北师大版九年级上册数学期末考试试卷及答案解析

北师大版九年级上册数学期末考试试题

一、选择题。(每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分)

1.下列各点中，在函数y=-£图象上的是()

X

A.(-2,-4)B.(2,3)C.(—1,6)D.

2.在RtAABC中，ZC=90°,如果AB=2,BC=1,那么sinA的值是()

A.1B.好C.2D.也

2532

3.下列■元二次方程中，有两个相等的实数根的是()

A.x*12+3l=0B.9X2-6X+1=0C.X2-X+2=0D.X2-2X-3=0

4.如图，平行四边形ABCD中，EF〃:BC,AE：EB=2：3,EF=4,则AD的长为()

16

A.B.8C.10D.16

5.如图，在直角坐标系中，有两点A(6,3)、B(6,0).以原点。为位似中心，相似比为;,

在第一象限内把线段缩小后得到线段CZ),则点C的坐标为()

0|D3

A.(2,1)B.(2,0)C.(3,3)D.(3,1)

6.已知反比例函数丫=工，下列结论中不正确的是()

X

A.图象经过点(-1,-1)B.图象在第一、三象限

C.当x>l时，OvyvlD.当x<0时，y随着x的增大而增大

11

7.若方程x2—3x—l=o的两根为XI、X2,则£+1的值为()

A.3B.—3C.-D.——

33

8.如果AABCSADE;"A、5分别对应。、E,且那么下列等式一定成

1

立的是（）

A.BC:DE=1:2B.AABC的面积：ADEF的面积=1:2

C.NA的度数：NO的度数=1:2D.AABC的周长：AD£F的周长=1:2

9.如图，在长20米，宽12米的矩形ABC。空地中，修建4条宽度相等且都与矩形的各边

垂直的小路，4条路围成的中间部分恰好是个正方形，且边长是路宽的2倍，小路的总面积

是40平方米，若设小路的宽是尤米，根据题意列方程，正确的是（）

A.32x+2N=40B.x(32+4x)=40

C.64尤+4N=40D.64x-4x2=40

10.如图，在四边形ABCD中，BD平分/ABC,ZBAD=ZBDC=90°,E为BC的中点,

AE与BD相交于点E若BC=4,ZCBD=30°,则DF的长为（）

C.沙

B.D.

3

二、填空题

11.将方程2X2=1-3X化为一般形式是

12.如果两个相似三角形的面积比是1：9,那么这两个三角形的相似比是

13.某商品原售价300元，经过连续两次降价后售价为260元，设平均每次降价的百分率为

x,则满足x的方程是.

14.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=l：2.4,如果它把物体送到离地面10米高的地

方，那么物体所经过的路程为米.

15.如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线y=W在第一象限内的图象经过

2

OB边的中点C,则点B的坐标是

k

16.如图，点A,3是反比例函数y=—(x>0)图象上的两点，过点A、3分别作轴于

x

点C,双Ux轴于点。，连接.已知点c(2,0),3D=2,SBC»=3,则sAOC=.

三、解答题

17.解方程：

(1)%2-4%-1=0

(2)龙(2x-3)=4x-6

18.已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根.

(1)求k的取值范围；

(2)如果一元二次方程x2-4x+k=0有一个根是3,求另一个根和k的值.

19.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售,

一个月能售出500kg,销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg,针对这种水产品情况，商

品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为

多少？

3

20.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=T的图象相较于A(2,3),B(-3,n)两

点.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)根据所给条件，请直接写出不等式kx+b>T的解集;

(3)过点B作BCLx轴，垂足为C,求SAABC.

21.如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高3c是10米，坡面AC的倾斜角

ZC4B=45°,在距A点10米处有一建筑物HQ.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定

降低坡度，使新坡面。C的倾斜角/或心=30。，若新坡面下。处与建筑物之间需留下至少3

米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数).

(参考数据：V2=1.414,6^1.732)

22.在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，连接CH并延长交AB于点G,

连接GE并延长交AD的延长线于点F.

ECEH

(1)求证:

BG-BH

pTTAR

（2）若黑=3,ZCGF=90°,求黑的值.

BHBC

4

23.如图，在矩形ABC。中，E,B分别是对角线AC上的两点，且4石=£/=/。，连接BE,

DE,BF,DF.

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形;

(2)求证：CD2+3DE2是定值.

24.如图，矩形A3C。中，AB=8,BC=4.点E在边A2上，点尸在边CD上，点、G、H

在对角线AC上.若四边形EGM是菱形，求AE的长.

与y轴交于点8，反比例函数yi='(尤＞0)

X

的图象经过线段A8的中点C.

(1)求反比例函数的表达式;

5

2

(2)将直线y=-§x+4向右平移4个单位长度后得到直线”=改+〃,直线”交无轴于点。,

k

交反比例函数刈=一(x>0)的图象于点E,F,连接CE,CF,求ACE尸的面积；

x

(3)请结合图象，直接写出不等式力<”的解集.

参考答案

1.C

【解析】

把各点代入解析式即可判断.

【详解】

A.：(—2)x(—4)=洋一6,...此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

B.：2x3=6W—6,...此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

C.—1)x6=—6,...此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；

D.=—6,...此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误.

故选C.

【点睛】

此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是将各点代入解析式.

2.A

【解析】

根据题意画图：

6

B

由题意得：

,BCi

sinAA=----=；.

AB2

故选A.

3.B

【详解】

A、△=0-4xlxl=-4<0,没有实数根；

B、A=62-4x9x1=0,有两个相等的实数根；

C、△=(-1)2-4x1x2=-7<0,没有实数根；

D、A=(-2)2-4xlx(-2)=12>0,有两个不相等的实数根.

故选B.

4.C

【分析】

根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，可证明

△AEF^AABC,再根据相似三角形的对应边成比例可解得BC的长，而在口ABCD中，

AD=BC,问题得解.

【详解】

解：VEF/7BC

.".△AEF^AABC,

；.EF：BC=AE：AB,

VAE：EB=2：3,

；.AE：AB=2：5,

VEF=4,

.'.4：BC=2：5,

.*.BC=10,

V四边形ABCD是平行四边形,

7

.".AD=BC=10.

【点睛】

本题考查（1）、相似三角形的判定与性质；（2）、平行四边形的性质.

5.A

【分析】

根据位似变换的性质可知，AODCS^OBA,相似比是:，根据已知数据可以求出点C的

坐标.

【详解】

由题意得，△ODCsMOBA,相似比是g,

.OPDC

••丽一瓦’

又03=6,AB=3,

A0D=2,CD=1,

・••点C的坐标为：（2,1）,

故选A.

【点睛】

本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的

关系的应用.

6.D

【分析】

根据反比例函数的性质，利用排除法求解.

【详解】

解：A、x=-l,y===-l,...图象经过点（-1,-1）,正确；

B、•.沌=1>0,...图象在第一、三象限，正确；

C、,.,k=l>0,.,.图象在第一象限内y随x的增大而减小，.,.当x>l时，0<y<l,正确;

D、应为当x<0时，y随着x的增大而减小，错误.

故选D.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，当k>0时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y

8

的值随X的值的增大而减小.

7.B

【解析】

hc

由根与系数的关系得：Xl+X2=---=3,X1«X2=—=-1.

aa

11x,+x,

1=-=-3.故选B.

Xjx2xtx2

8.D

【分析】

相似三角形对应边的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，对应角相等.

【详解】

根据相似三角形性质可得：A：BC和DE不是对应边，故错；B：面积比应该是1:4,故错；

C:对应角相等，故错；D：周长比等于相似比，故正确.

故选：D

【点睛】

考核知识点：相似三角形性质.理解基本性质是关键.

9.B

【分析】

设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为2x米，根据小路的横向总长度(20+2x)米和纵

向总长度(12+2x)米，根据矩形的面积公式可得到方程.

【详解】

解：设道路宽为x米，则中间正方形的边长为2x米，

依题意，得：x(20+2x+12+2x)=40,

即x(32+4x)=40,

故选：B.

【点睛】

考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到该小路的总的长度，利用矩形的面积公式列

出方程并解答.

10.D

【分析】

先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD,再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2,

9

即：ZBDE=ZABD,进而判断出DE〃AB,再求出AB=3,即可得出结论.

【详解】

如图，

在RtABDC中，BC=4,ZDBC=30°,

；.BD=26，

连接DE,

7ZBDC=90°,点D是BC中点，

.,.DE=BE=CE=-BC=2,

2

ZDCB=30°,

.,.ZBDE=ZDBC=30°,

VBD平分/ABC,

/.ZABD=ZDBC,

ZABD=ZBDE,

ADE//AB,

ADEF^ABAF,

.DFDE

••薪一花’

在RtAABD中，ZABD=30°,BD=2石,

；.AB=3,

,DF2

••，

BF3

.DF2

••，

BD5

.*.DF=-BD=-X2A/3

555

故选D.

【点睛】

此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质，角平分线的定

10

义，判断出DE〃是解本题的关键.

11.2x2+3x-l=0

【分析】

一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且存0).

【详解】

解：方程2x2=l-3x化为一般形式是：2x2+3x-l=0.

故答案是：2x2+3x-l=0.

【点睛】

一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a，0)特别要注意a邦的条件.这

是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax?叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其

中a,b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.

12.1：3

【解析】

【分析】

由两个相似三角形的面积比是1：9,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求

得答案.

【详解】

解：：两个相似三角形的面积比是1：9,

这两个三角形的相似比是：1：3.

故答案为：1：3.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质.此题比较简单，注意掌握定理的应用是解此题的关键.

13.300(1-%)2=260.

【分析】

根据降价后的售价=降价前的售价x(1-平均每次降价的百分率)，可得降价一次后的售价是

300(1-%),降价一次后的售价是300(1-x)2,再根据经过连续两次降价后售价为260元即得

方程.

【详解】

解：由题意可列方程为300(1-尤了=260

11

故答案为：300(1-x)2=260.

【点睛】

本题考查一元二次方程的实际应用，增长率问题，解题的关键是读懂题意，找到等量关系,

正确列出方程，要注意增长的基础.

14.26.

【详解】

试题解析：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=l：2.4,AE=10米，AEJ_BD,

；.BE=24米，

.•.在RtAABE中，AB=7AE2+BE2=26（米）.

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

15.（2,273）

【解析】

过点C作CE_Lx轴，垂足为E,设点C的坐标为（a,b）（a>0）,：点C在双曲线y=走

X

上，，ab=7^,又△OAB是等边三角形，.\ZBOA=60°,在RtAOCE中，tan60°=—二—

OEa

—y/3,••b—二a,••3.—1,b—y/3,:点c是OB的中点，，点B的坐标是（2,26）.

।B

IA»

]0E7

16.5

12

【分析】

由血=2,5^8=3可求得。。的长，从而可得。。的长，即可得点。的坐标，再由点8

在反比例函数的图象上，可求得左的值，根据左的几何意义，由此求得结果.

【详解】

VBD=2,S,BCD=；CD・BD=3

CD=3

•：C(2,0)

：.0C=2

：.OD=OC+CD=2+3=5

：.B(5⑵

；B点在反比例函数＞=々尤＞0)的图象上

X

.*.^=xy=5x2=10

y=—(x＞0)

x

SAOC=1|^|=1X10=5

故答案为：5.

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，图形的面积等知识，关键是求出A、B的坐标.

3

17.(1)芯=2+y/S,%=2—yfS;(2)玉=5,4=2

【分析】

(1)利用配方法解一元二次方程即可；

(2)利用因式分解的方法解一元二次方程即可.

【详解】

解：(1)X2—4x=l

x2—4%+4=5

.•.(X-2)2=5

x—2=土

x=2±逐

13

x1=2+^5，Xrf=2-y/s

（2）x（2x-3）=4x-6

x（2x-3）-2（2x-3）=0

（2x-3）（x-2）=0

2x—3=0,或x—2=0

【点睛】

本题主要考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一

元二次方程的方法.

18.(1)k<4；(2)1,k=3.

【解析】

【分析】

(1)根据方程有两个不相等的实数根可得出△>0,求出k的取值范围即可；

(2)将x=3代入已知方程求得k的值，利用根与系数的关系直接得到方程的另一根.

【详解】

解：(1):一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，

(-4)2-4k>0,

.*.k<4；

(2)设一元二次方程xJ4x+k=0的另一根为a,由根与系数的关系得：a+3=4,则a=l.

把x=3代入x2-4x+k=0,得32-4x3+k=0.

解得k=3.

综上所述，方程的另一根是1,k的值是3.

【点睛】

本题考查的是根与系数的关系及根的判别式，在解答此题时要熟知熟知一元二次方程

y=ax?+bx+c中，①当△>()时，方程有两个不相等的两个实数根；②xi+x2=-—,x〃X2=一.

aa

19.销售单价为80元.

【分析】

设每件需涨价的钱数为x元，每天获利y元，则可求出利润y与降价x之间的方程，然后解

14

出X,进而结合成本不超过10000元得出X的值.

【详解】

解:设每件需涨价x元，则销售价为(50+x)元.月销售利润为y元.

由利润=(售价-进价)x销售量，可得8000=(50+X-40)x(500-10x),

解得xi=10,X2=30.

当XI=10时，销售价为60元，月销售量为400千克，则成本价为40x400=16000(元)，超

过了10000兀，不合题意，舍去；

当X2=30时，销售价为80元，月销售量为200千克，则成本价为40x200=8000(元)，低于

10000元，符合题意.

答：销售单价为80元.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，根据每天的利润=一件的利润x销售量，进而建立等式是

解题关键.

20.(1)反比例函数的解析式为：y=?,一次函数的解析式为：y=x+l；

(2)-3<x<0或x>2；

(3)5.

【分析】

(1)根据点A位于反比例函数的图象上，利用待定系数法求出反比例函数解析式，将点B

坐标代入反比例函数解析式，求出n的值，进而求出一次函数解析式

(2)根据点A和点B的坐标及图象特点，即可求出反比例函数值大于一次函数值时x的取

值范围

(3)由点A和点B的坐标求得三角形以BC为底的高是10,从而求得三角形ABC的面积

【详解】

解：⑴:点A(2,3)在y=T的图象上，.♦.m=6,

反比例函数的解析式为：y=3

VA(2,3),B(-3,-2)两点在y=kx+b上,

15

J3=2立+b

1-2=-3k+b

:.一次函数的解析式为：y=x+l；

(2)由图象可知-3<x<。或x>2；

(3)以BC为底，则BC边上的高为3+2=5,

21.该建筑物需要拆除.

【详解】

分析：根据正切的定义分别求出AB、DB的长，结合图形求出DH,比较即可.

详解：由题意得，A〃=10米，BC=10米，

在用AABC中，ZCAB=45°,

AB=3C=10,

在R/AD3c中，NCDB=30。,

：.DB=———=10^/3,

tanZCDB

Z.DH=AH-AD=AH-(DB-AB)=10-10g+10=20-10百土2.7(米)，

,.12.7米<3米，

该建筑物需要拆除.

点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记

特殊角的三角函数值是解题的关键.

AR

22.(1)见解析；(2)—=35/2.

16

【解析】

【分析】

(1)根据GB〃CE即可得到ABJIGsAEHC,于是可得对应边成比例，即可得证；

(2)根据RtABGCsRsGCE,由边的关系可得CG2=GB・CE,BC2+BG2=CG2,可

AD

得出CB与GB的关系，而AB=2CE=6BG,从而可求右的值.

BC

【详解】

解(1)证明：・・•四边形ABCD是矩形，

ABG/7CE

AABHG^AEHC

.ECEH

**BG-BH

即得证.

(2)\・BG〃CE

.'.ZECG=ZCGB,

而NCGE=NGBC=90。,

.'.RtABGC^RtAGCE

.CGCE

*GB-GC

.*.CG2=GB-CE

.EHECc

而由(1)知=="=3

BHBCJ

・・・CE=3BG

.\CG2=3BG2

而由勾股定理可知CG2=CB?+BG2,于是可得

3BG2=CB2+BG2

.*.CB=V2BG

又：E为CD的中点，

；.AB=CD=2CE=6BG

.AB6BG"「

・•丽=耳前=3及

AR

故罪的值为3万.

【点睛】

17

本题考查了相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例进行计算转化是解题的关键.

23.(1)证明见解析；(2)证明见解析

【分析】

(1)只需要证明△ABE1四尸和△AOE之CBF,即可得到ED=BF,从而得证；

(2)设，CD=a,AC=c，过E作EM1AD于M,,再利用AE=EF=FC得到AC=3AE,

即可得到S"s=3S△诋，即可得到再用勾股定理求出AM=得到

2

DMAD-AM^-b,最后利用勾股定理分别求出DE2=EM2+DM2，CD2=AC2-AD2从

而得到Cr>2+3£>E2,即可证明.

【详解】

解：(1)•四边形ABC。是矩形

：.AB=CD,AB//CD

：.ZBAE=ZDCF,

X'-'A£=CF

AABE^CDF(SAS)

：.BE=DF

同理AAOE0cB尸(SAS)

：.ED=BF

四边形BEDF是平行四边形；

(2)设AT>=8,CD=a,AC=c,过E作于M

VEMIAD,

**./\S/X人rAA)FD2=一AD»EM

■:AE=EF=FC

：.AC=3AE

••^/\ACD~^^/\AED

18

3x-AD.ME=-AD.CD

22

/.EM=-CD=-a

AC2=AD2+DC2

b2+a2=c2

：.AM=-b

3

2

：.DM=AD-AM=-b

3

由勾股定理得：DE2=EM2+DM2=|a2+^b2

CD2^AC2-AD2^c2-b2

：.CD2+3DE2=c2-b2+-a2+-b2=c2+-(a2+b2^-c2=-AC2

3331733

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握

相关知识进行求解.

24.5.

【分析】

连接EE交AC于O,由四边形EGF”是菱形，得至IJEFLAC,OE=OF,由于四边形ABC。

是矩形，得至IJ/B=/Z)=90°,AB//CD,通过△CFO^^AEO,得到AO=CO,求出AO=；AC

=26,根据△AOES^ABC,即可得到结果.

【详解】

解；连接所交AC于。，

19

：.EF.LAC,OE=OF,

••,四边形ABC。是矩形，

：.ZB=ZD=90°,ABIICD,

：.ZACD=ZCAB,

NFCO=ZOAB

在小CFO与AAOE中，,ZFOC=ZAOE,

OF=OE

：./\CFO^^\AEO(AAS),

；.AO=CO,

•••AC=YIAB2+BC2=475，

：.AO=^AC=2y/5,

,：ZCAB^ZCAB,ZAOE^ZB^90°,

：.△AOEsAABC,

,AOAE

■*AB-AC)

.2石AE

••丁运

：.AE=5.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定

理是解题的关键