福建厦门某中学2024-2025学年上学期九年级学期中质量检测卷 （含答案）

湖里中学2024-2025学年上学期期中考试

九年级数学

（试卷满分：150分考试时间：120分钟）

一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项,

其中有且只有一个选项正确）

1.对于一元二次方程N—2x+l=0,根的判别式〃一中的b表示的数是（）

A.-2B.2C.-1D.1

2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.等腰梯形B.矩形C.正三角形D.平行四边形

3.如图，AZBC内接于圆，弦AD交ZC于点尸，连接/D.下列角中，凝所对圆周角的是

（）

运

A./.APBB.Z.ABDC.LACBD.乙BAC

（）有两个不相等的实数根，则。的取值

4.若关于x的一元二次方程办2+2工一[=0«<0

2

范围是（）

A.。〈一2B.a>—2C.~2<a<0D.-2<a<0

5.如图，已知45是OO的直径，AB=2,C,。是圆周上的点，且/。。8=30。，则5C

的长为（）

一

D

A.2B.1C.4D.3

6.地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛

试卷第1页，共6页

物线所示（其中尸是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（

A.小球滑行12秒停止B.小球滑行6秒停止

C.小球滑行6秒回到起点D.小球滑行12秒回到起点

7.将二次函数了=2/的图像向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的新

函数的对称轴是（）

A.直线x=-2B.直线x=3C.直线x=-3D.直线x=2

8.如图，将命题“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”改写成“已

知……求证……”的形式，下列正确的是（）

A.已知：在。。中，NAOB=NCOD,AB=CD-求证：AB=CD.

B.已知：在。。中，ZAOB=ZCOD,AD^BC-求证：AD=BC.

C.已知：在。。中，NAOB=NCOD.求证：石=前，AD=BC.

D.已知：在。。中，NAOB=/COD.求证：AB^CD，ABCD.

9.如图1,教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，5c与地面的夹角为50。，/C=25。，小亮

同学将它扶起平放在地面上（如图2）,则灰斗柄绕点C转动的角度为（）

试卷第2页，共6页

7BJ

J

图1图2

A.75°B.105°C.135°D.115°

10.已知二次函数N=（x+加-a）（x-机）-1,点N（X［，M）,5（%2，%）（占＜Z）是其图象上两点，

则下列选项正确的是（）

A.若国+马＞。，则%＞%B.若再+%＜“，则%〉了2

C.若演+马＞-。，则%＞为D.若玉+工2＜-。，则,＜为

二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）

11.已知x=l是方程/-a=o的一个根，则。=.

12.二次函数y=2017x2-2018x有最_值（填“大”或“小”）

13.已知。。的半径是3,OP=4,那么点P和。。的位置关系是.

14.在平面直角坐标系中，点M（l,-2）与点N关于原点对称，则点N的坐标为.

15.已知A8是。。的弦，尸为的中点，连接CM,OP,将AOPZ绕点。逆时针旋转到

△。0.设。。的半径为1,44。。=135。，则N。的长为.

16.已知抛物线、=-/+6工-5的顶点为尸，对称轴/与x轴交于点A,N是PZ的中

点.在抛物线上，M关于直线/的对称点为3,M关于点N的对称点为C.当

14机W3时，线段8C的长随加的增大而发生的变化是：变化”是指增减情况及相

应加的取值范围）

三、解答题（本大题有9小题，共86分）

17.解方程：X2-2X-5=0

18.先化简，再求值：［1——T＞其中苫=拒-1.

（x+lj2x+2

19.已知：如图，4&是。。的直径，AB=AC,ZC=45°,求证：ZC是。。的切线.

试卷第3页，共6页

B

20.某药厂2022年生产It甲种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，2024年生产It

甲种药品的成本是3600元，求生产It甲种药品成本的年平均下降率.

21.如图7,在平面直角坐标系中，已知某个二次函数的图像经过点N（1,加），B（2,〃）,

C（4,力，且点2是该二次函数图像的顶点.请在图7中描出该函数图像上另外的两个点,

并画出图像.

B

A

'C

22.如图，已知四边形/5CD是矩形，/C为对角线.

（1）把A48C绕点A顺时针旋转一定角度得到A4EF,点B的对应点为E,点C的对应点F

在8的延长线上，请你在图中作出△^斯.（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，求证：B,D,£三点共线.

23.中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子

单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得

铜牌.在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270c（向后翻腾三周半抱

试卷第4页，共6页

膝）.如图2所示，建立平面直角坐标系xQy.如果她从点/（3,10）起跳后的运动路线可以

看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x

（单位：米）近似满足函数关系式了=。"-犷+左（〃<0）.

（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离x与竖直高度V的几组数据如下:

水平距离x/m033.544.5

竖直高度j/m1010k106.25

根据上述数据，直接写出后的值为，直接写出满足的函数关系式：，

（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度》与水平距离x近似满足函数关系

了=-5/+40》-68,记她训练的入水点的水平距离为4，比赛当天入水点的水平距离为4，

请通过计算比较4与4的大小；

（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点5到水平面的距离为c,

则她到水面的距离y与时间/之间近似满足y=-5r+c,如果全红婵在达到最高点后需要1.6

秒的时间才能完成极具难度的270c动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此

动作？

24.如图，己知点。是△4BC外接圆。。上的一点，于G,连接4D,过点2作直

线BF//AD交AC于E,交。。于凡若点尸是弧C。的中点，连接。G,OD,CD.

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D

⑵若AG=AE,试探究NG。。与//DC之间的数量关系，并证明.

2

25.已知抛物线G：了="2+云+4°>0）的顶点为尸，与x轴相交于1,8两点（点/在

点3左侧）.

⑴若点P的坐标为（1,-3）,求证：a-c=3,-

⑵将抛物线Ci绕点河（-2,0）旋转180。，，得到抛物线G，抛物线a的顶点为Q，与x轴相

交于C,。两点（点C在点。左侧）.

①若6=-2a,且点P在抛物线G上，当?4x4二^时,抛物线。最低点的纵坐标为—2,

3a5a

求抛物线G的解析式；

②若点3在点M左侧，AB=2BM,且从-4碇=20,判断四边形/电>。的形状，并说明

理由.

试卷第6页，共6页

1.A

【分析】分清一元二次方程中，二次项系数、一次项系数和常数项，直接解答即可.

【详解】因为一元二次方程根的判别式△=bJ4ac,

在方程x2-2x+l=0中，a=l,b=-2,c=l,

故选：A.

【点睛】此题考查根的判别式，在解一元二次方程时程根的判别式△=b2-4ac,不要盲目套用，

要看具体方程中的a,b,c的值.a代表二次项系数，b代表一次项系数，c是常数项.

2.B

【分析】中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180。，旋转

后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如

果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

【详解】解：等腰梯形、正三角形只是轴对称图形，矩形既是中心对称图形又是轴对称图

形，平行四边形只是中心对称图形，

故选B

【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握中

心对称图形和轴对称图形的定义，即可完成.

3.C

【分析】根据题意可直接进行求解.

【详解】解：由图可知：凝所对圆周角的是ZJC8或ZAD8,

故选C.

【点睛】本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键.

4.C

【分析】由关于X的一元二次方程ox2+2x—：=0(°<0)有两个不相等的实数根可得

△=尸一4ac=2?—4x。x。j=4+2。>0,解不等式即可求出。的取值范围.

【详解】••・关于x的一元二次方程ax2+2x—：=0(a<0)有两个不相等的实数根，

2

A=—4QC—2?—4x。x]——=4+2。>0,

解得：a>~2,

,•,6Z<0,

答案第1页，共15页

-'-2<a<0.

故选C.

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的应用为解题关键.

5.B

【分析】先由是直径，得出NZCB=90。，再由前=前，得NA=/CDB=30°,由根据

直角三角形30度角的性质即可解决问题.本题考查圆周角定理，直角三角形30度角的性质

等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

【详解】解：••・"是直径，

ZACB=90°f

•・•前=前，

ZA=ZCDB=30°f

:.BC=-AB=\,

2

故选：B

6.B

【分析】根据函数图象结合s与f的关系式得出答案.

【详解】解：如图所示：滑行的距离要s与时间t的函数关系可得，

当仁6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确数形结合分析是解题关键.

7.C

【分析】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键;

所以由题意易得平移后的二次函数表达式为y=2（x+3）2-2,然后问题可求解.

【详解】解：由题意知：平移后的二次函数表达式为y=2（x+3）2-2,

・•・新函数的对称轴为直线x=-3；

故选：C.

8.D

【分析】根据“已知”后面是题设，“求证”后面是结论即可进行解答.

【详解】解：将命题“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”改写成“已

答案第2页，共15页

知……求证……”的形式为：

已知：在。。中，ZAOB=ZCOD.

求证：AB=CD^AB=CD.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了将命题改写成“己知……求证……”的形式，解题的关键是正确找出

题设和结论，理解“已知”后面是题设，“求证”后面是结论.

9.B

【分析】连接NC并且延长至E,根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求

解.考查了生活中的旋转现象，本题关键是由角的和差关系得到/DCE的度数.

【详解】解：如图：连接/C并且延长至

故灰斗柄绕点C转动的角度为105。.

故选：B

10.B

【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=T及抛物线开口方向，再通过判断

点A与点B到对称轴的距离求解.本题考查二次函数的性质，平移的性质，解题关键是掌握

二次函数开口向上，越靠近对称轴的x所对应的V值越小.

【详解】解：,.,y=（x+%一。）0-加）-1可以看作是y=（x+加-a）（x-"7）向下平移1个单位

得到的，且这个过程不改变二次函数的对称轴，

.•・抛物线对称轴为直线>f开口向上，越靠近对称轴的x所对应的V值越小，

当再+%=。时，点/（X],必），%）关于抛物线对称轴对称，即必=%,

x1<x2,

.•.当xl+x2>a时，点B到抛物线对称轴的距离大于点A到抛物线对称轴的距离，

答案第3页，共15页

则力>必，故A选项不符合题意；

.•.当再+々〈。时，点8到抛物线的距离小于点A到抛物线的距离，

■■yI>y2,故B选项符合题意；

x

若再+9>-a,贝!)~i+(-Jc2)<a

•••点B到抛物线对称轴的距离大于点A到抛物线对称轴的距离，

则外>必，故C选项不符合题意；

若西+无2<一。，贝！|-X]+(-x2)>a,

•••点B到抛物线的距离小于点A到抛物线的距离，

■■-y,>y2,故D选项不符合题意；

故选：B.

11.1

【分析】本题考查了一元二次方程的解，把X=1代入尤2一a=0进行计算，即可作答.

【详解】解：依题意，把x=l代入X?-a=0,

得1?一0=0,

解得a=1,

故答案为：1.

12.小

【分析】根据二次函数的二次项系数填空即可.

【详解】••-a=2017>0,

••・抛物线开口向上，有最小值，

故答案为：小.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，是基础题，根据二次函数的开口方向是解题的关

键.

13.点尸在外

【分析1本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d,圆的半径为八，则当d>r

时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内，据此求解即可.

【详解】解：:。。的半径是3,0P=4,且4>3,

.•.点尸在。O外，

答案第4页，共15页

故答案为：点P在。。外.

14.(-1,2)

【分析】本题本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两个队，横纵坐

标都互为相反数，据此求解即可.

【详解】解：•••在平面直角坐标系中，点河(1,-2)与点N关于原点对称，

点N的坐标为(-1,2),

故答案为：

15.叵

2

【分析】根据等腰三角形的性质得到。尸，N8,乙(。尸=48。尸，根据旋转的性质得到

ZBOQ=ZAOP,QB=AP,推出是等腰直角三角形，求得乙43。=90。，根据勾股

定理即可得到结论.本题考查了旋转的性质，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质,

正确的作出图形是解题的关键.

【详解】解：依题意，如图：

OA=OB,尸为4B的中点,

0P1AB,NAOP=NBOP,

•••将^OPA绕点0逆时针旋转到AOQB,

ZBOQ=ZAOP,QB=AP,

ZAOP=NBOP=ABOQ,

•••AAOQ=135°,

ZAOP=ZBOP=NBOQ=45°,

.4/03是等腰直角三角形，

AP=OP=BQ=^AB,ZOAP=ZABO=ZOBQ=45°,

:.ZABQ=90°,

答案第5页，共15页

OA=OB=\,

AB=^2,

BQ=%

:.AQ=^AB2+BQ2=^~,

故答案为：f

16.当14"z<3-夜时，8。的长随机的增大而减小；当3-收<〃?43时，8c的长随加的

增大而增大.

【分析】根据函数关系式求出顶点坐标和对称轴方程，得到点A坐标，根据M与C关于N

(3,2)对称求出点C,最后根据BC的取值确定m的取值即可.

【详解】解：y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4

则P(3,4)

•■•A(3,0)

••.N(3,2)

如图，

由图知，BC的长随着m的增大先减小，后增大,

B(6-m,n)

・•,M与C关于N(3,2)对称

答案第6页，共15页

B+”二2

2.

x=b-m

解得c

yc=^-n

•••C（6-加,4一〃）

.・.BC=\4-n-n\=\4-2n\

v1<m<3

.,.o<n<4

当n=2时,BC最小值=0,此时m=3—y12

当n=0或4时，BC最大值=4,此时m=l或3,

所以，当IV加<3-亚时，8c的长随机的增大而减小；当3-啦〈加V3时，8c的长随加

的增大而增大.

【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，对称性，求出BC的取值是解本题的

关键.

17.再=1+V6,x2=1-a

【分析】根据配方法解一元二次方程，即可求解.

【详解】解：X2-2X-5=0

*1'x?-2x+1=6

即（if=6

x—l=+y[6

解得：X；=：1+y/6,x2—1—A/6

【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

2L

18.----,72

x+1

【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入求值，即可得到答案.

X2-]

【详解】解:

2x+2

x+1—22%+2

x+1X2-1

答案第7页，共15页

1、，2（无+1）

------X-----------------

x+1+

2

x+1'

当x=近一1时，原式=总二专=日

【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关

键.

19.证明见解析

【分析】本题主要考查了切线的判定，三角形内角和定理，等边对等角，根据等边对等角和

三角形内角和定理求出NBAC=90°,再根据切线的判定定理即可证明结论.

【详解】证明：•••4B=/C,ZC=45°,

；.NABC=NC=45°,

ABAC=180°-ZC-ZABC=90°,

ABIAC,

又・••/8是。。的直径，

.■.AC^QO的切线.

【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设生产It甲种药品成本的年平均下降

率为x,表示出2024年生产It甲种药品的成本，结合2024年生产It甲种药品的成本是3600

元建立方程求解即可.

【详解】解：设生产It甲种药品成本的年平均下降率为X,

由题意得，6000(1-x)2=3600,

解得或>呼

（舍去）,

答：生产it甲种药品成本的年平均下降率为

21.答案见解析.

【分析】由8点坐标，可得到函数的对称轴方程，所以可以得到/的对称点，C的对称点,

从而画出函数图像.

【详解】解：•.•点8是该二次函数图像的顶点,

,・抛物线对称轴为x=2,

答案第8页，共15页

■：c(4,t),

••.c关于对称轴对称的点C在y轴上，

'''A(1,m),

关于对称轴对称的点横坐标为3,利用描点法可画出函数图像，如图所示.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图像是关于对称轴对称的

点到对称轴的距离相等且纵坐标相等.

22.(1)作图见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)延长CD,以/为圆心/C长为半径画弧交CD延长线即为工以厂为圆心2C

长为半径画弧，以/为圆心N8长为半径画弧，两段弧交于点E.最后连接NE、EF、/尸即

可.

(2)连接DE,BE.由题意可知乙4£尸=乙4。尸=90。，即4F,D,E四点共圆，即可知道

乙4ED+乙4FD=180。.再由AF=AC结合题意可进一步证明乙4区0=乙4FD.最后由AB=AE可

知4BE=〃EB,即推出即可证明乙0£4+乙4匹=180。.

【详解】(1)如图，△/所即为所求.

(2)如图，连接。£,BE.

答案第9页，共15页

•：^AEF=^ADF=90°,

・・・，,F,D,E四点共圆，

山功+乙4FZA180。.

-AF=AC,

^Z.ACD=Z.AFD.

•:UCB=UFE,UCB+AACD=90。,乙4FE+乙E4E=90。,

：.^CD=^EAF=Z.AFD.

t-Z-ABD=Z-EAF,

^Z-ABD=Z-AFD.

•：AB=AE,

•'-Z.ABE=Z.AEB,

^Z-AFD=Z-AEB,

.ZDEA+UEB=18。。,

；.B,E,。共线.

【点睛】本题考查作图-旋转变换、矩形和等腰三角形的性质以及圆的确定条件和圆的性

质.需理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

23.(1)11.25,y=-5(x-3.5)2+11.25

(2)4<d2

(3)她当天的比赛不能成功完成此动作

【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式.

(1)通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解；

(2)分别求出两个解析式当>=0时，x的值，进行比较即可；

答案第10页，共15页

（3）先求出c的值，再求出，=1.6时的丁值，进行判断即可.

【详解】⑴解：根据表格得：函数图象过点（3,10）,（4,10）,（4.5,6.25）,

.­./?=^^=3.5,

2

・•・）=-5（%-3.5）2+左,

“3-3.5）2+左=10

5V

。（4.5-3.5『+左=6.25,

ci=-5

解得:

左=11.25,

；.y=-5（x-3.5『+11.25；

故答案为：H,25；y=-5（x-3.5）2+11.25

（2）解：对于>=-5（无一3.5『+11.25

当y=0时，0=-5（x-3.5『+11.25

解得：玉=5,X2=2（不合题意，舍去）

・•・4=5米

对于y=-5x2+40x-68,

当…时，-5/+40%-68=0

解得：玉=4+冬叵，声=4-亚（不合题意，舍去）

1525

,“2小

；4=4+=

,4+咨5

5

dx<d2>

（3）解：J^=-5X2+40X-68=-5（X-4）2+12

•••点B坐标为（4,12）

.-.c=12

-'-y=-5t2+12

答案第11页，共15页

当1=1.6时，y=-5x1.6?+12=-0.8

v-0.8<0

即她在水面上无法完成此动作

・•.她当天的比赛不能成功完成此动作

24.(1)见解析；(2)NG。。与"LDC之间的数量关系为246。。+乙4。。=240。，证明见解

析

【分析】(1)根据平行线性质及圆周角性质直接得出结论；

(2)作OM1DC于点M,连接OC.先证明乙4c尸=30。，再根据/G与GE的

关系推出DG=OD,然后可得出结论.

【详解】(1)证明：•.•8尸〃

ZADB=ZDBF,

ZADB=NACB,

ZDBF=ZACB；

(2)NG。。与—4DC之间的数量关系为：2NGOO+//OC=240。.

理由如下：

作。M_LOC于点连接OC、DF、CF,

:.AB=DF,

・"为CD中点，

：.CF=DF=AB,

NACB=NCBF=ZDBF,

•.•NC_LAD于G,

ZBGC=NAGD=90°,

ZDBF+ZCBF+ZACB=90°,

:.NACB=NCBF=ZDBF=30°,ZDBC=60°,

答案第12页，共15页

ZADB=ZACB=30°,ZDOC=2ZDBC=120°,

•：OD=OC,

NODM=30。，

设G£=x,则/G=^x,

2

DG=^-x,BG=Cx,GC=3x,

2

DC=¥x,DM=^x,°D=*x,

.­.DG=OD,

2NGOO+/OOG=180。，

ZADB+ZODC=60°,

2ZGOD+ZODG+NADB+NODC=240°,

即2/GOD+ZADC=240°.

【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆及其性质、圆中各种角度的相互转化、含30。的直

角三角形的性质、勾股定理等知识点，判断出"C2=NCAF=NDB尸=30。以及证明DG=Or＞是

解答的关键.

25.（1）见解析

（2）①＞-2x-17②四边形/尸口。是矩形，理由见解析

【分析】（1）设抛物线C］的解析式为y=a（x-l『-3,可以得到c=a-3,即可解题;

（2）由题可得抛物线G的顶点坐标为（l，c-。），根据对称得到抛物线G的顶点坐标为

（一5,〃一0）,贝!）抛物线G的解析式为＞=一。（％+5）2+Q-C,把（1,。一。）代入可得c=-17〃，然

后利用二次函数的增减性解题即可;

（3）根据题意得到点8的坐标为1-2-",0、（3代、

，点/的坐标为-2--,0,对称轴为

（

a7Ia）

x=-2-也，然后求出顶点尸（_2-2，然后根据勾股定理和旋转求出

aaa

PM=AM=MQ=MD,即可判断四边形的形状.

【