甘肃省陇南市礼县2024-2025学年高二第一次阶段性检测 数学试卷（含答案）

2024—2025第一次阶段性检测

局一数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答

案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数z=±—,则以=()

1+i11

A.V3B.V5C.3D.5

2.已知空间向量"=0T2),5=(1,-2,1),则向量》在向量口上的投影向量是。

(5瓜-5765付

J6—3J

B.（11）

值二1

c.16，6句

1r八兀、(兀-2a1=

sintz=-0,-cos--

3.已知3,I2人则＜2'（）

4^/21

A,bB.一§

74A/2

C.9D,9

cos"A=—亚eesin（26—P]=

4,已知I4)10,I2j，则I3J（）

4+363+46

A.10B.10

4-3-46

C.10D.10

5.已知平面上三个单位向量d3c满足'人则a，c=（）

]_V|i昱

A.2B,2C.4D.4

6.已知椭圆C：土+J=1（加＞0）的离心率为无，则加=（）

m42

A.2V2B.2近或&C.8或2D.8

7.阅读材料：数轴上，方程"x+'=°（'"°）可以表示数轴上的点；平面直角坐标系

中，方程，x+8y+c=°（削8不同时为°）可以表示坐标平面内的直线；空间直

角坐标系°一引？中，方程”x+为+Cz+°=°（4哈C不同时为。可以表示坐标空间

内的平面.过点°'z。）一个法向量为〃=（d九,）平面a方程可表示为

a（x-Xo）+b（y-%）+c（z-2。）=0,阅读上面材料,解决下面问题：已知平面a的方程

为x—y+z+l=O,直线是两平面x—V+2=0与2x—z+l=0的交线，则直线与平面

a所成角的正弦值为O

V10V2V7V7

A.35B,3c.15D.5

8.已知过点'（I」）的直线/与x轴正半轴交于点/,与y轴正半轴交于点8,。为坐标原

点，则3L的最小值为（）

A.12B.8C.6D.4

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得

0分.

9,若圆x2+y2_2x_6y+”0（aeR）上至多存在一点，使得该点到直线

3x+4y+5=°的距离为2,则实数。可能为（）

A.5B.6C.7D.8

,十皿/'(x)=cosxs(x^=Isinxl/3、*、4T收.口

10.已知函数JI',sv711,下列说法正确的是()

A.函数加（x）=/（x）.g（x）在匕T上单调递减

B,函数“（x）="x>g（x）的最小正周期为2兀

C,函数»=/（x）+g（x）的值域为卜因

_兀

D,函数"（x）=/（x）+g（x）的一条对称轴为“一^

11.在边长为2的正方体4BCD-中，■为3c边的中点，下列结论正确的有（

）

VTo

A.AM与D'B'所成角的余弦值为石

B.过A,M,D'三点的正方体ABCD一A'B'C'D'的截面面积为3

C.当P在线段4C上运动时，户3[+户时的最小值为3

D.若。为正方体表面3CC右，上的一个动点，E,E分别为NC的三等分点，则

\QE\+\QF\的最小值为26

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.直线过点N（4,a）,8（a—1,3）两点，直线4过点（）,（a2）两点，若

4，‘2,则Q=

已知在正四棱台中，48=（0,4,0）,C5]=（3,-1,1）,

13.

A[D[=（一2,°，°）,则异面直线DB1与4R所成角的余弦值为

一小7a-b-da-b

Q㊉/?=--z------aQb二一丁

14.对任意两个非零的平面向量。-和人A，定义：।HI+B।I।,H，若平面

向量之,，满足W>W〉°,且z㊉3和。。书都在集合

中，则

cos{a,b)=

aab=

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

15.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，

图1图2

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或

等于的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为"（°）；

误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（°）.假设数据在组内均匀分布.

（1）当漏诊率夕⑹=65%时，求临界值和误诊率［⑹；

（2）已知一次调查抽取的未患病者样本容量为100,且该项医学指标检查完全符合上面频

率分布直方图（图2）,临界值。=99,从样本中该医学指标在［95，1°5］上的未患病者中随

机抽取2人，则2人中恰有一人为被误诊者的概率是多少？

16.在△N3C中，内角力,B,C的对边分别为访b,c,已知

（cos/—2cosC）Z?=（2c-a）cosB.

/八4sinC,,/士

(1)求-----的值；

sinA

(2)若cos5=工，b=2,求△Z8C的面积.

4

17.如图，已知斜三棱柱/8C—中,

jrO7T

NBAC=—ZBAA=-nZCAA=-…，C,一°nr

2,13,X3,N8=NC=1,"4=2,点。是8c与

的交点.

（1）用向量刀，AC,'4表示向量/0；

（2）求异面直线/。与2C所成的角的余弦值；

（3）判定平面N2C与平面片8℃的位置关系.

18.设/是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a,b,ceN,使得

a-b=b-c,则称/为，，等差集,，.

（1）若集合"={1'3,5,9},BjA,且8是，，等差集，，，用列举法表示所有满足条件的

B；

（2）若集合私疗T}是“等差集”,求加的值;

(3)已知正整数〃23,证明：卜,工户，…户!■不是“等差集’,.

29.对于一组向量“”生，/，…。〃(〃eN*且〃N3),令S”=%+&+。31■%,如果

存在金(制€{1,2,3「一,〃}),使得,加闫S.一%,［那么称明,是该向量组的，，“向量，，.

(1)设""=(x+〃'〃)(〃cN),若%是向量组4,%,%的，田向量，，，求实数x的取

值范围;

mt.mt）

ancos—,sin—HGN*——

（2）若,向量组四,%"n是否存在“〃向

量”？若存在求出所有的向量”，若不存在说明理由;

(3)已知的,出，生均是向量组％,出，的的，，，向量，，，其中

“2=,02|2

,求证:同:同+同可以写成一个关于e*的二次多项式与一个关于

er的二次多项式的乘积.

l.B

(3+i)(l-i)3—3i+i—i2

3+i，.|z|=^22+(-l)2=V5.故选B.

T+T0+00-0=2

2.C

因为JIT)，b=(l,-2,l\

则万石=lxl+(-l)x(-2)+2xl=5

同=Jl+1+4=

b'a乂5_5__(555

故向量B在向量I上的投影向量是同同“{6~63

故选：C.

3.A

.1.72-1

sin。二一，sina+cosa=l

因为3

又因为

272

COS6T=Jl-sin2a=

所以~1~

cosf兀--2(zl=sin2a=2sinacosa=2x-x辿=迪

所以2339

故选：A.

4.A

71It4

sin2^=sin2+---=-cos2^+―=l-2cos20+—

则42445

cos29=cos2]。+；71=sin20+—7t=2sin0+—Icosl0+—兀3

24445

sinf2^-—兀=—sin2^-^-cos2^4+3百

所以32210

故选：A.

5.C

己2=4(3+Bj=1

由题意知平面上三个单位向量第九°c=2(a+b

满足则

_2_[[2_-a-b=~-

即4。+Set,b+4Z?=8+8。•/?=!_,则8

a-c=2a-(a+b}=2a2+2a-b=2-2x~=-

V7

故84,

故选:C

6.C

22

Xvg

椭圆C：—+1=1（加＞0）的离心率为；-,

m

,yjm—AV2、」4一加V2、

可得/=一=:-或=一丁，解得帆=8或相=2.故选C.

4m222

7.B

根据材料可知，由平面。的方程为x—V+z+l=°,得勺=&一14）为平面。的法向量,

同理可知，〃2=0，—L°)与〃3=(2,0,-1)分别为平面x—>+2=°与2x—z+l=0的法

向量.

—►

n2-a=0=0

——►<

设直线的方向向量则l〃3也=0,即[2x-z=0,取工=1,贝

\ny-a\|1—1+2|y/2

sing=--

Jl+l+lxJl+1+4—3

设直线与平面。所成角为°,则々,同

故选：B.

8.B

由题意知直线的斜率存在.设直线的斜率为“（左＜°）,

的v_i-Hx-n41—10），8（0,1-左）

直线的方程为丁―l—1）,则k,

121

99222

\O^+\OB[=（1）+（1-^）=1__+-+\-2k+k

所以kkk一

=2+（一"―2左）+，+左2.2+2^（一■|）（—21）+2小，义）2=8

--=-2k,—=k2

当且仅当k下,即左=—1时，取等号.

所以「的最小值为8.

故选：B.

9.BCD

圆/+,2_2x_6y+Q=0（QwR）即圜—+（y-3）2=lQ-a（aeR）

需满足。＜1°,则圆心为O'”,半径为a0-。

^_|3+12+5|_4

圆心0,3）到直线3》+4了+5=。的距离为5,

要使圆“+户2%-6y+。=0（。eR）上至多存在一点,使得该点到直线

3x+4y+5=0的距离为2,

需满足4一二1°-422,解得64a＜10,结合选项可知6,7,8符合题意,

故选：BCD

10.BC

XGvm（x）=sinXcosX=—sin2x

A选项，当＜2J时，g⑺-smx,2

此时2xe（匹2冗），而”sinx在（兀,2兀）上不单调，故人错误;

函数也%+2兀）=cos（x+2兀）•卜in（X+2兀）=cosx|sinx|=m（x）

B选项,

sinxcosx,2hi<x<2E+兀

m（x）

一sinxcosx,2kn+兀<x<2kn+2兀

而

gsin2x,2kn<x<2hi+兀,左£Z

-；sin2x,2E+兀<x<2E+2匹keZ

所以加（x）的最小正周期为2兀，故B正确;

兀7C5兀

「c7,1/7ryXXH—G2ATI+—,2kjlT-------（左£Z）

C选项，当X」2E,2E+攻上eZ）时，4L44」'）

n（x）=cosx+sin%=

所以

71f,,57cC79兀-X

当xw（2E+兀,2E+27i）/eZ）时》+片［2阮+彳,2加+彳心eZ）

cosx+—ef鸟

I4

综上，函数〃⑺=/（x）+g（x）的值域为［TW2」，故c正确;

1（兀3兀、71

-X一一十—二一

D选项，因为2I44）4

（3兀、3兀.3兀

n\—=cos---1-sin—

I4J44，所以XI不是〃G）的一条对称轴.

故选：BC

11.AC

以H为坐标原点，A'D',A'B',所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系,

则/(0,0,2),71/(1,2,2),0(2,0,0),E(0,2,0),0(2,2,0),

.•.而=(1,2,0),W=(-2,2,0),

_VTo

cos（而，近）~AM-JyB'

|3w|-|W|10

...与DB所成角的余弦值为不相，故A正确；

取CC的中点N,连接跖V,D'N,AD',

则MN//BCAD',

故梯形跖VE＞2为过点/,M,。'的该正方体的截面,

;MN=6,AD'=2V2,AM=D'N=75,

3A/2

梯形HAZXN的高为~T

]3J29

梯形HTVON的面积为,义6汇+2&＞；—=^,故B错误；

由对称性可知，归3[=|aD[,ik\PB'\+\PM\=\PD'\+\PM\,

又由于4,B,C,。，四点共面，故|尸6[+户陷=|丑0[+|尸加闫。叫=3,当P为

HC与£＞寸的交点时等号成立，故C正确，

设点厂关于平面3。。夕’的对称点为产'，连接£尸'，当E产'与平面3CC上，的交点为

。时，

\QE\+\QF\=\QE\+\QF'\最小,

过点E作4D'的平行线，过点尸作45的平行线，两者交于点G,此时

EG=-AD'=^^,

33

GF=2,EF'=<口27一2?+2?=2=JT—1,故D错误.故选AC.

12.0或5

二4

<

当直线斜率不存在，直线,2斜率为0时，满足/,幻此时13=0-2,解得a=5；

Q—3*（Q-2）-3

=-1

当直线斜率存在时，因为4,,2,所以4—（。—1）（—1）—2

,解得°=0；

综上，a=0或0=5.

故答案为：0或5

2则

13.19

DBX=DC+CB[=AB+CBX=(0,4,0)+(3,-l,l)=(3,3,1)

DBiAQi-2x3+0x3+0xl2M

cosDB1,AR=

j32+32+12.j32+02+()219

所以画皿

2回

所以异面直线0片与4A所成角的余弦值为19

25

故答案为：19

1逑V3

14.①.“#0.25②.8或3

设£与③的夹角为°,

____1-1〃eZ,0<〃V

因为a㊉〃和都在集合14J中，所以其取值可能为1424

因为问>W>°,则@+用>2琲

^cose

a-b

q㊉B=<

2琲I

可得

cose<i-r1--1

。㊉b<—〃㊉6=—

因为cosSWl,即22,可得2,所以4.

一…7COS0cos。1

a㊉b<------------>—cosO>-

又因为2即24,解得2

口〉|对＞0

因为IIII

^cose

一…7Q，bcose

ciQb——7T—>COS0>—

庙=2ZoH

可得T,即4或1,

—>—>—>—>

a-ba*b3

一一1一一32|2

—>—»4

a㊉b=—aQb=—a+㈤&4

当4且4时,即且

|一|2

——>

Ta-b372

cos(a,b)=4

TT32—>二即所以|2

a-b=—b,a~8~

可得4AM砰I

—>—>—>—>

a-ba-b

1

一一12—>2

。㊉b=-一7a+历4

当4且aG)b=l时，即且

|2

—>—>b

cos(a,b)=a-b

a-bbfa\-\b\

可得所以

cosQ*迪旦

综上所述：'/8或3.

j_3V2V3

故答案：4.8或3.

15.(1)依题可知，图1第一个小矩形的面积为5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(c-95)x0.002=0.5%,解得37.5,

^(c)=0.01x(100-97.5)+5x0.002=0.035=3.5%

(2)由题可知，100个未患病者中，该项医学指标在［95105］中的有

100x(0.010+0.002)x5=6人

其中被误诊者有l0°x(100-99)x0.01+100x5x0.002=2人，

记随机抽取的2人恰有一人为被误诊者为事件分别用a,b,c,d,E,尸表示这6人,

E,尸代表被误诊的2人，

样本天间。={ab,ac,ad,aE,aF,bc,bd,bE,bF,cd,cE,cF,dE,dF,EF)

事件A={aE,aF,bE,bF,cE,cF,dE,dF、故“(。”"〃(/)=8

7n(A\8o

尸(4)=_^=_

〃(Q)15,故2人中恰有一人为被误诊者的概率是15.

16.(1)由正弦定理得(cosZ-2cosC)siaS=(2sinC—siiL4)cos5,

所以cos/sinS—2coscsinS=2sinCcos^—sin^4cos5,

所以cos/sinS+sirL4cos6=2cosCsiiiS+2sinCcos5,

化简得sin(/+B)=2sin(5+C),

又/+笈+C=7i,所以sinC=2siik4，因此—=2.

siib4

(2)由二£=2,得c=2a,由余弦定理6?=/+。2—2accos5及COS5=L,

siib44

又6=2,得4=a?+4/—4/x—,解得Q=I,从而c=2.

4

又因为COS5=L,且0V6VTI,所以sin8=.

44

L辿Jlx2x叵=姮

因止匕S^ABC

2244

R080=!

17.(1)由题意可知:点。是巧［的中点，则2

AO=AB+BO=AB+-^C+B^yAB+-(AC-AB+A^^

所以22

(2)设4B=&,AC—b,AAX=c

一一一一1一一

则同叩印=2,5-Z7=0,6-c=lx2x—=l,5-c=lx2x-1

|222

A0\=—(a+b+c=1^+P+C+25^+26-C+25-C)

2

i7

=-(1+1+4+0+2-2)=|

所以।12

一一~AO-Jc=-（a+b+cXb-a}=\

又因为BC="万，所以2,人），\B产C\1-J22.

所以C°"I~TA"RAORBC=M5

A/3

所以异面直线N0与5c所成的角的余弦值为3.

（3）取3C的中点E,连接幺£,

因为48=NC,£为BC的中点，则/EL5C.

次•丽=工优+3）己=」6・己+3•己）=0Ar,JJJJ

又।2<,2<）,即网.

且8C,88]u平面8/CG,所以幺£平面gBCG.

因为ZEu平面48C,所以平面4BCL平面B/CG.

18.（1）因为集合”={135,9},BjA,存在3个不同的元素0,b,ceB,使得

a-b=b-c,

贝卢={135,9}或5={1,3,5}或5={1,5,9}

⑵因为集合'={1'"'=-1}是“等差集”，

所以2=刃+加2_］或2加=1+加2_］或2+〃？=2（〃？.1）

-1±V131±733

m=--------m=-------

计算可得2或掰=0或加=2或4,

又因为修正整数,所以加=2.

(3)假设…是“等差集”，

则存在见〃应e｛1,2,3,｝，加<“<q,2x"=£"+x”成立，

化简可得2=/一"+#",一一"〉0

因为xeN*,q_〃21,所以2>丫右"2x21,

所以X=1与*，X、X、…，X”｝集合的互异性矛盾，

所以*'*'/'…'X"｝不是“等差集”.

19.(1)由题意可得：同邓3一%|=,1+%],

因为%=(x+〃,〃)则q+4=(x+1,x)+(%+2,2)=(2x+3,3)%=(x+3,3)

则同23+寸，即(x+3y+942x+3)2+9,

整理得x(3x+6)〈0,解得-2WxW0,

所以实数x的取值范围为卜2,01.

(2)存在，理由如下：

假