)=/(x)+g(x),且/z(x)有两个极值玉,工2，其中七€(0,，，求

〃(花)-〃(％)的最小值.

12.已知函数/(x)=lwc+x-2ax+](a为常数).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若存在沏6(0,1],使得对任意的ad(-2,0],不等式2〃e"(a+1)+f(x0)>

a+2a+4(其中e为自然对数的底数)都成立，求实数机的取值范围.

4

13.己知函数无)="+尤2-xlna(a>0,(#1).

(1)求函数/(无)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)求函数/(X)单调增区间；

(3)若存在卬&引T，1］，使得，5)-于5)Re-1(e是自然对数的底数)，求

实数。的取值范围.

14.己知函数/(x)=Inx——，g(x)=ax+b.

x

(1)若函数/i(x)=/(x)-g(x)在(0,”)上单调递增，求实数。的取值范围；

(2)若直线g(x)=ax+人是函数/(x)=lnx-工图像的切线，求a+h的最小值;

X

(3)当Z?=0时，若/(%)与g(x)的图像有两个交点4%1，%),5(%2，%)，求证：

xxx2>2/

5

15.某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2所示，

其周长为4m,这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况.如图，ABCD(AB>AD)

为长方形的材料，沿AC折叠后交DC于点P,设AADP的面积为S2,折叠后重合部

，分、ACP的面积为3.

(I)设A3=xm,用了表示图中。尸的长度，并写出了的取值范围；

(II)求面积§2最大时，应怎样设计材料的长和宽？

(III)求面积(H+2s2)最大时，应怎样设计材料的长和宽？

16.己知f(x)=e2x+ln(x+a).

(1)当a=l时，求/'(x)在(0,1)处的切线方程；

(2)若存在/e[0,+oo),使得〃X0)<2111(尤0+4)+无；成立，求实数。的取值范围.

6

17.已知函数/(%)=0¥(1!1%-1)一%2(々£尺)恰有两个极值点％,无2，且看

(1)求实数。的取值范围；

(2)若不等式In玉+力111%2>1+几恒成立，求实数几的取值范围.

18.已知函数，(x)=(lnx-)t-1)x(kdR)

(1)当%>1时，求/(x)的单调区间和极值.

(2)若对于任意工£[e,e2],都有/(x)V41nx成立，求女的取值范围.

2k

(3)若入田2，且/(修)=f(x2),证明：XiX2<e.

19.已知函数=ae"—%(a^R).

(I)若曲线y=在点(0"(0))处的切线与y轴垂直，求〃的值;

(II)若函数/(九)有两个极值点，求。的取值范围；

(III)证明：当x>l时，elnx〉％-'.

x

7

20.已知函数无)=1x3-2尤2+3X+6(6?R).

⑴当6=0时，求/⑶在［1,4］上的值域;

⑵若函数/(x)有三个不同的零点，求6的取值范围.

1,

21.已知函数/(x)=—ox--Inx-2.

(1)当a=l时，求曲线”X)在点处的切线方程;

(2)讨论函数/(x)的单调性.

22.已知函数/(%)=—1—+Inx在口,+8］上为增函数，且6>w(0,%).

%sin。

(I)求函数/(x)在其定义域内的极值；

(II)若在［l,e］上至少存在一个》,使得近o-7(%)>至成立，求实数上的取值范围.

8

参考答案

1.(1)函数/(%)=ln%+3的定义域为(0,+8).

x

a、1。e夕/、1ax—a

由/(%)=In%+—,付/(1)=-----2=•

xxxx

①当〃<0时，/'(%)>0恒成立，函数了(九)在(0,+8)上单调递增，

又/(I)=lnl+a=avO,xf+oo,/(x)-+oo,

所以函数/(x)在定义域(0,+oo)上有1个零点.

②当〃>0时，则无£(0,〃)时,/'(%)v0;x「(a,+8)时,f\x)>0.

所以函数/(x)在(0,a)上单调递减，在(〃,+8)上单调递增.

当％=〃[/(%)].=ln〃+l.当Ina+lKO,即0<a«,时，又/(I)=lnl+a=〃>0,

e

所以函数/(九)在定义域(0,+oo)上有2个零点.

综上所述实数。的取值范围为(-00,-].

e

另解：函数/(%)=ln%+@的定义域为(0,+8).

x

由/(%)=In%+—,得a=—%ln尤.

x

令g(x)=—九1nx,则g'(x)=-(lnx+l).

当无£(0,工)时，g'(%)>0；当无£(」,+8)时，g'(%)<0.

ee

所以函数g(%)在(o,1)上单调递增，在d,+oo)上单调递减.

ee

故％=工时，函数g(x)取得最大值gd)=In—.

eeeee

因xf+oo,/(x)f+oo,两图像有交点得a<—,

e

综上所述实数a的取值范围为(-00,—].

e

2

(2)要证明当〃2—时，/(%)>"",

e

即证明当%>0,a2—2时，ln%+a4>6一'，即xlnx+a>xe~x.

ex

9

令/z(x)=xlnx+〃,则"(x)=lnx+l.

当0<x<工时，/(%)<0；当x〉工时，/(%)>0.

ee

所以函数h(x)在(0,工)上单调递减，在(工,+oo)上单调递增.

ee

当％=一时，=----Q・

ee

211

于是，当—时，h(x)>-----—

eee

令(p(x)=xe~x,贝U0(x)=e~x-xe~x=e~x(l-x).

当Ovxvl时，/r(x)>0；当X>1时，

所以函数(p(x)在(0,1)上单调递增，在(l,+oo)上单调递减.

当％=1时，［夕(初1mhi=L

e

于是，当%>0时，9(%)V」.②

e

显然，不等式①、②中的等号不能同时成立.

2

故当〃2—时，/(x)>e~x.

,2

2.(I)f\x)=2x--=~,x>0

XX

(1)当aWO时，/'(x)>0,/(x)在(0,+oo)上单调递增,

假设y=g(x)在5处的切线能平行于x轴.

10

2

*.*g'(x)=2x-----1-Z?,(x>0)

x

由假设及题意得：

2

g(%[)=xl-21nXj+bxx=0

g%)=々-21nx2+bx2=0

M+x9

2

g'Qo)：2/bZ?=0④

玉)

X22ln

由.得，(1-^2)-2(^i-lnx2)+Z?(x1-x2)=0

否、

2OI1n——

即Z?=-------2x0

%1-X2

2、2%-2

石_（当一々）_九

ln22

由④⑤得，--%i+%2

x2

x.八41-i2t—2

令；~=’，；"I<九2，二°</<1一则上式可化为皿.=：^-,

42/十

2.—2

设函数Mr）=ln『一；ii（0<f<l）,则

h'（A=1___=（i）2>o

t0+l『t[t+1）2'

所以函数M。=Mf~由-在（°，1）上单调递增

2t—2

于是，当°<，<1时，有砧）<MD=°,即1型一~万丁（。与⑥矛盾.

所以y=，（x）在/处的切线不能平行于％轴.

3.(I)f'(x)-3x2+2mx+n

由=0得3+2m+〃=0

A=4m2—12〃>0.

・・・(m+3)2>0,得到机w—3①

ii

,/f\x)-3x2+2mx-(2m+3)=(%-l)(3x+2m+3)

/'(x)=。，得X=1或X=-1+——

I3J

.(.2m

由题一1H------>1,解得加<-3②

I3

由①②得m<—3

(II)由广⑴=0得3+2根+〃=0

所以/'(%)=31+2mx-(3+2m)

因为过点(0,1)且与曲线y=/(%)相切的直线有且仅有两条，

令切点是尸(％0，儿)

则切线方程为y-=尸(%X%-%)

由切线过点(0,1),所以有

1—V。=/(九oX—九。)

322

1-x0-mx0+(3+2m)x0=[3x0+2mx。-(3+2m)](-x0)

2

整理得2/3+mx0+1=0

所以，关于%°的方程办4+^^2+1=0有两个不同的实根.

令M%)=2d+的2+1,贝飒工濡有两个零点

"(%)=6x2+2mx

所以加w0,且/=0得x=0或%=—"—

由题,从0)=0,或彳一=0

又因为Mo)=i,所以彳―；)=o

所以*夕+(*+i=o

解得加=—3,即为所求

4.(I)f'(x)=2xex+x2ex=ex(x2+2x)

一2<x<0时,f'(x)<0,庵(-2,0)上单调递减;

12

x<-2或x>0时，/Q)>0,/(x应(-00,—2)和(0,+8)上单调递增.

所以/'(幻的单调递减区间是(—2,0>单调递增区间是(-oo,-2)和(0,,+8)

(II)

显然xWO时有/(x)2g(x),只需证x>0时/(x)2g(x),由于必？。

只需证x>0时，>2x

令/z(x)=e"-2x,xe(0,+8)

,/hf(x)=ex-2

h'(x)=0,得尤=In2

/.xG(O,ln2),/zr(x)<0,xG(in2,+oo),h\x)>0

M%庭(。，In2)上单调递减，在(in2,+8)上单调递增

・・・以%)小=碓12)=犬-21n2=2-21n2=2(lne-ln2)>0

/.xG(0,+oo),h(x)>0恒成立

所以当x>0时，于(x)>g(x)

综上DXEH,/(x)>g(x)

5.解：(I)f(x)=x-ax+b,x£(0,1)U(1,+oo),

Inx

求导，f(x)=2-一2,

Inx

则函数f(x)在点(e,f(e))处切线方程y-(e-ex+b)=-a(x-e),

即y=-ax+e+b,

由函数f(x)在(e,f(e))处的切线方程为产-ax+2e,比较可得6=。，

实数b的值e；

(II)由f(x)即-----ax+e<^-+e,

4Inx4

贝laN—--g-在5e2],上有解，

inx4x

设h(x)=—^----xe[e,e2],

inx4x

]ln2x-4x(lnx+2«)Qnx-2«)

求导h，(x)=—

4xxln2x4x2ln2x4x2ln2x

令p(x)=lnx-2«,

13

则函数p(X)在［e,黄|上单调递减,

.*.p(x)<p(e)=lne-2^^<0,

则h，(x)<0,及h(x)在区间［e,e：单调递减,

2J^_l_J_

h(x)>h(e)=-----2

Ine4e^r4e

实数a的取值范围色+°°］.

24e

6.(1)由/(%)=!一以+b,得/(1)=1-〃+人，

x

l的方程为y_(_ga+b+l)=(l-6z+Z?)(x-l),又/过点(g,g),

・・・g—(—g〃+Z?+l)=(l—a+Z?)(g—1),解得人=0.

12

g(x)=f(x)-(a-l)x=Inx--ax+(l-tz)x+l,

-Q(X---)(X+1)

—tZX?+(1—CI)X+1

g\x)=--ca+\-a=a(a>0),

XXx

当无£(0,工)时，g(x)>0,g(%)单调递增；

a

当％w(L,+oo)时，g(x)<0,g(x)单调递减.

a

故gOOmax+(1—ci)—F1—-----Ina.

a2a

(2)证明：・・・〃=-4,

/(x1)+/(x2)+x1+%2+3%1々+2%；+l+ln%2+2%；+1+玉+x2+3xxx2,

xx2

=ln(%%2)+2(玉+%2『+玉+/~\i+2=2,xx+x2+2(项+x2)=xxx2-ln(x1x2)

令x/2=机(根>0)，^(m)=rn—]nm,cp(m)=------,令夕(加)<0得Ov根vl；令

一m

(p(m)>0得相>1.「・(p(jn)在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增，

91

(p(m)>(p(y)=1,二%+%2+2(芯+%2)21，玉+工2>°，解得：%1+x2>—.

14

11

7.(1)当〃二一1时，f(x)=xlnx——,/(I)=-1,f(%)=lnx+l+—,

XX

/(1)=2,从而曲线y=/(%)在％=1处的切线为y=2(X—1)一1,即y=2%—3.

(2)对任意的玉，％,都有了(xjNgC%)成立，从而/(冷血)g(X)max

,i2

对g(x)=丁一12_3,g(%)=3x2-2x=x(3x—2),从而y=g(x)在［］与］递减，

21

1,2］递增，^(%)max=max{g(-),g(2)}-l.

又/(I)=a,则QN1.

下面证明当时，xlnx+—>Idix£［L2］恒成立.

x2

f(x)=xlnx+—>xln%+—,即证冗Inx+^Nl.

xxx

令/z(x)=%1口%+工，则h(%)=In%+1--y,"(1)=0.

xx

当时，/z(x)<0,当xw［l,2］时，/z(x)>0,从而y=〃(％)在九£［；/］递减,

%£工2］递增,h(x)^=h(I)=l,

从而〃21时，%ln%+@21在％e己,2］恒成立.

%2

8.(1)函数/(x)=eZzx-2的定义域是R,f(x)=ex-a,

若无0,则f(x)=ex-d>0,所以函数/(x)=e“-ox-2在(-oo,+oo)上单调递增

若〃>0,则当(-oo,ln〃)时，f(x)=ex-a<0;

当(Ina,+oo)时，f(x)=ex-a>0;

所以，于(x)在(-oo,Ina)单调递减，在(Ina,+oo)上单调递增

k—X,

(2)由于a=l,-----/(x)<1<»(^-x)(ex-1)<x+1

x+1

CX1M7X+l

・「x>0,:.e-l>0./.k<-----+x

ex-l

人x+1j、(、—xex—Iex(ex-x—2)

令g(X)=^T_r+X，二左<g(X)nin'g(X)=/r八2+l=-/x八。—

e-I(e-I)(e-I)

xx

令/z(x)=e-x-2,h(x)=e-1>0f/./z(x)在(0,+8)单调递增，

15

且/z(l)v0/(2)>0,「.人(％)在(0,+8)上存在唯一零点，设此零点为Jr。，则与G(1,2)

当％o£(O,%o)时，g(x)<0,当％0£(%0，+8)时，g(X)>0

•■­gOOnun=g(X0)=^^+X。，

e0—1

由g'(%)=。=>"。=/+2,，g(。)=%+le(2,3),又•.•左<g(%o)

所以上的最大值为2

9.(1)由x+1〉0,得光>—1./(x)的定义域为(一L+°o).

因为对Xd(—1,+8),都有/(%)之/'(I),/■⑴是函数/(%)的最小值，故有［(1)=0.

AA

//(x)=2x+-^-,.12+上=0,解得b=T.

x+12

经检验，匕=一4时，/(X)在(一1,1)上单调减，在(1,+8)上单调增./⑴为最小值.

(2)//(%)=2x+-^-^2x~+2x+b,又函数/(x)在定义域上是单调函数，

X+1X+1

/'(%)N。或/'(%)〈。在(一L+00)上恒成立.

若''(x)N0,则2%H-----20在(-1,+00)上恒成立，

X+1

01O11

即人之一2/-2x=—2(犬+］)2+］恒成立，由此得625；

若/'(%)<0,则2x-\———<0在(-1,+8)上恒成立，

%+1

即b<-2x2_2x=—2(尤+工产+L叵成立.

22

因一2(犬+g)2+；在(-1,+8)上没有最小值，，不存在实数Z?使/'(%)W0恒成立.

综上所述，实数Z?的取值范围是^-,+ooj.

(3)当6=—1时，函数/(%)=-—in(x+i).令

h{x}=/(x)-x3=-x3+x2-ln(x+1),

则〃(-1+2——七”

当%£(0,+oo)时，hr(x)<0,所以函数力⑴在(0,+oo)上单调递减.

16

又/z(0)=0,当工£[0,+oo)时，恒有Mx)</z(0)=0,即+<X3恒成立.

故当X£(0,+8)时，有/(%)<X3.

而左£N*,£(0,+oo).取1=工，则有二.

kkyk)k

・••tf\<1+J+*++所以结论成立.

k=\I

10.解：(I)当〃时，/(%)=ex-e(x+l)--,f!(x)=ex-e,令/(x)=0,解得

e

x=l,

%£(0,l)时,f\x)<0；%£(1,2)时,f\x)>0,

••./(了)皿=111欧{/(0),，2)},而/(0)=l—e—L/(2)=e2-3e--,

ee

1

即/。)3=/(2)=/9—3—・

e

(II)/(%)=ax-e(x+l)lna~—,f\x)=o'lna-elna=lna(a"-e),

a

令/'(r)=0,得元=log。e,则

①当。>1时，ln〃>0,

X(-00,log.e)log/(log。e,-H»)

f\x)—0+

/(x)极小值z

所以当％=log。e时，/(%)有最小值/(x)*=/Oogae)=-痴a—L

a

因为函数了(九)只有一个零点，且当XfY0和％f+8时，都有/(x)f+oo,则

f(%)——eInCL—=0,即elnaH—=0,

1naa

因为当a>1时，lna>0,所以此方程无解.

②当Ovavl时，InavO,

X

(-oo,logae)log—(log“e,-Ko)

f\x)—0+

/(x)极小值/

17

所以当x=log“e时，/(x)有最小值/(x^n=/(log")=-elna--,

a

因为函数/(X)只有一个零点，且当XfY0和Xf+8时，都有/(%)f+00,

所以/(%)min=-elna-L=O,即elna+'=O(0<〃<1)(*)

aa

|P1HP—1

设g(a)=elna+_(O<〃<l),则g\d)=-----y=-T—,

aaaa

令g\d)=0,得。=1,

e

当0<〃时，g\a)<0；当时，g\a)>0；

所以当〃二,时，^（公而门=g（』）=eln,+e=O,所以方程（*）有且只有一解〃=’.

综上，a=工时函数/（%）只有一个零点.

1xJ2a*+l

11.⑴由题意得b(X)FX—*—2HDXx>0,P(X)=x2,

令m(x)=x2—2ax+l,3=4iM-1)

①当T$1时F(x)N0,F(X)在(0,+8)单调递增;

②当a>i时，令F，(x)=0,得xi，一—1，X2=a+VcP—1

x(。,a-VQ2_)(a-VM-l,a+vM-)(a+Ja2-1.+o)

Fz(x)++

5(x)的单增区间为(0,④-v东-j),(34v'n•—1,♦oc)

综上所述，当一1三4三［时~x)的单增区间为(0,+8)

当a>l时，F(x)的单增区间为(0，a、京一［),Qw-i,.8)

(2)h(x)=x--^-2alwc,hz(x)="一？"x+L(x>0),由题意知x1,X2是x、+2ax+l=0的两才艮,

1xl

.,.xix2=l,xi+x2=-2a,x2=—,2a=-rj-

h(»i)-h(X2)=h(X|)-h(^)=2(xi-^--(xi+^)l»ui)

令H(x)=2(x-l-(x+j)&U)，Wa)=2(g-l)lnx=%

18

20ln3-16

当xw(叫时，4。)<0,"(%)在(01上单调递减，"(X)的最小值为H(3=

3

即h(xj—MM)的最小值为23n3

12.解：⑴f(x)=lnx+x2-2ax+l,

f(x)=^2x-2a=lA!z2ax+l；

XX

令g(x)=2x2-2ax+l,

(i)当aSO时，因为x>0,所以g(x)>0,函数f(x)在(0,+co)上单调递增；

(ii)当OVa《加时，因为△4)，所以g(x)>0,函数f(x)在(0,+8)上单调递

增；

(iii)当a>时，x在(-2,a~2)时，g(x)<0,函数f(x)单调递

22

减；

在区间(0,式近-2.)和(尹』/二2,+8)时，g(X)>0,函数f(x)单调递增；

22

(II)由⑴知当ae(-2,0],时，函数f(x)在区间(0,1]上单调递增，

所以当XG(0,1]时，函数f(X)的最大值是f(1)=2-2a,对任意的ae(-2,0],

a

都存在x()£(0,1],使得不等式a£(-2,0],2me(a+1)+f(x0)>a?+2a+4成立，

等价于对任意的2£(-2,0],不等式2mea(a+1)-a?+-4a-2>0都成立，

记h(a)=2mea(a+1)-a2+-4a-2,由h(0)>0得m>l,且h(-2)K)得mge?,

h*(a)=2(a+2)(mea-1)=0,

a=-2或a=-Inm,

Vae(-2,0],

A2(a+2)>0,

①当IVmVe?时，-lnm£(-2,0),且2£(-2,-Inm)时，h*(a)<0,

(-Inm,0)时，h'(a)>0,所以h(a)最小值为h(-Inm)=lnm-(2-Inm)>

0,

所以(-2,-Inm)时，h(a)>0恒成立；

②当m=e?时，h'(a)=2(a+2)(ea+2-1),因为a£(-2,0],所以h'(a)>0,

此时单调递增，且h(-2)=0,

所以a£(-2,0],时，h(a)>0恒成立；

综上，m的取值范围是(1,e2].

19

13.解：(1)Vf(x)=ax+x2-xlna,

f(x)=axlna+2x-Ina,

Af(0)=0,f(0)=1

即函数f(x)图象在点(0,1)处的切线斜率为0,

・••图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=l；(3分)

(2)由于f(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna>0

①当a>l,y=2x单调递增，lna>0,所以y=(ax-1)Ina单调递增，

故y=2x+(ax-1)Ina单调递增，

2x+(ax-1)Ina>2x0+(a0-1)lna=0,即f(x)>f(0),所以x>0

故函数f(x)在(0,+oo)上单调递增；

②当OVaVl,y=2x单调递增，InaVO,所以y=(ax-1)Ina单调递增，

故y=2x+(ax-1)Ina单调递增，

2x+(ax-1)Ina>2x0+(a0-1)lna=O,即f(x)>f(0),所以x>0

故函数f(x)在(0,+oo)上单调递增；

综上，函数f(x)单调增区间(0,+oo)；(8分)

(3)因为存在xi,x2e[-1,1],使得|f(xi)-f(x2)|>e-1,

所以当x£[-1,1]时，|(f(x))max-(f(x))1nlM

二(f(X))max-(f(X))min>e-1,(12分)

由(2)知，f(x)在[-1,0]上递减，在[0,1]上递增，

所以当X£[T,1]时，(f(X))min=f(0)=1,

(f(x))max二max{f(-1),f(1)},

而f(l)-f(-1)=(a+1-Ina)-(-^Fl+lna)=a---21na,

aa

记g(t)=t---21nt(t>0)，因为g'(t)=1+冬-1)2>0

ttt

所以g(t)=t---21nt^(0,+8)上单调递增，而g(1)=0,

所以当t>l时，g(t)>0；当OVtVl时，g(t)<0,

也就是当a>l时，f(1)>f(-1)；

当OVaVl时，f(1)<f(-1)(14分)

①当a>1时，由f(l)-f(0)>e-l=>a-lna>e-l=>a>e,

②当OVaVl时，由f(-l)-f(0)>e-l=U^-+lna>e-l=X)<a<—,

ae

综上知，所求a的取值范围为(0,—]U[e,+oo).(16分)

e

20

14.(1)解：h(x)=f(x)-g(x)=lnx------ax-b,则/z'(x)=工+3—。，

xxx

Vh(x)=f(x)-g(x)在(0,+co)上单调递增，

・••对Vx>0,都有/(%)=—I--—即对VX>0,都有Q<—I——,...............2分

XXXX

•1—7>0,

XX

故实数a的取值范围是(-8,0]；........3分

1)

(2)解：设切点为x0,ln^0-----,则切线方程为

(11)(11)

即,=—+—尤——~+~xo+Mx。」]亦即

卜玉)X。Jx0J

(11)

y二「了天+lnx0---1,

I%0-^o7%

公----t>09由题意得〃=---1—五=t+[,b=]HXQ--------1=—In。一2%—1,

%0%0%0%)

令Q+Z?=0。)=-ln，+/-t-1,则(pr(t)=」+2/_]=(2f+1)(，__11,................6分

当/£（0,1）时，在（0,1）上单调递减；当1w（l,+oo）时，o'"）,。,。”）在

(1,+8)上单调递增，

a+b=(p(t^>^?(1)=-1,

故〃+b的最小值为-1;...............7分

[1।1

(3)证明：由题意知Inx——二。玉，lnx2-----=ax2f

%]x2

两式相加得1nxi工2一步+%=〃（%]+九2）

二a

=a

21

、

In中.9分

菁工2

不妨令0<再<%,记/=—>1,

X\

令F(?)=ln?-2(I)Q>1),则F'(t)=”>0，

f+1t(t+1)

F(?)=Inf—2(1)在0,+8)上单调递增，则F«)=也/—丑二11>F(l)=0,

t+1t+1

卫，则In迤〜玉X2-人…)/心岸＞2,

t+1X1玉+冗2%九2(工2一九"项

()

又Inx{x2-2*+*2<jnx%2--]n尤也——~^==21nJ%%——7==,

X1X2X1X2\IX1X2-\JX1X2

...............10分

2i9

令G(x)=ln%——,则元〉0时，Gr(x)=—+—>0,「・G(%)在(0,+oo)上单调递增.

XXX

又ln0e—-^=-ln2+l-—«0.85<1,

42e2e

G(J再/)=In八—/>1>Iny/2e-

、，石工2，2e

2

则“I/>42e,即xxx2>2e...................12分

15.(I)由题意，AB=xBC=2-xfQx>2-x,:,l<x<2.................1分

设。尸=y,则PC=x—y,由^ADP四△CB'P,故PA二PC二x-y,

由PA2=AD2+Dp2,得(x—y)2=(2—+即：=211--|,1<X<2.................3分

22

(II)记AADP的面积为$2，则52=11-工)(2-x)=3-2

X~\—<3-2yf25

X

分

当且仅当％=立武1,2）时，S2取得最大值.

故当材料长为圆,宽为（2-机时，S2最大.7分

(III)S]+2s2=1x(2—x)+(l—J(2—x)=3—g1

x2+-,l<x<2

2X

于是令⑸+2S?）'=-；2-

*=0,二x=次9分

X

二关于%的函数4+2S2在（1,码上递增，在（有2）上递减,

当尤=次时，S]+2s2取得最大值.

故当材料长为瓶加，宽为（2-g'）加时，S|+2s2最大......12分

16.(1)a=l时，/(x)=e2l+ln(x+l),f'(x)=2e2x+-^—

/(o)=l,r⑼=2+：=3,

所以/(%)在(0』)处的切线方程为y=3x+l

(2)存在与w[0,+oo),/(%0)<2In(x0+tz)+XQ,

即：e2x°—In(a。+〃)_%；vO在/0«0,+oo)时有解;

设=e2x-ln(x+4i)-x2,》，(x)=2e2x-------2x

JC+Cl

^m(x\=2/，---i---2x,mr(x)=4e2x+-----2>0

x+a(x+6z)

所以沅'(力在[0,+oo)上单调递增，所以/(%)>/(0)=2--

1。当a2；时，M⑼=2-—>0,w(x)在[0,+oo)单调增，

所以"(x)max=〃(0)=1一皿〃<0，所以

iL】/、Jn

2。当ta<5时，ln(x+Q)<ln[x+/J