导数的应用-函数的最值问题（5题型分类）-2025年高考数学一轮复习

专题14导数的应用--函数的最值问题5题型分类

彩题如工总

题型1：求函数的最值（不含参）

题型5：不等式恒成立与存在性问题

题型2：求函数的最值（含参）

专题14导数的应用一函数

的最值问题5题型分类

题型4：函数单调性、极值、最值得综合应用

题型3：根据最值求参数

彩和渡宝库

1.函数的最值

函数y=/（无）最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数/a）最小值为极小值与靠近极大值的

端点之间的最小者.

2

导函数为/(x)=ax+bx+c=a(x-xx)(x-x2)(in<xx<x2<n)

（1）当。＞0时，最大值是/（%）与“”）中的最大者；最小值是/（%）与/（㈤中的最小者.

（2）当a＜0时，最大值是/（3）与/（机）中的最大者；最小值是/（再）与淞）中的最小者.

一般地，设＞=/（尤）是定义在［加，加上的函数，y=/（x）在（根，〃）内有导数，求函数＞=/（尤）在［加，汨上的最

大值与最小值可分为两步进行：

（1）求＞=/（尤）在（加，力内的极值（极大值或极小值）；

（2）将＞=/（尤）的各极值与/（㈤和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是

对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

2.不等式的恒成立与能成立问题

（1）若函数/（X）在区间。上存在最小值”力皿和最大值1Mx,则

不等式/(x)>a在区间。上恒成立=>«;

不等式7(x)2。在区间。上恒成立o/(x)1nhi>a.

不等式<6在区间。上恒成立=〃x)1rax<b.

不等式在区间。上恒成立o/(x)1mx&b；

(2)若函数〃x)在区间。上不存在最大(小)值，且值域为(加，”)，则

不等式〃x)>a(或/'(x)Na)在区间。上恒成立Qa.

不等式〃力</或f(x)Wb)在区间。上恒成立二机Wb.

(3)若函数/1(x)在区间。上存在最小值/(X)、和最大值/(尤)1mx,即/(x)e[九〃],则对不等式有解问题

有以下结论：

不等式a<〃x)在区间。上有解oa</(x)1mx；

不等式a4/(x)在区间。上有解oaW/(x)0m；

不等式a>/(x)在区间。上有解；

不等式aNf(x)在区间。上有解。/(力同；

(4)若函数/(x)在区间。上不存在最大(小)值，如值域为(机〃)，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式a<〃力(或24/(》))在区间。上有解=。<〃

不等式b>(或b2〃切在区间。上有解=6>机

(5)对于任意的％e[a,句，总存在/egn\,使得1nm

(6)对于任意的％«a,同，总存在&egn],使得/(5)缶(々)0/(%)-Ng®)111ta；

(7)若存在玉e[a,b],对于任意的x2Gmn\,使得了(%)4g(%)07(%*“W8仁心；

(8)若存在西式名可，对于任意的％w[m,n],使得/(再)2g^)1mxzg(%)1mx;

(9)对于任意的玉e[a,b],e[m,使得〃⑼海仁)。/4)1mxVg(%)1n

(10)对于任意的占«a,b],x,e[m,♦使得1rfli*(巧)皿;

（11）若存在％e［。，可，总存在x24mn］,使得/㈤海仁）。/^）.气伍）111ax

（12）若存在西式。，可，总存在当日由〃］,使得1MxNg㈤=

彩健甄祕籍

（_）

求函数的最值

1.求函数“X）在闭区间加上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值〃a）,/（S与“X）

的各极值进行比较得到函数的最值.

2.导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注

意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处

理.

题型1：求函数的最值（不含参）

1-1.（2024•全国）函数/（x）=|2x-l|-21nx的最小值为.

12（2024高三•全国•专题练习）已知函数/（x）=e*sinx-2x.

⑴求曲线,=/（%）在点（0J（。））处的切线方程；

⑵求在区间［T,1］上的最大值；

1-3.（2024・江苏）若函数〃力=2/-加+l（ae©在（0,y）内有且只有一个零点，则在上的最

大值与最小值的和为.

1-4.（2024•辽宁葫芦岛•二模）己知函数/（尤）=2sinx（l+cosx）,则“0的最大值是.

1-5.（2024•全国）函数〃x）=cosx+（尤+l）sinx+l在区间［0,2兀］的最小值、最大值分别为（）

题型2:求函数的最值（含参）

2-1.（2024高三・全国,专题练习）己知函数〃x）=alnx+gx-a,a^R.讨论函数〃x）的最值;

2-2.(2024高三•全国•专题练习)已知函数/(x)=ln(l+x)+oxeT.

(1)当。=-1时，讨论函数f(x)在(0,+e)上的单调性；

(2)当心。时,求〃尤)在(T0］内的最大值；

2-3.(2024・四川成都,模拟预测)已知函数〃耳=；/一；(6+々)/+(8+6。)尤一8aln无一4%其中aeR.

⑴若a=2,求〃x)的单调区间；

1<<2)

⑵已知八2)=〃4),求〃x)的最小值.(参考数据：3(3-41n2)

2-4.(2024•天津和平•三模)已知函数/(x)=«-alnx,g(x)=(cosx-l)e-x,其中aeR.

⑴若曲线y=在x=l处的切线乙与曲线y=g(x)在x=］处的切线4平行，求。的值；

(2)若xw(O㈤时,求函数g(元)的最小值；

⑶若的最小值为/z(a),证明：当时，//(<2)<1,

彩”祕籍

(二)

根据最值求参数

已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函

数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.

题型3:根据最值求参数

3-1.(2024高三上•广西桂林•阶段练习)已知函数〃尤)=。6+lnx在x=l处取最大值，则实数。=()

A.-1B.1C.-2D.2

3-2.(2024高二下•四川绵阳・期中)己知函数/(*)=6+也无.

(1)讨论函数/(X)的单调区间；

JT

(2)当4=-1时，函数g(x)=/(x)+e*cosx-lnx-机在［0,万］上的最大值为0,求实数优的值.

3-3.(2024高三上•河南新乡•周测)若函数/(x)=x3-3x在区间(a,G-a2)上有最小值，则实数。的取

值范围是

3-4.（2024高二•贵州贵阳•阶段练习）若函数〃尤）=12x-Y在区间（加一5,2加+1）上有最小值，则实数机的取

值范围为.

3-5.（2024・山东•一模）若函数/'（司=:尤3+尤2-2在区间（4一4,.）上存在最小值，则整数。的取值可以

是.

3-6.（2024高三上•吉林长春•开学考试）函数/5）=必+（°_1讶-31nx在（1,2）内有最小值，则实数。的取值

范围为.

3-7.（2024・全国•模拟预测）已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上.若该球的体积为36万，则该四棱锥

体积的最大值是.

3-8.（2024高三下•云南昆明•阶段练习）已知函数〃x）=ln尤-王士在区间［l,e］上最大值为最小值为力,

X

则的值是.

39（2024•贵州毕节•模拟预测）当a<0时，函数〃x）=*..,的最小值为1,则

—e—a—兀+2,x<In（一

彩僻题秘籍（二）

函数单调性、极值、最值得综合应用

求函数“X）在区间国上的最值的方法：

（1）若函数〃尤）在区间•上单调，则〃“）与"6）一个为最大值，另一个为最小值；

（2）若函数/（x）在区间［a,国内有极值，则要求先求出函数〃x）在区间［a,可上的极值，再与〃a）、f（b）

比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；

（3）若函数/（X）在区间目上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数

的实际应用中经常用到.

题型4:函数单调性、极值、最值得综合应用

4-1.（2024高三・全国・专题练习）设函数〃x）=ln（a-x）,已知尤=0是函数y=^（x）的极值点.

⑴若函数g（x）=”尤）+小2在（-U）内单调递减，求实数m的取值范围；

（2）讨论函数Mx）="（x）-炉的零点个数；

（3）求夕（尤）=在内的最值.

XL22_

4-2.（2024高三・全国•专题练习）已知/（%）=e"sinx.

⑴求函数/（x）在［0,2可内的极值点；

兀兀

（2）求函数g（x）=/a）-x在-5,5上的最值.

4-3.（2024高三•全国•专题练习）已知函数/（劝=2/一3（4+1）/+6以+1,其中aeR.

⑴当。=3时，求函数“X）在（0,3）内的极值;

（2）若函数"X）在［L2］上的最小值为5,求实数。的取值范围.

4-4.（2024•天津河北•二模）已知a>0,函数/（x）=xlna-alnx+（x-e）2,其中e是自然对数的底数.

⑴当a=l时，求曲线y=〃x）在点⑴）处的切线方程；

（2）当a=e时，求函数〃尤）的单调区间；

⑶求证：函数/■（%）存在极值点，并求极值点％的最小值.

4-5.（四川省宜宾市2023届高三三模数学（理科）试题）已知函数/（尤）=〃2数-*+x-ln尤（meR）.

⑴讨论函数的极值点个数；

（2）若加>0,〃无）的最小值是1+lnm,求实数机的所有可能值.

彩健题海籍

（四）

不等式恒成立与存在性问题

1.求解不等式的恒成立问题，常用的方法有：（1）分离参数求最值；（2）直接求函数的最值；（3）端点优先

法.要根据已知条件灵活选择方法求解.

2.在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或

值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数.

题型5:不等式恒成立与存在性问题

5-1.(2024高三•全国•专题练习)若存在，使得不等式2x-sinx2znr成立，则机的取值范围为—

5-2.(2024•浙江金华•模拟预测)对任意的尤>1,不等式/-/+3/1m-6320恒成立，则实数。的取值范

围为.

5-3.(2024高三上•内蒙古呼和浩特•开学考试)设函数〃x)=e"-依，aeR.

⑴当4=1时，求函数“X)在X=1处的切线方程；

(2)讨论函数〃x)的单调性；

⑶若Nx在R上恒成立，求实数a的取值范围.

5-4.(2024高三上•辽宁朝阳•阶段练习)已知函数/(尤)=皿*二1),其中“©R.

⑴求函数“X)的单调区间；

(2)若存在xe(l,+s),使得不等式/(x)>lnx成立，求加的取值范围.

5-5.(2024高三上•福建莆田•开学考试)已知函数/(%)=/+依+2,aeR.

⑴若不等式/(x)<0的解集为口，2],求不等式/(x)>l-x2的解集；

(2)若对于任意的xe[-1,1],不等式f(x)V2a(x-1)+4恒成立，求实数。的取值范围.

5-6.(2024高三•全国,专题练习)已知函数/(x)=2f+彳_左，g(x)=or3+加+cr+d(a/。)是R上的奇函数，

当X=1时，g(x)取得极值-2.

⑴求函数g(无)的单调区间和极大值；

⑵若对任意xe[-L3],都有/(尤)(尤)成立，求实数上的取值范围；

⑶若对任意石©[T,3],X2G[-1,3],都有/(QVg®)成立，求实数上的取值范围.

炼司与梭升

一、单选题

b

1.(2024•全国)当x=l时，函数f(x)=alnx+—取得最大值一2,贝U-⑵=()

X

A.-1B.CD.1

2-I

2.（2024•全国）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，且3W/W3百,

则该正四棱锥体积的取值范围是（）

27812764

A.B.C.D.[18,27]

3.（2024高二下•全国•专题练习）如果圆柱的轴截面周长/为定值，那么圆柱的体积的最大值是（）

A.6兀B小

C.(3

22

4.（2024高三上•河南焦作,期中）在直角坐标系xOy中，一个长方形的四个顶点都在椭圆C:±+匕=1上,

43

将该长方形绕工轴旋转180。，得到一个圆柱体，则该圆柱体的体积最大时，其侧面积为（）

A1。万口16粗兀「8A/6K卜4。»

3333

5.（2024・陕西咸阳・模拟预测）已知不等式hu-fj+G。有实数解，则实数。的取值范围为

（）

1

A.B.(-8,0)C.---------,+00D.[0,+8)

2e

6.（2024・四川成都•模拟预测）若关于元的不等式（e-l）（lna+x”求-1在内有解，则实数〃的取值

范围是（）

1

A.B.一,eC.

2eee

7.（2024高三•全国•对口高考）已知/。）=-尤2+如+i在区间[_2,一1]上的最大值就是函数〃x）的极大值,

则机的取值范围是（）

A.[2,+00）B.[4,+co）C.[-4,-2]D.[2,4]

8.（2024高三上•重庆沙坪坝•阶段练习）已知a,beR,关于x的不等式e'2ax+Z?在R上恒成立，则他的

最大值为（）

AA

A.-B.-C.e?D.3

32e

9.（2024高三上•江苏镇江•开学考试）对于实数xe（O,y）,不等式e"-ln（7nr）+（lT"）xZ0恒成立，则实

数m的取值范围为（）

A.0<m<lB.m£1C.0<m<eD.m<e

二、填空题

10.（2024•全国•模拟预测）在直角坐标系xQy中，矩形的四个顶点都在椭圆C：.+工=1上，将该矩形绕y

43

轴旋转一周，得到一个圆柱体，当该圆柱体的体积最大时，其侧面积为

11.（2024高三上•重庆•阶段练习）已知。/£,父，则当tan26-tan£取得最大值时，咽==________.

〈42）tan6

12.（2024高三上•四川成都•开学考试）已知面积为毡的锐角ABC其内角A,B,C所对边分别为a,b,

3

c,且展2+—1^=2—则边。的最小值为____.

tanAtanBsinA

13.（2024高三上•吉林长春•开学考试）函数/（x）=x2+（a-l）x-31nx在（1,2）内有最小值，则实数。的取值

范围为.

14.（2024•湖北武汉三模）已知函数f（x）="sin',屐、"则函数的最小值为.

15.（2024,安徽安庆•二模）已知x>0,>>0,且In（孙尸=e）贝Ify-lnx-》的最小值为.

16.（2024,海南海口•模拟预测）已知正实数m,w满足："In”=e"-"ln〃z,则一的最小值为.

m

17.（2024高三•福建泉州•阶段练习）已知函数/（x）=|x-l|-alnx的最小值为0,则a的取值范围

为.

18.（2024高三下•江苏南通•开学考试）若函数/（x）=e+a|T的最小值为T,贝|。.

19.（2024高三•全国•专题练习）若函数〃x）=e[f2+2x+a）在区间（a,a+l）上存在最大值，则实数a的取

值范围为

20.（2024•山西运城模拟预测）已知函数/（xhgd+jVx+l,若函数/⑺在（2a-2,2a+3）上存在最

小值.则实数。的取值范围是.

2

21.（2024•贵州黔东南•模拟预测）若存在实数（0<b<2）,使得关于x的不等式3尤346+642/+2对

xe（O,y）恒成立，则b的最大值是.

22.（2024高三下•陕西安康•阶段练习）若不等式「+21n?+x-2N0对Vxe（0,y）恒成立，则a的取值

范围是.

三、解答题

23.（2024•北京）已知函数/（另=亍工.

（1）若“=o,求曲线y=〃x）在点（L〃1））处的切线方程；

（2）若“X）在尸-1处取得极值，求“X）的单调区间，以及其最大值与最小值.

24.（2004•浙江）设曲线y=er（xW0）在点〃。,建）处的切线/与无轴y轴所围成的三角形面积为S。）.

⑴求切线/的方程；

（2）求S⑺的最大值.

25.（2004•湖南）已知函数/（x）=/e",其中a<0,e为自然对数的底数.

⑴讨论函数〃尤）的单调性；

⑵求函数〃无）在区间［。,1］上的最大值.

26.（2024高二下•黑龙江大庆•期中）己知函数〃尤）=111”叫。€（0,1）.

⑴若时，求的单调区间；

⑵求在口，2］上的最小值.

27.（2024•江西）已知函数/（x）=（加+bx+c）e'在［0,1］上单调递减，且满足/（0）=西/（I）=0.

⑴求。的取值范围；

（2）设g。）=/（x）-/（%）,求在［。,1］上的最大值和最小值.

28.（2024高二下■山西朔州■阶段练习）设O0R,函数/）="—3/.

（1）若x=2是函数y=/（x）的极值点，求。的值；

（2）若函数g（x）=/（x）+/'（X）,俎［0,2］,在尤=0处取得最大值，求a的取值范围

29.（2024高三上•重庆沙坪坝•开学考试）已知函数/（x）=xlnr-加+2北

（1）设a=o,经过点（0,-1）作函数y=F（x）图像的切线，求切线的方程；

⑵若函数/（X）有极大值，无最大值，求实数。的取值范围.

30.（2024高三•广东中山•阶段练习）用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽

之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

31.（2024高二下•广东汕头•期中）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）,其中容器的

中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为率n?,且M2r,假设该容器的建

造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费

用为c（03）万元，该容器的总建造费用为y万元.

（1）写出y关于"的函数表达式，并求该函数的定义域；

（2）求该容器的总建造费用最少时的厂的值.

32.（2023,福建）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2,宽为1,AB,边分别在x轴、y轴的

正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）.将矩形折叠，使A点落在线段DC上.

⑴若折痕所在直线的斜率为3试写出折痕所在直线的方程；

（2）求折痕的长的最大值.

33.（2024高二下•广东揭阳•期末）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴为2r,短半轴为厂，计划将此钢

板切割成等腰梯形的形状，下底A3是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S.

（助求面积S关于变量x的函数表达式，并写出定义域；

（助求面积S的最大值.

34.（2024•广东广州•一模）人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事

务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表.

月份X12345

销售量y（万件）4.95.86.88.310.2

该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：y=wc+v.

⑴根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程（〃的值精确到0.1）；

⑵已知该公司的月利润z（单位：万元）与x,y的关系为z=24«-期卢，根据（1）的结果，问该公司

哪一个月的月利润预报值最大？

参考公式：对于一组数据（X”,％）,其回归直线5=九+&的斜率和截距的最小二乘估计公

式分别为另二^5^-----------，a=y-bx.

Z（^-x）2

i=\

35.（2024高三•全国•专题练习）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行

了乒乓球比赛,其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3,4,

5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根

据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3:0或3:1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比

赛中以3:2取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜

的概率均为P（O<P<1）.

⑴比赛结束后冠亚军（没有并列）恰好来自不同校区的概率是多少？

（2）第10轮比赛中，记张三3:1取胜的概率为了（0）,求出/（P）的最大值点P。.

36.（2024•河北•模拟预测）5G技术对社会和国家十分重要.从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽

机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命.某科技集团生产4B两种5G通信基站核心部件，

下表统计了该科技集团近几年来在A部件上的研发投入尤（亿元）与收益y（亿元）的数据，结果如下：

研发投入X（亿元）12345

收益y（亿元）3791011

⑴利用样本相关系数，说明是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系（当旧40.75,1］时，可以认为两个变

量有很强的线性相关性）；

⑵求出y关于龙的经验回归方程，并利用该方程回答下列问题：

①若要使生产A部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入多少研发资金？（精确到0.001亿元）

②该科技集团计划用10亿元对A,8两种部件进行投资，对8部件投资了（14尤46）元所获得的收益y近似

4

满足>=0.9%--+3.7,则该科技集团针对A,5两种部件各应投入多少研发资金，能使所获得的总收益尸

最大.

附：样本相关厂系数「1”，

£(占-可(》-歹)__

回归直线方程的斜率8=上一----------，截距&=7-

«=1

37.(2024高三・全国•专题练习)甲、乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢

得全部的奖金，己知每局游戏乙赢的概率为P(0<P<D,甲赢的概率为1-P，每局游戏相互独立，在乙赢

了3局甲赢了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专

家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲、乙按照游戏再继续进行

下去各自赢得全部奖金的概率之比脩：生分配奖金.记事件A为"游戏继续进行下去甲获得全部奖金"，试求

当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率”A),并判断当。时，事件A是否为小概率事件，并说

明理由.(注：若随机事件发生的概率小于0.05,则称随机事件为小概率事件)

38.(2024高三上•云南保山■阶段练习)已知函数/。)=2尤3+3(1+〃。无2+6〃认(X€1^).

(1)讨论函数的单调性；

⑵若=函数g(x)="(lnx+l)-午V0在(1,+8)上恒成立，求整