北京市丰台区某中学2024-2025学年高三年级上册11月期中考试数学试题

北京市丰台区怡海中学2024-2025学年高三上学期11月期中

考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合z=次|一1<¥<0}|61=-1<^<}，则/U3（）

A.|-1<%<0}B.|-1<x<1}

C-{x|-l<x<0}D-{x|-l<x<l）

2.若复数z满足1+iz=i,则三=（）

A.1.B.1.C.1.D..

l-i-l-il+i-l+i

3.下列函数中，是偶函数且在（o,+e）上单调递增的是（）

3

A.B.〃x）=xC./（x）=cosxD.f-iOg2|x|

4.在四棱锥尸中，"BC//AD”是"5C//平面PND"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5•在V4BC中，“C分别为内角A，B，C的对边，且c-ccos6+2cosC=0，

则C=（）

A-0°B'60°C-90°D,1200

6.已知角a的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（）

AB

,sina,cosa,tana•sina,tana,cosa

试卷第11页，共33页

C•sin2(z,cos(z,tan2(zD-cos2tt,sincu,tan26Z

7.已知函数〃x）="T过定点M,点M在直线M+町=1上且也则工+工的最小值

mn

为（）

A-3+2V2B-4+2V2c-3+V2D-4+V2

8.霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠抱子进行繁殖.已知某种霉菌的数量y与其繁殖时

间I（天）满足关系式：^=加4.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20,10天后数量为

40,则要使数量达到200大约需要（）（lg2合0.3,结果四舍五入取整）

A.20天B.21天C.22天D.23天

9.北京市餐饮品牌《南城香》每个门店，当客人点完餐之后，服务人员给10分钟计时沙

漏，保证在10分钟之内上完餐.沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另

一容器的时间来计时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中

装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为8,沙子体积占该沙漏容积的卫，则沙子

128

堆积成的圆台的高为（）

34

A.1B.C.2D.J

10.已知函数〃x）=[f3+3xx>a）有最大值，并将其记为尸（。），则说法正确的是

\2x-ax<a

试卷第21页，共33页

A.。的最小值为一2,尸（q）的最大值为2B.a的最大值为-2,尸（°）的最

小值为*2

C.。的最大值为*W,尸⑷的最大值为2D.。的最小值为一2,尸⑷的

最小值为F2

二、填空题

11.已知向量力$满足同=1，6=（一1，2）为3=1,贝巾+.=.

12.二项式上一4］展开式的各二项式系数之和为32,n=—；该展开式中一项的系数为一

13-在V/2C中，a=、c=3,B=2U则V/8C的面积为一■

14.设公比不为1的等比数列｛%｝满足％出％=一8,且生,出,％成等差数列，则公比4=——

，数列｛%｝的前4项的和为

15.已知函数了（耳=加出］］工+*|（4>0,0为夕<的部分图象如图1所示，,出分别为图

象的最高点和最低点，过人作x轴的垂线，交x轴于H，点c为该部分图象与x轴的交点.

将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时|/同=而，则下列结论正确

的有______

试卷第31页，共33页

①2②怔*③图2中，/氏/0=5

④图2中，S是“8C及其内部的点构成的集合•设集合7={°€刈/0区2}，则？表示的区

域的面积大于工

4

三、解答题

16.在△NBC中，角。为锐角且满足cos2c=2sin2c.

⑴求c；

(2)若6=6，且V4BC的周长为66+6，求V/BC的面积.

17.已知函数/(力=》3一3办+2,且曲线y=在点(1J0))处的切线/与直线

x-9y=0相互垂直.

⑴求/的方程；

⑵求/(X)的极值.

18.己知四棱锥p-AgcD中，底面45CO是正方形，P£>_L平面48czTPD=AB'E是

试卷第41页，共33页

PB的中点.

(1)求证：BC//^ADE-

(2)求面ADE与面所成角的大小；

19.如图所示，M是单位圆与x轴正半轴的交点，点尸在单位圆上，ZMOP=x'平行四边

形。MQP的面积为S,函乙而+s，》6@0,口。,

(1)求函数/(x)的表达式及单调递减区间；

(2)若在［o刁上仅存在两个零点，求f的取值范围.

20.如图，在四棱锥尸-48co中，底面45。是边长为2的菱形，ZADC=60°)△尸"。

为正三角形，0为4c，的中点，且平面尸40j_平面48a)，屈是线段尸c上的点.

试卷第51页，共33页

p

⑴求证：OMYBC'

(2)当点.为线段尸c的中点时，求点M到平面PAB的距离；

(3)是否存在点新，使得直线与平面的夹角的正弦值为叵.若存在，求出此时

10

PM

正的值；若不存在，请说明理由.

21.已知函数〃x)=lnx-ox(。为常数).

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若存在两个不相等的正数为，%满足/(网)=/(%),求证：xx+x2>—.

a

⑶若/(x)有两个零点为，%,证明：_L+_L>2.

In项Inx2

试卷第61页，共33页

参考答案:

题号12345678910

答案BADCCDACAB

1.B

【分析】由并集的定义求解.

【详解】集合力=｛*|一1<¥<0｝[61=次-\<x<｝，

贝U/u8=｛x|_]4x<l｝。

故选：B.

2.A

【分析】利用复数的四则运算求z,根据共朝复数的定义求三即可.

【详解】由题设Z=U=-i(i-l)=i+l,则Z=1T.

i

故选：A

3.D

【分析】根据相关赛函数单调性判断A、B；由余弦函数的性质判断C；利用奇偶性定义及

对数复合函数单调性判断D.

【详解】A：〃x)=_x2为偶函数，且在£o，w04上递减，不符合；

B：/(力=/为奇函数，不符合；

C：八尤)=cosx在上不单调，不符合；

D：/(-x)=log2|-x|=log2M=f(x)且定义域为｛x|xw0｝，即/(x)=log2国为偶函数，

由”ix|在£o,㊂上递增，>=bgj在定义域上递增，故/(X)在£°，.上递

增，符合.

故选：D

4.C

【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理，结合充分、必要条件的定义进行判定.

答案第11页，共22页

【详解】

由8C//Z。，BCa平面尸/zr4Du平面尸/zr得BC//平面p/zr

由BC//平面P4D，8Cu平面4BCD，平面NBCZ)n平面42=，得BC//AD，

故"BC/IAD"是"gc//平面PAD"的充要条件，

故选：C.

5.C

【分析】利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式得至Jin8cosc=0,进而得到

cosC=0，从而得解.

【详解】因为7-CCOS6+6COSC=O'

所以由正弦7E理得sin4-sinCeos5+sin8cos。=0'

则sinCcosB-sinBcosC=sinA=sinCcosB+sinBcosC'

所以sin5cosc=0'

因为0。<5<180。，所以sinBwO，则cosC=0'

所以C=go。-

故选：C.

6.D

答案第21页，共22页

【分析】对于ABC,举反例排除即可；对于D,利用三角函数的基本关系式即可判断

.20、上丁〜“，，一卢工I‘cosaw0sinawOtanaw0sina

【详解】角的终边不在坐标轴上，有，，tana=-------

cosa

对于A,令a则w冬c°sc=冬tai，

」,①，

8s%sinatana=^xl=gpcos2awsin«tana，A不是;

222

“工口人兀rmi,2i•1日ntan2awcosasinaR木日

对于B,令。=—,则tana=Lcosasina=—,即，b不正；

42

令a哈则sin2a=(y=l,cosa=^,tan2«=(多=1，

对于C,

22

工曰23.2,2111日ncos2awsinatanar木县

jzecosa=—,sinatana=—x—=一，B|J，id'/e；

44312

对于D，sina=cosatana，则sida=cc^atan?［，贝1Jcos2Q,sinQ,tan2a一定成等比数列，

D是.

故选：D

7.A

【分析】由指数函数性质确定定点坐标，结合题设有相+〃=i，应用基本不等式的代

换求目标式最小值.

【详解】由题设，/（工）=广1恒过点M（1,1），贝！）加+〃=1，

Geri12.12.,._n2m_

历以—I--=(—I——)(m+〃)=3H-----1----->3+2=3+2行，

mnmnmn

当且仅当加=&_1,”=2-亚时等号成立，

所以目标式最小值为3+2收.

答案第31页，共22页

故选：A

8.C

【分析】利用待定系数求出参数，再求解自变量/的值，利用对数运算即可求得结果.

【详解】由题可得：=，两式相除可得2=/,即°=2(,

[40=ma'°

设繁殖,天后数量达到200,

则200=ma1又20=ma5则200ma1

20ma5

(“一5

10」'尸=1°,即口

:・7,则=10,

log210=^--l,

A^=51og210+5=5x^^+5=5x—+5«22，

1g20.3

则要使数量达到200大约需要22天.

故选：C.

9.A

【分析】若圆锥体积为“，沙子体积为匕，根据题设可得匕二匕=幺，结合圆台和圆锥中

V64

的等比性质求圆台的高.

【详解】由题意，若圆锥体积为「，沙子体积为匕，

则工也空=卫，故」后，

2K128V64V64

设沙子堆积成的圆台的高为加沙漏下圆锥的高为4,

答案第41页，共22页

4-A?7

结合圆台、圆锥的性质’有(丁)3=才

故选：A

10.B

【分析】先求出/(工)=_工3+3%的增减情况，再结合题意可得到-24。VI，从而可求解•

【详解】由题意知‘当x"时,/(x)=-/+3x，求导得广(X)=-3X2+3=3(X+1)(X—1)，

当xe/*(%)<0)

当/,(x)>0,

当xe(l,+oo)，W<0，

所以/Ex。在区间(l,+oo)单调递减，在(7,1)单调递增，

由题意知当x<a时，y(x)=2x_q为增函数，

因为函数/I》。有最大值，

则可得当xH1时，/(i)=_i+3=2，

此时，令/(x)=_/+3x=2，解得，或x=-2,

令-a，+3a=2。-。，解得。=血或。=-&'

当-2WaV0时，此时的最大值为尸⑷=2，

当°4-2时，此时的最大值为尸(。)=/(°)=-03+34,

当0<〃<0■时，此时的最大值为尸(0)=2，

答案第51页，共22页

当.=0时，此时/曾的最大值为尸(可=/，

当a＞也时，此时/行内无最大值，

综上：。的最大值为6,b(°)的最小值为小5.故B正确.

故选：B.

lh2V2

【分析】根据平面向量数量积运算法则求出答案.

【详解】因为彼=(T2),所以%=J(一if+2?=75,

故归+,="@+盯=sla2+2a-b+b2=V1+2+5=272.

故答案为：2五

12.5-5

【分析】根据二项式系数和为2"求出"，再写出展开式的通项，利用通项计算展开式中/

项的系数.

【详解】二项式展开式的各二项式系数之和为32,则有2"=32,得”=5；

5r

二项式口」j展开式的通项为j=c；x-^--J=(-l)C；一,0W厂W5且reN,

令5-2r=3，解得r=l,所以展开式中/项的系数为=-5.

故答案为：5；-5.

13-572

【分析】应用正弦定理、倍角正弦公式得6=6cosC，再由余弦定理及倍角余弦公式求得

答案第61页，共22页

cosC=®，进而得b=2而,且$吊0="，最后应用三角形面积公式求面积.

33

【详解】由一也=上-,结合题设有—L=——2——=_3_=b=6cosC,

sin8sinCsin2C2sinCcosCsinC

又〃=/+。2-2accosB=34-30cos2C，即36cos2C-34-30cos2C,

7R=C

所以36cos之C=64-60cos2Cncos?C=—,在三角形中，必有为锐角，

3

所以c°sC=逅，故'=2指，且smC=也，

33

故△NBC的面积为_1〃从山。=,义5、2后x3=5亚・

223

故答案为：5亚.

14--2-5

【分析】由等比数列的性质及等差中项，并结合等比数列通项公式列方程求基本量，进而

写出前4项即可得前4项和.

【详解】由题设〃]〃2〃3=〃==-8=>〃2=-2，且。3+%=2%=-4，

229

所以a2q+a2q=q+q-2=(q+2)(q-1)=0又qwl，故夕=一2,

所以%=L%=-2,〃3=4,%=-8，则前4项的和为-5-

故答案为：一2，一5

15.①②③

【分析】在图2中，以点。为坐标原点，oc>石的方向分别为V、7轴的正方向建立空

间直角坐标系O-x》，，根据已知条件求出4的值，即可判断①；结合夕的取值范围求出

答案第71页，共22页

。的值，可判断②；利用空间向量数量积的坐标运算可判断③；求出cos/BHC，结合扇

形的面积公式可判断④.

/(X)竺

【详解】函数的最小正周期为一万

2

在图2中，以点。为坐标原点，玩、石的方向分别为y'、z，轴的正方向建立如图所示的

空间直角坐标系O-x'y'z，，

设点H(Oj,O)，则点/(Oj")，8(4,7+2,0)，

\AB\^^(O-A)2+(Z-?-2)2+(A-O)2=收储+4=Vio,

因为;1>0，解得;1=6，故①正确;

所以/。)=，^11]5+0],则/(0)=gsinp=孝，可得sin9=；,

又因为函数/⑴在、=°附近单调递减，且。<0<%,所以夕=也，故②正确;

6

所以f(X)=也sin号—,

由/«)=Gsin[T9彳J=G，可得=1，

答案第81页，共22页

又因为点A是函数"X）的图象在'轴左侧距离'轴最近的最高点，则变*」=—,可得

262

2

3

因为点C是函数"X）在,轴右侧的第一个对称中心，所以，二％+生=兀，可得％=,，

26。3

翻折后，则有/（o,-1,6）、«",（（）］、c（o,；,oj、

所以就=(0,1,_6),Zs=(V3,2,-V3),

所以在图2中，苏就=0+2、1+（-a2=5,故③正确；

在图2中，设点，小。），陷二卜+b+g；+gV3卜2,

可得x2+,+|141,

五二（。,1,。），衣=（后2,。），：=M.亚=3=正>见

\AC\-\AB\1x7772

易知"4C为锐角，则。

所以，区域7是坐标平面£0/内以点H为圆心，半径为|HC|=1,且圆心角为NB/'C的扇

形及其内部，

1TTTT

故区域T的面积*<4%X12=—,故④错误.

T248

故答案为：①②③.

答案第91页，共22页

【点睛】关键点点睛：

本题考查翻折问题，解题的关键在于建立空间直角坐标系，通过空间向量法来求解相应问

题.

16.⑴C=.

⑵

【分析】(1)由倍角公式和同角三角函数的商数关系，化简c°s2c=2sin2c得tan2c=；,

角C为锐角，有tanC=立，可求角0;

3

(2)b=6,得a+c=6G,余弦定理得02=1+36_2xax6x且，求出“，由公式

2

S.=—absinC求的面积.

LXADBIC-2

［详解)(1)由cos2C=2sin2C可得cos?。-sin2c=2sin2C»

则cos2c=3sin2。，得tan2c=g,

因为角C为锐角，有tanC=立，可得C=£・

36

(2)因为周长4+6+0=68+6'6=6，所以a+c=6g①，

又因为C=B，所以/=/+62.2a6cosc=/+36-2xax6x^^②，

62

答案第101页，共22页

由①②得a=4#,所以S^BC=ga®sinC=；x4Qx6x；=.

17.(l)j;=-9x

(2)极大值为18，极小值为_14

【分析】(1)根据题意，得至11,⑴=一9,求得。=4,得至！l〃i)=_9,结合导数的几何

意义，即可求解；

(2)由(1)得((耳=3@+2)卜_2)，求得函数〃x)的单调区间，进而求得函数的极值•

【详解】(1)解：由函数/(力=/-3以+2,可得/(x)=3x2_3a，

可得/⑴=3-3a=-9,解得。=4，所以-12x+2

又因为/(l)=ET2xl+2=-9，

故所求切线方程为y+9=-9(xT)，即y=-9x.

(2)解：由(1)可知，/(力=3/-12=3，-4)=3(》+2乂工-2)，

令/<x)=0,解得x=±2,

当xe(—8,-2)时,f'(x)>01/(x)单调递增；

当xe(-2,2)时，f,(x)<0,/(x)单调递减；

当xe(2,+oo)时，f,(x)>0,/(X)单调递增，

所以函数/(X)在区间(_q_2)上递增，在区间(-2,2)上递减，在区间(2,+oo)上递增，

故的极大值为〃_2)=(-2)3-12x(-2)+2=18，

答案第1H页，共22页

18.(1)证明见解析；

(2)45°.

【分析】(1)由题设有Be///。，根据线面平行的判定证结论;

(2)建立合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的大小.

【详解】(1)是正方形，

:.BC//AD,BCcz面/DE,ADu面ADE,

BC"面ADE，

尸。_1平面48。。，4D,CDu平面48CD

/.PD1AD,PD1CD,

又/BCD是正方形，则ADLCD'

£)4OC,OP两两垂直以£)为原点如图建系，设尸£)H245H1，

A

喙

,2)(0,0,0)41,0,0)mo,i)

••，

方=(1,0,0),历=[.in

l，2,2)

答案第121页，共22页

又尸。_L平面/BCD,平面的法向量而=(0,0,1),

设平面NOE的法向量万=(x,y,z)，则而_L3，DELn,

DA-n=x=0z=l不=(0,-1,1)

_iii，令，则

DE-n=-x+-y+-z=Q

22"2

DPn_1—也

,•cos(DP,n)

\DP\-\ii\~l-y[2^2

.•.面ADE与面ABD所成角的大小45o

19.(l)y=岳in[x+：J+l，递减区间为甘+2总手2句(42)；

(2)/e|■兀,3兀).

【分析】(1)应用向量的坐标表示得而=(i+cosx,sinx)，应用面积公式、向量数量积的

坐标表示、三角恒等变换得/(x)=V^sinx+：+1，进而求其单调区间即可;

(2)问题化为sin[+W=_；有两个根，结合了=,苗”的图象确定/+[的范围，即可求

参数范围.

【详解】⑴由题意，得M(l,0),尸(cosx,sinx)，OQ=OM+OP=(l+cosx,sinx)>

则S=[两J]而|sin/P(W=sinx,而.而=l+cosx

因止匕/(元)=OM-OQ+S=sinx+1+cosx=y/2sin+1,

答案第131页，共22页

即函数/（X）的表达式为了=3sin［x+：］+l，

令啤为2必+—<—+k（ke）,得至斗2左2g4—+k（ke）,

242''44v'

（X）的减区间为止4%,一如才（立）；

44

（2）"X）在［°川有两个零点，即/（x）=onsin、+m=_］有两个根，

由EM,则x+空「-J+-］，而函数1smx的图象如下,

20.⑴证明见解析；

⑵巫；

5

（3）存在，且鬻=：

【分析】（1）连接.C、AC'证明出平面POC，利用线面垂直的性质可得出

AD1PC<再结合4D//BC可证得结论成立；

（2）推导出尸0,平面/5CD，然后以点°为坐标原点，0C、OD、0尸所在直线分别为

x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点M到平面尸的距离；

答案第141页，共22页

(3)设前^=2定，其中0W条1,利用空间向量法可得出关于2的方程，结合0W变1

可求得义的值，即可得出结论.

【详解】(1)证明：连接m、AC

因为四边形48co为菱形，则40=CD,因为//DC=60°，则ANCD为等边三角形，

因为°为/D的中点，故OC_LAD，

因为为等边二角形，0为/£)的中点,则P0_L/Z)，

•••ponoc=。，平面尸0C，;PCu平面尸0C，则/。_LPC，

QBCIIAD，故8C_LPC-

(2)解：因为平面平面48cD，平面尸NDc平面48cz)=4D，POLAD'POu

平面尸,poi^ABCD'

因为0C_L4D，以点O为坐标原点，OC'OD'0尸所在直线分别为x、y>z轴建立如

下图所示的空间直角坐标系，

答案第151页，共22页

则/（O，T，。）、8（百，-2,0）、。（省,0,0）、。（0」,0）、尸（0,0,百）、河[3°

——[2-2J

设平面尸"的法向量为蔡=（"/）,翦=万=（01,百），

m•AB=VJx—y=0x=lm=(1,V3-1)

取可得

m•AP=y+y/3z=0

XMPAB

'A/3V3AM-n^_V3_V15

AM=,所以点到平面的距离为1==

7Fl3~

（3）解:设府=尻=/（6,0,一@=（同0厂网,其中0W条1,

1M=1P+PA7=（0,1,73）+（V3A,0,-V3A）=（A/3A,1,A/3-A/3Z））

I/____\!\AM口6^Jfo

由题意卜os/监m）\=I,,,=//।—=甯,

1'71\AM\-\f^V6A2-6A+4-V510

整理可得知+3"2=0,因为1,解得力」，

3

因此，存在点乱，使得直线与平面尸的夹角的正弦值为巫，此时胆=！.

10PC3

21.（1）答案见解析

（2）证明见解析

（3）证明见解析

【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论。的范围，求出函数的单调区间即可；

（2）利用对数均值不等式i<如（">0,b>0,"*'）即可得证.

InQ—In62

答案第161页，共22页

(3)由题意得I”x27nxl=*要证，+」〉？，只需证：g强强.土1，利用换

xx

2~\也再Inx2再21/x2J

元，令:三>1,只需证：inf<1，」〕，由对数均值不等式即得.

占2(t)

【详解】(1)由/(x)=lnx_ox，得函数的定义域为旦0，亘°°。

Xf\x)=--a=—

XX

当aWO时，/国训③0恒成立，所以「(X)在初,日上单调递增;

当时，令/(x)=l^>0,得0<x<L；令/口)=^^<0,得x>L；

xaxa

所以，/(x)的单调递减区间为F，+")，单调递增区间为/,［；

(2)由/(x)=lnx-",得.工「叼=In.？n'=%

a]nx2-Inxx

故欲证为+%>2,只需证：-=x^Xl.<^±^1,即证七一七<五七三，

aa1口x2—1口再2lnx2-In^2

又再W%2，石>0，%>0，

X2〉再X?一否<再+工2