概率与统计-2025届高中数学一轮复习特训（含解析）

概率与统计-2025届高中数学一轮复习特训

一、选择题

1.已知正态分布N（l,02）的正态密度曲线如图所示，X~N（l,b2）,则下列选项中，不能表示图

中阴影部分面积的是（）

C.1-P（1<X<2）D.lp（x<2）-1p（X<0）

2.2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看.小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、

乙两家影院观影的概率分别为工和3.如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为3;如

555

果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影

2

院的概率为（）

125

AB1C

23一---

059

504

3.随机变量X服从NO，/）若P（X21）=P（X<3）,则下列选项一定正确的是（）

A.P(X23)=1B.b=l

C.〃=2D.p(X23)+P(X<l)=l

4.某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如表:

零件数X（个）182022

加工时间y（分）27m33

现已求得上表数据的回归方程夕=中的5值为0.9,则据此回归模型可以预测，加工100个零

件所需要的加工时间约为102分钟，则根的值为（）

A.28B.29C.30D.32

5.学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中选取

了男、女生各〃人进行调查，并绘制如下图所示的等高堆积条形图.则（）

1

S9

S8

7

O.6

OS.5口不■&欢

S4口喜欢

S3

2

O.1

O.0

生

男女生

参考公式及数据：2,其中“=〃

7V=(--a--+---b--)-(--c"+("d")一(a"+0c--)--S---+---d--)-a++c+d.

a0.10.010.001

Xa2.7066.63510.828

A.参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多

B.全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多

c.若〃=50,依据&=0.01的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关

D.若〃=100,依据a=0.01的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关

6.掷两枚质地均匀的骰子，设4="第一枚出现奇数点"，3=“第二枚出现偶数点”，则A与2的关

系为（）.

A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等

7.在一个不透明箱子中装有10个大小、质地完全相同的球，其中白球7个，黑球3个.现从中不放回地

依次随机摸出两个球，已知第二次摸出的是黑球，则第一次摸出的是白球的概率为（）

A.7_B.7lC.2-D._5

10936

8.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率为工，则从A到8这部分电源能通电的

3

概率为（）

243243243243

二、多项选择题

9.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为。（0＜。＜1）,收到0

的概率为1—1；发送1时，收到0的概率为，(0＜分＜1),收到1的概率为1-，.考虑两种传输方

案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次,

收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号

中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1,则译码为1)()

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-£)(1-")2

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为，(I-，)？

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为，(1-/)2+(1-/)3

D.当0＜夕＜0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为。的概率大于采用单次传输方案译码为0

的概率

10.甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试(满分100分)，考后分别以％=0.8%+20、

%=0.75々+25的方式赋分，其中苞，々分别表示甲、乙两班原始考分，/，内分别表示甲、乙

两班考后赋分.已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，贝ij()

A.甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高

B.甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高

C.甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数

D.若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分

数高

11.甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球.先从甲罐中随机取出

一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球.凡表示事件“从甲罐取出的球是红球”，人表示

事件“从甲罐取出的球是白球”，3表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的

是()

A.A],3为互斥事件：8.2(3/)=：

,47

C.p(&忸)=,D-P(5)=—

三、填空题

12.已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1

次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为.

13.某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是2,若每位面试者共有

3

三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题

目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为.

14.某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了40”(“eN*)个人,得到如

下列联表:

是社交电商用户不是社交电商用户合计

男性8及12〃20n

女性12〃8〃20几

合计20n20n40n

己知/05=3.841,若根据&=0.05的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则〃的最小值为

(1)根据经验可知原材料投入x(万元)与利润y(万元)间具有线性相关关系，求利润y(万元)

关于原材料投入x(万元)的线性回归方程；

(2)当原材料投入为100万元时，预估该产品的利润为多少万元？

人£(%•-x)(x-y)

附：3=~一„-，a=y~bx-

MT

i=\

16.某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出

胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球

为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员

全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双

方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚

进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员

1?

罚进点球的概率均为一，乙队每位球员罚进点球的概率均为一.假设每轮罚球中，两队进球与否互不

23

影响，各轮结果也互不影响.

(1)求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；

(2)若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以2:0领

先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率.

17.小王某天乘坐火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为

0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：

(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率；

(3)这三列火车恰有一列火车正点到达的概率.

18.假期中，来自沿海城市的小明和小强去四川旅游，他们发现自己带的小面包的包装袋鼓了起来.原来

随着海拔升高，气压也随之降低，包装袋内的气压大于外面气压，从而使得面包袋鼓了起来.研究发现在

一定范围内大气压与海拔高度是近似线性的关系.

海拔IWJ度X/m10501005001000

大气压y/kPa101.2100.6100.294.888.2

(1)利用线性回归解题思路求y与x之间的线性回归方程；(务的值精确到0.001)

(2)小明和小强打算去九寨沟，可以利用(1)中的方程，估计九寨沟A景点(海拔2800m)的大气压.(精

确到0.01)

附：①对于一组数据(%,%)，(尤2，为卜…，(%，％卜其回归直线y=a+标的斜率和截距的最小二乘估

计分别为：入J--------=6后

2

②参考数据：-%)=711480,(x,.-x)(x-V)=-9358.

1=1J=1

19.某校为了培养学生数学学科的核心素养，组织了数学建模知识竞赛，共有两道题目，答对每道题

目得io分，答错或不答得o分.甲答对每道题的概率为:，乙答对每道题的概率为°(0<0<1),且

甲、乙答对与否互不影响，各题答题结果互不影响.已知第一题至少一人答对的概率为』.

6

(1)求p的值；

(2)求甲、乙得分之和为30分的概率.

参考答案

I.答案：c

解析：正态分布N（l,cr2）的正态密度曲线关于直线x=1对称，

可得图中阴影部分可表示为

P（0<X<l）=P（X<l）-P（X<0）=1-P（X<0）=1-P（X>2）>故选项A,B正确；

对C：由对称性可得;_p（lWX<2）=P（X22）=P（X<0），故选项c错误；

对D：由对称性可得尸（0WXW1）=P（1WXW2），

所以图中阴影部分面积可表示为P（0<X<1）=1-[P（X<2）-P（X<0）]，故选项D正确.

故选：C.

2.答案：D

解析：设小明第一天去甲影院为事件4第二天去甲影院为事件8,小明第一天去乙影院为事件C,

第二天去乙影院为事件。

故P（A）=|，P（C）=|，P（3|A）=|，尸（用C）4

由。出力常=|，「但。）=需M可得「（加哈P3）京

故P（3）=P（AB）+P（C3）=^+\=|^，

3

W

则小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为P（C|B）==

27

50

故选：D

3.答案：C

解析：因为尸（X21）=P（X<3）

由正态分布的对称性，可得〃=2,正态分布方差无法判断,

P（X>3）<1，P（X>3）+P（X<1）<1,

所以ABD错误.

故选::C

4.答案：C

解析：由题意可知：5>=O.9x+d,

且当x=100时，9=0.9x100+近=90+近=102,解得6=12,

可知$=0.9x+12,

18+20+22cc-27+7〃+33zn+60

—20，v——

333

-TA*加+60

可知点［20,--一在》=0.9x+12上,

m+60

即20x0.9+12=——,解得m=30.

3

故选:C.

5.答案：D

解析：对于A,由等高堆积条形图可知，参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的

人数少，故A错误；

对于B,全校学生中男生和女生人数比不确定，故不能确定全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜

欢游泳运动的女生人数多，故B错误；

对于C,结合等高堆积条形图可得:

游泳

性别合计

喜欢不喜欢

男生0.6〃OAnn

女生0.4〃0.6几n

合计nn2n

22n(0.6HxQ.6n-QAnx0.4n)-

=0.08”'

n

若〃=50，则％?=o.o8〃=4<6.635,

故依据a=0.01的独立性检验，不可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故C错误;

对于D，若八=100,则力2=0.08"=8〉6.635，

依据a=0.01的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故D正确.

故选：D

6.答案：C

解析：掷两枚质地均匀的骰子，设A="第一枚出现奇数点"，8=“第二枚出现偶数点”，

事件A与B能同时发生，故事件A与8既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A,B错误；

v762v762v7664v7v7224

因为P（A）・P（5）=P（AB），所以A与2独立，故选项C正确；

事件A与8不相等，故选项D错误.

故选：C.

7.答案：B

解析：设第一次摸出白球为事件A，第二次摸出黑球为事件B，则第一次摸出黑体为事件印.因为

73

PAB

夕（5）=;＞（m）+/＞（独）=工义3+3*2=」,所以「（川B\=^）=1Q—9=2.

1091091017P⑻29

10

故选B.

8.答案：A

解析：从A到B电路不能正常工作的概率为

（22）「2（11]]51155

1I33”3I33刀927243

所以从A到8电路能正常工作的概率为n=l-P=l_Jl=l^.

1243243

故选：A.

9.答案：ABD

解析：对于A选项，采用单次传输方案，依次发送1,0,1,依次收到1,0,1的概率为

(1-£)(1—a)(l—£)=(1—a)(l—£)2,所以A选项正确.

对于B选项，采用三次传输方案，发送1,依次收到1,0,1的概率为

所以B选项正确.

对于C选项，采用三次传输方案，发送1,依次收到1,1,1（即译码为1）的概率为

（1—，）（1一，）（1一，）=（1—分）3；发送1,依次收到1,0,1（即译码为1）,0,1,1（即译码为1）,

1,1,0（即译码为1）的概率为3（1-，），（1一，）=3（1-，）2,，于是译码为1的概率为

（1一+3（1—£）2£,所以C选项不正确.

对于D选项，采用三次传输方案，发送0,依次收到0,0,0（即译码为0）的概率为

(1-«)(1-«)(1-«)=(1-«)3；发送0,依次收到0,0,1(即译码为0),0,1,0(即译码为0),

1,0,0(即译码为0)的概率为3(1—a)a(l—。)=3(1—，于是译码为0的概率为

(1-C)3+3(1-a)2c.采用单次传输方案，发送0,译码为0的概率为1—戊.依题意，有

(1-a)3+3(1-«)2«>\-a,ae即4a1+a>0,ae.令函数/(a)=-2a2+a,

则/(a)=o(l-2o)>0在上恒成立，所以D选项正确.故选ABD.

10.答案：ACD

解析：对AB,由题知E(yJ=£(必)=6。，=16,心(%)=15,

因为％=0.8再+20，%=0.75X2+25，

所以0.8£(%)+20=60，0.75£(%)+25=60，0.8^(^)=16>0,75^(%2)=15-

解得E&)=50，E(X2)«46.7-j£>(凡)=20,”>(々)=20,

所以石(石)>石(%)，J而)=何用，故A正确，B错误；

对C,因为%—%=20-0.2%,e[0,100]>

所以0<20—0.2%<20，即%—为20，所以C正确；

对D,作出函数y=0.8x+20，y=0.75x+25的图象，如图所示：

由图可知，当％=%<100时，有马<%，

又因为y=0.8x+20单调递增，所以当％〉％时必有玉>/，D正确.

故选：ACD

11.答案：BD

解析：A选项:显然不成立；

B选项:当人发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时3发生的概率为

11

P（B|^）=—»二B选项正确；

D选项:当人发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时3发生的概率为5,

3｝14137

二尸（叫&）=77，,。（3）=2（4）/网4）+。（4）2网4）=不义77+于77=不，；中选项

JLJL乙J.J.乙J.J.乙乙

正确；

_1x_3_

。选项:0（4忸）=纱图=一1=』，."选项不正确.

」P®2____7

22

12.答案：1/0.5

2

解析：从5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出不再放回,

设事件4第1次抽到代数题，事件8：第2次抽到几何题,

则P（A）=」，P（AB）=-X-=—，

'/5v75410

3

1-0-

所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为P（B|A）=，黑=3

51

故答案为：1.

2

13.答案：—

27

解析：依题意，李华3道题都没有答对的概率为—=工，

I3J27

所以李华最终通过面试的概率为1-工=—.

2727

故答案为：”.

27

14.答案：3

解析：/_4°"x（12"xl2"-8"x8"）-_8_3841>3,841x-=2.400625

%—20nx20«x20nx20n-5005-8

所以根据a=0.05的独立性检验认为是不是社交电商用户与性别有关，则”的最小值为3.

故答案为3

15.答案：（1）1=221040

（2）原材料投入为100万元时，预计该产品的利润为1160万元.

解析：（1）设利润y（万元）关于原材料投入x（万元）的线性回归方程为$=晟+6,

由已知》=^（82+84+85+86+88）=85，

y=1（770+800+830+850+900）=830，

i=\

£心—号2=9+1+0+1+9=20,

i=l'

所以5==22，。=亍—族=830—22x85=—1040,

所以利润y（万元）关于原材料投入尤（万元）的线性回归方程为'=22%-1040；

（2）由（1）当％=10。时，9=22x100—1040=1160，

所以当原材料投入为100万元时，预计该产品的利润为1160万元.

16.答案：⑴

2

4

⑵5

解析：（1）设每一轮罚球中，甲队球员罚进点球的事件为A,未罚进点球的事件为印；乙队球员罚进点

球的事件为8,未罚进点球的事件为力.

设每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的事件为C,由题意，得在每一轮罚球中两队打成平局的情况

有两种:甲、乙均未罚进点球，或甲、乙均罚进点球，

贝UP（C）=P（N）xP（R）+P（A）xP（3）=（l—g）（l—g[+gxg=:+g=g,

故每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率为工.

2

⑵因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分，即四轮罚球结束

时比分可能为2:1或2:2或3:2.

①比分为2:1的概率为

P（孙P⑻.P（孙P（耳+P（孙P⑻.P（孙P⑻

111

------1------——

18189

②比分为2:2的概率为尸(N)-P(B>P(N)-P(3)=(l—g]xgx[l—g]x|=g.

③比分为3:2的概率为P(A>P⑻.P(孙P⑻+P(孙P⑻.P(A>P⑻

1124

综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为土+土+*=2.

9999

17.答案：⑴0.398

(2)0.994

(3)0.092

解析：(1)由题意得,恰好有两列火车正点到达的概率为

P(ABC)+P(ABC)+P(ABQ=P(A)P(B