二次函数（原题版）-2024-2025学年九年级数学上学期期中复习（浙教版）

专题01二次函数（易错必刷45题14种题型专项训练）

盛型大裳合

＞二次函数的定义＞二次函数的图像与系数的关系

＞二次函数的三种表达形式＞二次函数的图像上y值大小比较

＞二次函数的图像＞二次函数的最值

＞二次函数的性质＞二次函数与方程的关系

＞二次函数的顶点、对称轴＞动点的函数图像问题

＞二次函数与坐标轴的交点＞绘制二次函数图像

＞二次函数图形的几何变化＞二次函数的应用

验型大通关

一.二次函数的定义（共3小题）

1.（23-24九年级上•山东淄博.阶段练习）下列表达式中，y是x的二次函数的个数（）

①X+*+1=0；②y=（X+l）（x—1）—（X—I）2；③y=2+V4+X2;④工2+y—2=0

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（23-24九年级下•全国•单元测试）下列函数中，是二次函数的是（）

A.y=ax2+bx+cB.y=（%+2）（%—2）—x2

C.y=Vx2—2%+1D.y=|（x-3）x

3.（24-25九年级上•吉林长春•阶段练习）二次函数y=-%2-2%+1的一次项系数是.

二、二次函数表达式的三种形式（共3小题）

4.（23-24九年级下•全国・单元测试）若二次函数y=x2-bx-3配方后为y=（x+I）2+fc,则b、上的

值分别为（）

A.—2,—4B.-2,5C.4,-4D.—4,—2

5.（2024•内蒙古包头.中考真题）将抛物线y=M+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为

（）

A.y=（%+I）2-3B.y=（x+I）2-2

C.y=（%—l）2-3D.y=（x-I）2-2

6.（24-25九年级上•全国•课后作业）按要求将二次函数的表达式转化为其他形式：

（1）二次函数y=2x2-4x+1化为顶点式为；

（2）二次函数y=-（%-2）2+3化为一般式为；

（3）二次函数y=（%+1）（%-3）化为一般式为.

三、二次函数的图像（共3小题）

7.（24-25九年级上•重庆北倍・开学考试）二次函数、=。/+法+。的图象如下图所示，则一次函数，y=

ax-匕和反比例函数y=:在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

8.（23-24九年级下•山东济宁・开学考试）二次函数y=ax2+bx+c（b中0）与y=5在同一平面直角坐标系

中的图象大致是（）

A.B.

9.（2024.安徽合肥.模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ja%+|Q与二次函数y=a/一。

的图象可能是（）

四、二次函数的性质（共4小题）

10.（24-25九年级上•上海•阶段练习）下列函数中，函数值y随％的增大而减小的是（）

A.y=2xB.y=x—2C.y=—|D.y=—%2（%>0）

11.（23-24九年级下•江苏连云港咱主招生）若二次函数y=Tn/一（7n2一37n）%+1-7n的图象经过点

（a,b）、（-a,b）,则m的值为（）

A.0B.3C.1D.0或3

12.（23-24九年级上•山东德州•阶段练习）已知二次函数、=（%-血）2-1,当汽工3时，y随x的增大而减

小，则机的取值范围是

13.（23-24九年级下•全国•单元测试）已知函数丫=（根+1次/+2加是关于x的二次函数.

求：

（1）满足条件的根的值；

（2）%为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？

五、二次函数的顶点，对称轴（共4小题）

14.（23-24九年级上.湖北武汉•期末）抛物线y=6（x+2）Q-1）的对称轴是（）

11

A.『B.x=-2C.x=lD.久「

15.（24-25九年级上•全国•课后作业）若关于久的一元二次方程/+bx+c=0的两个实数根分别为/=

—2,%2=4,则抛物线y=/+匕％+c的对称轴为直线（）

A.x=1B.x——1C.x=2D.x——2

16.（23-24九年级上•广西玉林•阶段练习）二次函数y=x2-6x+21的图象的开口向,顶点坐标

为.

17.（23-24九年级上•浙江杭州•期中）己知二次函数y=—/+6乂-1,其顶点坐标为.

六、二次函数与坐标轴的交点（共3小题）

18.（23-24九年级上.河南信阳.开学考试）抛物线y=-x2+2kx+2与坐标轴交点的个数为.

19.（22-23九年级上•广西贺州•期中）平面直角坐标系中，抛物线y=/+2x-3与x轴的两个交点坐标

是.

20.（22-23九年级上•山东临沂・期末）抛物线y=—/+（m—l）x+m与y轴交于点（0,3）.

（1）求出"2的值及抛物线与X轴的交点坐标.

（2）当尤取什么值时，抛物线在X轴下方？

（3）当尤取什么值时，y的值随尤的增大而增大.

七、二次函数图像的几何变换（共3小题）

21.（22-23九年级上•江苏宿迁•开学考试）将抛物线y=（x-3）2-4先向右平移1个单位长度，再向上平

移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）

A.y=(x-4)2—6B.y=(x—l)2—3

C.y=(x-2)2-2D.y=(x—4)2—2

22.（2022・四川巴中・中考真题）函数y=\ax2+bx+c|（a>0,b2—4ac>0）的图象是由函数y=ax2+

bx+c（a>0,b2-4ac>0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结

论正确的是（）

①2a+b=0；②c=3；③abc>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点.

A.①②B.①③C.②③④D.①③④

23.（2024•湖南长沙•模拟预测）将二次函数y=（久++3的图像向右平移2个单位，再向下平移5个单

位，所得二次函数的解析式为;

八、二次函数的图像与系数的关系（共3小题）

24.（23-24九年级下•全国.单元测试）如图，二次函数丫=a/+bx+c的图象过点（一1,0）和（m,0）,有以

下结论：①abc<0；（2）4a+c<2b；（3）|=1—（4）am2+（2a+b）m+a+b+c<0；⑤

A.①③⑤B.①②③④⑤

C.①③④D.①②③⑤

25.（2024•内蒙古包头.一模）如图，二次函数，y=a/+b%+c（a力0）的图象经过点（1,2）,且与支轴交

点的横坐标分别为X1，%2'其中一1<乂1<0，1<x2<2,下列结论：①abc>0；②2a+b<0；③4a+

2b+c<0；®4ac+b2>8a；©a<—1；其中，结论正确的个数有（）

C.4个D.5个

26.（22-23九年级下•山东日照•开学考试）如图，抛物线丫=。%2+.+武。工0）与1轴交于点4（一1,0）顶点

坐标是（13），与y轴交点的纵坐标在-1和-2之间（不含端点）.在以下结论中:

②2。—b=0；

+2b+cV0；

④关于工的一元二次方程a/+b%+c-t+l=0有两个不相等的实数根;

⑤]<a<|.

其中正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

九、二次函数的图像上y值大小比较（共2小题）

27.（24-25九年级上•北京东城•开学考试）若4（—2,%）,8（1①）,。（2,丫3）是抛物线丫=2（x-I）2+a上的三

点，则、1，、2，为为的大小关系为（）

A.B.乃〉乃>乃C.y3>y2>yiD.y3>yi>y2

28.（2023•海南海口•模拟预测）若点4（一1,%）、8（1,乃）都在抛物线丫=/一4%+5上，贝|为、y2的大小关

系是（）

A.y-L>y2B.<y2C.y1-y2D.无法确定

十、二次函数的最值（共3小题）

29.（2024・陕西咸阳•模拟预测）已知二次函数y=-/+2ax-a2+2（a为常数，且a力0）,当—3WxW

1时，函数的最大值与最小值的差为9,贝必的值为（）

A.-6B.4C.-6或0D.0或一2

30.（24-25九年级上•浙江温州•开学考试）已知抛物线y=x2+bx+c经过（2,0）,（-4,0）.

（1）求抛物线的表达式及对称轴；

⑵若（3,乃）（n,、2）是抛物线上不同的两点，且乃+丫2=14,求〃的值；

（3）将抛物线沿无轴向左平移机（血〉0）个单位长度，当—2WXW1时，它的函数值y的最小值为7,求相

的值.

31.（24-25九年级上•全国•课后作业）已知抛物线y=--+2久+1,当tW久Wt+2时，y的最小值为

-7,求t的值.

十一、二次函数与方程的关系（共3小题）

32.（24-25九年级上•浙江温州•开学考试）如图，抛物线y=a/与直线y=kx+b的两个交点坐标分别为

4（—1,1）,5（3,9）,则方程a/=kx+6的解是（）

A.1]——1,%2=1B.%]——1,%2=3

C.%1=1,%2=9D.%1=3,%2=9

33.（24-25九年级上•广西南宁•开学考试）如图，是二次函数丫=。%2+力%+。（。。0）的图象，其对称轴

是直线1=1,且关于工的一元二次方程a%?++。一根=o没有实数根，有下列结论：@b2-4ac>0；

②a+5+c=—3；③abc<0；@m<—3；⑤3a+b<0.其中正确结论的序号有

34.（24-25九年级上•吉根阶段练习）函数丫=一*2+六+与的图象如图所示，结合图象回答下列问题:

（1）方程一：％2+"+与=。的两个根为/=______,右=______；

424

（2）当y>0时，贝卜的取值范围为；当一3<x<2时，自变量y的取值范围为：

（3）若方程—］乂2+|x+^=上有实数根，k取值范围是.

十二、动点的函数图像问题（共3小题）

35.（2023・甘肃金昌・模拟预测）如图，正方形2BCD的边长为2cm,动点P,Q同时从点4出发，在正方形的

边上，分别按力-D-C,A-BTC的方向，都以lcm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ,设运

动时间为xs,△APQ的面积为ycm2,则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）

36.（2024山东东营.模拟预测）如图，等腰RM28C（乙4cB=90。）的直角边与正方形DEFG的边长均为

2,且AC与DE在同一条直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿直线向右平移，直到点力与点E重合为

止.设CD的长为乃△ABC与正方形。EFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y,贝丹与x之间的函数的图

象大致是（）

37.（2024•安徽宣城•三模）如图，在四边形4BCD中，AB1BC,BC1CD,AB=BC=6cm,CD=

12cm,三个动点P2,P3同时分别沿a-B-C,BtCtD,C-D的方向以lcm/s的速度匀速运动,

运动过程中△P1P2P3的面积ycm2与运动时间XS（0WxW12）的函数图象大致是（）

十三、绘制二次函数图像（共3小题）

38.（24-25九年级上•广西南宁•开学考试）小强同学想画出二次函数y=-2%2-4久的图象，并根据图象研

究它的性质.

（1）请你帮小强先将该二次函数化成y=a（x-似2+卜形式（在下面空白处写出过程），并完成下表，然后

（2）根据图象回答问题：

①该图象是一条抛物线，它的对称轴是；

②该图象的顶点坐标为，该函数有最_______值（填大、小）；

③当x时，y随x的增大而减小.

39.（24-25九年级上•北京・开学考试）我们已经历了“一次函数”的学习过程，请你根据已有的经验和方法

结合假期的预习尝试完成下列问题：

已知：二次函数y=ax2+bx+c（a*0）中的x和y满足下表：

（1）可求得小的值为;

（2）求出这个二次函数的解析式;

（3）画出函数图象；

（4）当一1＜久＜3时，贝的的取值范围为.

40.（23-24九年级上.江苏淮安.期末）画出函数y=/—4x+3的图象，根据图象，解决下列问题:

（1）当y＜0时，x的取值范围是

（2）当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是

十四、二次函数的应用（共5小题）

41.（23-24九年级下•吉林长春•开学考试）如图，横截面为抛物线的山洞，山洞底部宽为8米，最高处高技

米，现要水平放置横截面为正方形的箱子，其中两个顶点在抛物线上的大箱子，在大箱子的两侧各放置一

个横截面为正方形的小箱子，则小箱子正方形的最大边长为米.

8

42.（2024・贵州六盘水•一模）如图①，桐梓隧道位于遵义市桐梓县境内，是贵州省高速公路第一长隧

道.如图②是桐梓隧道的部分截面，图③是其截面简化示意图，由矩形4BCD和抛物线的一部分CED构

成，矩形4BCD的边力B=12m,AD=2m,抛物线的最高点E离地面8m.以4B的中点为原点、4B所在直

线为x轴.建立平面直角坐标系xOy.

（1）求抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围；

（2）为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记.已知将该抛物线向上平移1m所扫过的区域即为

贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为m2；

（3）该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶，并保持车辆顶部与隧

道有不少于［兀的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度.

43.（2024•山西•模拟预测）学科实践

问题情境：

某学校举办了校园科技节活动，培养学生的科学探究精神，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在

校园科技节主题活动当天进行投石试验展示.

试验步骤：

第一步：如图，在操场上放置一块截面为△OCD的木板，该木板的水平宽度（。。=5米，竖直高度CD=

0.5米，将投石机固定在点。处，紧贴木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墙；

第二步：利用投石机将石块（石块大小忽略不计）从点A处抛出，石块飞行到达最高点后开始下降，最终落

地，其中点A到地面的高度。力=0.3米，测得BC=0.7米.

试验数据：

科学小组的同学借助仪器得到石块飞行过程中的一组数据：石块飞到最高点尸时离地面的高度PE为1.5

米，飞行的水平距离。E为4米.

问题解决：

已知石块的飞行轨迹是抛物线的一部分，以。为原点，0G所在直线为x轴，。力所在直线为y轴，建立平

面直角坐标系.

(1)求石块飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式；

(2)在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度BF的取值范围；

拓展应用：

(3)如图，在进行第二次试验前，小组同学准备在0C上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木

杆用于瞄准，为确保木杆不会被石块击中，则这支木杆的最大长度是多少？

44.(24-25九年级上•广西南宁•开学考试)2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60

分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌.在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难

度的207c(向后翻腾三周半抱膝).如图2所示，建立平面直角坐标系xOy.如果她从点4(3,10)起跳后的

运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度y