对数与对数函数（6题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题07对数与对数函数6题型分类

彩题生工总

题型6：对数函数中的恒成立问题题型1:对数运算及对数方程、对数不等式

\_____________________

题型5：对数函数性质的综合专题07对数与对数函数6—题型*对数函数的图像

题型分类

题型4：对数函数的单调性和最值题型3：对数函数的定义域、值域问题

彩先我宏库

1、对数式的运算

（1）对数的定义：一般地，如果/=N（a>0且。*1）,那么数x叫做以。为底N的对数，记作x=log.N,

读作以。为底N的对数，其中。叫做对数的底数，N叫做真数.

（2）常见对数：

①一般对数：以a（a>0且OH1）为底，记为log"读作以a为底N的对数；

②常用对数：以10为底，记为IgN；

③自然对数：以e为底，记为InN；

（3）对数的性质和运算法则：

①log；=0；log°=1；其中a>0且awl；

②个或=N（其中a>0且awl,N>0）；

③对数换底公式：1°8。6=署1；

④log«（MN）=logaM+logaN；

⑤log”果=log“M-log“N；

⑥logb"=—log”b（m,〃eR）；

m

⑦*J=匕和log.ah=b.

1

⑧log”b=

log；,a

2、对数函数的定义及图像

（1）对数函数的定义：函数丁=108“％（。>0且。*1）叫做对数函数.

对数函数的图象

a>\0<a<l

VAx=\

\

图象\!(ho)

o\Z(l,o)X

定义域：（。，+8）

值域：R

过定点（1，0）,即尤=1时，y=0

性质

在（0,+8）上增函数在（0,+8）上是减函数

当OVJTVI时，y<0,当时，当。vxvl时，y>0,当时，

y>Qy<0

彩健题海籍

（一）

对数运算及对数方程、对数不等式

对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底,

利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.

题型1:对数运算及对数方程、对数不等式

1-1.(2024•北京)已知函数/(x)=4'+logzx,贝

【答案】1

【分析】根据给定条件，把尤=g代入，利用指数、对数运算计算作答.

【详解】函数/（x）=4"+log2X,所以/（；）=4；+log2g=2-1=1.

故答案为：1

1-2.（2024高三上•湖北,阶段练习）使log2（r）＜x+l成立的x的取值范围是

【答案】（-1,0）

【详解】在同一坐标系中分别画出函数y=iog2（-x）和＞=无+1的图象（如图所示），由图象，得使

皿2（-尤）＜尤+1成立的X的取值范围是（T0）；故填（-1,0）.

7=log2（-X）/

1-3.（2024•全国）已知函数/（力=观式/+”）,若〃3）=1,则”.

【答案】-7

【详解】分析：首先利用题的条件"3）=1,将其代入解析式，得到〃3）=/限（9+a）=l,从而得到9+。=2,

从而求得。=-7,得到答案.

详解：根据题意有〃3）=上?2（9+〃）=1,可得9+。=2,所以口=-7,故答案是-7.

点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中,

需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.

1-4.（2024高三上.江苏南京.期中）设函数/。）=性：；'无＞°,则"K.

【答案】

6

【分析】先求出巾，再求々0即可

flO2oX-l,X＞0

【详解】因为〃尤）=2.；＜0，

1

I1一1111n

所以/log2--l=log2-+log2-=log2-<0,

2喝=L

所以//

366

故答案为：I

O

1-5.（2024高三下•上海•阶段练习）若12"=3〃=机，＞--7=2,贝打〃=

ab

【答案】2

【分析】将条件中的指数式转化为对数式，求出工1,代入：=2,利用对数的运算性质可得机.

abab

【详解】­.-12a=3h=m,>--7=2,

ab

...机>0且机w1,

/.a=log12m,b=log3m,

■■--=logm12,1=log,„3,

ab

•■---J-=log„,12-logm3=log„,4=2,

ab

:.m=2.

故答案为：2.

)2।21g3Jg2

（高三,全国专题练习）(log63+(log62)2

1-6.2024(Ig3+lg2)2

【答案】1

【分析】利用换底公式、对数的运算性质计算可得结果.

【详解】原式=（1吗3y+（1叫2）2+穿警

Ig61g6

22

=（log63）+（log62）+21og63-log62

2

=(log63+log62)

2

=(log66)=l.

故答案为：1.

彩健题秘籍。

对数函数的图像

研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体

解释.它为研究函数问题提供了思维方向.

题型2:对数函数的图像

2-1.（2024•山东荷泽•三模）已知函数y=log“（2x+3）—4（。>0且过定点尸，且定点尸在直线

/:6+勿+7=0（6>0）上，则」的最小值为______.

a+24b

【答案】|4

【分析】根据对数函数的性质得尸（T,-4）,代入直线方程得0+2+46=9,再根据基本不等式可求出结果.

【详解】令2x+3=l,即x=-l,得'=々，故P（T,-4）,

由P(—1,-4)在直线/:改+Z?y+7=0(Z?>。)上，得一Q—4/?+7=0,即a+2+4Z?=9,

因为〃>0且awl,Z?>0,所以a+2>2且，+2?3,4/?>0,

11a+2+4614ba+21a+2、4

所以--------F一=出+小——-——=-(2+------+-------)>-(2+2,--------------)=-

a+24b99a+24b9\a+24b9

4ba+2959

当且仅当力=工’即"+2=46=5,即"屋"费时，等号成立・

114

故会+花的最小值为屋

4

故答案为：—

22（2024高二上•四川绵阳•单元测试）函数丁=1。8/1+3）-1（〃>0,〃。1）的图象恒过定点人，若点A在直

19

线如+2+1=。上，其中加、H>0,则一+一的最小值为.

mn

【答案】8

1o

【分析】求出定点A（-2,T）,可得出2初+及=1,将代数式乙+4与2机+”相乘，展开后利用基本不等式可

mn

求得1上9的最小值.

mn

【详解】对于函数y=log«（x+3）T（a>0,awl）,令x+3=l,可得x=-2,贝！|y=log01-1=一1,

故函数y=log,,（x+3）—l（a>0,awl）的图象恒过定点A（-2,-l）,

因为点A在直线=。上，贝!J—2加一〃+1=0,可得2机+〃=1,

因为用、〃>0,所以，—+-=（2m+n）|—+—|=4+—+—>4+2J—•—=8,

mnnJnm\nm

1?

当且仅当〃=2%时，等号成立，故上+士的最小值为8.

mn

故答案为：8.

2-3.（2024高二上•河北衡水•阶段练习）已知函数/（无）=/一2尤+3,g{x}=\og2x+m,对任意的毛，e［l,

句有/。）>8（三）恒成立，则实数机的取值范围是.

【答案】（-8,0）

【分析】由题设不等式恒成立，只需在xe［L4］上“X）1rto>g（x）a成立即可，进而求优范围.

【详解】函数/（工）=尤2-2苫+3=（尤-1了+2在口，4J上单调递增，？（了）=1082元+根在［1,4］上单调递增，

回/（"）*="1）=2，gGL=g（4）=2+〃？，

对任意的毛，々6口，4］有/（%）>g（x2）恒成立，

团人力向，>8（力皿，即2>2+加，解得机<0，

团实数加的取值范围是（-8,0）,

故答案为：（-双。）.

2-4.（2024高三•四川•对口高考）已知函数y=log“（x+》）（a,6为常数，其中a>0且aRl）的图象如图所

示，则下列结论正确的是（）

A.a=0.5,6=2B.a=2,b=2

C.a=0,5>b=0.5D.a=2,b=0.5

【答案】D

【分析】由函数在定义域上单调递增，可得。>1,排除A,C；代入（050）,得6=0.5,从而得答案.

【详解】解：由图象可得函数在定义域上单调递增，

所以a>l,排除A,C；

又因为函数过点(050),

所以b+0.5=l,解得6=0.5.

故选：D

2-5.(2024・陕西)函数>=里的图像大致为()

x+2

【答案】B

【分析】由函数为偶函数可排除AC,再由当xe(O,l)时，/(%)<0,排除D,即可得解.

【详解】设y=〃x)=M，则函数〃x)的定义域为{尤卜*0},关于原点对称，

又〃-、)］：：：9"')，所以函数/(x)为偶函数，排除AC；

当xe(O,l)时，ln|x|(0,x2+2)0,所以〃x)<0,排除D.

故选：B.

对数函数的性质（单调性、最值（值域））

研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体

解释.它为研究函数问题提供了思维方向.

题型3:对数函数的定义域、值域问题

3-1.（2024高二下•福建莆田•期中）函数〃x）=&b+log2（x+l）,则定义域是.

【答案】（-1,内）

【分析】根据解析式列出不等式组求解即可.

【详解】由/'（%）=Jx+3+log2（x+l）可得,

[犬+320人,

1„，解得x>-l,

[x+l>0

所以函数的定义域为（-1,内）.

故答案为：（-1,内）.

logJX,X>1

32（2024•北京）函数/（尤）={2的值域为.

2',x<l

【答案】（口,2）

【分析】当心1时，〃x）=logjXW。；当x<l时，〃x）=2，e（O,2）,可得值域

2

【详解】当X21时,/W=log^<0;当了<1时，仆）=2*«0,2）,故函数的值域为（-e,2）.

2

【考点定位】本题考查了指数函数、对数函数和值域，求函数的值域可以利用函数的单调性，也可以利用

函数的图象求.

3-3.（2024高三•全国•对口高考）若函数>=lg（f-巾+9）的定义域为R,则a的取值范围为；若

函数y=ig（d-依+9）的值域为R,则。的取值范围为.

【答案】（-6,6）（-<»,-6]u[6,+oo）

【分析】第一空，由题意可得无2一依+9>0对于xeR恒成立，结合判别式小于0即可求得答案；第二空，

由题意可得Y一依+9能取到所有正数，结合判别式大于等于0即可求得答案；

【详解】函数y=lg，-G+9）的定义域为R,则无2一6+9>0对于xeR恒成立，

故A=（—Q）2_4X9<0,解得一6<a<6,即。£（一6,6）；

若函数y=lg（*2-欧+9）的值域为R,即X2-依+9能取到所有正数，

故△=（-o）2-4x920,解得“26或aW-6,即ae（-oo,-6]u[6,+e）,

故答案为：（-6,6）；（-oo,-6]u[6,+oo）

3-4.（2024高三・全国・专题练习）已知函数〃”=馆3+福+，|的值域为R,则加的取值范围是.

【答案】（fT

【分析】

利用基本不等式求出函数M=5*+福+机的值域D,根据题意可知（O,y）=D,可得出关于实数优的不等式,

解之即可.

【详解】对任意的xeR,5">0,由基本不等式可得5*+上+优22J5,+优=m+4,

5XV5

当且仅当5'=三4时，即当》=1吗2时，等号成立，

5

因为函数/（x）=1g15,+：+9]的值域为R,则（0,~Ko）鼻+4,内），

所以，m+4<0,解得机

因此，实数机的取值范围是（-8,-4].

故答案为：（-oo,-4].

题型4：对数函数的单调性和最值

4-1.（2024高三•重庆渝中•阶段练习）函数yTog/x?-x-2）的单调递增区间为（）

4

1

A.—00—B.(->»,-1)C.D.(2,+09)

2

【答案】B

【分析】根据复合函数的同增异减即可.

【详解】函数>=1OS1（无2一无一2）的定义域为。（2,+8）,

4

令”尤2一元一2,又y=i°gJ在定义域内为减函数,

4

故只需求函数-元-2在定义域（-8,-1）。（2,+8）上的单调递减区间，

又因为函数公尤2_尤_2在上单调递减，

y=10§1（%2-X-2）的单调递增区间为（一8,-1）.

4

故选：B

4-2.（2024高三下•宁夏银川•阶段练习）已知函数/（©=1嗝（1-依），若“X）在（9』］上为减函数,则。的取

值范围为（）

A.（0,+s）B.（0,1）C.（1,2）D.（-8,1）

【答案】B

【分析】根据复合函数的单调性以及对数函数的定义域求解.

【详解】设函数y=i-6，

因为/（X）在（-00,1］上为减函数，

所以，=1-6在（-00,1］上为减函数，则-<2<0解得。>0,

又因为y=i-依>。在（-8,1］恒成立，

所以Xnin=1一。解得。<1-

所以。的取值范围为0<。<1,

故选:B.

,、I+（a—2）x—a+3.尤<1

4-3.（2024高一下•陕西宝鸡•期末）己知函数=|,的最小值为0,则实数。的取

Ilog3X9X>1

值范围是.

【答案】卜8,20］

【分析】根据对数函数图像知函数y=iog3x,xwi最小值为0,从而转化为二次函数

//（耳=/+（°-2卜-。+32。对*<1恒成立，通过二次函数过定点，讨论其对称轴所在位置从而求解.

【详解】函数y=iog3尤，XN1最小值为0,

设尤）=九2+（a-2）x-a+3,xvl,

所以只要满足可无”0恒成立，

函数对称轴为》=-9=平，且力（1）=1+。一2—.+3=2,

①一21,即aWO时，满足题意；

②—<1,即aX）时，

需满足//（7[=—2）・^j^-a+320,

IPa2<8,得-20<。<20,

此时实数。的取值范围是（0,20].

综上，实数。的取值范围是卜s,2忘]

故答案为：卜°,2行].

44（2024高一下糊北•阶段练习）若函数〃尤）=：+","'L，在R上单调，则。的取值范围是（）

\2a+log,x,x>l

A.（0,1）B.[2,+»）C.]（）,；卜（2,+与D.（0,1）u[2,^）

【答案】D

【分析】分外无）单调递增与单调递减两种情况讨论，根据分段函数单调性判断方法列出不等式组求解.

[a>l

【详解】若〃尤）在R上单调递增，贝IJ0|1,解得〃£[2,+8）,

[2+a<2a+iogal

fO<a<l

若在R上单调递减，贝IJG11,解得〃£（0,1）.

[2+a>2a+logal

综上得aw（0,1）U⑵+8）.

故选：D

4-5.（2024・云南•模拟预测）B^/（x）=log2x（l<x<16）,设g（x）=/2（元）+/（炉），则函数y=g（x）的最大

值为.

【答案】8

fl<x<16_.

【分析】由，/2/“求出g（x）的定义域为[1，4]，然后换元，令/=1窕2尤，0VY2,得>=〃+2/=。+1）2-1,

[1<尤<16

根据二次函数的单调性可求出最大值.

2222

【详解】y=g(x)=r(x)+/(X)=(log2x)+log2x=(log2x)+21og2X,

fl<x<16

由，»得l〈x<4，即g(x)的定义域为口,4]，

[1<x<16

令"logzX,因为所以0WY2,

所以>=»+2/=«+1)2—1在[0,2]上为增函数，

所以7=2时，9=8.

故答案为：8.

YI

4-6.(2024海南海口,模拟预测)已知正实数优，〃满足："In/iue"-,则一的最小值为.

m

2

【答案】-e

4

【分析】将〃ln〃=e祇-〃Inm变形为暧』"+m—ln〃=ein"+lnw,设/(x)=e"+x,对/(%)求导可知/(%)在R

x

上单调递增，所以〃Llnulmw,则”=J,所以乌='，令g(x)=三e，对g(/x)\求导，即可求出己n的最

mmmxm

小值

Qm

【详解】由〃In〃=e"-〃lnm可得：—=Inm+Inn,

n

w-ln

所以e%m〃—]n〃=inm,en+m-lnn=m+\nm=Qhim+lnm,

设〃x)=e"+x,/r(x)=ex+l>0,

所以在R上单调递增，所以/(机-ln〃)=/(lnm),

Q'"

则m-lnn=]nm,所以In〃=In—,

m

x2x(-2)

所以"=J,所以二=J,令g(x)==,g〈x)=e-x-e-2xe

3

mmmxx，

令g'(x)>0,解得：x>2；令g'(x)<0,解得：0<x<2；

所以g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增,

2

e

所以gWnJg⑵下

2

故上的最小值为

m4

2

故答案为：e

4

4-7.(2024・天津)已知°=2%6=，cfogzg，贝U()

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】c

【分析】利用事函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、6、C的大小关系.

【详解】因为2°7>2：'>0=log21>log2g，故a”>c.

故答案为：C.

题型5:对数函数性质的综合

5-L(2024高三•全国•专题练习)己知函数满足：x>4,则〃x)=2"；当x<4时，f(x)=f(x+l),则

/(2+logl3)=

2.

641

【答案】y/21-

【分析】利用对数函数性质确定2+l°g23的范围，再利用给定关系求解作答.

2

[详解]依题意，崛4<蹙3<1叫2,则0<2+题工3<1,因此4<6+1<^3<5,

22222

而x",贝疗(x)=2%当尤<4时，/(x)=/(x+l),

6

6+log13264

所以〃2+108工3)=/(6+1。8工3)=2%=^~^==

22，3

64

故答案为：—

52(2024高一上•江苏徐州•期末)已知函数“力是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=log2x,则

f(x)2-2的解集是.

【答案】-4,0]u[l

-log20

【分析】利用奇偶性求出函数"X)的解析式/(x)=0，x=。,分类讨论即可求解.

log2x,x>0

【详解】当x<0时，-x>0,所以/(—x)=log2(-x),

因为函数/(无)是定义在R上的奇函数，所以/(x)=-/(—x)=—log2(—x),

所以当x<0时，f(x)=-log2(-x),

-log?(-尤)，尤<0

所以/(x)=O,X=。,

log2>0

fx>0fx<0[x=0

要解不等式/(x)2-2,只需、c或](、>o或八、c，

[log,x>-2[-log2(-x)>-2[0>-2

解得或TWx<0或x=0,

4

综上，不等式的解集为_4,0M；,+co].

故答案为：-4,0]。匕,+8].

5-3.(2024•陕西宝鸡二模)已知函数〃x)=lgx+lg(2-x),则()

A.〃尤)在(0,1)单调递减，在(1,2)单调递增B.在(0,2)单调递减

C.的图像关于直线x=l对称D.有最小值，但无最大值

【答案】C

【分析】根据复合函数的单调性的判断方法，可判断A,B；推得/■(2-x)=lg(2-x)+lgx=/(x)可判断C；

根据二次函数的性质结合对数函数的单调性可判断D.

【详解】由题意可得函数〃x)=lg无+lg(2r)的定义域为(0,2),

贝I]/(x)=1gx+1g(2-x)=lg(-x2+2x),

因为y=—f+2兀在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减，

且y=lg尤在(0,+℃)上单调递增，

故在(0,1)上单调递增，在(L2)上单调递减，A,B错误；

由于〃2-x)=lg(2—x)+lgx=/(x),故〃x)的图像关于直线尤=1对称，C正确；

因为y=—f+2x在x=l时取得最大值，且y=lgx在(0,口)上单调递增，

故/（X）有最大值，但无最小值，D错误,

故选：C

5-4.（2024•全国）设函数/（x）=ln|2x+l|-ln|2xT|,则於）（）

A.是偶函数，且在+8）单调递增B.是奇函数，且在（-提》单调递减

C.是偶函数，且在单调递增D.是奇函数，且在（f,-；）单调递减

【答案】D

【分析】根据奇偶性的定义可判断出了（X）为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质

可判断出“尤）单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出〃x）单调递减，从而

得到结果.

【详解】由/（力=111|2了+1卜1321-1|得“X）定义域为卜土关于坐标原点对称，

X/（--^）=ln|l-2x|-ln|-2x-l|=ln|2x-l|-ln|2j;+l|=,

\"x）为定义域上的奇函数，可排除AC；

当xe时，/(x)=ln(2x+l)_ln°_2x),

Qy=ln（2x+1）在1J,1上单调递增，y=ln（l—2x）在［g』上单调递减,

\4x）在上单调递增，排除B；

—8'一；）时'2r+1(2

当了£/(x)=ln(-2x2x)=In-------=InI1+

2x-l

在上单调递减,

“i+e“〃）=ln〃在定义域内单调递增,

根据复合函数单调性可知：“X）在，巴-上单调递减，D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根

据/（-X）与F（x）的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性

质和复合函数"同增异减"性得到结论.

彩健题海籍

(四)

对数函数中的恒成立问题

1.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地,已知函数y=/(x),xe[a,6],y=g(x),x&\c,d\

⑴若x4a,6],Vx2clc,d],总有/(xJvgG)成立，故了⑺.<g(x)11M

(2)若％e[a,6],3x2&[c,d],有/(%)<g(%)成立，故/⑺1mx<g(x)1mx；

(3)若叫e[a,句,3X2s[c,d],有〃石)<g(%)成立，故/⑺5<g⑺1mx;

⑷若"3x^[c,d],有/(%)=&(%)，则〃x)的值域是g(x)值域的子集.

2.(1)利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；

(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.

(3)涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、

最值是解决问题的关键.

题型6:对数函数中的恒成立问题

6-L(2024高二下嘿龙江大庆•阶段练习)已知函数〃力=--2尤+3,g(x)=log2X+〃2,若对

依耳幺也衽叩转为使得“动一色)，则实数机的取值范围为.

【答案】(-8,—1]

【分析】根据条件分析得到了(占)向“幺仇)皿，然后根据〃x),g(x)的单调性分析出对应的最值，由此可求

解出机的取值范围.

【详解】因为对％«2,4],±2c[16,32],使得〃占)见(%),

所以"xj小8㈤硒,

因为〃x)=d—2x+3的对称轴为x=l,所以〃尤)在[2,4]上单调递增，所以/'(勾神=/(2)=3,

又因为g(X)=现2%+机在[16,32]上单调递增，所以g(x)^=g(16)=4+〃?，

所以324+帆，所以％4-1,即〃ze(-8,-l],

故答案为：(7>，T].

【点睛】结论点睛：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化:

一般地，已知函数y=/(x),xe[a,，|,y=g(x),x&[c,d\

(1)若%e[a,可,气€卜,句，总有/(%)<g(苍)成立,故〃力2<g(x)min；

(2)若％w[a,6],3X2e[c,J],有〃3)<8(々)成立，故/⑺1mx<g(»1mx；

(3)若初e[a,句,3x2e[c,d],有〃石)<8(z)成立，故/⑺1nto<g(x)1mx；

(4)若V±e[a,6],Bx2&[c,d],有〃石尸8化)，则f(无)的值域是g(x)值域的子集.

62(2024•江西宜春•模拟预测)若Vxe1,21，不等式“7吗尤+G<0恒成立，则实数。的取值范围

_2J2

为.

【答案】~,-5)

【分析】分离参数，将恒成立问题转化为函数最值问题，根据单调性可得.

【详解】因为Vxe[,2],不等式2尤2-xlog2尤+6<°恒成立，

_2J2

所以"log产-2x对Vxe1,2恒成立.

2|_2_

记小)=log:-2X,xe1,2,只需。<〃耳皿.

因为ynlog^x在xe12上单调递减，y=-2x在xe：,2上单调递减，

2|_2」|_2

所以“无)=1吗尤-2工在x/山]上单调递减，

2|_2

所以〃XL="2)=—5,所以。<一5・

故答案为：(力,-5)

63(2024高三下•浙江•阶段练习)已知函数〃力=2±±，g(x)=log2x+«,若存在不目3,4],任意

X

x2e[4,8],使得〃%)2g(9),则实数。的取值范围是.

【答案】

【分析】将问题转化为在对应区间上/(x)max^g(X)max，结合对勾函数、对数函数的性质求、gQ)的区

间最值，即可求。的范围.

4

3

解得：a＜ir,综上：实数。的取值范围是1,

故选：C

炼习与桎升

一、单选题

1.（2024高一上•内蒙古包头•期中）函数/（x）=log“（x-D+2的图象恒过定点（）

A.(2,2)B.(2,1)C.(3,2)D.(2,0)

【答案】A

【分析】根据对数函数的性质确定定点即可.

【详解】当x=2时/（2）=log〃l+2=2,即函数图象恒过（2,2）.

故选：A

2.（2024•北京•模拟预测）已知函数/（元）=log2*-（x-l）2,则不等式〃无）＜。的解集为（）

A.(fl)U(2,+°o)B.(0,1)"2,内)

C.(1,2)D.(l,+oo)

【答案】B

【分析】将已知不等式化为log2X＜（x-l）2,在同一坐标系下作出两个函数的图象，可得不等式/（x）＜0的

解集.

【详解】由题意，不等式即log2》-（龙一1『＜0,

等价于log2X＜（尤-球在（0,+8）上的解,

令g(x)=log2X,=则不等式为g(x)</i(x),

在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示,

可得不等式/（X）＜0的解集为（0,1）"2,内）,

故选：B

3.（2024高三•北京•学业考试）将函数y=log2X的图象向上平移1个单位长度，得到函数y=/（X）的图象,

则〃x)=()

A.log(x+l)

2B.1+log2x

D.-l+log2x

【答案】B

【分析】根据函数平移变换进行求解即可.

【详解】将函数y=iogzx的图象向上平移1个单位长度，得到函数y=i+iog2x.

故选：B.

4.（2024高三•河南•阶段练习）已知耳，巧分别是方程无+e、3和尤+ln尤=3的根，若%+无2=。+》，实数

a,b>0,则空土1的最小值为（）

ab

767

A.1B.一C.—D.2

39

【答案】D

【分析】根据对称性求得结合换元法以及基本不等式求得正确答案.

【详解】X+e"=3,e"=3—％；x+lnx=3,lnx=3-x.

函数与函数y=ln%的图象关于直线y=x对称,

y=3-x333)

由y=x解得-y、,设％

292T

3

则%+%2=/X2=3,即a+b=3,

7尸+17片+17尸+17(/-36)+216+1_21b+1

7+

ab(3-b^bb2—3bb1-3bb「3b'

令2g+1=/，贝九匕二牙，

、

lb2+l21/7+1

则7+7+

abb2-3b-3x0

21

、7

441441

7+>-7+二2,

64*

t~\-----65--65

t

77

当且仅当,若八™八卜=3一八|时等号成立.

故选：D

5.（2024高三・全国・专题练习）若4满足2工=5-x,4满足了+1°82%=5,则占+无2等于（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】将所给式化简可得5-f=2为，5-x2=log2x2,进而耳和巧是直线y=5-x和曲线>=2晨曲线

>=log?x交点的横坐标.再根据反函数的性质求解即可

【详解】由题意5-%=23^W5-x2=log2x2

故4和4是直线y=5-x和曲线y=2*、曲线，=log?X交点的横坐标.

根据函数y=2*和函数y=1鸣x互为反函数，它们的图象关于直线丁=彳对称，

故曲线y=2*和曲线y=log2X的图象交点关于直线，=了对称.

即点（xi,5-xi）和点（尤2,5-%2）构成的线段的中点在直线y=x上，

文山二5-3+5f,求得切+也=5,

22

故选：D.

6.（2024•陕西•模拟预测）已知均是方程％.3'=2的根，巧是方程”1鸣％=2的根,则占•%的值为（）

A.2B.3C.6D.10

【答案】A

【分析】先把方程x3=2与方程小1幅户2变形成方程3，，，和方程借助图象交点求毛和巧

XX

的关系，即可求出西•无2.

99

【详解】方程无3=2可变形为方程3,,，方程x.logsx=2可变形为方程log3x，，

XX

•.，士是方程尤•3'=2的根，巧是方程x-log3x=2的根，

27

.1不是函数y=3,与函数＞=—的交点横坐标，巧是函数y=log3x=与函数》=—的交点横坐标,

XX

函数y=3'与函数y=log3x互为反函数，

22

.•.函数y=log?x与函数y=—的交点横坐标4等于函数，=V与函数y=—的交点纵坐标，即(匹,々)在数

XX

2

y=—图象上，

X

又=3图象上点的横纵坐标之积为2,；.X/2=2,

X

故选：A.

7.（2024•天津）化简（21og43+log83/log32+log92）的值为（）

A.1B.2C.4D.6

【答案】B

【分析】根据对数的性质可求代数式的值.

【详解】原式=(2xglog23+glog23)(log32+^log32)

43

=-log23x-log32=2,

故选：B

8.(2024•浙江)已知2"=5,log83=b,则4"3=()

cc255

A.25B.5C.——D.-

93

【答案】c

【分析】根据指数式与对数式的互化，幕的运算性质以及对数的运算性质即可解出.

4"=（2"）［52「25

【详解】因为2“=5，Z>=log83=1log23,即235=3,所以4-=

4^-（23i）2-

故选：C.

9.(2024高三上•广西南宁•阶段练习)若2。=5"=10,则工+1=()