等式与不等式综合（含基本不等式）（教师卷）- 2015-2024年高考数学试题分项汇编（全国适用）

专题04等式导系等式稼香（含基洋茶等式）

十年考情­探规律

考点十年考情(2015-2024)命题趋势

考点1不等式的1.梳理等式的性质，理解不等式

2019•全国卷、2018•全国卷、2017•山东卷、2016•浙

性质的概念，掌握不等式的性质，能

江卷、2016•北京卷、2016•全国卷、2015•浙江卷

（10年5考）够利用不等式的性质比较不等

2024•全国新I卷、2024•上海卷、2023•全国新I式的大小关系

卷、2.理解、掌握基本不等式及其

考点2解不等式

2020•全国卷、2019•全国卷、2019•天津卷、2018•全推论，会使用应用条件：“一正，

（10年10考）

国卷、2017•天津卷、2015•江苏卷、二定，三相等”，能正确处理常

2015•广东卷数“1”求最值，能用拼凑等思想

合理使用基本不等式求最值，能

熟练掌握基本不等式的应用，应

用于函数和解析几何的求解过

考点3基本不等2024•北京卷、2021•全国乙卷、2021•全国新I卷程中求最值

式2020•全国卷、2015•四川卷、2015•陕西卷3.本节内容是新高考卷的常考

（10年4考）2015•湖南卷、2015•福建卷内容，一般会结合条件等式考查

拼凑思想来使用基本不等式求

最值，或者和其他版块关联，难

度中等偏上。

分考点二精准练二

考点01不等式的性质

1.（2019•全国•高考真题）若〃泌，则

A.In（«-/?）>0B.3a<3b

C.a3-b3>0D.14z|>|Z?|

【答案】C

【分析】本题也可用直接法，因为。>6,所以当。-6=1时，ln(a-6)=o,知A错，因为y=3"是

增函数，所以3">3〃，故B错；因为哥函数y=V是增函数，a>b,所以03>凡知C正确；取。=1/=-2,

满足a>b,1=|a|<|Z?|=2,知D错.

【详解】取。=2/=1,满足“>8，ln(a->)=O,知A错，排除A；因为9=3">3〃=3,知B错，排除B；

取。=1,b=—2,满足。>/1=同<例=2,知D错，排除D,因为塞函数y=d是增函数，。>方，所以/>"，

故选C.

【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、塞函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算

能力素养，利用特殊值排除即可判断.

2.(2018•全国•高考真题)设。=logo,20.3,Z?=log20.3,贝！］

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0

C.a-\-b<0<abD.ab<0<a-\-b

【答案】B

【详解】分析：求出工=log0.3°2,：=/og0.32,得到工+工的范围，进而可得结果.

abab

详解：.a=log0.203,Z?=/og2°-3

.­.-=log0.302,-=/og0.32

ab

11…

+£=/fogo3().4

ab

.•.oJ+Ll,即0〈巴心<1

abab

又.a>0,b<0

/.ab<0BPab<a+b<0

故选B.

点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题.

3.(2017・山东•高考真题)若a>b>0,且ab=l,则下列不等式成立的是

lb....b[/7、1

A.a+—<—<\og2(a+b)B.—<log2{a+b)<a+—

11/7、匕

C.a+—<log2(6Z+Z?)<^7D.log?(Q+b)<Q+习<

【答案】B

所以a>1,0<Z?<1,，〈1,log2(〃+log2y[ab=1,

【详解】因为a>Z?>0,且必=1,2

设〃x)=2x-x,(x>1),则/,(x)=2Aln2-l>0,所以/(x)=2r-%,(%>1)单调递增,

1]]

月f以2人>Q>Q+匕QH>log2(〃+力，月f以B.

bb

【名师点睛】比较幕或对数值的大小，若幕的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调

性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、

对数函数的性质及基本不等式作出判断.

4.(2016・浙江・高考真题)已知a,b>0,且awl,"1.若log。b>l,则

A.(«-W-l)<0

B.(a-l)(a-t>)>0

C.口电-皿礴।一:涮可丽

D.(b-V)(b-a)>0

【答案】D

【详解】试题分析：bg,b>logfla=l,

当时，b>a>l,a—l>0,b—a>0,b—l>0,a—b<0,

:.(a-V)(b—1)>0,(a—l)(a-b)B，g-I)(b-a))0.

当Ovavl时，0<Z?<tz<1,—1<0,Z?—tz<0»Z?—1(0,a—Z?)0,

二.(a—1)(/?—1)>0,(a—1)(〃—6)(0,(Z7—1)(6—〃))0.观察各选项可知选D.

【考点】对数函数的性质.

【易错点睛】在解不等式log*>l时，一定要注意对，分为和两种情况进行讨论，否则很容易

出现错误.

5.(2016•北京,高考真题)已知羽ywH,且则

11八

A.---->0

%y

B.sinx-sin>0

c.(|r-(|y<0

D.lnx+lny>0

【答案】C

【详解】试题分析：A：由X>J>0,得即L-LvO,A不正确；

xyxy

B：由X>>>0及正弦函数的单调性，可知曲-曲J%：训।不一定成立；

C：由Ovlvl，x>y>0,得代厂；：：《日淋，故，，犷旗:;w，<：喇，c正确；

D：由X>)>0,得xy>0,但xy的值不一定大于1,故In元+lny=ln孙>0不一定成立，故选C.

【考点】函数性质

【名师点睛】函数单调性的判断：①常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法.

⑵两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；

⑶奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单

调性.

6.（2016•全国•高考真题）若a>b>l,0<c<l,则

cccc

A.a<bB.ab<baC.a\ogbc<b\ogacD.log“c<l0gz.c

【答案】C

【详解】试题分析：用特殊值法，令a=3,b=2,c=g得I.!，选项A错误，3x2^>2x3^选项B

错误，log3g>log2；,选项D错误，

lgfllgbha

B^alogf,c-Z>logac=lgc-（-^---^-）=lgc-（^）,a>b>\:A<b<a<a

IgbIgaIgMga

lana-lo"

&—>0Ovcvl.,.lgccO.,.olog-vMogaC选项C正确，故选C.

Igblga

【考点】指数函数与对数函数的性质

【名师点睛】比较累或对数值的大小，若累的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单

调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.

7.（2015•浙江■高考真题）设a,b是实数，贝『％+5>0"是"必>0"的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】本题采用特殊值法：当。=3*=-1时，a+b>0,Bab<0,故是不充分条件；当。=-3/=-1时,

ab>0,但a+b<0,故是不必要条件.所以“"+b>0"是"">0"的既不充分也不必要条件.故选D.

考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.

考点02解不等式

1.（2024•全国新I卷•高考真题）已知集合4={3-5<尤3<5},3={-3,-1,0,2,3},则AB=（）

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

【答案】A

【分析】化简集合A,由交集的概念即可得解.

【详解】因为A={x|-正〈尤〈狗},3={-3,-1,0,2,3},且注意到1V为<2,

从而A3={-1,0}.

故选：A.

2.（2024・上海•高考真题）已知xsR,贝!J不等式2%—3<0的解集为.

【答案】{x|-l<x<3}

【分析】求出方程/一203=0的解后可求不等式的解集.

【详解】方程尤2—2元一3=0的解为x=-l或x=3,

故不等式炉-2%-3<0的解集为l<x<3},

故答案为：{x|-l<x<3}.

3.(2023•全国新I卷•高考真题)已知集合/={-2,—1,0,1,2},7V={x|x2-x-6>0),则McN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为N={x,2-x—620}=(e,-2]U[3，+8),而“={-2,-1,0,1,2},

所以AfcN={—2}.

故选：C.

方法二：因为河={-2,-1,0,1,2},将-2,7,0,1,2代入不等式尤2一工一620,只有一2使不等式成立，所以

A/cN={-2}.

故选：C.

4.(2020•全国•高考真题)已知集合4=画意-3工-4<0},8=1,1,3,5},则，B=()

A.{-4,1}B.{1,5}

C.{3,5}D.{1,3}

【答案】D

【分析】首先解一元二次不等式求得集合4之后利用交集中元素的特征求得Ac3,得到结果.

【详解】由V-Bx-dcO解得-l<x<4,

所以A={x|-l<x<4},

又因为3={-4」,3,5},所以AB={1,3},

故选：D.

【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交

运算，属于基础题目.

5.(2019•全国•高考真题)设集合4={X|N-5X+6>0},B={X|X-1<0},则ACIB=

A.卜8,1)B.(-2,1)

C.(-3,-1)D.(3,+8)

【答案】A

【分析】先求出集合A,再求出交集.

【详解】由题意得，4或弓3},3=门卜<1},则AcB={x|x<l}.故选A.

【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目.

6.(2019・天津•高考真题)设xeR,使不等式3f+x-2<0成立的尤的取值范围为.

【答案】(-1,：2)

【分析】通过因式分解，解不等式.

【详解】3X2+X-2<0,

gp(x+l)(3x-2)<0,

2

即一1<x<—,

3

2

故1的取值范围是(-1,§).

【点睛】解一元二次不等式的步骤：⑴将二次项系数化为正数；⑵解相应的一元二次方程；⑶根据一元二

次方程的根，结合不等号的方向画图；⑷写出不等式的解集.容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，

对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合.

7.(2018•全国•高考真题)已知集合4=卜,2-.*-2>0},则=

A.{x|-l<x<2}B.|x|-l<x<2}

C.{x|x<-1}3{X|X〉2}D.{x|尤W-l}u{x|xN2}

【答案】B

【详解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出/一工一2>0的解集，从而求得集合A,之后根据集

合补集中元素的特征，求得结果.

详解：解不等式X?-尤-2>0得x<-l或%>2,

所以A={x[x<-lMr>2},

所以可以求得CRA={X|TWXV2},故选B.

点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确

一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.

x2—x+3,x<1,

X

8.(2017•天津•高考真题)已知函数/(%)=2设若关于x的不等式/(%注己+。|在R上

x+—,x>l.2

恒成立，则。的取值范围是

47473939

A.[——,2]B.C.[-2^3I-,2]D.[-2Vr3,—]

1616lo16

【答案】A

vY

【详解】不等式/食”5+。为-/（无）q+a4/（x）（*）,

乙乙

YX3

当xWl时，（*）式即为一f+%—3K,+aV]?—兀+3,—X2+—-3<«<x2--x+3,

又一小+彳-3=一（%—；）2-£<一¥（%=；时取等号），

2416164

%2,3（X_|）^12>12（》=1时取等号），

2+3=416164

4739

所以---a<—,

〃1616

7r?3?r9

当工>1时，（*）式为一％4—a<x-\—,—x<a<—I—,

x2x2x2x

又-1x-2=-（1%+2”一24（当x=3区时取等号），

2x2x3

1+222、浮=2（当X=2时取等号），

2xV2x

所以-2君

、47

综上—*工。《2.故选A.

16

【考点】不等式、恒成立问题

【名师点睛】首先满足〃%注W+4转化为-/（%）-彳工。工〃%）-2去解决，由于涉及分段函数问题

乙乙乙

要遵循分段处理原则，分别对尤的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据X的范围，利用

极端原理，求出对应的。的范围.

9.（2015•江苏・高考真题）不等式2，公<4的解集为.

【答案】（-1，2）.

【详解】试题分析：本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化为相同的形式，即底

数化为2,根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系得到未知数的范围.

•••卢<4，

.-.2?-"<22,

•：y=:1是一个递增函数；

二.£・/•<23；

故答案为想―工"：

考点：指数函数的单调性和特殊性

10.（2015・广东•高考真题）不等式一元2一3*+4>0的解集为.（用区间表示）

【答案】（<1）

【详解】由-丁-3尤+4<0得：-4<x<l,所以不等式-Y_3x+4>0的解集为（Tl）,所以答案应填：（T,1）.

考点：一元二次不等式.

考点03基本不等式

1.（2024•北京・高考真题）己知（XQ1）,伍,%）是函数y=2'的图象上两个不同的点，贝U（）

A.log2211AB.iog,A±A>A±^

222-22

,y,+y,,y,+y,

C.log2<Xj+x2D.log2->x,+x2

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

【详解】由题意不妨设王<%,因为函数y=2*是增函数，所以0<2为<2*,即。<%<为，

X

0l+9数/------』+%2y,IV再+巧

对于选项AB：可得>与他=2,gpA±A>22>o,

22

Xj+%2

根据函数y=log2尤是增函数，所以10g2七卫>log22T=七三，故B正确，A错误；

对于选项D：例如玉=0,兀2=1，则M=1，%=2,

可得k）g2"^=log2Te（。/），即logz2^jvlnxi+xz，故D错误；

对于选项C：例如无1=-1,%=-2,则%=；,%=；,

可得log2214A=log?：=log23-3e（-2,-l）,即log2A^21>_3=%+/,故c错误，

2o2

故选：B.

2.（2021•全国乙卷•高考真题）下列函数中最小值为4的是（）

A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|+r

■|sinx\

4

C.y=2'v+22-XD.y=lnx+——

Inx

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式"一正二定三相等"，即可得出B,D

不符合题意，C符合题意.

【详解】对于A,y=x2+2x+4=（x+l）2+3>3,当且仅当x=-l时取等号，所以其最小值为3,A不符合

题意；

对于B,因为0<同11目41,y=Mnx|+舟^24=4,当且仅当卜inx|=2时取等号，等号取不到，所以其

最小值不为4,B不符合题意；

4f—

对于C,因为函数定义域为R,而2'>0,y=2'+22T=2工+=22/=4,当且仅当丁=2，即x=l时取

等号，所以其最小值为4,C符合题意；

对于D,y=lnx+-^—,函数定义域为（0,1）,而InxeR且InxwO,如当lnx=-l,v=-5,D不符

Inx

合题意.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确"一正二定三相等"的意义，再结合有关函数的性

质即可解出.

22

3.（202”全国新I卷•高考真题）已知小总是椭圆C：/+亍=1的两个焦点，点M在C上，则|岬卜|叫|

的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【分析】本题通过利用椭圆定义得到|峥|+|陛|=2。=6,借助基本不等式阿/讣眼阊，幽芈寸|即

可得到答案.

【详解】由题，/=9/2=4,^\MFl\+\MF2\=2a=6,

所以|叫卜眼鸟归=9（当且仅当阂=|咋|=3时，等号成立）.

故选：C.

【点睛】

22

4.（2020•全国•高考真题）设。为坐标原点，直线x=a与双曲线。=-夫=1（“>0,10）的两条渐近线分别交

ab

于D,E两点,若“犯的面积为8,则C的焦距的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

【分析】因为。［-1=1（〃>08>0）,可得双曲线的渐近线方程是y=±2x,与直线彳=。联立方程求得

aba

E两点坐标，即可求得比。I,根据AODE的面积为8,可得而值，根据2c=结合均值不等式，

即可求得答案.

【详解1C:——南=1(。>0,Z?>0)

b

・••双曲线的渐近线方程是y=±-x

a

1•直线x=a与双曲线己±-[=1(“>0力>。)的两条渐近线分别交于。，E两点

ab

不妨设。为在第一象限，E在第四象限

x=a

联立|x=a

b，解得

y=­xy=b

、a

故D(a,b)

x-a(

\x=a

联立b，解得

y=——x[y=~b7

Ia

故E(a,—b)

\ED\=2b

'的面积为：S△四=%2A="=8

22

双曲线C:—z--=l(a>0,b>0)

a"b"

­■•其焦距为2c=2da2=2屈=8

当且仅当a=6=2&取等号

，C的焦距的最小值：8

故选：B.

【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求

最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

5.(2015•四川•高考真题)如果函数〃彳)=；(加-2)尤2+(〃_8)尤+1(m20,〃20)在区间；,2上单调递减，

则mn的最大值为

81

A.16B.18C.25D.——

2

【答案】B

〃一8九一8

【详解】加。2时，抛物线的对称轴为％=——三.据题意，当相>2时，——^22即2根+〃(12.

m—2m-2