对勾函数、飘带函数的应用5种常考题型总结（解析版）-人教版高一数学习题

微专题20对勾函数、飘带函数的应用5种常考题型总结

高频考点

题型1对勾函数在基本不等式中的应用题型4利用对勾函数解决恒成立有解问题

题型2与对勾函数有关的单调性问题题型5飘带函数

题型3与对勾函数有关的最值问题

解题策略

一、对勾函数

时，y-2yl~ab

二、飘带函数

b

解析式y-ax——[a>0，b>0)y=ax-—(Q<0,b<0)

XX

J

图像-Ju

r

定义域(-oo,0)U(0,+oo)

渐近线y=ax,x=0

值域R

奇偶性奇函数

单调性在(-00,0),(0,+8)上是增函数在(一*0),(0,+oo)是减函数

三、对勾函数的一些妙用

笔者在教学中发现，二次函数和对勾函数有着天然的联系，但限于学时安排,多数教师讲对勾函数时着墨不多,

导致学生只知其“形”而不知其“神”，因此在处理含参的二次不等式恒成立、根的分布等问题时,缺少必要的手

段，只能“硬讨论”，又因其繁难，易挫败学生的学习积极性.若能转为对勾函数去处理，则可化繁就简，快速处理有

关问题.

1.什么是对勾函数？

形如y=K+g(k>0)的函数叫作对勾函数，其图像和性质如图1所示：

k

函数y=x+-(k>0)

定义域(-8,0)u(0,+oo)

值域(—oo,—2Vfc]U[2Vk,+oo)

奇偶性奇函数

单调性

（0#）工,（返+OO）T

渐近线直线％=0和y=x

图1

说明：

1.函数y=ax+^a,b>0）也叫作对勾函数，由于y=ax+1=a（久+f）,两者本质相同.

2.y=x+<0）不是对勾函数，其图像如图2所示：

图2

2.对勾函数的一些妙用

（1）对勾函数在基本不等式中的应用

在均值不等式中,我们通常利用“一正二定三相等”求最值，但当“三相等”的条件不满足时，我们就可以用对勾

函数的单调性处理.

示例：求函数f（x）=久+：在区间（0,1］的最小值.

分析:由均值不等式，易得久+4,当久=?即工=2时等号成立,故不满足取等的条件.如果用对勾函数,可以求

解.

解:由对勾函数性质可知/(%)=%+g在(0,1］上单调递减，故当％=1时,/(%)min=5.

示例2：已知正实数为y满足汽+y=1,求%y+。的取值范围.

分析:可先由均值不等式求得xy的取值范围,再换元，结合对勾函数可求解.

解:由均值不等式可得,0<%y<(等丫=:，当x=y=的寸取等号.

令硝=t,得对勾函数/«)=t+［在区间(0,3上单调递减，

所以，当t弓时/©min=*从而函数4)的值域为件,+8),

即冲+专的取值范围为［?,+00).

(2)对勾函数在二次不等式恒成立中的应用

示例3：若不等式N+ax+1>0对任意Xe(0,2］恒成立，求实数a的取值范围.

分析:本题只要函数最小值大于0即可，但分析单调性求最小值比较烦琐，如果分离参数化为对勾函数,可化腐

朽为神奇，快速求得结果.

11

解:不等式/+ax+1>0对任意xe(0,2］恒成立，等价于％+->一a对任意x£(0,2］恒成立，记/(久)=x+9等

价于/OOmin>-a.

由对勾函数的单调性知J(x)在区间(0,1］上单调递减,在区间［1,2］上单调递增，

所以，当久=1时/Q)min=2,故一a<2,解得a>-2.

示例4：已知/'(X)=久2+2(a-2)x+4,如果对任意工G［-3,l］,/(x)>。恒成立,求实数a的取值范围.

解析:本题是一个二次不等式在R的子区间［-3,1］上的恒成立问题,通常求其最值即可.

本题不妨做一个对比，分类讨论和化对勾函数.

解法1：分类讨论法“硬讨论”

结合对称轴久=-(a-2)与区间位置关系讨论函数单调性可得：

(—(a—2)<—3.r(—3<—(a—2)<1,一尸(口—2)>1,

［/(-3)>0,或(/<0,或1/(1)>0,

解得ae0,或1Wa<4,或一g<a<1,综合可得a的取值范围为(一1,4).

解法2:分类讨论转为对勾函数

因为/+2(a-2)x+4>0对任意xG［一3,1］恒成立，

当久=。时,4>0,止匕时aGR.①

当x€［-3,0)时，原问题等价于％+：<-2(a—2)在［-3,0)上恒成立，

而对勾函数/(*)=x+:在区间(-叫-2］上单调递增,在区间［-2,0)上单调递减，

所以/(x)max=/(-2)=-4<一2(-2),解得。<4.②

当久G(0,1］时,原问题等价于x+?>—2(a—2)在(0,1］上恒成立，

而对勾函数/(久)=x+：在区间(0,2］上单调递减,在区间［2,+8)上单调递增，

所以,f(x)min=/(1)=5>—2(a—2),解得a>—看③

综合①②③可得，实数a的取值范围为4).

通过对比我们看到，两者都用到了分类讨论，法1分类讨论最后求并，法2分类讨论转对勾后求交.两种方法对

于培养学生缜密的思维，专注的计算都是不错的.其不同之处在于，后一种方法转化后是一个不带参数的函数,

计算相对简单，不易出错，虽然只是一点点小小的转变,但作用是显而易见的，这样学生能体会到“原来还可以

这样，，的学习之乐,促进学生更深入地思考以求“变，，，变方法，变思维的深度和广度.

示例5：若对任意的x£［一2,0］,使久2+(l-a)x-a+2>0恒成立，求实数a的取值范围.

分析:本题如分类讨论过程繁杂，可分参化对勾函数处理.

解:因为久2+(l-a)x-a+2=x2+x+2-a(x+1),令％+1-t,te［-1,1］,

原问题即t2-(a+l)t+2>0在te上恒成立.

当t=0时,a€R.

StG［-1,0)U(0,1］时，原问题等价于,

t+^>a+1在(0,1］上恒成立，且t+f<a+1在［—1,0)上恒成立.

而对勾函数在［-1,0)和(0,1］都上单调递减，可解得a<2,且a>-4.

综上可得4<a<2.

3.对勾函数处理二次函数根的分布问题

示例6：方程/+(m+l)x+m-1=。有两个负根，求实数rn的取值范围.

分析:二次函数根的分布问题，通常结合图像及韦达定理可求解.这里，我们也看看用对勾函数处理这些题目的

妙处.

解法1:因为方程合+(m+l)x+m-1=。有两个负根，所

M>o,

以《一（爪+1）<0,解得小>1.

Im—1>0,

解法2:方程久2+(M+1)%+m-1=0有两个负根，

等价于无+耍=—(a+1)有两个负根，

即横线y=~(m+1)与对勾函数y=X+中■在(-8,0)上有两个交点.

数形结合可知,一(爪+1)<-26i-l,解得一>1.

图3

示例7：若函数/(X)=X2+小久+2在区间［1,3］上有两个不同的零点，求实数机的取值范围.

p>o,

1々—竺々R

分析:本题结合二次函数图像可得；(：)羡

(f⑶$0：

可解得-3<m<-2近，稍显烦琐.

如果转为对勾函数,求解当不同.

o9

解:原问题即x+^=-Hi在[1,3]上有两根，记g(X)=x+]

2___

即对勾函数g(X)=x+:与横线y=在[1,3]上有两个交点.

结合函数单调性可知,2鱼<-m<解得一弓<m<-2V2.

点评:两法比较可看出，后一解法干脆利落，行云流水，一气呵成.

考点精析

题型1对勾函数在基本不等式中的应用

4

【例1】【多选】已知函数/(无)=》+—,下面有关结论正确的有()

A.定义域为(-8,0)U(0,+s)B.值域为(-8,-4]U[4,+8)

C.在(-2,0)U(0,2)上单调递减D.图象关于原点对称

【答案】ABD

【分析】根据题意，结合定义域的求法，基本不等式，以及函数单调性的定义和奇偶性的判定的方法，逐

项判定，即可求解.

4

【详解】对于A中，函数〃x)=x+—有意义，贝I]满足xwO,

x

所以函数〃X)定义域为(-8,0)U(0,+s),所以A正确；

对于B中，当x>0时，可得x+=4,

当且仅当X=±时，即x=2时，等号成立，所以〃X)24；

X

41I4~

当x<0时，可得x+—=-[(-x)+—]W-2j(-x)x-=-4，

xxV-x

当且仅当-》=-3时，即x=-2时，等号成立，所以-4,

所以函数〃X)的值域为(-8,-4]u[4,+8),所以B正确；

4

对于C中，函数〃%)=%+—在(-2,0),(0,2)上单调递减，所以C不正确;

x

对于D中，函数/(x)定义域为(-8,0)U(0,+8),关于原点对称,

且满足/(-乃=-尤-3=-(无+3)=-/(；0,所以函数〃x)为奇函数，

函数的图象关于原点对称，所以D正确.

故选：ABD.

2

【变式1】函数y=x+—(X22)的最小值为()

X

A.2B.2-72C.3D.72

【答案】C

【详解】由对勾函数的性质可知y=x+：在[2,+“)上单调递增，

2

所以3n=2+]=3,

故选：c

【变式2]设xe[-2,0),则x+工的取值范围是.

【答案】(-8,-2]

【详解】设函数〃x)=x+L,则当xe[-2,7]时，/(x)=x+，单调递增，此时/(x)e[-：,-2]；

xx2

当xe(T,0)时，当x)=x+.单调递减,此时〃力«-叫-2),

故xe[-2,0),则x+工的取值范围是(-*-2],

故答案为：(-叫-2]

题型2与对勾函数有关的单调性问题

【例2】已知函数尸”X),其中〃x)=x+£.

(1)判断函数夕=/(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若函数在区间[1,+动上是严格增函数，求实数。的取值范围.

【答案】(1)奇函数

(2)0＜1

【分析】(1)分。=0和•*()两种情况，根据函数的奇偶性的定义讨论求解；

(2)设1＞无61,然后由y=/(x)为［1,+向上的增函数,则/■(石)-/(工2)＜0成立求解.

【详解】(1)当0=0时，函数/(x)=x的定义域为R,

对VxeR,/(-X)=-X=-/(%),

所以函数N=/(x)为奇函数；

当"0时，/(x)=x+7的定义域为{x|xwO},

对Vxe{x|xwO},/(—x)=—x+

此时/(-x)=-〃尤),

此时，函数》=/(》)是奇函数;

(2)设马＞为21,

则/(W)一/(苞)=

因为％2＞玉之1,所以玉工2＞1'Xi-X2＜0f

若y=/(x)为［1,+向上的增函数,则〃再)-〃马)＜。成立，

贝”无小2—。＞0成立，所以。＜再々成立，解得

所以实数。的取值范围是aWL

【变式1】对勾函数是形如了=如+*"＞0)的函数，其中x为自变量，是一种类似于反比例函数的一般

双曲函数，因其图象而得名.已知对勾函数＞=x+?后＞0),在区间(0,+s)上的单调性是：在区间(。,五)上

单调递减，在区间(〃,+8)上单调递增.

(1)若对勾函数/(x)=x+g,根据函数单调性的定义证明/(X)在区间[2,+8)上单调递增；

(2)若对勾函数〃x)=x+：,写出函数的单调区间(不必证明)并作出函数〃x)的图象.

4,

丁

1」」，▲A,।A,1»■-一，▲・，▲▲»

5.4-3-2-IO12345x

：.r

1,'A,'

J…

——f」—…

(3)已知对勾函数/1(x)=x+g,k>0,二次函数g(x)=-x2+2x+l,设g(x)的最大值为M,若Vx>0,

f(x)>M,求实数人的取值范围

【答案】(1)证明见解析

⑵单调增区间是(-8,-2]和[2,+8)；单调减区间是[-2,0)和(0,2];图象见解析

⑶口，+8)

【分析】(1)利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证；

(2)结合已知与奇函数的对称性写出单调区间，作出图象；

(3)求出g(x)的最大值为2,将条件转化为Vx>0,〃x)22的恒成立问题，再利用已知函数的单调性,

求出函数的最小值，则由/(初面=2决22可得上的范围.

4

【详解】(1)/(%)=%+-,

任取X],%e[2,+oo),不妨设X]<X2，

因为/'(再)一〃％)=%+"-£一",

再赴X1X2

XX

因为24再<%2，所以再_工2<0，/%2〉0，l2-4>0,所以&一")("%2__11<0,

所以/(占)-/(%)<0,即

所以/（X）在区间［2,小）上单调递增.

（2）函数〃x）的单调增区间是（一巴-2］和［2,+初；单调减区间是［-2,0）和（0,2］；

函数的图象如图：

(3)由题意g(x)=-%2+2x+l=-(1-1)2+2

当X=1时，g(X)max=g(D=2,则M=2,

由Vx>0,/(x)>Af,得Vx>0,X+&22恒成立,

X

由题意知，当左＞0时，/■（x）=x+£在区间（0,6）上单调递减，在区间（祢,+8）上单调递增,

则/'(x)mm=〃扬=2仄

要使/（x）N2在（0,+8）恒成立,则〃尤焉＞2

则2a22,解得上21.

故实数上的取值范围是［1,+8）.

【变式2】已知（双勾函数）/（x）=x+—（a＞0）,（xe7?,x^0）.

y

6

4

2

-6-4-2Z：246

x

o--2

--4

--6

(1)

(2)证明了(x)的奇偶性；

4

(3)画出g(x)=x+1(xeR,xwO)的简图，并直接写出它单调区间.

【解析】(1)设0<玉<x?,

则/(再)-/(*2)=网+-—4广(…

再

则占一/<0，

当0<演<工2<五时，X1X2<a，则再工2-。<0，则0(再)-/(%2)>°，

即/(占)>/卜)，

此时函数/(x)为减函数,

当G<再<马时，xxx2>a,则再看—a〉0，则/(再)一/(%2)<0,

即〃不)<〃”),

此时函数〃X)为增函数.

a

(2)/(-X)=-XH-----XH-----=-/(x),

-XX

则函数”X)为奇函数.

(3)由(1)知结合函数奇偶性和单调性作出函数的图象如图:

由图象和性质知g(x)的单调递增区间为(2,+8),(-8,-2),

单调递减区间为(-2,0),(0,2).

【变式3］已知勾函数y=x+2(a>0)在(-*-。)和(。,+8)内均为增函数，在(一。,0)和(0,。)内均为

减函数.若勾函数/(x)=x+L(/>0)在整数集合Z内为增函数，则实数，的取值范围为.

【答案】(0,2)

【解析】根据题意在卜仁-甸，(〃+对内为增函数；要使〃x)在整数集合Z内为增函数，则

7>00<Z<4

,〃<2即\/解得0<f<2,•••实数f的取值范围为(0,2),故答案为(0,2).

1+Z<2+-

I2

题型3与对勾函数有关的最值问题

【例3】因函数/(x)=x+'(/>0)的图象形状象对勾，我们称形如“/(x)=x+-(Z>0)”的函数为“对勾函数”

该函数具有性质：在(0,4)上是减函数，在(4,+8)上是增函数，若对勾函数〃x)=x+L(f>0)对于任意的

keZ,都有则实数/的最大值为.

3

【答案】y/0.75

4

【分析】由/'(左-3«/(左+3,移项后代入〃x)=x+!f>0),构造新的关系式，对无分类讨论，转化为

22x

恒成立问题即可解决.

1111k___I1__k---=-____1<0

【详解】因为〃左一］)</(左+万)，则〃左一］)-/(左+5"0，2kJ.2A.+l-r_l一，即

当左2--<0,---<k<一,因为左eZ,则无=0,t>---.

4224

当即左时，恒成立，所以区(-一；

424I4

13

综上一/!

所以实数，的最大值为一3.

4

3

故答案为：—

4

【变式1】形如〃司=无+/(a>0)的函数被我们称为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在

(0,⑹上是减函数，在(亚+8)上是增函数.已知函数/(x)=x+?0<aW2)在卜2,_1］上的最大值比最小值

大;，则。=.

【答案】1

【分析】由奇偶性和单调性的综合性得到/(x)在［1,2］上的最大值比最小值大;，根据函数的单调性，讨论

后相对于区间的位置关系来求得最值差构建关于。的方程，求解即可.

【详解】j/(x)为奇函数，且/(x)在［-2,-1］上的最大值比最小值大;，

所以“X)在［1,2］上的最大值比最小值大；.

由对勾函数的性质可得“X)在(0,月上单调减，在(G,+可上单调递增.

当4aW1时，即0<aW1时，

/(%)在［1,2］上单调递增.

则〃4,-一〃1)=2+/-=1一£=

解得"=1.

当1<&4近时，即1<。42时,

在[1,石)上单调递减，在(6.2]上单调递增.

/(X)min=/函)=2&,

因为/(2)-"1)=1-$0,所以〃2)2/(1),

所以/5)皿*一/"心=/(2)-/(五)=2+]-2G=g,

解得“=1(舍去)或9(舍去).

综上a=1,

故答案为：1.

【变式2]已知函数/(x)=-4x-8——二，xe[O,l],g(x)=x2-4mx-2m(m>1),若对于任意再e[O,l],

总存在Xzepl],使得/(xJ=g(X2)成立，则实数加的取值范围为()

A.|',2)B.C.[1,2]D.1,|-

【答案】D

【分析】先利用换元法将函数〃x),转化为了=-4-16,利用双勾函数的性质求得了(x)的值域，根据

二次函数的性质求得g(x)的值域，再根据对于任意再e[O,l],总存在才2«0,1],使得/(xj=g(£)成立，

则由g(x)的值域包含fM的值域求解.

QQ

【详解】/(x)=-4x-8--^-=-4(x-2)-一^--16,xe[O,l],

x—2x—2

xG[0,1],x-2£[-2,-1],

设”x-2,贝打斗一2,-1],则函数/(x)等价为y=-4/-；-16,

由对勾函数的单调性可得，

t已—2,-"^时，y=-4/-；—16单调递减，

时，了=一4/-；-16单调递增，

当仁-；时，函数取得最小值，几m=-4x1十胃-16=6+6-16=-4,

2

97

当,二—2时，)=8-----16=—,当/=_］时，y=4+9-16=-3,

-22

设函数“X)的值域为〃，则函数“X)的值域"=［-4,-3］；

由g(x)=--4mx-2m(m>l'),；.g(x)在［0,1］上是减函数,

则最大值为g(O)=_2：〃，最小值g⑴=1一4加一2加=1一6%，

设g(x)的值域为N,则N=［l-6加,-2间，

若对于任意玉总存在工2目0』，使得〃xj=g(xj成立，

-2m>-3

3

则等价为MqN,即y-6加W—4,解得心加

m>1

一3-

所以实数冽的取值范围是1,-.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：根据对于任意占e［0,1］,总存在％e［0』，使得/(芭)=8卜)成立，得出g(x)的值

域包含“X)的值域，是解决本题的关键.

【变式3】【多选】已知函数〃工)=》+?0>())在［2,4］上的最大值比最小值大1,则。的值可以是()

A.4B.12C.6-472D.6+4及

【答案】AD

【分析】根据对勾函数的单调性，对。进行分类讨论，从而得到。的可能取值.

【详解】依题意可得/'(x)=x+?a>0)在(0,⑹上单调递减，在(G,+可上单调递增，

当&W2,即0<044时〃x)在［2,4］上单调递增，所以/⑺1na="4)=4+(,

〃x)mM=〃2)=2+£,

所以〃x)a-/(虫“=4+:［2+)=2-51,解得0=4；

当五斗，即。216时，“X)在［2,4］上单调递减，所以/(4。=八4)=4+彳，

〃x)1n「〃2)=2+3

所以/(x)max一/(x)1mn=2+£-14+2］=(-2=1,解得0=12,不符合题意,故舍去;

当2〈&<4,即4<“<16时〃x)在［2,可上单调递减，在［也可上单调递增，

所以〃x)mm=/(&)=2五,/Wmax=max{/(2),/(4)},

若4+(>2+事且4<a<16,即4<。<8,〃无)2="4)=4+亍，

所以/(x)ma、-/(x)疝。=4+/-2&=1,解得。=4或。=36,两个解均舍去；

若4+亍《2+三且4<Q<16,即84〃<16,/(x)111ax=/(2)=2+5，

所以/(x)max—/(Hmin=2+,-26=1,解得〃=6+4亚或4=6-4行(舍去)；

综上可得a=6+472或〃=4.

故选：AD

题型4利用对勾函数解决恒成立有解问题

【例4】设函数〃x)=x+fxe［l,3若*eI，3

使得/一。2/(幻成立，则实数。的取值范围是

【答案】(_叫-1］32,+8)

【详解】因为函数/(x)=x+Lxe：,3

X|_2

而函数/(X)在pl为减函数，在［1,3］为增函数，所以"x*"=/⑴=1+1=2,

即函数的最小值为2,又*e1,3,使得"一。24X)成立，则/一

即〃一。之2,解得：a>2^a<-l,

即实数。的取值范围是a22或aW-l,

故答案为：(-oo,-l]u[2,+co)

【变式1]因函数>=x+：(/>。)的图象形状像对勾，我们称形如“y=x+；("。)”的函数为“对勾函数”,

该函数具有性质：在(0,〃]上是减函数，在(〃,+可上是增函数.

(1)若函数"x)=x+}XG[1,2],求/z(x)的最值；

(2)已知〃X)=2X+7J-5,xe[l,3],利用上述性质，求函数了⑺的单调区间和值域；

(3)对于(2)中的函数和函数g(x)=Y=如c+4,若对任意再©[1,3],总存在[1,3],使得

g(X2)=/(%)成立，求实数〃，的取值范围.

【解析】⑴由题意知，函数""一x+(在[1,2]单调递减，

〃(x)min=〃(2)=2+2=4,〃(X)*=力(1)=5;

4

(2)/(x)=2x-l+------4,令21-1=加，

2x—1

4

*.*1<x<3,1<m<5,则/(x)=左(加)=冽+---4,

m

由对勾函数的性质，可得左(加)在口,2]上单调递减，在(2,5]上单调递增，

“⑺在弓上是减函数，在仁,3上是增函数，

"1)=1，/曰""3)=1

-3-

综上可得，“X)的单调递减区间为,

单调递增区间为,值域为[。，|];

「9~1

(3)由(2)知〃xje0,-时，若存在三马1,3],

使得g(x2)=/(xj成立，只需g(x)=x2-加x+4在xe[l,3]上值域包含0,|,

则分成以下四种情况:

Y机C

im「

mym-1<—<31<—<3

—<1—>322

22

I,<>2

g⑴40；<g⑶40;g⑴g⑶

55

g(l”：

g用l<0|<o

[(2,[(2,

解集均为空集，所以加不存在.

【变式2】因函数y=x+!(/>0)的图象形状象对勾，我们称形如“昨％+入》0)”的函数为“对勾函数”该函

XX

数具有性质：在(0,d］上是减函数，在(4,+8)上是增函数.

(1)已知〃x)=2x+7--5,xe［l,3］,利用上述性质，求函数的单调区间和值域；

(2)对于(1)中的函数/(x)和函数g(x)=x2-wx+4,若对任意王€［1,3］,总存在％2引1,3］,使得

g(x2)</(xj成立，求实数机的取值范围.

4

【解析】(1)/(x)=2x-l+----4

2.x—1

^2x-l=m,*.*1<x<3,1<m<5.

4

则f(%)=h［m)=m-\----4

m

由对勾函数的性质，可得〃(加)在［1,2］上单调递减，在(2,5］上单调递增，

...〃》)在［1,。上是减函数，在3］上是增函数.

"1)=1，佃=。，〃3)=|,

3Q9

综上可得，/(X)的单调递减区间为［1,单调递增区间为(5,3］,值域为［0,1］.

「9-1