等差数列性质归类（16题型提分练）-2025年高考数学一轮复习知识清单

专题14等差数列性质归类

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目录

题型一：定义法判断等差数列......................................................................1

题型二：定义法求通项...........................................................................4

题型三：等差中项................................................................................6

题型四：等差数列的“中点”性质..................................................................8

题型五：an与sn的关系’........................................................................10

题型六：双等差数列sn比值型....................................................................12

题型七：等差数列型函数和.......................................................................14

题型八：奇数项与偶数项和型.....................................................................16

题型九：等差数列的函数性质：单调性.............................................................18

题型十：等差数列的函数性质：sn最值............................................................20

题型十一：等差数列的函数性质：正负不等式型.....................................................22

题型十二：等差数列的函数性质：恒成立型求参.....................................................26

题型十三：等差数列的函数性质：范围型...........................................................28

题型十四：等差数列的函数性质：sn与n比值型....................................................31

题型十五：等差数列与三角函数...................................................................33

题型十六：等差数列思维第19题型综合............................................................35

^突围・错;住蝗分

题型一：定义法判断等差数列

指I点I迷I津

等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差

数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为%（常数）（〃eN*,〃22）.

1.（2024•北京西城•三模）中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，

三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所

成的锐二面角依次为4，%，%，贝I（）

A.4+。3=2。2B.sin6}+sin0^=2sin(92

C.cos0；+cos=2cos02D.tan0x+tan&=2tan02

【答案】D

【分析】连接OP,过边4片的中点E作垂足为G,则NGEE就是漏壶的侧面与底面所成锐二

面角的一个平面角，记为8,设漏壶上口宽为下底宽为b,高为/?,在RtAEFG中，根据等差数列即可

求解.

【详解】三级漏壶，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上口宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底

宽和深度也依次递减1寸，

如图，在正四棱台ABC。-A,B|G2中，。为正方形A3C£＞的中心，尸是边的中点,

连结OF,过边4月的中点E作EGLOF,垂足为G,

则NGFE就是漏壶的侧面与底面所成锐二面角的一个平面角，记为6,

设漏壶上口宽为。，下底宽为6,高为h,

在RtAEFG中，GF=^—tan6=2L,

2a-b

因为自上而下三个漏壶的上口宽成等差数列，下底宽也成等差数列，且公差相等，

所以为定值，

又因为三个漏壶的高h成等差数列,所以tan仇+tan"=2tan02.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：对于情境类问题首先要阅读理解题意，其次找寻数学本质问题，本题在新情境的基

础上考查等差数列的相关知识.

2.(23-24高三下•上海浦东新期中)设为(x)=a"j'"+%iX"T+.+产0,m210,meZ),记

力(X)=AG)S=1,2,L,%—1),令有穷数列6,为力(x)零点的个数(〃=1,2,则有以下两个结论:

①存在用(“，使得切为常数列；②存在力(x),使得a为公差不为零的等差数列.那么()

A.①正确，②错误B.①错误，②正确

C.①②都正确D.①②都错误

【答案】C

【分析】对于①，列举析(力=已验证,对于②,列举力(尤)=(x-1)@-2)(x-m)验证.

【详解】当加“黄7"时，

■A(x)=%'(x)=,此时4=1,

2

于2(x)=fi(尤)=m(m-l)^,此时b2=l,

。4(耳=禽2@)=加(祖-1)(所2)-x2xx,此时B_i=l,

故存在力(x)，使勿为常数列；①正确；

设力(无)=(%-1)卜一2)(x-m),则为(x)有加个零点L2,3,,m,

则于、⑺在(1,2),(2,3),•,(〃?-1,帆)的每个区间内各至少一个零点，故工(x)至少有加一1个零点，

因为是一个小-1次函数，故最多有〃2-1个零点，因此工(x)有且仅有〃一1个零点，

同理，力(x)有且仅有帆-2个零点，L,力⑺有且仅有m-左个零点，

故bn=m-n，所以｛%｝是公差为T的等差数列，故②正确.

故选：C.

3.(23-24高三上•北京海淀•阶段练习)斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有

应用.斐波那契数列&｝满足4=%=1，册=%+%一2523/£N*).给出下列四个结论：

①存在加£N*，使得，am+l，am+2成等差数列；

②存在meN\使得a(n，"m+1，am+2成等比数列；

③存在常数/,使得对任意〃eN*,都有册，Sm，%+4成等差数列；

④存在正整数4%,••/,”，且h<i2<<im，使得气+«,++%=2023.

其中所有正确的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】c

【分析】由递推公式得｛%｝性质后判断，

【详解】对于①，由题意得。2=1,4=2,&=3,故4,%成等差数列，故①正确,

对于②，由递推公式可知册，am+l,4+2中有两个奇数，1个偶数，不可能成等比数列，故②错误,

对于③，*=4+3+”“+2=2。“+2+%=3”“+2q，

33

成等差数列；故③正确,

故当f=5时，对任意a„,-a„+2,«„+4

对于④，依次写出数列中的项为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,,

可得2023=1597+377+34+13+2,故④正确，

故选：C

4.（21-22浙江金华•阶段练习）已知各项均不为零的数列｛an｝,定义向量c“=（。”。用）也=（w,"+D,〃eN*.

下列命题中正确的是

A.若任意n!3N*总有cnHbn成立,则数列｛67｝是等比数列

B.若任意nEIN*总有cnHbn成立,则数列｛Q"｝是等比数列

C.若任意"I3N*总有cnfflbn成立,则数列｛。。｝是等差数列

D.若任意"EIN*总有cnHbn成立,则数列｛。。｝是等差数列

【答案】D

【详解】分析：利用平面向量垂直或平行的判定条件得到数列的递推公式，再利用累乘法求出通项，进而

利用等差数列和等比数列的定义进行判定.

详解：若任意〃eN*总有c”成立,

则”+(“+1)4+1=0,

a,』n

BP-=——7,

ann+1

aa.a

刀一12口

即纥=I,,-----•a.

aa0

„-in—24

n—1(宁i•(-n—3

----…•a1

nn-1n-2

(一1)"T

=-----------a],

n

则伍“｝不是等比数列，也不是等差数歹U;

若任意"WN*总有的1优成立，

贝1-5+1）。“=°，

即二n+1

n

即％=且纥.1——刍

an-l纥一24

nn—12

…丁

n—1n—2

=na{,

即｛%｝是等差数列.故选D.

点睛：（1）熟记平面向量垂直和平行的判定条件：

已知a=（%,%）/=（N，%），

则。〃人o玉%-%另=0,a_LZ?。%9+%%=。

（2）已知数列｛%｝的递推公式%1=/⑺）求通项时，往往采用累乘法;

an

已知数列｛%｝的递推公式。用-4=/（"）求通项时，往往采用累加法.

5.（浙江•高考真题）如图，点列｛An｝,｛Bn｝分别在某锐角的两边上，且

\BnBn+^\Bn+｝Bn+l8产用+2,〃eN*.（尸/。表示点尸与。不重合）

若d”=|A“s,为纥+的面积，则

C.｛4｝是等差数列D.｛力｝是等差数列

【答案】A

【详解】S"表示点4到对面直线的距离（设为儿）乘以忸“用」长度的一半,

即Sn=^hn\BnBn+l\,由题目中条件可知同5局的长度为定值，

那么我们需要知道4的关系式，

由于4,4和两个垂足构成了直角梯形，

那么4=4+|4A/sine,

其中。为两条线的夹角，即为定值，

那么S,=?4+HA』sin，LM，

%=g（4+HA/sin。）回纥

作差后：S“+「S”=J|AA"+』sin，）B/“M，都为定值，所以S用-S“为定值.故选A.

题型定义法求通项

指11点1迷1津

方法解读适合题型

定义法an-an_x（n>2,weN*）为同一常数0｛。“｝是等差数列

等差中项法2Q〃T=。〃+a〃—2（n23，neN*）成立=｛2｝是等差数列解答题中的证明问题

a,=pn+q（p,q为常数）对任意的正整数〃都成立

通项公式法

=｛%｝是等差数列

选择、填空题中的判

2

验证Sn=An+Bn｛A,2为常数）对任意的正整数n都成立=定问题

前〃项和公式法

｛%｝是等差数列

L____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1.（23-24高二下•贵州•阶段练习）已知数列｛4｝满足%=3,。用+1=%的3,数列也｝满足

b”=ata2an—a：，贝他o=（）

A.-13B.-14C.-15D.-16

【答案】C

【分析】根据已知条件求解判断｛2｝为等差数列，求出通项或，得解.

【详解】由b”=at-a2Lan—(a：+L+a：),

a

,,^n+i=i-/La“,a”+i—(4+a2+L+an+an+t,

则%-=qL4(%-,又an+l+1=%L%，

2

•・•々+i_2=(a"+i+l)(a"+iT)—a：+i=T，=at-a^=3-3=-6,

所以数列低｝为等差数列，则2='+(〃T)x(T)=f-5,

••a。=一15.

故选：C.

2.（2024•安徽合肥•模拟预测）己知数列包｝各项为正数，低｝满足a；=6也…an+an+1=2bn+l,若4=2,

111

〃=1,则一+一++—二()

“2024

1012101120242023

A.B.----C.-----D.-----

1013101220252024

【答案】C

【分析】由得«„=7^7，再结合%+=2b用，可得亚+师=2H，进而可得数列网

是等差数列，即可求出出n｝的通项，从而可求出数列｛%J的通项，再利用裂项相消法求解即可.

【详解】因为才=她,+1，所以%=施瓦二，

因为a“+4,+i=2%1，所以2>0,仿a+i+JH+也+2=22+1，

即+业"+2=2业“+],

所以数列卜历｝是等差数列，

又％=2,4=1,所以4二4,

所以数列｛匹｝的公差为两-屈=1,首项为班=1,

所以应'=〃，所以么=/，

所以=业"%=般

1)n〃+1'

111„1111________________1_2024

所以一+—++——=1-T+---++2024—2025―—2025—2025.

CL?^^2024乙乙J

故选：C.

3.（2024•山西•三模）已知数列｛q｝,｛》.｝对任意〃cN*均有。,+1=见+2也+i=2+2.若％=4=3,贝1]出4=（）

A.530B.531C.578D.579

【答案】C

【分析】根据等差数列可得a=2〃+1,再利用累加法求生4.

【详解】因为%=2+2,可知数列出｝是以首项4=3,公差d=2的等差数列,

所以％=3+2（〃-1）=2〃+1,

又因为4+1=见+么，即4+1-4="，

可得—q=4,。3—〃2二人2，〃4—〃3=4，…，〃24—〃23="23，

累加可得。24—%=4+4+%+…+，23，

则%-3=230；47）=575,所以％=578.

故选：C.

4.（2024・全国•模拟预测）已知根,"，4eN*,数列｛〃“｝中，4=2,am+n=am+an,S“为数列｛a“｝的前〃项和，

Sk+2-Sk=26,贝心=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】根据4+“=（+”“，令相=1,根据等差数列的定义和通项公式可得见=2”,再由等差数列前〃项

和与通项关系即可得结论.

【详解】在%,+■=%,+%中，令机=1,可得所以又4=2,

所以数列｛%｝是以2为首项，2为公差的等差数列，则=2〃，

所以&+2—&=%+1+。为+2=2（左+1）+2（左+2）=4左+6=26,所以左=5.

故选：C.

qq

5.（2024•内蒙古呼和浩特•一模）已知数列｛q｝的前〃项和为S“，且满足卬=2,3+-字=2,则品,=（）

n+1n

A.110B.200C.65D.155

［答案］B

【分析】根据等差数列的定义及通项公式求解即可.

【详解】因为鸟当-曳=2,

H+1n

所以是以2为公差的等差数列，

又一-=cfj=2,所以—=2+2（〃-1）=2〃,

1n

故S"=2/,所以黑=200,

故选：B

题型三：等差中项

;指I点I迷I津

.等差中项的概念

若三个数a,A,6成等差数列，则A叫做。与b的等差中项，且有A=*.

1.（19-20高一下•黑龙江齐齐哈尔•期中）S“是公比不为1的等比数列｛〃“｝的前”项和，Sg是S3和$6的等差

中项，兀“是儿,和彳儿”的等比中项，则2的最大值为（）

488025

A.-B.-C.—D.—

376321

【答案】D

【分析】由Sg是S3和臬的等差中项，可得43=-g，又由兀“是心和2九"的等比中项，同时令

t=±（o</。），w2=1+-r-（0<z-4）,由此即可得到本题答案.

44H—F1

t

【详解】设｛%｝的公比为4，由于#1,所以$3=绊二®,$6=畔山，$9="',一.），

1-q1-q1-q

又£是凡和S6的等差中项，所以2s9=S3+$6,即2"―、）="切+”-力,

1-q1-q1-q

化简得q3（q3-i）（2q3+i）=o,由于所以2/+1=0,^=-1,

所以_«1（1-^）一十）_4（1_，2“）_4（1一：），_%（>:），

°6n-：-—：°12n一；-；018n--：

l-qY-q1-q1—q1-q1-q

因为S⑵，是Sen和力几“的等比中项，

所以S⑵2=几,/几“，

即［工上上修^存立所以（1”）-由，令，$（。<总）,

1-q1-q1-q

?二（1-咛_产+2/+1-1

（0</<-）

则（1一/）（1一/）t2+t+lt2+t+l.,1,4

lH----r1

125

当匕，即I时，彳取得最大值，最大值为万故选：D

【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用,考查学生的转化求解能力和运算能力，属中档题.

2.（2022•黑龙江哈尔滨•一模）已知/+^=4,在这两个实数苍V之间插入三个实数，使这五个数构成等差

数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为

]__3__

A.-VioB.710C.-5/10D.2M

【答案】C

【分析】根据题意，用羽V表示这个等差数列后三项和为主力，进而设x=2cos6,y=2sin9,利用三角

4

函数的性质能求最大值.

【详解】设中间三项为瓦c,则26=尤+y,所以6=?,。="）=±士¥，

224

所以后三项的和为6+。+>=三+^^+y=^^，

又因为—+V=4,所以可令％=2cos9,y=2sin6,

所以q（cose+3sinsin（0+夕）4

故选c

【点睛】本题主要考查等差数列的性质和三角函数的性质.

3.（23-24高二下•四川成都・期末）若等比数列｛%｝的各项均为正数，且3%，1%，2。6成等差数列，则题誉

CXQI

（）

A.3B.6C.9D.18

［答案］c

【彳析】先根据等比数列部分项成等差得出公比，再结合等比数列通项求值即可.

【详解】若等比数列｛g｝的各项均为正数，所以公比9>0,

且Msg%,24成等差数列，可得2x；%=2%+3%。7=2。6+3。5，%/=2〃］/+3%/,

即得，=24+3,^2-2^-3=0,（^-3）（9+1）=0,

可得4=3,

93

4。+%_44+4-_2_Q

―71-4—>•

/+/+%q

故选：C.

4.(2024・全国•模拟预测)已知等差数歹!]｛%｝满足“1%+%%+/%+%必=10。，则%=()

A.-B.5C.5或一5D.』或

222

【答案】C

【分析】根据式子4%+%%+/%+%/=10。的结构特征可进行组合与提取公因式，再利用等差数列性质

和等差中项公式不断简化式子即可得解.

【详解】由题q/+々2%+/%+%/=%(q+%)+%(%+%)=2%/+2%%=2%(%+%)=4〃；=100,解得

%=±5,

故选：C.

_21

5.(2022・全国•模拟预测)设〃>0,b>0,若InG是In3a与ln9"的等差中项，则一十丁的最小值为()

ab

A.6B.8C.9D.12

【答案】B

【分析】先由等差中项的概念得到。+2》=1,然后由基本不等式求解最小值即可.

【详解】因为In省是ln3"与ln9〃的等差中项，

所以21n宕=ln3o+ln9J即ln3=ln(3。火力=ln3-2,=(a+26)ln3,

团a+2Z?=l,又〃>0,b>0,

「21(21YQa4bla4b

[?]—+-=—+-(〃+2b)=4A+—+——>4A+2/-----=8o,

ab\ab)ba\ba

当且仅当]=竺，即a=!，b=J时等号成立.

ba24

故选：B.

题型四：等差数列的“中点”性质

;指I点I迷I津

;等差数列“中点”性质

+=a+a

若｛a„｝为等差数列，且m+n=p+q,则㊀，”%P.

ak,ak+m,%+2m1…仍是等差数列，公差为md(k,meN*).

4.S〃，S2n—S”,5—S2“，…也成等差数列，公差为"d.

1.(2024・新疆•二模)已知等差数列｛。“｝的前〃项和为S"，若生=T,则耳。=()

%

A.54B.S5C.S6D.S1

【答案】A

【分析】根据题意结合等差数列的性质求解即可，或根据题意利用等差数列的通项公式化简，再化简几即

可.

【详解】因为%=T,所以%+。8=。，所以4+%=%+。10=。.

“8

因为§10一邑二。5+。6+%+〃8+。9+〃10=0，所以S1o=S4.

另解：设等差数列的公差为d，

由2=T,得%+〃8=°,

〃8

13

所以q+6d+q+7d=0,即2q+l3d=0,^ax=~d,

1f)xQ{V45d=-20d,

所以A。=10%+^—d=10x

4x3/1

因为S4=4qH——J=4xl--:d)+61=-2(W,

5x4(45

S=5q+—-—d-5x1+10d=——d,

52

6x5|

S6=6q+———d—6xJ+15d=—24d,

7x6「

S=7。］+---dJ=1x|+21t/=-yi/,

72

所以S[（）=S4

故选：A.

2.（23-24高二下•河南信阳・期末）数列也｝满足4,+2+4「2%+|=0己知%+%]=%，则｛4｝的前19项和

凡9=（）

A.0B.8C.10D.19

【答案】A

【分析】由等差中项得到数列｛““｝为等差数列，再由等差数列的性质%+%=%+须得到旬=。，由等差

数列前〃项和公式结合等差中项得到几

【详解】因为氏+2+«„-2。用=0即2«„+1=a„+2+«„,所以数列｛%｝为等差数列，

因为%+%i=%+%（）且%+41=%，所以1+%0=%，得％0=0，

所以九二N+:"、=""=19阳=0.

故选：A.

3.（23-24高二下•湖北武汉•阶段练习）设Sn为等差数列｛q｝的前〃项和，若为+%。-3%=g-2,则4=（）

25

A.5B.10C.——D.15

2

【答案】B

【分析】利用等差中项性质得为+4。=2%,再利用等差数列的下标和性质求解即可.

【详解】若出+%0-3a9=/-2,由等差中项性质得为+%0=2%,

故—%=%-2,即02+%=2,易知S]o=-y（q+%。）=5（%+）—10.

故选：B

4.（2024•全国,模拟预测）已知S“为等差数列｛%｝的前"项和，％+出。+46=3。，则邑$=（）

A.100B.250C.500D.750

【答案】B

【分析】本题考查等差数列通项公式、求和公式，直接利用通项公式和求和公式计算即可；也可利用等差

数列的性质公式简化运算.

【详解】解法一：设等差数列｛%｝的公差为4,贝U4+2d+q+19d+q+l5d=3。，即3（q+12d）=30,所

以q=10,故邑$=（"+?*25=25%=250,

故选：B.

解法二：因为%+%。+46=30,所以3&=30,得q=10,故$25=（'+?*2Is阳=250,

故选：B.

5.（2021全国模拟）等差数列｛4｝的前〃项和为S”，若的的值为常数，则下列各数中也是常数的

是（）.

A.S21B.S22C.S23D.SM

【答案】A

【分析】求出生+%+%=3勺，故&的值是常数，进而利用等差下标性质可知％+%=2%代入前21项的

和的公式中求得%=21%,进而推断出为为常数，有此可判断A,同理可判断BCD.

【详解】设等差数列｛%」的首项和公差分别为弓,d,

因为/+%+%]=4+2d+4+8d+4+20d=3（4+101）=3%,

所以%的值是常数，

对于A,=21（"；%）=21x；%=2]4也是常数,故A正确；

对于B,%=辿广1=11（%+%）=11@+牝）=11&+限〃）=22%+11〃,故无不为定值，故B

错误；

对于C,Su=23"％）=23x；%=23%=23孙+234,

故S23不为定值，故C错误；

一十24（«./X/、

对于D,524=——------=12（%+%3）=12（%+d+an+2J）=24an+36J,

故邑4不为定值，故D错误.故选：A.

题型五：an与sn的关系'

指I点I迷I津

〃，

Sn,S2n-Sn,显“一$2…也成等差数列，公差为/△・

等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即S.S.-5.5,-S,成等差数列

L（2021•云南昆明•三模）已知数歹（J,“｝的前w项和为S“，％=1,S'+S'_Ld/HNZ/eNDjIJqooMl）

A.414B.406C.403D.393

【答案】B

【分析】利用两式相减得%+%=8〃+4,再利用两式相减可得%+2-%=8（〃上2）,由此可得%,=8"+6,

进一步可得答案.

2

S+S-1=4n

【详解】由广"/、2,两式相减得Sx-S,i=8"+4,即。用+4,=8〃+4.

瓦+S“=4（〃+1）

8〃+4/、

再由。7两式相减得，2-4=8（心2）,由邑+1=16,得。2=14,

〔4+2+%+1=8"+12

故｛%｝为以14为首项，8为公差的等差数列，故%=14+（〃-l）x8=8〃+6,

故6oo=8x50+6=406.

故选：B

【点睛】关键点点睛：根据递推关系求出数列｛。“｝的偶数项构成以14为首项，8为公差的等差数列，是解

题的关键，属于较难题目.

2.（22-23高三上海金山•模拟）对于实数X,国表示不超过x的最大整数.已知正数数列｛%｝满足

5"=4肉+1J，nwN*，其中S“为数列｛%｝的前〃项和，则国+…+53=

2323524126035171

A.------B.------C.------D.------

140280140280

【答案】B

【分析】由已知数列递推式可得数列｛5层｝是首项为1,公差为1的等差数列，求得S,=M.由此可求

J-+-L++'

国电]…风]

【详解】由3〃=4%^，令九=1，得％—团%>°，得％=1.

212(a.)

当”22时，S.=；(S“_S,i+1),即s；-S3=l.

因此，数列｛S〃2｝是首项为1,公差为1的等差数列，

回5；=〃，即可尸公.

111111

贝周+西+…+厢=司+国+…+丽

=1X3+-X5+-X7+-X9+-X11+-X13+-X15+-X17

2345678

_5241

-280.

故选B.

【点睛】本题考查等差关系的确定，考查数列求和，属难题.

3.(23-24高三上•安徽•阶段练习)已知数列｛%｝的前〃项和Sn=prT+qn+r^p,q,r为常数,且pw0,weN*),

则”｛%｝是等差数列"是"厂=0"的()

A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据等差数列的定义及充分条件与必要条件定义判断即可.

【详解】若｛%｝是等差数列，设其公差为d(dwO),则S〃=吗+与=一

所以r=0,

若r=0,则片0),

当〃=1时,al=S1=p+q,当〃22时，an=Sn-Sn_x=2pn+q-p,此时”=1也满足，

所以=2pw+q-p,于是有q,+「%=2p,｛«„｝是等差数列，

所以“｛叫是等差数列"是"厂=0"的充要条件.

故选：A

4.(2023高三•全国•专题练习)设S,是数列｛%｝的前几项和，且4=-l，4+]=S"S"+1,则下列选项错误的是

()

C.数列]为等差数列D.[+p+..+——=—5050

M»2^100

【答案】A

11[111

【分析】由%“=5,5用可得『一不=—1,即数列『是以不=—1为首项，―1为公差的等差数列可

>"+1%J

判断C由S,求出a“可判断A,B；由等差数列的前"项和公式可判断D.

【详解】S“是数列｛4｝的前〃项和，且q=-1U%+1

则S”=S"S〃M，整理得一—一J=一1（常数）,

品+13”

是以（=一I为首项，一I为公差的等差数列，故C正确;

所以数列

dl

1=-l-(n-l)=-n,故s“=」

所以工

n

所以当“22时，a=S-S_――——,4=-1不适合上式,

nnnxn-1n

—l,n=1

1-故B正确,人错误;

、〃一1n

111

所以三+不+不+…+——=-(1+2+3+...+100)=-5050,故D正确.

J]d2*Moo

故选：A.

311

5.（22-23高三重庆沙坪坝模拟）已知数列｛%｝的前〃项和。小万/-弓〃，设勿=工为数列色｝的

44+1

前〃项和.若对任意的〃wN*,不等式12〃+4恒成立，则实数力的取值范围为（）

A.(-a?,64)B.C.(』32)D.(16,+a?)

【答案】A

【分析】根据的关系求出数列｛%｝的通项公式，再根据裂项相消法求得从而根据不等式恒成立求

实数X的取值范围.

3131

【详解】当“22时，a“=S»-S“T=]"2-5"--(n-l)2--(n-l)=3n-2,

当〃=1时q=H=1满足上式,

所以％=3〃-2,〃£N*,

所以6=」_=______1______=511-

〃anan+\(3n—2)(3n+l)3(3〃-23n+lJ

所以(=4+4++2=；1_1+411

T+I473l3n-23〃+l

Wrj

所以,由几，<12几+4可,得丸-----<12n+4,

3n+l----------------------3n+l

即“4(3〃+1)2=4X9〃+工1+6〉亘成立，因为对勾函数y=4（9x+,+6）在[1,+8）单调递增,

nn

所以当”=1时4x卜w+/+6）有最小值为64,所以几＜64,故选:A.

题型六：双等差数列sn比值型

指I点I迷I津

若｛%,｝与｛么｝为等差数列,且前〃项和分别为S“与SJ,则?=兴包.

"m32m-l

I______________________________________________________________________________________________________________________________________

1.（23-24高三・甘肃定西•阶段练习）已知两个等差数列｛%｝和也,｝的前〃项和分别为4和且

A.5B.6C.9D.11

［答案］c

【4析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得.

「、「、A,7九+45

【详解】因为等差数列｛4｝和｛2｝的前〃项和分别为4和纥，且,=二千，

所以％_；（1+%）；（《+%）47x9+45

仇；伯+4）|（VM纭9+3

故选：C

3.（23-24高三•江西抚州模拟）已知等差数列｛%｝与也｝的前〃项和分别为S“Z，=—则之广

〃十1’1十"19

的值为（）

13211321

A.—B.—C.—D.—

11102220

【答案】D

【舞析】利用等差数列的性质与求和公式，结合已知条件求解即可.

【详解】因为等差数列｛。“｝与也｝的前〃项和分别为S”,。，且■=—^，

〃十1

所以设=kn（2n+3）=2kn2+3kn,T〃=kn（n+1）=kn2+kn,

q+%_2a5_a5

加入+九一五一嘉

Io-4

_（50左+15%）-（32%+12%）

一（100N+10N）-（81Z+9Q

65-44_21

-110-90-201

故选：D