初中数学《相交线与平行线》解答题、证明题重点题型分类（解析版）

专题02《相交线与平行线》解答题'证明题重点题型分类

专题简介：本份资料专攻《相交线与平行线》中“利用平行线的性质求角”、“利用平行线的判定及性质

证明平行”、“利用平行线的判定及性质证明角相等”、“平行线中构造平行线”解答题、证明题重点题

型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1：利用平行线的性质求角

方法点拨：题目中出现两直线平行的条件时，应立即想到平行线的三个性质，要注意分析图

形特征，明确角与角的位置关系从而明确角与角之间的数量关系是相等还是互补。平行线还

通常会和角平分线、垂线等知识结合，求角的度数时需要根据已知条件综合利用角平分线、

垂线的定义以及对顶角、领补角互补等性质求解！

1.如图，已知：DEHBC,CD是乙4cB的平分线，48=80。，乙4=50。，求：NEDC与乙BDC的度数.

【分析】先根据三角形内角和定理求出乙4c2=50。，再由角平分线的定义求出

则由三角形内角和定理可求出乙8OC=180。-48-乙BCD=75。，再由平行线的性质即可得到

乙EDC=£BCD=25°.

【详解】解：••・4=50°,z5=80°,

“C5=180。-乙45=50。，

•••CD平分乙4C5,

/.ZBCD=ZACD=-ZACB=25°,

2

工乙BDC=18。。-乙B-cBCD=75。,

,:DEIIBC,

:.乙EDC=cBCD=25。.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练

掌握相关知识进行求解.

2.两个直角三角板如图摆放，其中血。=乙切/=90。，4£=45。，ZC=3O°,45与。尸交于点"，

BC//EF,求乙的度数.

【答案】75。

【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可算出乙F和4的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出

NA/D8的度数，在△8WZ）中，利用三角形内角和可求出N8MD的度数.

【详解】解：如图，

在和△。£尸中，^BAC=^EDF=90°,ZE=45°,ZC=30°,

.­.ZB=9O°-ZC=6O°,

立尸=90。_必=45。，

■■BC//EF,

:ZMDB=£F=45°,

在△8A®中，乙BMD=180°—乙B—乙MDB=15°.

【点睛】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个角的度数是解

题关键.

3.如图所示，AB//CD,G为48上方一点，E、尸分别为/2、CD上两点，UEG=4乙GEB,

乙CFG=24GFD,NGE8和NGFD的角平分线交于点“，求NG+N”的值.

C

【答案】NG+Z/436。.

【分析】先设/G匹=2x,/GFD=2y,由题意可得//EG=8无，ZCFG=4y,由2x+8x=180。，

2y+4y=180。，从而求出x，V；根据题意得N4EG=NG+NC尸G,NAEH=NH+NCFH,从而得到

/G+/H的值.

【详解】解：设NGEB=2x,NGFD=2y,

由题意可得，N/EG=8x,ZCFG=4y,

由2x+8x=180°,2y+4y=180°,解得x=18。,y=30°；

由靴子图4EGFC知，ZAEG=ZG+ZCFG,即8x=/G+4y

由靴子图/£印7c知，ZAEH=NH+NCFH,即

即8x=NG+4y,9x-Z.H+5y,

ZG+Z//=17x-9j=17xl8°-9x30°=36°

【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是设NGEB=2x,ZGFD=2y,由题意得到x,＞的关系式，

正确将/G+/H表示成无，N的形式.

4.如图所示，AB//CD,点£为两条平行线外部一点，月为两条平行线内部一点，G、H分别为AB、CD±

两点，GB平分乙EGF,HF平分乙EHD,且2乙F与此互补，求z£G厂的大小.

【答案】^EGF=nO°.

【分析】过点歹作何045,设于可的交点为N,先设/EGB=x,/EHF=y,贝lj

/BGF=x,/FHD=y,由题意及平行线的性质得/方=/5G尸+/。/加，ZEGB=ZE+ZEHD,得到

Z.F=x+y,x=Z.E+2y,由于2/F与/£互补，得到2x+2y+x-2y=180。，最终问题可求解

【详解】解：过点尸作月朋1|力5,设AB于EH的交点、为N,如图所示：

设/EGB=x,/EHF=y,

・：GB平分（EGF,HF平令5HD,

.・./EGB=ZBGF=x,/EHF=ZFHD=y,

-ABIICD,

・•.ZFGB=ZGFM,ZMFH=/FHD,ZENB=/EHD,

.・./GFH=ZGFM+/MFH=ZBGF+/DHF,AEGB=NE+4ENB=NE+/EHD,

即/F=x+y,x=Z.E+2y,

•・・2/尸与/£互补，

：.2x+2y+x-2y=].80°,

3%=180。，

.•・x=60°,

ZEGF=x+x=120°.

【点睛】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质，解题的关键是设==且由题意得

到无，了的关系.

5.如图，CD〃48,点。在直线上，OE平分乙BOD,OF1OE,乙0=110。，求乙D。尸的度数.

【答案】35。

【分析】根据平行线的性质求得ND08,根据角平分线和垂直求解即可.

【详解】解：•••CD〃/2

ZDOB=ZD=110°

,：OE平分乙BOD

;"DOE=LNDOB=55。

2

又vOFLOE

：.NEOF=90°

ZDOF=/EOF-ZDOE=90°-55°=35°

故答案为：35°

【点睛】此题考查了平行线、角平分线以及垂直的性质，解题的关键是掌握并利用它们的性质进行求解.

6.小明同学遇到这样一个问题：

如图①，已知：AB\\CD,E为AB、CD之间一点，连接BE,ED,得到乙BED.

求证：/.BED=Z.B+Z.D.

小亮帮助小明给出了该问的证明.

证明：

过点£作EFWAB

则有48斯=乙8

■■■ABWCD

.'.EFWCD

.'.Z.FED=Z.D

“BED—Z.BEF+Z-FED—Z,B+Z-D

请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题:

(1)直线川出，直线斯和直线小/2分别交于C、。两点，点43分别在直线QL上，猜想：如图②,

若点尸在线段CD上，^PAC=15°,乙PBD=40°,求乙4尸8的度数.

(2)拓展：如图③，若点尸在直线£尸上，连接尸/、PB(BDVAC),直接写出乙尸/C、乙LPB、"8。之

间的数量关系.

图①

【答案】(1)55°；(2)当尸在线段CD上时，UPB=4PAC+4BD；当尸在DC延长线上时，

UPB=LPBD-LPAC；当P在C©延长线上时，UPB=LPAC-乙PBD；

【分析】(1)过点尸作PG〃/i，可得乙4PG=NP/C=15°,由IJh，可得尸G〃2，贝UN2PG=N依£)=40°,即可

得至尸G+NBPG=55°；

(2)分当P在线段CD上时；当尸在DC延长线上时；当尸在CD延长线上时，三种情况讨论求解即

可.

【详解】解：(1)如图所示，过点尸作尸G/i，

“尸G=NP/C=15°,

''h/Hi,

:.PGIII”

；•乙BPG=APBD=40°,

,.上APB=UPG+乙BPG=55°；

(2)由(1)可得当尸在线段CD上时，UPB=4PAC+乙PBD；

如图1所示，当尸在。。延长线上时，过点尸作尸G，i，

・••乙APG=PAC,

^PG//l2,

：.乙BPG=^PBD=40。,

；,UPB=LBPG-UPG=LPBD-^PAC；

如图2所示，当。在延长线上时，过点。作OGI%,

・••乙4PGMPAC,

:.PGIh

・・.LBPG=LPBD=4。。,

・•.UPB=UPG乙-BPG=^PAC-乙PBD：

・••综上所述，当月在线段C。上时，Z-APB=ZJ)AC+Z-PBD^当尸在延长线上时，4PB=^PBD-乙PAC；

当产在CQ延长线上时，UPB=(PAC-乙PBD.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质.

考点2：利用平行线的判定及性质证明平行

方法点拨：“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类

题目必须要掌握好平行线的判定方法。

1.如图，已知016,乙3=44,那么直线c与直线d平行吗？请说明理由.

d

【答案】直线c与直线d平行，理由见解析

【分析】根据平行线的性质得出42=24,进而得出N3=N2,再根据平行线的判定证明即可.

【详解】解：直线c与直线d平行，

证明：

•••z.2=z.3,

•・23=N4,

.••z.4=z2,

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定进行推理证明.

2.根据下列证明过程填空，请在括号里面填写对应的推理的理由.

如图，已知Z.1+42=180。，且N1=ZD,求证：BCWDE.

证明：•.21+42=180。（已知）

又♦./1=43.

.•22+43=180。（等量代换）

.-.z4=zl.

又"1=力（已知）

.•.〃>=（等量代换）

：.BC\\DE（）.

32

B二

DB

【答案】对顶角相等；8;两直线平行同位角相等；44；内错角相等两直线平行

【分析】根据已知条件及对顶角相等的性质可得：Z2+Z3=180°,依据平行线的判定定理：同旁内角互补,

两直线平行可得：AB//CD；由平行线的性质可得：N4=/l,根据等量代换可得：ZZ）=Z4,由内错角

相等，两直线平行即可证明.

【详解】证明：•••Zl+Z2=180°（已知）

又=（对顶角相等）.

.-.Z2+Z3=180o（等量代换）

AB//CD,

.•.Z4=Z1（两直线平行，同位角相等）.

又=（已知）

ZD=Z4（等量代换）

.■.BC//DE（内错角相等，两直线平行）.

故答案为：对顶角相等；CD；两直线平行，同位角相等；Z4；内错角相等，两直线平行.

【点睛】题目主要考查平行线的判定定理和性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质定理是解题关

键.

3.已知：如图，b//a,eg,Z1,N2,23是直线a,b,c被直线d截出的同位角.求证：b//c.

【答案】证明见解析.

【分析】根据6〃。，两直线平行，同位角相等/2=/1,同理./3=/1.根据等量代换可得/2=/3.根

据平行线判定定理同位角相等，两直线平行可得b〃c即可.

【详解】证明：（已知），

.•.Z2=Z1（两直线平行，同位角相等）.

clla（已知），

.•./3=/1（两直线平行，同位角相等）.

：./2=/3（等量代换）.

■.bile（同位角相等，两直线平行）.

【点睛】本题考查平行线性质定理与判定定理的综合应用，掌握平行线性质定理与判定定理是解题关键.

4.完成下面的说理过程：如图，在四边形中，E、尸分别是CD、AB,延长线上的点，连接£尸，分

别交40,8c于点G、H.己知N1=N2,乙4=NC,对/D/ABC和N3//CD说明理由.

理由：Zl=Z2(已知)，

Zl=AAGH(),

：22=NAGH(等量代换).

.-.AD/IBC().

•；NADE=NC().

,；N4=NC(己知),

ZADE=ZA().

.-.ABUCD().

【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两

直线平行.

【分析】先根据同位角相等，两直线平行，判定山C,进而得到乙4DE=NC,再根据内错角相等，两直线

平行，即可得到/价CD

【详解】证明：•.21=42（已知）

小乙4GH（对顶角相等）

：22=UGH（等量代换）

■■ADWBC（同位角相等，两直线平行）

:.UDE=4（两直线平行，同位角相等）

•.•乙4=NC（已知）

•-Z-ADE=Z-A

.■.AB^CD（内错角相等，两直线平行）.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位

置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.

5.完成下列证明过程，并在括号内填上依据.

如图，点£在N8上，点尸在CD上，N1=N2,N8=NC,求证/8||CD

证明：,.・N1=N2（已知）,zl=z4

“2=（等量代换），

.­■WBF（）,

.•z3=N（）.

又•.•乙B=NC（已知）,

：■/.?>=Z.B

：.AB^CD（）.

【答案】Z4；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行

【分析】根据平行线的判定和性质解答.

【详解】解121=42（已知），Z1=Z4（对顶角相等），

.•Z2=N4（等量代换），

.•.CEIIB/（同位角相等，两直线平行），

.•.z3=zC（两直线平行，同位角相等）.

又...必=4。（已知）,

.•.Z3=N8（等量代换），

.■.ABWCD（内错角相等，两直线平行）.

故答案为：对顶角相等；CEII8R同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两

直线平行.

【点睛】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答.

6.如图，点E,尸分别在CD上，AFLCE,垂足为点O.已知N1=N8,44+/2=90。.

（2）若/尸=12,BF=5,AB=13,求点尸到直线N8的距离.

【答案】（1）证明过程见解析；（2）指

【分析】（1）应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案；

（2）设点尸到直线AB的距离为h，根据等面积法可得SMFB=^AF-FB=^AB-h,代入计算即可得出〃的值,

即可得出答案.

【详解】（1）证明：因为=（已知），

所以CE//BF（同位角相等，两直线平行），

因为/尸，CE（已知），

所以/尸_12尸（垂直的性质），

所以44E8=90。（垂直的定义），

ZAFC+ZAFB+Z2=180°（平角的定义）.

即N4尸C+N2=90°,

又因为N/+N2=90,

所以乙4RC=/N（同角的余角相等），

所以48//CD（内错角相等，两直线平行）；

（2）解：因为N尸1.昉（已证），且/斤=12,BF=5,AB=13.

设点尸到直线的距离为九

所以尸.所=：］〃〃，

所以;xl2x5=gxl3〃,

口

即rt〃7=——60,

13

所以点尸到直线AB的距离为

【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，解题的关键是熟练应用平行线的判定与

性质和点到直线的距离计算方法进行计算.

考点3：利用平行线的判定及性质证明角相等

方法点拨：判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。“由线定角”，即运用

平行线的性质来推出两个角相等或互补。

1.填写推理理由：如图，CDWEF,Z1=Z2,求证：/3=乙4cB.

证明：・•・CDIIER

.••zDC5=z2

,.,zl=z.2,.

■■.GDWCB_

：/3=UCB

【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等.

【分析】根据两直线平行，同位角相等可以求出NOC8=42,等量代换得出ZZ»C8=N1,再根据内错角相等,

两直线平行得出G0IIC5,最后根据两直线平行，同位角相等，所以N3=41C'

【详解】证明：,•,CDIIER

“DCBF（两直线平行，同位角相等），

•­•zl=z2,

；.乙DCB=41（等量代换）.

.■.GDWCB（内错角相等，两直线平行）.

.-.A3=AACB（两直线平行，同位角相等）.

故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，并准确识图是解题的关

键.

2.如图，在下列解答中，填写适当的理由或数学式：

II;（）

（2）-：^B+^BDE=180°,（已知）

II;（）

（3）-DEWBC,（已知）

•'•Z-AED=Z-；（）

（4）-ABWEF,（已知）

■'-Z-ADE=Z..（）

【答案】⑴AB；EF；同位角相等，两直线平行；（2）OE；BC；同旁内角互补，两直线平行；（3）C；

两直线平行，同位角相等；（4）DEF-,两直线平行，内错角相等

【分析】（1）根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，即可得；

（2）根据平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行，即可得；

（3）根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可得；

（4）根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，即可得.

【详解】解：（1）-：AA=ACEF,（己知）

.■.AB//EF,（同位角相等，两直线平行）；

（2）•；NB+NBDE=180°,（已知）

.■.DE//BC,（同旁内角互补，两直线平行）；

（3）-：DE//BC,（已知）

.・"AED=NC,（两直线平行，同位角相等）

（4）-.-AB//EF,（已知）

ZADE=ZDEF（两直线平行，内错角相等）.

故答案为：（1）/3；EF-,同位角相等，两直线平行；Q2）DE；BC-,同旁内角互补，两直线平行；（3）

C；两直线平行，同位角相等；（4）DEF；两直线平行，内错角相等.

【点睛】题目主要考查平行线的判定定理和性质，熟练掌握理解平行线的性质定理并结合图形是解题关

键.

3.请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：

己知：如图，zl—Z.2,/.A—Z.D.

求证：z5=zC.

证明：・21=42,（已知）

又：•.21=43,（）

；22=（等量代换）

:.AE//FD（同位角相等，两直线平行）

:.U=^BFD（）

•：Z.A=Z-D（已知）

："=（等量代换）

•­.WCD（）

:.乙B=幺C（）

【答案】对顶角相等；43；两直线平行，同位角相等；上BFD；AB；内错角相等，两直线平行；两直线平

行，内错角相等

【分析】根据对顶角相等，平行线的性质与判定定理填空即可.

【详解】证明：•.21=42,（已知）

又：•.21=43,（对顶角相等）

.•.42=43（等量代换）

:.AE//FD（同位角相等，两直线平行）

・•・U=KBFD（两直线平行，同位角相等）

•••乙4=zZ>（已知）

:.乙D=LBFD（等量代换）

.■.ABWCD（内错角相等，两直线平行）

（两直线平行，内错角相等）.

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键.

4.完成下面的证明.

如图，已知AD12C,EF1BC,Z1=Z2,求证：^BAC+AAGD=18O°.

证明:-.-ADLBC,EF1BC（已知）,

；/EFB=9Q°,^ADB=90°（）,

；/EFB=UDB（等量代换），

.-.EF//AD（）,

；/l—BAD（）,

又♦•21=42（已知），

.•.z2=z（等量代换），

-.DG//BA（内错角相等，两直线平行），

：.^BAC+^AGD=\^°（）.

【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；BAD-,两直线平行，同旁内

角互补

【分析】先由垂直的定义得出两个90。的同位角，根据同位角相等判定两直线平行，根据两直线平行，同位

角相等得到=再根据等量代换得出NR4Q=N2,根据内错角相等，两直线平行，最后根据两直线

平行，同旁内角互补即可判定.

【详解】解：•・•/D15C,EFVBC（已知），

；/EFB=90°,UDB=90°（垂直的定义）,

:2EFB=UDB（等量代换），

-.EF//AD（同位角相等，两直线平行），

：Z1=ABAD（两直线平行，同位角相等），

又♦.21=42（已知），

S—BAD（等量代换），

.■.DG//BA（内错角相等，两直线平行），

.•.NA4C+乙4GD=180。（两直线平行，同旁内角互补）.

故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；BAD,两直线平行，同旁

内角互补

【点睛】本题考查的是平行线的性质及判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是关键.

5.如图，UGB=^EHF,乙C=LD.

（1）求证：BD\\CE-,

（2）求证：Z^=ZF.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）由UG8=41,UGB—EHF,可得N1=N£7/F,则8D||CE；

（2）由2DIICE,可得〃>=42,则N2=NC,推出4C||DR则^=".

【详解】证明：（1）••・乙4G8=N1,UGB-EHF,

：.乙1二花HF,

■■.BDWCE；

（2）-：BD\\CE,

・•・乙。=42,

•・•〃>=4C,

•••42=4。，

•­ACWDF,

••・乙4=乙凡

cBA

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质与判定条件是解题的

关键.

6.如图所示，ADLBC,EF1BC,N3=NC,则N1和N2什么关系?并说明理由.

【分析】根据题目已知得出N。//跖，由平行线的性质可得/1=/4,由/3=/C可证明。G/A4C,故可

得-2=-4,等量代换即可得出答案.

【详解】Z1=Z2.理由如下：

ADLBC,EF1.BC,

ZADB=ZEFB,

.•./O//E尸（同位角相等，两直线平行），

.•.N1=N4（两直线平行，同位角相等），

N3=/C,

.•.OG///C（同位角相等，两直线平行），

二./2=/4（两直线平行，内错角相等），

;./1=/2（等量代换）.

【点睛】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键.

考点4：平行线中构造平行线

方法点拨：平行线的构造主要解决的是平行线间的折线问题。而构造的方法大致有三种：过

拐点做已知直线的平行线、做延长线、做封闭图形。最基本的两种图形，是铅笔模型和猪蹄

模型。

1.如图1,CE平分乙4CD,4E平分乙BAC,AEAC+^ACE=90°,

(1)请判断与CD的位置关系并说明理由；

(2)如图2,当NE=90。且N8与CD的位置关系保持不变，移动直角顶点£,《吏乙MCE=4ECD,当直角顶

点E点移动时，问NA4E与是否存在确定的数量关系？并说明理由；

(3)如图3,P为线段NC上一定点，点。为直线CD上一动点且48与CD的位置关系保持不变，当点0

在射线CD上运动时(点C除外)NCPQ+NCQP与乙BNC有何数量关系？猜想结论并说明理由.

图1

【答案】(1)平行，理由见解析；(2)^BAE+^MCD=90°,理由见解析；(3)乙BAC=£PQC+乙QPC,

理由见解析.

【分析［4)先I艮据CE平分UCD,4E平分44c可得^BAC=2^R4C,"CD=2^4CE,再由N£/C+Z^CE=90。

可知乙B/C+乙4co=180,根据平行线的判定定理即可得出结论；

(2)如图，过E作跖||/8,由NW/CZ)可得£F||/5||CD,根据平行线的性质可得乙1所，

AFEC=ADCE,可得"NE+NEC£>=90。，再由ZA/CE=N£C£>即可得出结论；

(3)如图，过点C作CW/尸。，可得乙PQC=LMCN,乙QPC"PCM,根据/8||。可知乙8/C+乙4CZ)=180。，

1^2LPCQ+APCM+AMCN=180°,可得N0PC+"0C+NPC2=18O°,即可得出N3/C=NPQC+N0PC.

【详解】(1)•.(£•平分乙4CD,4E平分乙BAC,

:ZBAC=2乙EAC,UCD=2UCE,

■■■^EAC+AACE=90°,

■■.ABAC+/-ACD=180°,

■■ABWCD

(2)4BAE+g乙MCD=9Q°；理由如下：

如图，过E作E尸11/8,

■■ABWCD,

.-.EF\\AB\\CD,

；/BAE=4EF,乙FEC=3CE,

々EC=，4EF+乙FEC=9。。,

"BAE+AECD=9。。,

“MCE=d：CD=；Z.MCD,

.ZBAE+gAMCD=9。。.

(3)如图，过点。作CM//尸。，

：^PQC=Z-MCN,乙QPC=(PCM,

-ABWCD.

：.^BAC+^ACD=180°f

•・•△尸C0+2尸OV什乙版C7V=180。,

•••4。尸C+乙尸0C+乙尸。。=180°,

.\Z.BAC=/-PQC+Z-QPC.

【点睛】本题考查平行线的判定与性质及角平分线的定义，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错

角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键.

2.直线45〃CD,直线£厂分别交力5、C。于点〃、N,NP平分/MND.

(1)如图1,若MR平分/EMB,则也与NP的位置关系是.

(2)如图2,若MR平分ZAMN,则VR与NP有怎样的位置关系？请说明理由.

(3)如图3,若MR平分NBMN,则与NP有怎样的位置关系？请说明理由.

图1图2图3

【答案】(1)MR//NP-(2)MR//NP,理由见解析；(3)MR1NP,理由见解析

【分析】(1)根据两直线平行，同位角相等可得/£儿必=/硒D,根据角平分线的意义可得

NEMR=|NEMB,ZENP=|ZEND,进而可得NEMR=NENP,即可判断MR〃N尸；

(2)根据两直线平行，内错角相等，角平分线的意义可得=即可判断MR〃NP；

(3)设交于点。，过点。作。G〃/8根据两直线平行，同旁内角互补，角平分线的意义，可得

ZBMR+NPND=90°,进而可得ZMQN=90°,进而判断拔？1NP.

【详解】(1)如题图1,,•・/3〃cr>

NEMB=ZEND

<MR平济NEMB,NP平分ZMND.

NEMR=-ZEMB,ZENP=-ZEND

22

NEMR=ZENP

MR//NP■,

(2)如题图2,•••AB//CD

ZAMN=ZEND

•••MR平分ZAMN,NP平分ZMND.

2RMN=-ZAMN,ZENP=-ZEND

22

NRMN=ZENP

MR//NP■.

(3)如图，设MR,PN交于点。，过点0作。G〃/8

•••AB//CD

ZBMN+NEND=180°,QG//CD

AMQG=ABMR,ZGQN=ZPND

•••MR平分NBMN,NP平分ZMND.

ZBMR=-ZBMN,ZPND=-ZEND

22

NBMR+/PND=90。

ZMQN=AMQG+ZNQG=90°

MR工NP；

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的意义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键.

3.己知：/8〃CD.点E在CD上,点、F,H在4B上,点G在48,CD之间，连接FG,EH,GE,乙GFB

=LCEH.

图2

(1)如图1,求证：GF//EH-,

(2)如图2,若乙GEH=a,平分乙4FG,EM平分乙GEC,试问四与a之间有怎样的数量关系(用含a

的式子表示NM)?请写出你的猜想，并加以证明.

(y

【答案】(1)见解析；(2)NFME=90。-3,证明见解析.

【分析】(1)由平行线的性质得到NCE"=NEHB,等量代换得出=即可根据“同位角相等,

两直线平行”得解；

(2)过点M作过点G作GP〃/2,根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可.

【详解】(1)证明：VABHCD,

NCEH=NEHB,

•••ZGFB=ACEH,

ZGFB=ZEHB,

:.GF//EH；

(2)解：ZFAffi=90°-1,理由如下：

如图2,过点〃作过点G作G尸〃N8,

图2

■：ABHCD,

:.MQ//CD,

ZAFM=ZFMQ,ZQME=AMEC,

ZFME=ZFMQ+ZQME=ZAFM+AMEC,

同理，ZFGE=ZFGP+ZPGE=ZAFG+ZGEC,

•・•FA/平分尸G,EM平分4GEC,

ZAFG=2ZAFM,ZGEC=2ZMEC,

ZFGE=2ZFME,

由（1）知，GF//EH,

ZFGE+ZGEH=180°,

NGEH=a,

N尸GE=180。-a,

2ZFME=\S0°-a,

ZFME=90°~—.

2

【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的关键.

4.已知4511cZ）,点是45,CD之间的一点.

（1）如图1,试探索41EC,/.BAE,乙DCE之间的数量关系；

以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：

解:过点E作尸EII/2（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）.

■：AB^CD（已知），

：.PE\\CD（）,

:.乙BAE=£1,3CE=L2（）,

.♦/BAE+U）CE=+（等式的性质）.

即乙4EC,乙BAE,乙DCE之间的数量关系是.

（2）如图2,点尸是N2,8之间的一点，AF平分的E,CF平分上DCE.

①若乙4EC=74。，求乙4FC的大小；

②若CG14F,垂足为点G,CE平分乙DCG,乙4EC+乙4尸C=126。，求乙B/E的大小.

图1图2

【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等，zl,Z2,乙4EC=

4BAE+4DCE；⑵①37。；@52°

【分析】（1）结合图形利用平行线的性质填空即可；

（2）①过尸作尸由（1）得：乙4EC=KBAE+3CE,»AB//CD,FG//AB,CD//FG,得出

UFC=L4FG+KGFC=KBAF+乙DCF,1艮据/尸平分NB/E,CF平分4DCE,可得乙B4F=之KBAE,乙DCF=

y3CE,根据角的和差41尸C=N24尸+NDCF=g乙1EC即可；

②由①得：^AEC=2^AFC,可求乙4尸C二42。，乙4EC=82。,根据CGL4F,求出NGCF=90-乙4FC=48。，根

据角平分线计算得出乙GCF=3乙DCF,求出乙DCF=16。即可.

【详解】解：（1）平行于同一条直线的两条直线平行，

两直线平行，内错角相等，

Nl,N2,

UEC=4BAE+3CE,

故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等，N1,42,乙4EC=

Z.BAE^Z.DCE,

(2)①过产作/

由(1)得：乙4EC-BAE+3CE,

-ABHCD,FGRAB,

•­CD//FG,

：ZBAF=，4FG,乙DCF=^GFC,

:•乙4FC=UFG+乙GFC=(BAF+(DCF,

•・・AF平分乙BAE,CF平分乙DCE,

・•・乙BAF=gcBAE,(DCF=；LDCE,

,,&FC=乙BAF+3CF,

——Z-BAE+Z..DCE,

=j-(乙BAE+3CE),

=^Z.AEC,

=1x74°,

=37。；

②由①得：UEC=2UFC,

-2LAEC+^AFC=126°,

­.2Z-AFC+^AFC=126O

.­.3ZG4FC=126°,

.4FC=42。,4EC=84。，

•:CGL4F,

••ZCG尸=90。，

.-.ZGCF=9O-Z^FC=48°,

••・CE平分乙DCG,

:.乙GCE=^ECD,

•；CF平分4DCE,

:"CE=23CF=2乙ECF,

「乙GCF=3乙DCF,

；/DCF=16°,

；"CE=32°,

:/BAE=AAEC-乙DCE=52°.

【点睛】本题考查平行线性质，角平分线有关的计算，垂直定义，角的和差倍分，简单一元一次方程，掌

握平行线性质，角平分线有关的计算，垂直定义，角的和差倍分，简单一元一次方程是解题关键.

5.在数学综合实践活动课上，老师让同学们以“两条平行直线和一块含45。的直角三角板E尸G

(NEFG=90。)”为背景，开展数学探究活动.如图，将三角板的顶点G放置在直线上.

(1)如图①，在GE边上任取一点P(不同于点G,£),过点尸作CD〃4B,且N2=4/l,求Z1的度数;

(2)如图②，过点E作CD//4B,请探索并说明//G/与/CE尸之间的数量关系；

(3)将三角板绕顶点G旋转，过点E作。//4B,并保持点E在直线的上方.在旋转过程中，探索2/G尸

与NC斯之间的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)27°；(2)ZAGF+ZCEF=90°；(3)①当点尸在直线CD的上方时，ZAGF-ZCEF=90°；

②当点尸在直线48与直线之间时，NAGF+NCEF=90°；③当点尸在直线4B的下方时，

ZCEF-ZAGF=90°.

【分析】(1)根据平行线的性质可知N1=NEGB,依据N2+NFGE+NEGB=180。，可求出N1的度数；

(2)过点尸作尸P//4B,得到b///B//CD,通过平行线的性质把//G/和/CE尸转化到BEFG上即可;

(3)分三种情形：①如图3-1中，当点尸在直线CD的上方时，②当点尸在直线A8与直线CD之间时,

NAGF+NCEF=9Q°.③当点尸在直线的下方时，分别利用平行线的性质解决问题即可.

【详解】解：(1)如图1中，

图1

•••AB//CD,

Zl=ZEGB,

•••Z2+ZFGE+ZEGB=180°,N2=4Z1,

4Zl+45°+Zl=180°,

解得/1=27。.

(2)ZAGF+ZCEF=90°,理由如下:

图2

QCD//AB,

..FP//AB//CD,

NAGF=ZPFG,NCEF=ZPFE,

ZPFG+ZPFE=ZAGF+ZCEF=ZEFG,

•・•/£尸G=90。，

ZAGF+ZCEF=90°；

(3)①如图3-1中，当点尸在直线的上方时，过点、F作MN//AB.

图3・1

\'MN//AB,AB//CD,

:.MN/ICDIIAB,

ZAGF=ZNFG,ZCEF=ZNFE,

ZNFG-ZNFE=/GFE=90°,

:.ZAGF-ZCEF=90°.

②当点尸在直线45与直线C。之间时，/AGF+/CEF=9U0,

如下图：

•：MNHCD,MNHAB,

/CEF=ZNFE,ZAGF=ZNFG,

・・・ZGFE=ZNFE+ZNFG=90°,

.\ZAGF+ZCEF=90°；

③当点尸在直线45的下方时，过点、F作MN//AB.

图3.2

•••MNHAB,AB//CD,

:.MN//CD//AB9

ZAGF=ZNFG,ZCEF=ZNFE,

ZNFE-GFN=ZGFE=90°,

ZCEF-ZAGF=90°.

综上所述，①当点P在直线C。的上方时，ZAGF-ZCEF=90°.②当点下在直线与直线CD之间时，

NAGF+NCEF=9Q°.③当点尸在直线的下方时，ZCEF-ZAGF=90°.

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，特殊三角形的性质等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造平行线解决问题，需要用分类讨论的思想思考问题.

6.已知/5//CD,点、E、尸分别在48、CD上，点G为平面内一点，连接EG、FG.

(1)如图1,当点G在48、CD之间时，请直接写出乙4£G、/CFG与/G之间的数量关系；

(2)如图2,当点G在48上方时，且以G尸=90。，求证：^BEG-U)FG=9