变量间的相关关系及回归模型-2025高考数学一轮复习（二）

第三节成对数据的统计分析

第1课时变量间的相关关系及回归模型

■课程标准

1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.

2.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.

3.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线

性回归模型参数的最小二乘估计方法.

4.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.

口----------必备知识系统梳理基础重落实---------课前自修

I_____知___识___•__逐____点___夯____实_______________________________________________________________J__________

知识梳理

1.变量的相关关系

(1)相关关系：若两个变量之间有关系，但又不是函数关系，这种关系称为相关关系；

(2)相关关系的分类：①从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，就

称这两个变量________;

②当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量_______；

提醒注意相关关系与函数关系的区别：函数关系是一■种确定的关系，而相关关系是一■种非确定的关系.(3)

线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在附近，就称这两个变量线性

相关.

2.样本相关系数

对于变量X和变量》设经过随机抽样获得的成对样本数据为(X1,%),(X2,>2)，…，Cxn,yn)>若无

与y存在线性相关关系，可用样本相关系数r定量分析它们的相关程度的强弱.

(1)样本相关系数

n__

2(Xi-x)(yi-y)

r=,i=i,:

fn2fn2,

(2)样本相关系数厂的性质

①当厂>0时，称成对样本数据相关；当r<0时，称成对样本数据相关；当厂=0时，称成对样本

数据间没有线性相关关系；

②样本相关系数r的取值范围为.当IrI越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越;

当I川越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越.

3.一元线性回归模型

(1)经验回归直线：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称

两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做经验回归直线；

n_n_

八-z(%i-x)(yi-y)Yxiyi-nxy4

(2)经验回归方程为夕=bx+6,其中------——=吗----—JS=y—hx；

X(%i-x)Xxf—rix

i=li=l

n

(3)通过求。=E(V—2的最小值而得到经验回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的

i=l

距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法.

4.判断回归模型的拟合效果

由成对样本数据(尤"?)(i=l,2,…，w)按照最小二乘法得到经验回归方程夕=6尤+4,其中y叫做观测

值，夕叫做预测值，残差2=y一夕.相对于样本点(孙弘)的随机误差瓦=%—%=%—Cbxi+a).

(1)残差分析法

①作残差图：作图时纵坐标为，横坐标可以选为样本编号，或国数据，或%数据，这样作出的图形称

为残差图；

②残差分析：残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越

窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预报精度越高.

n2

ccZ(力一%)/n\

(2)决定系数(炉)法：R2=IT-----J其中夕=工£%).炉的值越趋近于I,模型的拟合效果越好.

z(.yi-y)\ni=i'

i=l

对点自测

1.判断正误.(正确的画r”，错误的画“x”)

(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.()

(2)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段.()

(3)经验回归直线夕=5尤+a至少经过点(X1,力)，(X2,>2),…，Cxn,yn)中的一个点.()

(4)样本相关系数的绝对值越接近1,成对样本数据的线性相关程度越强.()

2.两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关

系是()

A.①②③B.②③①

C.②①③D.①③②

3.对于尤，y两变量，有四组成对样本数据，分别算出它们的样本相关系数厂如下，则线性相关性最强的是

()

A.-0.82B.0.78

C.-0.69D.-0.87

4.在对两个变量x,y进行回归分析时有下列步骤：①对所求出的经验回归方程作出解释；②收集数据(沏,

9)，i=l,2,n；③求经验回归方程；④根据所收集的数据绘制散点图.则下列操作顺序正确的是

()

A.①②④③B.③②④①

C.②③①④D.②④③①

5.已知尤，y的取值如下表，已知y与x具有线性相关关系，且经验回归方程为9=0.95戈+4,贝值=.

X0134

y2.24.34.86.7

尸考点•分类突破口----------精选考点典例研析技法重悟通---------T课堂演练

1—________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

变量间相关关系的判断

(师生共研过关

【例1】(1)某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：

月份123456

人均销售额658347

利润率(%)12.610.418.53.08.116.3

根据表中数据，下列说法正确的是()

A.利润率与人均销售额成正比例函数关系B.利润率与人均销售额成反比例函数关系

C.利润率与人均销售额成正相关关系D.利润率与人均销售额成负相关关系

(2)已知变量x和y满足关系y=-0.卜+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是()

A.x与y正相关，％与z负相关B.尤与y正相关，尤与z正相关

C.x与y负相关，x与z负相关D.x与y负相关，x与z正相关

听课记录_______________________________

解题技法

判定两个变量相关性的方法

(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相

关；

(2)样本相关系数：当厂>0时，正相关；当r<0时，负相关；|川越接近于1,相关性越强；

(3)经验回归方程：当时，正相关；当B<0时，负相关.

E训练

1.下列关系不属于相关关系的是()

A.森林中的同一类树木，其横截面直径与高度之间的关系

B.球的体积与表面积的关系

C.父母的身高与子女身高的关系

D.人的身高与体重的关系

2.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是()

3535

303()

2525

2020

1515

1()1()

5.3

00

51()1520253()355101520253035

样本相关系数为。样本相关系数为二

(1)(2)

3533

3()30

2525

2020

1515

1()1()

55

00

51()152025303551()1520253035

样本相关系数为7样本相关系数为。

(3)(4)

A.r2<^4<0<f3<riB.r4<^r2<0<ri<F3

C.r4<r2<0<r3<nD.r2<r4<0<ri<r3

1考点二

【例2】(2022•全国乙卷19题)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种

树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：

m3),得到如下数据：

样本号，12345678910总和

根部横截

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

面积尤

材积量》0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得£婷=0.038,23^=1.6158,2%M=0.2474.

i=li=li=l

(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；

(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知

树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

Z(xi-x)(yi-y)

附:相关系数i=l=,VL896=1.377.

r=In2n

2

z(咫一元)x(刃一歹)

i=li=i

解题技法

样本相关系数厂的统计含义及应用

(1)由r的正、负可判断成对样本数据中两相关变量是正相关还是负相关；

(2)可根据IrI的大小从量的角度判断成对样本数据是否具有线性相关性，进而可知能否用经验回归方程进

行分析和预测；

(3)当I*W0.25时，即便求得了经验回归方程也没有任何统计意义.

Q训练

某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，

将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数

据(尤,•，9)(/=1,2,…，20),其中即和9分别表示第，个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野

2020202020

生动物的数量，并计算得Z苍=60,29=1200,Z(汨一元产=80,2(M—歹)2=9000,£(%,—%)(%

i=li=li=li=li=l

-y)=800.

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数

乘以地块数)；

(2)求样本(xi,yi)(z=l,2,20)的相关系数(精确到0.01)；

(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数

量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

n__

Z(%i-x)(yi-y)

附：r=I匚1，V2-1.414.

n2n、2

Z(Xi-x)Z(”一歹)

Ji=ii=i

经验回归模型

(定向精析突破

考向7线性经验回归问题

【例3】某研究机构为调查人的最大可视距离y(单位：米)和年龄无(单位：岁)之间的关系，对不同年

龄的志愿者进行了研究，收集数据得到下表：

X2025303540

y167160150143130

(1)根据上表提供的数据，求出y关于x的经验回归方程；

(2)根据(1)中求出的经验回归方程，估计年龄为50岁的人的最大可视距离.

nn__

八I(芍一元)(“一?)Ixiyi-nxy

参考公式：经验回归方程夕=以+6中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=j----------------------

X(%i—x)Xxf—nx2

i=li=l

a=y-bx.

解题技法

线性回归分析问题的解题策略

(1)利用公式，求出回归系数有；

(2)利用经验回归直线过样本点的中心求系数式；

（3）利用经验回归方程进行预测，把回归方程看作一次函数，将解释变量x的值代入，得到预测变量夕的值.

考向2非线性经验回归问题

【例4】“绿水青山就是金山银山”的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展.以下表格和散点图反映了近几

年某新能源汽车的年销售量情况.

年份20192020202120222023

年份代码X12345

某新能源汽车年销售量y/万辆1.55.917.732.955.6

60:年销售量y/万辆

*

40■

*

20•

*

02345屋份代码工

（1）请根据散点图判断，y^bx+a与中哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类

型；（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于尤的经验回归方程，并预测2024年该新能源汽车的年销

售量精确到0.1）

55

参考数据：9=22.72,2（W,—iv）2=374,工（w,—w）（j,—y）=851.2（其中阴=婢）.

i=li=l

解题技法

有些非线性回归分析问题并不给出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函

数（赛函数、指数函数、对数函数等）的图象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，用适当的变

量进行变换，如通过换元或取对数等方法，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决.

q训练

1.已知变量X与》且观测数据如下表（其中6.5>44>6>1,a+b=6）,则由该观测数据算得的经验回归

方程可能是（）

X12345

y6.5a4b1

A.y=0.4A-+2.3B.y=2x~2.4

C.y=-2x+9.5D.夕=-0.3尤+0.44

2.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9义9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数

字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3X3）内的数字均含1〜9,且不重复.数独爱好者小明打算报名

参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛，赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平

均速度y（秒）与训练天数无（天）有关，经统计得到如表的数据：

X（天）1234567

y（秒）990990450320300240210

（1）现用y=a+2作为经验回归模型，请利用表中数据，求出该经验回归方程；

（2）请用第（1）题的结论预测，小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒?

77

笏考数据（其中ti=E）：Z砂尸1845,£=0.37,2珞―7冒=0.55.

参考公式：对于一组数据（两，VI）,（"2,V2），…，（说，%），其经验回归直线。=2+6"的斜率和截距

n

XuiV[—nuv

的最小二乘估计公式分别为6=弓----一，a=v-pu.

Xuf—nu2

i=l

刻画拟合效果

（师生共研过关

【例5】假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下:

X15.025.830.036.644.4

y39.442.942.943.149.2

若由最小二乘法计算得经验回归方程为y=0.29x+347

（1）计算各组残差，并计算残差平方和；

（2）求出，并说明回归模型拟合效果的好坏.

5

参考数据：20一歹）2=50.18.

i=l

解题技法

刻画拟合效果的三种方法

（1）残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适；

（2）残差平方和法：残差平方和£（%—%）之越小，模型的拟合效果越好；

i=l

n2

CI（月一9i）

（3）决定系数法：K=1一早-------越接近1,表明模型的拟合效果越好.

I（力一步）

i=l

E训练

1.在一元线性回归模型¥=法+。+«中，下列说法正确的是（）

A.Y=bx+a+e是一次函数

B.响应变量y是由解释变量尤唯一确定的

C.响应变量y除了受解释变量X的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生

D.随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生

2.现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本和

企业利润的数据（单位：万元）如下表所示：

月份1234

物流成本尤83