《命题及其关系充分条件与必要条件》教案

1.2命题及其关系、充分条件与必要条件适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）60知识点命题的概念及真假“若p，则q”形式的命题四种命题四种命题的相互关系四种命题真假的相互关系及应用充分条件与必要条件充要条件充分条件与必要条件的应用教学目标1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．教学重点充分必要条件的判断和四种命题及其关系教学难点充分必要条件的判断和四种命题及其关系

教学过程一、课堂导入思考下列命题的题设(条件)是什么?结论是什么?并判断是否正确?你的理由是什么?（1）边长为a(a＞0)的等边三角形的面积为

;（2）两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;（3）对于任何实数x,x2

＜0.

二、复习预习1、集合的概念及性质2、集合的相互关系及运算

三、知识讲解考点1命题在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

考点2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

考点3充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充分必要条件．记作p⇔q.

四、例题精析【例题1】【题干】设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假

【解析】“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc.因此它的逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题.

【例题2】【题干】已知命题p：函数f(x)＝|x－a|在(1，＋∞)上是增函数，命题q：f(x)＝ax(a>0且a≠1)是减函数，则p是q的()A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A【解析】若命题p为真，则a≤1；若命题q为真，则0<a<1.∵由q能推出p但由p不能推出q，∴p是q的必要不充分条件．

【例题3】【题干】已知不等式eq\f(1,x－1)<1的解集为p，不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集为q，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A．(－2，－1] B．[－2，－1]C．[－3,1] D．[－2，＋∞)

【答案】A【解析】不等式eq\f(1,x－1)<1等价于eq\f(1,x－1)－1<0，即eq\f(x－2,x－1)>0，解得x>2或x<1，所以p为(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x2＋(a－1)x－a>0可以化为(x－1)(x＋a)>0，当－a≤1时，解得x>1或x<－a，即q为(－∞，－a)∪(1，＋∞)，此时a＝－1；当－a>1时，不等式(x－1)(x＋a)>0的解集是(－∞，1)∪(－a，＋∞)，此时－a<2，即－2<a<－1.综合知－2<a≤－1.

【例题4】【题干】设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

【答案】3或4【解析】x＝eq\f(4±\r(16－4n),2)＝2±eq\r(4－n)，因为x是整数，即2±eq\r(4－n)为整数，所以eq\r(4－n)为整数，且n≤4，又因为n∈N*，取n＝1,2,3,4，验证可知n＝3,4符合题意，所以n＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．

五、课堂运用【基础】1．(2013·潍坊模拟)命题“若△ABC有一内角为eq\f(π,3)，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题()A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题

解析：选D原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为eq\f(π,3)”，它是真命题．

2．(2013·日照模拟)已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为()A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平行D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平行

解析：选A命题“若A，则B”的否命题为“若綈A，则綈B”，显然“a＝1或a＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”．

3．(2012·安徽高考)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A若α⊥β，又α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又因为a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，即不能推出α⊥β.

【巩固】4．(2013·南京模拟)有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．

解析：①原命题的否命题为“若a≤b则a2≤b2”错误．②原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．答案：②③

5．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．

解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，∵β：|x－1|<1，∴0<x<2，∴β可看作集合B＝{x|0<x<2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴BA，∴a≤0.答案：(－∞，0]

【拔高】6．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)\f(1,2)<2x<8，x∈R))，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．

解析：A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)\f(1,2)<2x<8，x∈R))＝{x|－1<x<3}，∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴AB，∴m＋1>3，即m>2.答案：(2，＋∞)

7．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－\f(3,2)x))＋1，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))))，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．

解：y＝x2－eq\f(3,2)x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋eq\f(7,16)，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))，∴eq\f(7,16)≤y≤2，∴A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\a\vs4\al(|)\f(7,16)≤y≤2)).由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B＝{x|x≥1－m2}．∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴A⊆B，∴1－m2≤eq\f(7,16)，解得m≥eq\f(3,4)或m≤－eq\f(3,4)，故实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).

课程小结1、对“四种命题”的理解由于原命题和它的逆否命题是等价的，所以当一个命题的真假不易判断时，往往可以转化为判断它的逆否命题的真假；有的命题不易直接证明时，就可以改证它的逆否命题成立，所以反证