初中数学专项复习：二次函数中的最值问题【八大题型】（解析版）

二决为率中的聿值阀此【，，丈题型】

＞题型梳理

【题型1几何图形中线段最值问题】.................................................................1

【题型2两线段和的最值问题】......................................................................5

【题型3周长的最值问题】.........................................................................13

【题型4面积的最值问题】.........................................................................21

【题型5线段和差倍分的最值】....................................................................28

【题型6由二次函数性质求二次函数的最值】........................................................36

【题型7由二次函数的最值求字母的值】............................................................40

【题型8由二次函数的最值求字母的取值范围】......................................................46

►举一反三

【题型1几何图形中线段最值问题】

1.（23—24九年级.广西钦州•期中）如图，线段48=10,点P在线段AB上，在的同侧分别以

为边长作正方形APCD和8PE尸，点分别是即，CD的中点，则AW的最小值是（）

【答案】。

【分析】设MN=y,PC=c,根据正方形的性质和勾股定理列出靖关于2的二次函数关系式，求二次函数的最

值即可.

【详解】解:作MG_LOC交。。延长线于G,则四边形CEMG为矩形,

CG=EM=^-EF^^-BP.

♦」N是CD的中点，

；.CN=*1CD==1AP,

:.NG=CG+CN=!(AP+BP)=!AB=5.

设AiN=y,PC=o;,则MG=CE=10-2%

在RtAMNG中，由勾股定理得：MN2=MG2+GN2,

即必=52+(10-2Z)2.

V0<a;<10,

当10—22=0,即u=5时,瘫小值=25,

二V最小值=5.即_MN的最小值为5;

故选C.

【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值.熟练掌握勾股定理和二次

函数的最值是解决问题的关键.

2.(23-24九年级•安徽合肥•阶段练习)如图，=6,点。是上的动点，以AC,8。为边在AB同侧

作等边三角形，河、N分别是CD、跳;中点，13最小值=()

A.3B.3V2

【答案】。

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值问题，如图所示，连接av,根据等边三

角形的性质得到乙4co=/BCE=60°,乙8。可=9/反羽=30°,9=46七=4及7，进而推出ZMCN=

90°,设AC=2c,则BC=6-2x,BN=3—c,利用勾股定理得到CN?=3a;2-18a;+27,贝IMN?=4,一・了

+苧，利用二次函数的性质求出MN?的最小值，即可求出AW的到最小值.

【详解】解:如图所示，连接CN,

•/ABCE,AACD是等边三角形，点N是BE的中点,

ZACD=4BCE=60°,4BCN=44BCE=30。,BN=/E=(C,

：.ZMCN=180°-AACD-NBCN=90°,

设AC=2c,则BC=6-2c,

BN—3—x,

：.C7V2=BC2-BN2=(6-2xf-(3-a:)2=32；2-18rc+27,

♦.•点村是CD的中点，

...CM=5GD4AC=①，

/.MN2=CM2+C7V2="+3/_18,+27=4(c—f+冬,

'4,4

V4>O,

.•.当±时，1GV?有最小值手，

.♦.AGV有最小值之，，

故选D

3.(23-24九年级•广东江门•阶段练习)如图，在矩形ABCD中，=3,BC=4,将对角线入。绕对角线

交点O旋转,分别交边AD、BC于点E、F,点P是边DC上的一个动点，且保持DP=AE,连接PE、

P斤，设AE=rr(0<a;<3).

_________F

（1）填空：PC=,FC=；（用含①的代数式表示）

（2）若"EF的面积为S,求S与①的函数关系及△尸EF面积的最小值；

（3）在运动过程中，PE，P尸是否成立？若成立，求出力的值;若不成立,请说明理由.

【答案】⑴3—4加

小7丫4747

（3）不成立，理由见详解

（分析】（1）由矩形的性质可得AD"BC,DC=AB=3,AO=CO,可证△AEO第4CFO,可得AE=CF=

c,由DP=AE=c,可得PC=3—rc;

⑵由SmFP~S梯形EDCF-S^DEP—S4CFP，可得SAMP="■力+6=（力—亨）+，根据二次函数的性质可

求△PEF面积的最小值；

⑶若则可证空△CFP,可得。£=CP,即3—/=4一力，方程无解，则不存在力的值使PE

±FF.

【详解】（1）解：•・・四边形ABCD是矩形

・・.AD//BC,DC=AB=3,AO=CO

：.ADAC=AACB，且AO=OO,AAOE=ACOF

・・・/\AEO空ACFO（ASA）

:,AE=CF

'：AE=力，且DP=AE

DP=x,CF—x,DE=4—1,

・•.PC=CD-DP=3-x

故答案为：3—N,X

（2）解:依题意

'**S/\EFP-S梯形EDCF-S^DEP~S^CFP,

:・SAEFP=+一弓工.（4—工）一^■工.（3—#2+6=（2一!）+彩

•.•△PEF的面积为S,

S与力的函数关系S=（/—1■）+等"

\4716

.••开口向上，当力=二时，AFEF面积的最小值为其

416

（3）解：不成立

理由如下:若PE_LPF,则AEPD+4FPC=90°

又•/AEPD+ADEP=90°

・・.ZDEP=ZFFC,JLCF=DP=AE,AEDP=ZPCF=90°

・・・^DPE空ACFP（AAS）

:・DE=CP

：.3—x=4：—x

则方程无解，

不存在力的值使PE±PF,

即PE_LPF不成立.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，列代数式表达式、全等三角形的判定和性质，二次函数的性

质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键.

4.（23—24九年级.广东广州•期中）如图，在正方形4BCD中，AB=7,尸是边CD上的动点，将△AD尸绕

点A顺时针旋转90°至AABE,将AADF沿人尸翻折至△AGF,连接即、ED交于点H,连接GH,则

△SGH面积的最大值为.

【答案】瞿

16

【分析】根据正方形的性质和旋转的性质可得

连接BF,作FQ_LCD交于。，HM_LBC于M,连携BF,BG,设BF交EG于点、O.证出△入£△经

△AFB,可得EG=BF,再证明AEFG笃AFEB,可得/GEF=/EFB,同理/FBG=/EGB,从而得到

/EFB=/FBG,设DF=EB=x,财。歹=7—力，再证出列出含力的面积公式，利用二次函

数配方即可得到最大值.

【详解】解：・・,四边形ABCD是正方形，

・・.AD//BC,

・・.ADAE+/AEC=180°,

・・.ZDAF+AEAF+/AEF+/FEC=180°,

・・・将AADF绕点A顺时针旋转90°至△ABE,

・・.ZEAF=90°,AE=AFf

・・・NASR=45°,

・・・/DAF+/FEC=45°,

・•.ZDAF+4FEC=AAEF,

连接BF,作FQ_LCD交BO于。，HM_LBC于M,连接BF,BG,设BF交EG于点、O.

•・・四边形ABCD是正方形，

・・.AB=BC=CD=7,ZC=90°,

•・・ZDAF=/FAG=/BAE,

：.AEAG=AFAB,

•：AE=AF,AG=AB,

：./XAEG笃△AFB(SAS),

：.EG=BF,

・・•EG=BF,EF=FE,FG=EB,

・•.AE*FG空AF石B(SSS),

・•・/GEF=/EFB,

同理/FBG=/EGB,

•・・ZEOF=/BOG,

・•.AEFB=AFBG,

J.EF//BG,

••SASQG=SgBQ，

设==则CF=7-x,

•・•FQ〃BE.FQ=DF=EB,

：.ZFQH=4EBH,

•：4QHF=4EHB,

・•・4FQH咨^EBH（AAS）,

：.FH=EH,

•：HM//CF,

：.EM=MC,

：.HM=^CF=^（7-x）,

2

■■S^EHG—S^EBH=x/2（7—工）=一■于（x—7x）=一占（X-卷）+瑞，

：.缶=工时，△EHG的面积最大，最大值为萼.

216

故答案为：普.

10

【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及二次函数的运用，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判

定及二次函数的运用.

【题型2两线段和的最值问题】

5.（（23-24・安徽合肥•一模）如图,直线y=-x+3与力轴、沙轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x2+bx+

c经过点B、C,与立轴另一交点为4顶点为D

⑴求抛物线的解析式；

⑵在T轴上找一点式使EC+ED的值最小，求EC+EO的最小值；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得AAPB=ZOCB?若存在，求出P点坐标，若不存在,请

说明理由.

【答案】⑴9——x2+2,+3

⑵点E（~,0）,则EC+ED的最小值为5V2

（3）点P的坐标为（1,2+22）或（1,一2—2，）

【分析】（1）直线g=—2+3与/轴、"轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3,0）、（0,3），将点B、

。的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）如图1,作点。关于立轴的对称点C,连接C。交,轴于点E,则此时EC+ED为最小，即可求解；

（3）分点P在re轴上方、点P在立轴下方两种情况，分别求解.

【详解】（1）解:对于直线y=—2+3,

当2=0时，9=3;当y=0时，—X+3=0,则2=3;

.-.B(3,0)>(7(0,3)

—9+3fe+c=0

将点B（3,0）、。（0,3）代入二次函数表达式得:

c=3

(b=2

解得:

[c=3

故函数的表达式为：y=—x2+2rr+3;

（2）如图1中，作点。关于a;轴的对称点。，连接CZ7交2轴于点E,则此时EC+ED为最小，此时，点C的

坐标为(0,-3),

又y=一d+2rc+3=—(a;—I)2+4,

/.函数顶点。坐标为(1,4),

设直线的表达式为V=+

将0(0,—3)、0(1,4)代入一次函数表达式得：[3匕:，

解得,｛工，

直线的表达式为：9=7，-3,

当g=0时，70—3=0,解得c=,，

故点凤告,0),

则EC+ED的最小值为DC'=+(4+3)2=5^/2;

(3)解:对于y=—d+20+3,令y=0,则—X2+2/+3=0,

解得，x——1或c=3,

二点人的坐标为(一1,0);

又B(3,0),

二AB=3—(—1)=4;

①当点P在a:轴上方时，如图2中，

•/05=0(7=3,则AOCB=45°=AAPB,

ZPAB=NPBA=y(180°-45°)=67.5°,/.APD=--Z.APB=22.5。

过点B作BH_LAP于点H,

：.NABH=90°-ZR4B=22.5°

4HBp=APBA—/ABH=67.5°-22.5°=45°=NAPB

图2

:.BH=PH,

设PH=BH—m

则PB=PA=®e,

:.AH=PA-PH=(V2-l)m

由勾股定理得：力呼=AH2+BH1,

.，.16=W+[(V2—l)m]2,

解得:m2=8+4^2,

贝"PB2=2m2=16+82

则约=JPB2—22=2+2V2;

___________F

②当点P在力轴下方时，同理可得以=-(2+22)；

故点P的坐标为(1,2+272)或(1,一2—22).

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中(3)要注意

分类求解，避免遗漏.

6.((23-24.江苏宿迁.模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/"一?t一3与立轴交于A,B

两点，点。为“轴正半轴上一点，且OC=OB,。是线段AC上的动点(不与点人，。重合).

(1)写出A、三点坐标；

(2)如图1,当点。关于力轴的对称点刚好落在抛物线上时,求此时D点的坐标；

⑶如图2,若点E是线段AB上的动点，连接8D、CE,当CD=AE时，求BD+CE的最小值.

【答案】(1)4(—3,0),B(4,0),。(0,4)

⑶百

【分析】⑴根据题意［y^ix'~ix~3得［x=^，卜=13,结合0。=OB写出4B、C三点坐标即可；

［沙=01。=0〔沙=。

⑵设直线的解析式为沙=fcr+b,把4-3,0),。(0,4)分别代入解析式，确定直线的解析式，设点

。(/n,_1~7n+4),对称点坐标为。(m,—■4),代入抛物线解析式9=十d—^-x_3中，计算解答即可；

(3)过点。作CP〃/轴，且使得CP=CA,连接PB,PD，利用三角形全等，把线段和最小值转化为三角形不

等式，解答即可.

本题考查了抛物线与a:轴的交点，待定系数法求解析式,三角形全等的判定与性质，三角形不等式求最值，熟

练掌握相关知识，特别是三角形不等式是解题的关键.

【详解】(1)根据题意得卜=4〃一3,

解得d二「

.-.A(-3,0),5(4,0),

.♦.OB=4,

1/OC=OB,

.-.C(0,4).

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,

把A(-3,0),C(0,4)分别代入解析式，得｛渭+仁°,

故直线AC的解析式为沙=a0；+4,

O

设点,

则其对称点坐标为D^m,-ym-4),

代入抛物线解析式g/2—力—3中，得

1124/

—m2-----m—3=---m—4,

443

整理,得3m2+13m+12=0,

解方程，得nz=—■,nz=-3(舍去),

O

止4„,44,.20

当m=-—时，y=--vx—+4^—,

oooy

故。(一方，学)・

(3)过点。作CP〃2轴，且使得CP=C4,连接PB,PD,

3,0),。(0,4),

AC—J(-3-0)2+(0-4)2=5,

:,CP=CA=5,

・・・P(—5,4),

•・•石(4,0),

・・.FB=V(-5-4)2+(4-0)2=V97.

・・・CP〃力轴，

・・・4PCD=/CAE,

・：CP=CA,

(PC=CA

\-bpCD=ACAE

[CD=AE

：.AFCD空/XCAE{SAS)

：.PD=CE,

・・.BO+CE的最小值变成了8O+PO的最小值，

•：BD+PD>PB,

故当点三点共线时，BD+PO取得最小值，且最小值为

・・.BO+CE的最小值为V97.

7.（（23—24.辽宁抚顺.模拟预测）如图，直线。=力一4与9轴交于点与力轴交于点B,抛物线g=〃+

麻+c经过4B两点,与力轴负半轴交于点。，长度为的线段。尸在直线AB上滑动，以OF为对角

线作正方形DEFG.

⑴求抛物线的解析式;

(2)当正方形DEFG与抛物线有公共点时,求。点横坐标的取值范围；

⑶连接CE,OD,直接写出的最小值.

【答案]⑴9=x2—3x—4：

(2)0<m<4+V6

(3)5

【分析】(1)由夕=2一4得A(0,-4),B(4,0),再用待定系数法可得抛物线的解析式为9=d一3c—4;

(2)根据DF=2/，四边形DEFG是正方形，得DE=EF=FG=DG=2,设D(m,m-4),则

^(m—2,m—4);当正方形DEFG与抛物线y=/—3劣一4有唯一公共点E时，m—4=(m—2)2—3(m—2)

-4,可得此时。(4+0,血)；当正方形DEFG与抛物线夕="—3rc—4有唯一公共点D时，可得此时

。(0,—4);画出图形可得答案；

⑶求出C(—1,0);设D(t,t—4),则E(t—2,4—4),CE+OD=V2x[小——)+弓+/(土-2)2+4],

——2)2+4可看作rr轴上的点R(t,0)至I点K(,,])和点T(2,—2)的距离之和，当K,

五，T共线时，J(t—1-)2+^-+V(*-2)2+4取最小值，求出KT可得答案.

【详解】(1)解：在g=力一4中，令力=0得g=—4,令g=0得力=4,

.\A(0,-4),B(4,0),

[(2——4

把4(0,4),8(4,0)代入沙二炉+近+力导：,

11。十40—4—U

解得:FU，

[c=-4

抛物线的解析式为沙=炉—3力一4;

⑵解：•・,DF=2V2，四边形DEFG是正方形，

:・DE=EF=FG=DG=2,

当正方形DEFG与抛物线2/=/一3/一4有唯一公共点石时,如图:

把E(m—2,?n—4)代入g=力2—36—4得：

m—4=(m—2)2—3(m—2)—4,

解得772=4+，^或?72=4—(在_B左侧，舍去);

此时。(4+方,通)；

当正方形DEFG与抛物线g="—3/一4有唯一公共点。时,如图：

?71—4=m2—3m—4,

解得：772=0或771=4(与8重合,舍去),

此时。(0,—4);

由图可知，当04馆44+JG时，正方形DSFG与抛物线有公共点；

・・・当正方形班FG与抛物线有公共点时，。点横坐标的取值范围是0&山44+碗;

(3)解:在沙二炉—3力—4中，令g=0得：0="—3劣—4,

解得：力=4或力=—1,

C(—1,0);

设D(t9t—4),则E(t—2,t-4),

CE=J(方—I)?+(力—4)2—V2t2-10t+17—A/2^xJ(t—,

OD—(t—4)2—N2tz—81+16—A/2^xJ(力—2)2+4,

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，正方形性质及应用，最短路径等知识，解题的关键是

用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度..

8.((23-24•海南省直辖县级单位•二模)如图，抛物线y=ax2+Sax+c经过点B(l,0)、。(0,—3),交力轴

于另一点4点A在点8点的左侧)，点P是该抛物线上的动点.

________b

⑴求抛物线的解析式；

tS^AOC时，请求出点P的横坐标；

（2）当点P在直线AC下方且S^AC=

（3）在抛物线的对称轴Z上是否存在点Q,使得QC+QB最小?若存在，请求出这个最小值;若不存在,

请说明理由；

（4）若点E在①轴上,是否存在以P、4C、E为顶点且以人。为一边的平行四边形？若存在，求点P的

坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】（l）g=（姨+]-力-3

（2）一1或一3

⑶存在，5

⑷存在,印―3,—3）,网—3；何,3）闾—3三五,3）

【分析】

对于⑴，直接将点B,。的坐标代入关系式得出方程组，再求出解即可；

对于（2）,先求出点4。的坐标，进而求出直线的关系式，再求出S^AOC,可知S^pAC,

作PK〃夕轴，交入。于点K,设P,K的坐标，并表示出PK,然后根据面积相等列出方程，并求出解；

对于（3）,先确定QC+QB最小时Q的位置，再根据勾股定理求出答案；

对于⑷，①当点P在/轴下方时，有舄根据为=—3可求出答案；

②当点P在2轴上方时，PC与是平行四边形的对角线，设点E,P的坐标，再根据对角线交点的坐标相

同得出方程，求出解可得答案.

【详解】(1)

抛物线y—ax1+3ax+c经过点B(1,O)>C(0,-3),

fa+3a+c=0

"lc=-3，

解得卜T,

1c=-3

抛物线的解析式为y=^-x2-\--^-x—3;

44

⑵

令9=o,则=为2+$-3=0,

贝"力1二—4,冗2=1,

***>1(—4,0),

设直线47表达式为nAc=kx+b,又0(0,-3),

.J—4fc+b=0

,R=-3'

解得[2T,

,二一3

.3Q

­•VAC——■^2—3,

,**A(-4,0),(7(0,—3),

:.OA—4,OC=3,

•e•S^AOC—6,

,Q,Q

当S"AC=WS”oc时，S"AC~5，

作PK_L/轴，交4。于点K,

3^,则K[m,--3^

贝1PK—yE~Vp——|-m2—3m,

2

则.{xc—x^)PK=,m+4m+3=0,

mi=—l,m2=-3.

即点P的横坐标为一1或一3.

⑶存在，

•・,点A与点_B关于对称轴I对称，

・・・当点。在直线AC与对称轴I交点处时QC+QB最小，

此时QC+QB=QC+QA=AC,

由(2)知04=4,0。=3,

:.47=5,所以这个最小值为5.

(4)

存在，设+加+,7n—3),

①当点P在二轴下方时，有RCV/AEi,

<7(0,—3),

,•Vp——3，

则-^-m2+2m—3=-3,

44

mi=0(舍去),m2=—3,

:.R(—3,-3)

②当点P在力轴上方时，PC与AE是平行四边形的对角线,

设后(71,0),_?(?71,,77?<2+_|_?72—3),

A(—4,0),(7(0,—3),

m+0=n—4

{+3—3=0，

而_-3-V41__3+V41

则rn1---------------,m2----------------,

又-^-m2+2m—3—3=0,

44

qQ

—m2+—m—3=3,即加=3,

___________F

.・，(-3；@,3)闾-31@,3)

综上所述，存在3个点：国—3,—3),同一31五⑷闾-3.711用.

【点睛】本题主要考查了求二次函数的关系式，求一次函数的关系式，解一元二次方程，勾股定理，根据轴对称

求线段和最小，平行四边形的性质，注意多种情况讨论，不要丢解.

【题型3局长的最值问题】

9.((23-24•辽宁丹东•模拟预测)如图，对称轴为直线c=-1的抛物线y=a(x—/i)2+k(a¥O)图象与rr轴

交于点人、B(点、A在点B的左侧)，与y轴交于点C,其中点8的坐标为(2,0)，点C的坐标为(0,4).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如图1,若点P为抛物线上第二象限内的一个动点,点河为线段CO上一动点，当△4PC的面积最大

时,求△APM周长的最小值；

(3)如图2,将原抛物线绕点A旋转180°,得新抛物线y',在新抛物线y'的对称轴上是否存在点Q使得

△ACQ为等腰三角形？若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在，说明理由.

【答案】⑴夕=—'!~(力+1户+.

(2)2713+275

⑶存在，(-7,“场)或(-7.-V23)或(-7,7)

【分析】(1)根据对称轴为直线2=一1,可得无=一1,再把点(2,0),(0,4)代入解析式即可求解；

(2)过点P作的平行线PN,当直线PN与抛物线只有一个交点时，4APC面积最大，由此可对称点P的

坐标；再根据轴对称最值问题可求出△APM周长的最小值；

(3)由(1)可得原抛物线的顶点坐标，由旋转的性质可得y，的顶点坐标，进而可求出式的对称轴；则需要分类

讨论①当AC=AQ时；②当CA=CQ时;③当Q4=QC时，分别建立方程求解即可.

【详解】(1)解：：抛物线y=a(x—h)2+k(aWO)的对称轴为直线x=—1,

：.x=h=­1,

・・・抛物线过点B(2,0),点0(0,4),

.f(z(2+1)2+fc=0

•••U(O+l)2+fc=4，

・・.抛物线的解析式为：y3+1)2+1.

⑵由⑴知函数解析式为：y――今(劣+1)2+

4(—4,0),

直线AC:y—x-\-4：,

过点P作PN〃人C,设直线PN的解析式为：y=①+加，

当△AP。的面积最大时，直线PN与抛物线有且仅有一个交点，

令①+?7i=—*(a:+I)2+,整理得"+4a:+2m—8=0,

.•.△=42-4(2m-8)=0,

解得：m—6,

.•.炉+4c+4=0,

.•.，=—2,即P(—2,4);

作点人关于9轴的对称点H,连接4P交9轴于点河，如图1,此时AAPM的周长最小,

•••4—4,0),

•••4(4,0),

A'P=V(-2-4)2+(4-0)2=2V13,AP=V(-2+4)2+(-4-0)2=275,

.•.△APAf周长的最小值为：2/^+2，.

⑶由⑴知原抛物线的顶点坐标一吟),绕点A旋转后的顶点D'(—7,—

y'的对称轴为直线多——7;

设点Q的坐标为(一7力，

若△ACQ是等腰三角形，则需要分类讨论：

①当=时，如图2;

(-4-0)2+(0-4)2=(-4+7)2+(0-1)2,解得t=±V23;

Q(-7,V23)或(-7,-V23);

②当C4=CQ时；

A(-4-0)2+(0-4)2=(0+7)2+(4—,无解；

③当QA=Q。时，如图3,

(-4+7)2+(0-疗=(0+7)2+(4—解得t=7,

AQ(-7.7).

综上可知，存在,点Q的坐标为(-7,V23)或(一7,—•>(/23)

或(-7,7).

【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积最值问题，轴对称最值问题,

等腰三角形存在性问题，(2)关键是求出点P的坐标；(3)关键是进行正确的分类讨论，根据两点间距离公式

建立方程.

10.(23—24九年级.山东淄博・期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线,=-十d+尻+。与2轴交于

A(-2,0),5(6,0)两点，与“轴交于点。，点P为直线上方抛物线上一动点.

⑴求抛物线的解析式;

8

(2)过点A作AD//交抛物线于。，若点E为对称轴上一动点,求工班周长的最小值及此时点E的

坐标；

⑶过点A作AD//BC交抛物线于。，过点E为直线AD上一动点,连接CP,CE,BP,BE,求四边形

BPCE面积的最大值及此时点P的坐标.

【答案】(1)。=—^-a:2+/+3

(2)ABED的周长最小为50+画，E的坐标为(2,—2)

⑶四边形BPCE的面积最大为号■，此时P(3,号)

—\x4—26+c=0

【分析】(1)把4(—2,0),3(6,0)两点代入抛物线的解析式得到《f，求解即可得出答案；

—4x36+66+c=0

(2)求得。(0,3),待定系数法求出直线B。的解析式为"=一1~c+3,从而得出直线AD的解析式为夕=

1

——X—1,联工《]得出。(8,—5),_8关于抛物线的对称轴对称，直线4D与对称轴的爻点

2[y=-^x2-\-x-\-3

即为点石，此时E4=石石，的周长为跳;+。£+石。=AD+BO最小，求出4D=5，5,=〃为，即

可得解；

(3)过点P作①轴的垂线，交直线8。于点Q,设点P的坐标为(加，一^m2+m+3),则Q(m«,—于m+3),则

2M2

PQ——^m+m+3—(—^?n+3)=——7Tzz，求出边形BPCE=S^BCE+S邸CP=—|~+12,

由二次函数的性质即可得出答案.

【详解】⑴解：。・•抛物线。=―++c与力轴交于4(—2,0),B(6,0)两点，

―\X4—2b+c=0

—~r

4X36+6b+c=0

解得p=;,

[c=3

抛物线的解析式为：g=―巳力之+N+3；

(2)解：由抛物线y——~，加2+/+3可得，当i=0时，g=3,

・・・C(0,3),对称轴为直线力=------——=2,

2x(T)

设直线的解析式为夕=fcc+p,代入点B,点。的坐标得，(2=3

[6k+p=0

解得卜=+,

lp=3

直线BC的解析式为y=—yrr+3,

•：AD//BC,

：.可设直线AD的解析式为y——■■+q,代入点A的坐标得，—去X(—2)+q—0,

解得q=-1,

直线AD的解析式为“=——,一1,

1

iy=--^x—l

联立g=---x2+T+3i,

4]。=+2+/+3，

解得f=8f=；2,

[y=-5[y=0

•e•-0(8,—5),

•・,如图，4,_B关于抛物线的对称轴对称，

・・・直线AD与对称轴的交点即为点石，此时EA=EB,

・・.EB+即=胡+即=4。最小，

・・・^BED的周长为跳;+。£+石。=4。+石。最小，

•・•直线40的解析式为y——发力一1,当力=2时，y=—2,

・・.E的坐标为(2,—2),

,•*AD—J(—2—8)2+[0—(—5)r=5^/5,BD—(8—6)24~(—5—0)2—A/29,

・・.△BED的周长最小为5V5+V29;

(3)解:如图，过点P作/轴的垂线，交直线于点Q,

设点P的坐标为(m,一■：7722+馆+3),则Q(m,—由m+3),其中0VmV6,

/.PQ=--+m+3—(--^-馆+3)=--^-m2+

4'2/42

・・•AD//BC,

SgCE=S^CA=x8x3=12,

S四边形BPCE~SmcE+S^BCP—x6(一■^-m2+-|-?7i)+12=―^-m2+-|-m+12,

9_

当馆=------——=3时，四边形BPCE的面积最大为孕，此时P(3,毕).

2x(-1)4'4，

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的综合应用、勾股定理、待定系数法求一次函

数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键.

11.(23-24九年级•全国・期末)如图抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-l,0),点C(O,3)，且08=OC.

___________W

⑴求抛物线的解析式及其对称轴；

(2)点D、E是直线T=1上的两个动点，且DE=1,点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小

值；

(3)点。为抛物线上一点，连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P的坐标.

【答案】(1)抛物线的表达式为：y——X2+2c+3,函数的对称轴为：7=1;

(2)710+1+V13

(3)点P的坐标为(4,-5)或(8,-45).

【分析】

(X)OB=OC,则点B(3,0),则抛物线的表达式为：y=a(x+1)(a?-3)=ax2—2ax—3a,即可求解；

⑵CD+AE=4£>+。。，则当4、。、。三点共线时，CD+AE=4D+。。最小，周长也最小，即可求解;

⑻SAPCB：SAPCA=EBx(y0-yp):,AEx(yc-yP)=BE:AE，即可求解.

【详解】⑴

解：；OB=OC,.•.点B(3,0),

则抛物线的表达式为：y=a(x+1)(z-3)=a(x2—2x—3)=ax2—2ax—3a,

故—3a=3,解得:a=-1,

故抛物线的表达式为：y=—x2+2力+3①，

函数的对称轴为：2=1;

⑵

解：四边形4CE必的周长=AC+DE+CD+AE,其中力。=60、DE=1是常数，

故CD+AE最小时，周长最小，

取点。关于直线2=1对称点取(2,3)，则CD=CD,

取点^(-1,1)，则AD=AE,

故：CD+=+则当4、。、。三点共线时，CD+AE=最小，周长也最小，

图1

四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE

=VW+1+A'D+DC

=m+1+4。

=V10+l+V13;

⑶

解:如图，设直线CP交2轴于点E,

图2

直线CP把四边形CBK4的面积分为3:5两部分，

又'''SXPCB；SI^CA=3EBx(yc—yP):—AEx(yc—yP)—BE：AE,

则BE：AE=3:5或5:3,

则AE=|■或

即：点E的坐标为墙,0)或怎,0),

将点E的坐标代入直线CP的表达式：y=kx+i,

解得:k=—6或—2,

故直线CP的表达式为：y=—26+3或g=—6c+3②

联立①②并解得：t=4或8(不合题意值已舍去)，

故点P的坐标为(4,-5)或(8,-45).

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，通过确定点A点来求最小

值，是本题的难点.

12.(23-24九年级•广东广州•阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,抛物线u=4+尻+c与非轴交于4、

8两点，与夕轴交于点C,其中点人的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,-3).

⑴求抛物线的解析式；

⑵如图1,E为△ABC边上的一动点，F为边上的一动点，。点坐标为(0,-2),

①求DE+EF的最小值②求△DEF周长的最小值；

(3)如图2,N为射线上的一点，河是地物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM

的同侧，且AM//CN,当为等腰三角形时，求点N的坐标.(直接写出点N的坐标，不要求写解

答过程)

【答案】(l)y=a;2—2a;—3

⑵①②尊

(3)(-^-,--j或(1+V2T,—2+V21)或(6+-\/2T,3+V21).

【分析】(1)利用待定系数法把问题转化为方程组解决；

⑵①设Q为。关于直线AB的对称点，连接QE,EF,根据点到直线的距离垂线段最短可知，当。i、E、F三

点共线，而且D}F_LBC时，ED+EF=DXE+EF最小，最小值为DVF,②设R为。关于直线4B的对称点，

以为。关于直线BC的对称点，连接。田，。2凡。。2.当D\,E.F.2共线时，△DEF的周长最小，最小

值为A2的长；

⑶求出直线AM的解析式，利用方程组求出点M的坐标，过点M■作,轴的平行线Z,过点N作y轴的平行线

交,轴于点P,交直线Z于点Q.分三种情形：当4M=AN时，当时，当AN=A<W时，分别构建方

程求解.

【详解】⑴解：:抛物线y=x2+bx-\-c经过点1(—1,0),点(7(0,—3).

.fl—b+c=0

"[c:—3

1c=—3

/.抛物线的解析式为"="—24一3;

(2)令夕=0,则力2-2%-3二0,

解得x=—1或3,

・•・5(3,0),

:.OB=OC=3,

・・・ABOC是等腰直角三角形，/OCB=45°

①设A为。关于直线48的对称点，连接。逐，EF,

WMl

ED+EF—D]E+EF,

根据点到直线的距离垂线段最短可知，当。、石、F三点共线，而且时，ED+EF=AE+EF最

小，最小值为D*,

如图1,过A点作AF_LBC,垂足为F,

此时△FGDi是等腰直角三角形，。尸=夺。01=空乂[2—(-3)]="|2，

故DE+EF的最小值为-|-V2;

②如解图设为关于直线的对称点，。为关于直线的对称点，连接。田，

2,RD4BDBCD2F,DXD2.

由对称性可知=DF=D2F,ABEF的周长=。田+防+。2尸,

；.当。i,E.F.2共线时，ABEF的周长最小，最小值为。12的长，

令夕=0,则d―22—3=0,

解得