北京市海淀区2024-2025学年高三年级上册期中练习数学试题【含解析】

北京市海淀区2024-2025学年高三上学期期中练习数学试题

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无

效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知集合/={#<°或久>1},82,0」,2},则如5=（）

A.{-2,2}B.{-2,1,2}C.{-2,0,2}D.{-2,0,1,2}

【答案】C

【解析】

【分析】利用交集的定义可求得集合

【详解】因为集合幺={#<0或久>1},5={-2,0,1,2},则=2,0,2}.

故选：C.

2.若复数Z满足i.z=l—i,则2=（）

A.1+iB.-1+iC.1-iD.-1-i

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算计算即得.

【详解】由i-z=l—i,得—i2-z=（l—i>（—i）,所以z=—1—i.

故选：D

3.若。<6<0,则下列不等式成立的是（)

baba、

A.a1<b1B.a1<abC.->-D.-+->2

abab

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的性质及基本不等式，逐项分析即可得解.

【详解】因为。<6<0,

所以—a>—b〉0,所以（一。）2〉（一6）2,即/〉〃，故A错误;

因为q<Z?vO,所以孑>ab，故B错误;

由A知/〉/,两边同乘以正数工，则f〉2,故c错误;

abba

因为a<b<0,所以f〉0,2〉0,所以2+322、口•巴=2（a手b,等号不成立）,

baab\ab

故—I—>2,故D正确.

ab

故选：D

4.已知/（力=业，则/'马=（）

cosx<4J

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】求出函数的导函数，计算得解.

【详解】因为/（》）=",

COSX

cos2x+s•m?x1

所以/'(x)=

cos2Xcos2X

2

故选：B

5.下列不等式成立的是（）

0203

A.log030.2<1B.O.3<1C.log030.2<0D.O.2>1

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断各选项即可.

【详解】因为函数y=logo,3X在（0，+。）上单调递减，

所以logo.30.2>logo,30.3=1,logo,30.2>logo.31=0,故AC错误;

因为函数y=0.3、在R上单调递减,

所以0.3°,2<03°=1，故B正确；

因为函数了=0.2，在R上单调递减,

所以0.2°3<0.2°=1，故D错误.

故选：B.

-2

xxNa

6.若/(x)=<'-'在R上为增函数，则。的取值范围是()

[2x+3,x<a

A.工+。)B.[3,+oo)C.[-1,3]D.(-®,-l]U[3,+co)

【答案】B

【解析】

【分析】根据分段函数的单调性列式运算得解.

【详解】因为/(x)是R上单调递增函数，

«>0

所以〈2c」解得

a1>2^+3

所以实数。的取值范围为[3,+00).

故选：B.

7.已知向量£=(x,l)》=(-l,y),则下列等式中，有且仅有一组实数x,y使其成立的是()

A.a-S=0B.|a|+|S|=2C.|a|=向D.\a+b\^2

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算，向量的模，向量的数量积，建立方程，分析方程的解的个数即可得出答案.

【详解】当鼠3=0时，—x+y=0,有无数组解，故A错误；

当日+⑻=2时，&+1+,1+产=2,因为6+121,71+「.1，

所以+22,当且仅当》=>=0时，等号成立，

故方程有且仅有一组解，故B正确；

当0|=历|时，G+1=J1+/,当了=>或x=-了时方程成立，方程有无数组解，故C错误；

当0+加=2时，即加_1)2+(1+»=2,即(X—1『+(1+田2=4,方程有无数组解，故D错误.

故选：B

8.大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差(一天

气温的最高值与最低值之差).下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、

乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（）

小气温/C

24---------

O\6121824时商/时

A.由上图推测，甲地的绿化好于乙地

B.当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率

C.当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率

D.当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同

【答案】C

【解析】

【分析】结合图中数据分析一一判断各选项即可.

【详解】对于A,由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差，

所以甲地的绿化好于乙地，故A正确；

对于B,由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大，

所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确；

对于C,由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大，

所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误；

对于D,由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确.

故选：C.

9.设无穷等差数列｛%｝的前〃项积为7；.若为<0,则“7；有最大值”是“公差420”的（）

A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】分析公差d>0,d=0,d<0三种情况，当d=0,d<0时7；无最大值，当d〉0时,

不一有最大值，即可得出论

【详解】对于无穷等差数列｛即｝，由于为<0，

当d〉0时，若数列中小于0的项为偶数项，且数列中无0时，显然北没有最大值,

当d=0时，数列为常数列，当可不等于-1时，T“=a；,无最大值，

所以公差d>0不能推出T„有最大值，

当d<0时，％,<0,所以|图趋于正无穷，｛1｝为正负间隔的摆动数列，没有最大值,

所以当(有最大值时，只能d»0,

综上，“北有最大值”是“公差c/>0”的充分不必要条件，

故选：A

10.已知数列｛47｝满足。"+1=7乜0(1-%)(〃=1,2,3,・一),为€(0,1),则()

A.当r=2时，存在〃使得见,21

B.当尸=3时，存在〃使得%<0

C.当厂=3时，存在正整数N,当〃〉N时，an+l>an

D.当r=2时，存在正整数N,当"〉N时，an+x-an<-^—

,"2024

【答案】D

【解析】

【分析】需要根据给定的「值，分析数列｛4｝的性质.通过对递推式的分析和一些特殊情况的探讨，结合二次

函数的性质来判断每个选项的正确性.

【详解】对于A选项，当\=2时,a用=2%—

令/(%)=2x(1-x)=-2x2+2x,xe(0,1).

对于二次函数y=—2/+2X,其对称轴为x=g,最大值为/(；)=g.

因为%e(0,1),由递推关系可知e(0,1),所以不存在〃使得凡A选项错误.

对于B选项，当r=3时，an+i=3an(l-an).

令％=xe(0,1),y=3x(1-x)=-3x2+3x.

因为y=—3/+3x的值域为(0,3],且％e(0,l),所以由递推关系可知a.e(0,1),不存在〃使得

<0,B选项错误.

对于C选项，当尸=3时,an+i=3an(l-an).

令%=X£(0,1),y=3x(1-x)=-3x2+3x.

设%=3%an=2an-3a；.

令g(x)=2x—3/,xe(0,l),g(x)对称轴为x=1,g(x)在(0,；)上递增，在(；,1)上递减.

当xe(0,1)时，g(x)的值不是恒大于0的，所以不存在正整数N,当〃〉N时，an+x>an,C选项错误.

对于D选项，当外=2时，4+1=2a“(l—4).

设b“=an+l-an=2a“(1—%)-%=an-2a：.

因为a〃e(0,l),y=—2/+x在(0,；)上递增，在(；1)上递减.

当«足够大时，an会趋近于某个值a(0<a<1),此时bn=an+1-an会趋近于0.

所以存在正整数N,当n>N时，an+i-an<-^—,D选项正确.

2024

故选：D.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

II.已知10"=2,10"=5,则a+b=.

【答案】1

【解析】

【分析】根据对数的运算求解.

【详解】因为10"=2,10:5,

所以a=lg2,b=lg5,

故。+6=怆2+怆5=怆10=1,

故答案为：1

7T

12.在平面直角坐标系xQy中，角a的终边经过点尸(2,1).若角a的终边逆时针旋转,得到角4的终边，

则sin0=.

【答案】拽##2指

55

【解析】

【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解.

【详解】因为角a的终边经过点尸(2,1),

,,2275

所ce以cosa='.二----，

V22+l25

又A=tz+5,

所以sin尸=sin[0+]]=cosa=~~~

故答案为：2叵

5

13.如图所示，四点Q4瓦C在正方形网格的格点处.若反=2厉+〃砺，则4=，〃=

2_1

【答案】①.§-

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得解.

【详解】建立平面直角坐标系，如图，

则0(0,0),4(3,6),0(4,5),3(6,3),

所以双=(4,5),E=(3,6),砺=(6,3),

^OC=WA+nOB可得(4,5)=2(3,6)+“6,3),

34+6M=412

即《解得"=-,2,

64+3M=533

—121

故答案为：一；一

33

14.已知函数/(x)=sin(s+夕)]。>0」"|<曰满足/(x)>一2/(0)恒成立.

①。的取值范围是；

-2/(0),则。的最小值为

JT7T一

【答案】①.—<(p<—②.2

62

【解析】

【分析】根据题意可知-2/(0)<-1一27(0)确定了-1,

解出。，由。>0可得最小值.

【详解】因为/(x)=sin(ox+。)，所以/(x)min=-1

所以由/(x)>-2/(0)可得—2/(0)<-1,

即/(0)=sin^>^-,

兀兀兀

由|。|<一可知，一v0<一,

262

因为%V/(O)<1,所以—2<—2/(O)<—1,

2兀

因为一所以由/-27(0)可知-2/(0)=-1,

即/⑼=sin0=；,^=~

,,„./2兀1.(271兀、1LLlI2兀71兀27r

此时f\——sin—coH———1,所以—co-\——---卜2kekeZ,

V3J<36)362

解得刃=3E—11£Z,又。>0,所以端皿二？.

JTJT

故答案为：—<(p<—；2

62

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对正弦函数最值的理解，理解了正弦函数最值就能根据

/(X)2-2/(0)恒成立转化为—2/(0)<-1,也能根据/fyl=-2/(0)转化出/[g]=-1.

15.已知函数/(x)=ln'+l),其定义域记为集合。，凡be。，给出下列四个结论：

Inx

①。={x|x〉0且x片1}；

②若。6=1,则"(a)—/(b)|>1；

③存在awb,使得在(a)=/(6)；

④对任意。，存在b使得/(a)+/S)=L

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】根据解析式求定义域判断①，利用对数运算化简及对数函数的单调性判断②，求函数导数,

利用导数分析函数的单调性及范围可判断③，取6=工后利用对数运算化简可判断④.

a

ln(x+1)x+1>0

【详解】由/a)=T—^知，八且xwi,解得x>0且xw1,

Inx[x>0

所以{x|x>0且xwl},故①正确；

ln(a+l)+ln(』+l]

ln(a+l)+

当必=1时，/⑷_/s)=T~)一--取1=

吊。ln-3-Ina

a

In|2+H—|/、

Ia)i八”，

=,y=logl2+a+

InaIaJ

因为2+QH—>一，当0<a<l时，logJ2+aH-]<-1,

aa\a)

当1<4时，因为2+Q+，〉Q,logj2+6Z+-|>1,

a\aJ

所以log(2+a+：]〉1,故②正确；

Inxln(x+1)

=x+1X=xlnx-(x+l)ln(x+l),当0<x<l时，xlnx<0,(x+l)ln(x+l)>0,

In2xx(x+l)ln2x

所以xlnx-(x+l)ln(x+l)<0,又x(x+l)ln2x>0,所以/'(x)<0,/(x)在(0,1)上

单调递减，当x〉l时，y=xlnx单调递增，所以xlnx<(x+l)ln(x+l),

同理可得/'(x)<0，/(x)在(1,+8)上单调递减，

又xf0时，lnx(0,ln(x+l》0,所以/(口=隼乎<0,

当Xf+00时，ln(x+l)>Inx>0,所以/(》)=“、+1〉],即当0<》<1时，

函数图象在x轴下方单调递减，当x>l时，函数图象在y=l上方单调递减，

所以不存在〃Wb,使得/(0=/S),故③错误；

1ln|—bl]ln(a+l)-ln(—F1|

由②可联想考虑当b=4时，/(«)+f(b)=皿,+1)+J=------------一L=止=1,

a]na]口2_山。Ina

a

即对任意。，存在使得/伍)+/3)=1,故④正确.

a

故答案为：①②④

【点睛】关键点点睛：判断③时，关键在于求导数后，能分类讨论得到导数的符号，判断出函数的单调

性，再分析两段函数图象的上下界，才能作出正确的结论.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知无穷等比数列｛%｝的前〃项和为S',=3"+6.

(1)求"外的值；

(2)设。"=。2“+2〃一1,〃=1,2,3b一，求数列｛c“｝的前〃项和北.

【答案】(1)b=-1,^=2

(2)w(9"—1)+〃2

【解析】

【分析】(1)根据等比数列中%,S,的关系可得解；

(2)根据分组求和，利用等比数列、等差数列求和公式得解.

【小问1详解】

当〃22时,a”=S“-Si=2x3"T,

因为｛4｝是等比数列，所以q=2,

又因为q=E=3+6,所以6=一1.

【小问2详解】

由⑴知/=2x3"T,

因为出=6,且&^=9,

所以｛的.｝是以6为首项，9为公比的等比数歹!J,

+%.）+[1+3+…+（2〃-1）]

17.设函数/（x）=Nsin2x—Zsi/x+l（幺＞0）,从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为

己知.

（1）求A的值；

（2）若/（x）在（0,加）上有且仅有两个极大值点，求机的取值范围.

条件①：f

JT

条件②：将/（X）的图象向右平移一个单位长度后所得的图象关于原点对称;

12

条件③：对于任意的实数匹,》2，|/（匹）-/（》2）|的最大值为4.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）也

7兀13兀

【解析】

【分析】（1）化简/（x）后，选条件①，根据/：7兀

120化简得解；选条件②，由平移可知

0,化简求解；选条件③，转化为振幅"71=2得解;

(2)由正弦型函数性质求出极大值点，再根据题意知一在区间内，一不在区间内即可得解.

66

【小问1详解】

条件①

f(x)=Asin2x+cos2x,

所以Z—4—走=0,解得/=也.

22

条件②

f(x)=Asin2x+cos2x,

所以/(x)的图象向右平移后所得图象关于原点对称，

所以/［培］=。，即Zs«j+cos1W=V+g=0,

解得/=，经验证：A=Vs-

条件③

f(x)=Asin2x+cos2x,

所以/(x)=HIsin(2x+0),其中tan0=7，9e。丹

A

由题意知，|/(x)max—/(x)mm|=4,即"Z=2，

因为Z〉0,所以Z=JL

【小问2详解】

/(x)=V3sin2x+cos2x=2sin12x+今

当2x+^=^+2E#eZ时，〃x)取得极大值,

62

7T

即％=—+左兀,左£Z.

6

因为/(X)在(0,机)上有且仅有两个极大值点，

所以左=0,1符合题意,

77r13兀

所以机e

66

18.已知函数/(x)=三二区油线歹=/(x)在点(OJ(O))处的切线方程为^=红一3.

ex

(1)求见左的值;

(2)求/(x)的最小值.

【答案】(1)a=k=3

(2)-2e

【解析】

【分析】(1)求出导函数，根据题意列出方程即可求解;

(2)求出导函数的零点，列表即可得出函数最小值.

【小问1详解】

,e-%222

z)_'(_2x-e'-(x__x+2x+a

(4二—(4—

</⑼=-。=-3

依题意,解得a=k=3.

J'(0)=a=k

【小问2详解】

2_Q

由(1)得/("nrJ2

—x~+2x+3

r(x)=

exe*

令/'(x)=0,解得x=—l或3,

x,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

X-1(-1,3)3(3,+00)

/'(x)—0+0—

/(x)极小值极大值

由表格可知，/(X)有极小值/(-l)=-2e,

因为当xe(3,+00)时，/(%)>0,

所以/(x)最小值为-2e.

19.如图所示，某景区有龙W,尸。两条公路在同一平面内)，在公路上有两个景点入口4游客

服务中心在点2处，已知5c=lkm,N45C=120°,cosNA4C=^，cosAACQ=^~.

(1)已知该景区工作人员所用的对讲机是同一型号，该型号对讲机的信号有效覆盖距离为3km.若不考虑

其他环境因素干扰，则A处的工作人员与C处的工作人员能否用对讲机正常通话？

(2)已知一点处接收到对讲机的信号强度与到该对讲机的距离的平方成反比.欲在公路C。段上建立一个

志愿服务驿站D,且要求在志愿服务驿站D接收景点入口A处对讲机的信号最强.若选址。使

CD=2km,请判断该选址是否符合要求？

【答案】(1)/处工作人员对讲机能与C处工作人员正常通话

(2)。点选址符合要求

【解析】

【分析】(1)由正弦定理求出ZC,与3比较大小即可得出结论；

(2)由余弦定理求出Z。，可证明幺。，尸。，即可得解.

【小问1详解】

因为cos/氏4C=t〉0，所以/A4C为锐角,

14

V21

所以sinABAC=^1-cos2ZBAC

14

竟>'所以":嚷共

在△45C中

sin/ABC

因为J7<3，所以/处工作人员对讲机能与C处工作人员正常通话.

【小问2详解】

由余弦定理，AD2=AC2+CD--2AC-CD-cosZACD=l+A-2x^x2x^~=3

7

因为=3+4=7=2。2,

所以Z。的长为点N与直线尸。上所有点的距离的最小值,

所以。点选址符合要求.

1,

20.已知函数/(x)=aln(x-6z)+—-(2a+\)x,a>0.

(I)若/(X)在x=4处取得极大值，求/(4)的值；

(2)求/(x)的零点个数.

【答案】(1)-20

(2)1

【解析】

【分析】(1)求出函数导数，利用极值点导数为。求出。，再检验即可得解；

(2)分三种情况讨论，讨论时，列出当x变化时，的变化情况，再由零

点存在性定理判断零点个数即可.

【小问1详解】

/(x)的定义域为(见+8).

a八八x2-(3a+l)x+2a2+2a(x-2a)[x-(tz+l)]

j(x)=----+x-(2o+l)=----------------------=------------------

x-ax-ax-a

因为4是/(x)的极大值点，

所以/'(4)=0,即(4—2a)(3—a)=0,解得a=2或a=3

当a=2时，当x变化时，/'(x),/(x)的变化情况如下表：

X(2,3)3(3川4(4,+oo)

/'(X)+0—0+

/(X)/极大值极小值/

此时，4是/(x)的极小值点，不符合题意；

当a=3时，当x变化时，的变化情况如下表:

X(3,4)4(4.6)6（6,+oo）

/'(X)+0—0+

/(X)/极大值极小值/

此时4是/(x)的极大值点，符合题意.

因此a=3,此时/(4)=一20.

【小问2详解】

①当0<。<1时，当x变化时，/'(x),/(x)的变化情况如下表:

X（a,2a）2a（2〃,〃+1）〃+1(1+1,+力)

/'(X)+0—0+

/(X)/极大值极小值/

/(2a)=aIna-2a2-2a<0,因此xe(a,a+1］时，/(x)<0,

又/(4a+2)=aln(3a+2)〉0,因此/(x)在(a+1,+oo)上有且仅有一个零点,

因此/(x)的零点个数是1.

②当。=1时，对任意x〉l,/'(x)»O,②当在(1,+8)上是增函数,

又/(2)=—l<0,/(6)=ln5〉0,由零点存在定理知，有1个零点，

因此/(x)的零点个数是1.

③当a〉l时，当x变化时，/'(x),/(x)的变化情况如下表：

X(Q,Q+1)〃+1(Q+1,2Q)2a(2(7,+oo)

+0—0+

/(x)/极大值极小值

/(<2+1)=f-1a-1

—(a+l)<0,因此xw(a,2a］时，/(x)<0,

2

又/(4a+2)=aln(3a+2)〉0,因此f(x)在(2a,+co)上有且仅有1个零点,

因此/(x)的零点个数是1.

综上，当。＞0时，/(x)的零点个数是1.

«11anai„

出1。22%

21.对于力行〃列(〃22)的数表/=，定义T变换：任选一组其中

an2a,*

ze{1,2,•••,«),；e{l,2,•••,«),对于A的第i行和第7列的2〃-1个数，将每个数同时加1,或者将每个数

同时减1,其余的数不变，得到一个新数表.

11

(1)已知对依次进行4次T变换，如下:

11

---aE「21_「20-

ir第次变