2025年中考数学思想方法复习【数形结合】几何图形中的数形结合思想（解析版）

几何图形中的数形结合思想

知识方法精讲

1.完全平方公式的几何背景

(1)运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对

完全平方公式做出几何解释.

(2)常见验证完全平方公式的几何图形

(a+b)2=/+2仍+62.(用大正方形的面积等于边长为0和边长为b的两个正方形与两个长

宽分别是a,b的长方形的面积和作为相等关系)

2.平方差公式的几何背景

(1)常见验证平方差公式的几何图形(利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证

图(3?

(2)运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平

方差公式做出几何解释.

3.七巧板

(1)七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形(两块小

形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形)、一块正方形和一块平行四边形.

(2)用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可

以拼成各种具体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号.

(3)制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格.②再

从左上角到右下角画一条线.③在上面的中间连一条线到右面的中间.④再在左下角到右

上角画一条线，碰到第二条线就可以停了.⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最

下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停.⑥最后，把它们涂上不同的颜色并

跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了.

4.轴对称的性质

(1)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

由轴对称的性质得到一下结论：

①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对

称；

②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线,

就可以得到这两个图形的对称轴.

(2)轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

5.坐标与图形变化-对称

(1)关于x轴对称

横坐标相等，纵坐标互为相反数.

(2)关于y轴对称

纵坐标相等，横坐标互为相反数.

(3)关于直线对称

①关于直线对称，P(a,b)=>P(2m-a,b)

②关于直线对称，P(a,b)nPQa,2〃-b)

6.旋转的性质

(1)旋转的性质：

①对应点到旋转中心的距离相等.②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转

角.③旋转前、后的图形全等.（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋

转角度.注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样.

7.解直角三角形

（1）解直角三角形的定义

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.

（2）解直角三角形要用到的关系

①锐角、直角之间的关系：ZA+ZB=90°；

②三边之间的关系：/+62=C2；

③边角之间的关系：

c°s/=N的对边=

坐里_=曳，噌?边=旦tan4=NAa

斜边C斜边CNA的邻边b

（q,b,C分别是N4/B、NC的对边）

8.简单组合体的三视图

（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图.

（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一

个平面上.

（3）画物体的三视图的口诀为：

主、俯：长对正；

主、左：iWi平齐；

俯、左：宽相等.

9.由三视图判断几何体

（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体

的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状.

（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：

①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的

长、宽、高；

②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；

③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；

④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法.

10.数形结合思想

1.数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直

观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用

了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

2.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问

题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函

数与图象的对应关系；（3）线与方程的对应关系；（4）所给的等式或代数式的结构含有明显

的几何意义。如等式。

3.巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形

结合的重点是研究“以形助数

4.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、

最值问题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理,

大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要

争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。

一.选择题（共17小题）

1.（2021秋•襄汾县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数

学著作《周髀算经》中.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称

之为“赵爽弦图”.现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾

股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和

公式的方法，简称为“无字证明”.在验证过程中它体现的数学思想是（）

bac

abc

A.函数思想B.数形结合思想C.分类思想D.统计思想

【考点】勾股定理的证明；数学常识

【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想.

【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，

它体现的数学思想是数形结合思想，

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法

体现的数学思想为数形结合思想.

2.（2021秋•金水区校级期末）如图是一种正方形地砖的花型设计图，为了求这个正方形地

砖的边长，可根据图示列方程（）

6x

A.4—2x=6xB.2+4x=6xC.2+6x=4xD.4+2x=6x

【考点】由实际问题抽象出一元一次方程

【分析】根据正方形的四条边的长度相等列出方程.

【解答】解：由正方形的性质知：4+2x=6x.

故选：D.

【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等

量关系，列出方程.

3.（2021秋•宣化区期末）在边长为°的正方形中挖掉一个边长为6的小正方形（a>6）.把

余下的部分剪拼成一个矩形（如图）.通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式,

则这个等式是（）

A.a1-b1=(a+b)(a-b)B.(a+Z?)2=a2+2ab+b1

C.(a-b)2=a2-2ab+b1D.a2-ab=a(a-b)

【考点】平方差公式的几何背景

【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下

的部分面积为/一〃；因为拼成的长方形的长为（0+6）,宽为他-6）,根据“长方形的面

积=长、宽”代入为：（a+6）x（a-6）,因为面积相等，进而得出结论.

【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为/-/；

拼成的长方形的面积：（a+6）x（a-b）,

所以得出：/一/=（a+6）（"6）,

故选：A.

【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面

积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论.

4.（2021•汝阳县二模）七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前

一世纪.为祝贺辛丑年的到来，用一副七巧板（如图①），拼成了“牛气冲天”的图案（如

【考点】七巧板

【分析】七巧板是由七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形

三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形.由此可知七

巧板中的角都是特殊的，出现的角是45。、90。、135。和180。，再求解即可.

【解答】解：七巧板中的角都是特殊的，出现的角是45。、90。、135。和180。，

NABC=45°,ZDEF=135°,

/4BC+/DEF=18。°,

故选：D.

【点评】本题考查七巧板，熟练掌握七巧板图形的构成特点，知道出现的角是45。、90°、135°

和180。是解题的关键.

5.（2021秋•雁塔区校级月考）如图，在A4BC中，AB=AC=10,BC=\2,点。为的

中点，DELAB于点、E,贝Ijtan/BOE的值等于（）

A

E,

BDC

A.-B.-C.-D.-

5643

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质；解直角三角形

【分析】连接ND,由A43c中，AB=AC=}0,BC=\2,D为8C中点，利用等腰三角

形三线合一的性质，可证得再利用勾股定理，求得的长，那么在直角A4BD

中根据三角函数的定义求出tanABAD,然后根据同角的余角相等得出NBDE=NBAD,于

是tanZBDE=tanABAD.

【解答】解：连接

•.•AXBC中，AB=AC=10,BC=12,。为3c中点,

ADIBC,BD=-BC=6,

AD7AB2-BD?=8,

tan/BAD=‘3

AD84

•/ADLBC,DELAB,

ZBDE+ZADE=90°,ABAD+NADE=90°,

ZBDE=/BAD,

3

tanNBDE=tanABAD=—，

4

故选：C.

【点评】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义以

及余角的性质.此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用.

6.（2021秋•禹州市期中）如图，在平面直角坐标系中，对A45C进行循环往复的轴对称变

换，若原来点C坐标是（5,2）,则经过第2022次变换后点C的对应点的坐标为（）

A.(-5,-2)B.(5,-2)C.(-5,2)D.(5,2)

【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化-对称

【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2022除以4,然后根据商和

余数的情况确定出变换后的点C所在的象限，然后解答即可.

【解答】解：点。第一次关于y轴对称后在第二象限，

点C第二次关于x轴对称后在第三象限，

点C第三次关于轴对称后在第四象限，

点C第四次关于x轴对称后在第一象限，即点N回到原始位置，

所以，每四次对称为一个循环组依次循环，

2022+4=505余2,

二.经过第2022次变换后所得的C点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为(-5,-2).

故选：A.

【点评】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称

为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点.

7.(2021秋•高青县期中)己知长方形的周长为16cm,它两邻边长分别为xcro,ycm,且

满足(x-y)2-2x+2y+l=0,则该长方形的面积为()

21zTQ

A.16cm2B.15cm2C.一cm2D.一cm2

24

【考点】完全平方公式的几何背景

【分析】由题意可求得f+2孙+「=64和2盯+/=1,则可求得孙的值，此题得以

求解.

【解答】解：由题意得，2(x+y)=16,

(x+y)=8,

/.(x+y)2=x2+2xy+j^2=82=64,

:.x-y=1,

(x-J?=x2-2xy+y2=\,

(x2+2xy+y2)-(x2-2xy+/)=4xy=64-1=63,

63

xy——

4

.•.该长方形的面积为上,

4

故选：D.

【点评】此题考查了运用完全平方公式的几何背景解决问题的能力，关键是能根据图形准确

列式并计算.

8.（2021秋•舞钢市期中）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几

何体形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，能表示该几何体从

左面看到的形状图是（）

【解答】解：左视图有3歹人每列小正方形数目分别为2,4,3,

故选：B.

【点评】本题考查几何体的三视图画法.以及几何体的表面积，由几何体的俯视图及小正方

形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列

小正方形数字中的最大数字.左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯

视图中相应行中正方形数字中的最大数字.

9.（2021秋•永春县期中）一块三角形玻璃不慎碰破，成了四片完整碎片（如图所示），假

如只带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅切一块与以前一样的玻璃，你认为下列说法正

确的是（）

A.带其中的任意两块去都可以B.带1、4或2、3去就可以

C.带1、3或3、4去就可以D.带1、4或2、4去就可以

【考点】全等三角形的应用

【分析】带2、4虽没有原三角形完整的边，又没有角，但延长可得出原三角形的形状；带

1、4可以用“角边角”确定三角形；带3、4也可以用“角边角”确定三角形.

【解答】解：带3、4可以用“角边角”确定三角形，

带1、4可以用“角边角”确定三角形，

带2、4可以延长还原出原三角形，

故选：D.

【点评】本题考查了全等三角形判定的应用；确定一个三角形的大小、形状，可以用全等三

角形的几种判定方法.做题时要根据实际问题找条件.

10.（2021秋•福州期中）在。。中，将圆心绕着圆周上一点/旋转一定角度。，使旋转后

的圆心落在。。上，则。的值可以是（）

A.45°B.60°C.90°D.180°

【考点】旋转的性质

【分析】首先依据题意画出图形，然后依据等边三角形的性质进行判断即可.

【解答】解：如图所示：

由旋转的性质可知：AO=AO',

：.OO'=OA=AO',

AOAO'为等边三角形.

0=AOAO'=60°.

故选：B.

【点评】本题主要考查的是旋转的性质、等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解

题的关键.

11.（2021秋•谢家集区期中）如图，AA8C与耳G关于直线对称，P为MN上任

一点（尸不与幺4共线），下列结论中错误的是（）

A.AP=AtP

B.AA8C与耳q面积相等

C.垂直平分

D.直线48,其月的交点不一定在上

【考点】三角形的面积；轴对称的性质；线段垂直平分线的性质

【分析】据对称轴的定义，A4BC与关于直线对称，P为上任意一点，

可以判断出图中各点或线段之间的关系.

【解答】解：•.•AA8C与关于直线对称，P为MN上任意一点,

AP=4P，

尸是等腰三角形，垂直平分44，，CC,这两个三角形的面积相等，A、B、C

选项正确；

直线4S,4夕关于直线对称，因此交点一定在上.。错误；

故选：D.

【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对

应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对

应的角、线段都相等.

12.(2021秋•三元区期中)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角

形，其中邑=4,SB=2,SC=2,SD=1,则S=()

【考点】勾股定理

【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可.

【解答】解：如图，

根据勾股定理的几何意义，可知:

s=sF+sG

=SA+SB+SC+SD

=4+2+2+1=9；

即S=9；

故选：C.

【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等

于斜边的平方.

13.（2021秋•邓州市期中）如图，在等边三角形48C中，45=4,点。是边上一点，

且5。=1,点尸是边5C上一动点（。、尸两点均不与端点重合），作/。尸E=60。，PE交

边4c于点E.若CE=a,当满足条件的点尸有且只有一个时，则。的值为（）

A.2B.2.5C.3D.4

【考点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质

【分析】先证明尸SAC尸£；利用相似三角形的性质得出比例式，进而建立关于5尸的一

元二次方程，再判别式=0,建立方程求解，即可得出结论.

【解答】解：...儿45。是等边三角形，

/B=NC=60°，

ZBDP+NBPD=180。—=120°,

•・•ZDPE=60°,

ZBPD+ZCPE=120。，

/BDP=ZCPE,

NB=NC=60°,

NBDPs^CPE；

BD_BP

，,~CP~~CE，

.1_BP

"4-BP~~a'

.•.BP—4BP+a=0,

•・•满足条件的点尸有且只有一个，

方程吕产一45尸+Q=0有两个相等的实数根，

△=42—4xq=0,

.,.(2=4.

故选：D.

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了等式的性质，相似三角形的判定和性质，利用方

程的思想解决问题是解本题的关键.

14.（2021春•雁塔区期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到

一个数学等式.例如，禾U用图1可以得至Ua（a+b）=/+a6,那么利用图2所得到的数学等

A.+Z?+0)?=/+〃+02

B.(Q+/?+c)2=2/+2b2+2c之

C.(a+b+c)2=a1-\-b1+c1+ab+be+ca

D.(〃+6+op=a?+/++2就+2bc+2ca

【考点】单项式乘多项式；完全平方公式的几何背景

【分析】图2的面积可表示为一个大的正方形的面积或所分成的9个图形的面积之和.

【解答】解：图2的面积可表示为：(a+b+c)(a+b+c)=(a+b+c)2

^a2+ab+ac+ab+b2+be+ac+be+c2=a2+b2+c2+lab+2?c+lac

贝1J有：(Q+b+op=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

故选：D.

【点评】本题考查了整式的几何意义，体现数形结合的思想,

15.（2021秋•海曙区校级期中）如图，所有矩形都是正方形，设最大正方形的边长是最小

D.9

【考点】相似三角形的判定与性质

【分析】如图，A>C、D、£为正方形的顶点，作/3LCD,交大正方形的边于点3,

于是得到A45CSACQE,而这两个相似三角形的相似比恰好是2:1,再设最小正方形的边

长为升，可以列方程求出〃的值，得出答案.

【解答】解：如图，4、c、D、E为正方形的顶点，作45LCZ）,交大正方形的边于点

B,

/ABC=/ACE=ZCDE=90°,

ZACB=90°-ZDCE=ZCED,

NABCSACDE,

AB_BC_AC

^D~~DE~~CE

设最小正方形的边长为r(r>0),贝!JAB=nr-r,BC=2DE=2r,CD=nr—2r—3r=nr—5r,

AB=2CD,

nr-r=2(nr-5r),

解得n=9,

故选：D.

【点评】此题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是通过作辅

助线构造相似三角形，再根据相似三角形的性质推出相等关系.

16.（2021春•罗湖区校级期中）在边长为。的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（q〉6）,

把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个

等式，则这个等式是（)

-b1=(a+b)(a-b)

C.(a+Z?)2=a2+2ab+b1D.(a—bp=/—2ab+ZJ2

【考点】平方差公式的几何背景

【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下

的部分面积为。2一从；因为拼成的长方形的长为(0+6),宽为(4-6),根据“长方形的

面积=长*宽”代入为：(a+b)x(a-b),因为面积相等，进而得出结论.

【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为/-/；

拼成的长方形的面积：(a+b)x.(a-b),

所以得出：a2-扶=(a+b)(a-b),

故选：B.

【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面

积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论.

17.(2018春•太原期末)如图，小明用长为ac加的10个全等的小长方形拼成一个无重叠,

无缝隙的大长方形，这个大长方形的面积为()

452

【考点】完全平方公式的几何背景

【分析】结合图形分析出小长方形的宽，从而计算大长方形的面积即可.

【解答】解：设小长方形的宽为，结合图形可得a=4x,x=—cm；

4

结合图形得大长方形的长为,宽为a+巴=2℃加

44

.,.大长方形的面积为2113a=-a1cm2

42

故选：D.

【点评】这道题主要考查整式的乘法，难度较低，数形结合是解决此题的关键.

—.填空题(共7小题)

18.(2021秋•平昌县期末)三国时期，数学家赵爽绘制了“勾股圆方图”，又叫“赵爽弦图”,

如图所示，AABH、NBCG>和AD/E是四个全等的直角三角形，四边形和

四边形所GH都是正方形，如果M=2,AH=6,那么四边形/BCD的面积等于

100

【考点】勾股定理的证明；数学常识

【分析】在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，则可得出答案.

【解答】解：AA88=A5CG,

BG=AH=6,

•.•四边形斯G8都是正方形，

HG=EF=2,

:.BH=S,

在直角三角形N/ffi中，由勾股定理得到：AB=y/AH2+BH2=A/62+82=10,

四边形/BCD的面积=10x10=100.

故答案为：100.

【点评】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角三角形的两直角边的长度.

19.（2021秋•沂水县期末）有两个正方形/、B,现将B放在/的内部得图甲，将/、B

并列放置后构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10,则正

【考点】完全平方公式的几何背景

【分析】设正方形/的边长为a,正方形3的边长为6,由图形得出关系式求解即可.

【解答】解：设正方形4的边长为“，正方形8的边长为6,

由图甲得。z-/-2(a-b)b=1即/+/-lab=1，

由图乙得3+6）2-/-从=10,2仍=10,

所以

故答案为：11.

【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系.

20.（2021秋•雁塔区校级月考）如图，A48c的顶点都在正方形网格的格点上，则tanZB/C

的值为

3

【考点】解直角三角形

【分析】过8作于D,根据正切函数的定义求解可得.

【解答】解：过B作BOL/C于D,

B

故答案为：—.

3

【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是构建直角三角形并掌握正切函数的定义.

21.（2021秋•朝阳区校级月考）如图，在ZUBC中，AB=AC,ADLBC,ABAD=28°,

且=贝l]NNED=_76。—.

【考点】等腰三角形的性质

【分析】由条件可先求得乙D/E,再根据等腰三角形的性质可求得N/ED即可.

【解答】解：•.•/?=/C,ADLBC,

NDAE=ZBAD=28°,

AD=AE,

ZAED=1（180°-ZDAE）=1x（180°-28°）=76°,

故答案为：76°.

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边上的高、中线和顶角的平分

线相互重合是解题的关键.

22.（2021秋•秦都区月考）已知几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

16万—.（结果保留万）

俯视图

【考点】由三视图判断几何体

【分析】根据三视图确定该几何体是圆锥，再根据圆锥的体积公式计算圆锥的体积即可求解.

【解答】解：这个几何体的体积为」xl6%x3=16万，

3

故答案为：16万.

【点评】此题考查三视图，关键是根据圆锥的体积公式计算圆锥的体积.

23.（2021秋•思明区校级期中）4张长为。、宽为6（。＞6）的长方形纸片，按如图的方式拼

成一个边长为+6）的正方形，图中空白部分的面积为，，阴影部分的面积为昆.

(1)若a=3,6=1,贝！JS]=11

（2）若耳=2邑，求0与6满足关系:

【考点】完全平方公式的几何背景；完全平方式

【分析】（1）根据题目条件计算5部分空白面积的和即可;

（2）由题意列式.2+2/=2［（0+6）2_面+2的］并整理即可.

【解答】解：（1）由题意得,

A=2x[―cib+—(6f+6)6]+-b)~=cib+ab+b~+ci~-2ab+b~=ci~+2b~,

.,.当“=3,6=1时,

22

St=3+2xl=9+2=11,

故答案为：11；

（2）由（1）结果百=/+262,可得,

a2+2b-=2[(a+b)2-(a2+2b2)],

整理得，a2-4ab+4h2=0,

即3-26)2=0,

a=2b,

故答案为：a=2b.

【点评】此题考查了运用完全平方公式的几何背景解决问题的能力，关键是能根据图形准确

列式，并运用完全平方公式进行运算.

24.（2021秋•襄汾县月考）有若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1

摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长

方形，其中阴影部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面

图1

【考点】完全平方公式的几何背景

【分析】设小长方形的长为。，宽为6,由图1可得»=35,由图2可得

（24+6）（4+26）=102,从而可求得2a6=16,则可计算出每个小长方形的面积为8.

【解答】解：设小长方形的长为0,宽为6,由图1可得,

(a—b)2-a2-lab+b2=35,

由图2可得，(2a+6)(a+26)-5a6

=2a2+5ab+2b2-5ab

=2a2+2b2

=102,

a2+b2=51,

从而可求得2仍=16,

解得ab=8,

故答案为：8.

【点评】此题考查了利用完全平方公式的几何背景解决问题的能力，关键是能结合图形列出

算式并计算.

三.解答题(共11小题)

25.(2021秋•东海县期中)如图1,在平面直角坐标系xOy中，QO的半径为1,点尸(-3,0).已

知点7是。。上一动点，点P关于点T的对称点为点4,我们称点耳为点尸关于QO的反射

(1)在点4(1,0),8(3,-2),C(l,l),。(5,0)中，不是点尸关于。。的反射点的是

C_；(只填写对应字母)

(2)若T点从(-1,0)逆时针运动到(0,-1),试求点尸关于O。的反射点片的运动路径长；

(3)若在直线y=x+6上存在点尸关于。。的反射点，求6的取值范围.

【考点】圆的综合题

【分析】(1)当点T在。。上运动时，点P关于。。的反射点片的运动轨迹是O。，，且0(3,0),

将/(1,0),8(3,-2),C(l,l),。(5,0)分别画到图中，由图形可直观观察到不是点尸关于。。

的反射点的是C,

(2)当T点从(-1,0)逆时针运动到(0,-1),点P关于。。的反射点片从(1,0)点逆时针运动

到(3,-2)点，即运动了!圆，所以运动路径长为：-7rr2=-x^x22=7t.

444

(3)根据题意可知，临界状态为：直线y=x+6与OO,相切，如下图所示：①直线y=x+4

与相切时，②直线y=x+d与。。'相切时，结合等腰直角三角形的性质可分别求出4和

打的值，进而得出结论.

【解答】解：(1)如图所示：当点T在。。上运动时，点尸关于。。的反射点耳的运动轨迹

由图可知，不是点尸关于。。的反射点的是C,

故答案为：C.

(2)当T点从(-1,0)逆时针运动到(0,-1),点P关于。。的反射点［从(1,0)点逆时针运动

到(3,-2)点，

即运动了!圆，

4

运动路径长为：—nr2=—x^-x22=n.

44

(3)根据题意可知，临界状态为：直线y=x+6与相切，如下图所示:

①直线y=x+4与O。'相切时,

可知（JM=ME=2,

O'E=2V2,OE=3-141,

£（3-272,0）,代入解析式可得々=-3+2后，

②直线y=x+4与O。'相切时，

可知O'N=NF=2,

O'F=2V2,OF=3+2V2,

.•.尸（3+2收，0）,代入解析式可得打=-3-2后，

若在直线y=x+b上存在点P关于QO的反射点，b的取值范围为-3-2缶23+272.

【点评】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、轴对称变换、中心对称等知识，解题的关

键是学会利用特殊点，特殊位置解决问题，学会画出图形解决问题，属于中考压轴题.

26.（2021春•萧山区期中）两个边长分别为a和6的正方形如图放置，其未叠合部分（阴影）

面积为耳，若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为6的小正方形（如图2）,两个

小正方形叠合部分（阴影）面积邑.

（1）用含a,6的代数式分别表示耳，邑；

（2）若。+6=15,ab=5,求耳+邑的值;

（3）当W+S2=64时，求出图3中阴影部分的面积

【考点】完全平方公式的几何背景

【分析】（1）根据面积公式的和差关系可得答案;

（2）利用整式的运算法则计算即可得到答案；

（3）根据面积公式的和差关系可得答案.

【解答】（1）由图可得，

22

S2=a--b)-b(a-b)-b{a-b)=2b-ab.

（2）S1+S-,=ci~—b~+2b~—ctb=cr+—cib.

"：a+b=15,ab=5,

121

Sx+S-,—a+b—ab=（a+b）—3ab—225-3x5=210.

（3）由图可得，邑=/+/-；6（4+6）-3。2=；（/+/一。6）

S[+*S*2—Q?+—ab-64,

v=1x64=32.

32

【点评】此题考查的是完全平方公式，掌握整式的运算法则是解决此题关键.

27.（2021春•临渭区期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直

观性，可以帮助理解数学问题.

（1）请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式.

（2）用4个全等的长和宽分别为。、6的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你写出这

三个代数式3+6）2、（a-。）？、M之间的等量关系.

(3)根据(2)中你探索发现的结论，完成下列问题：

①当Q+6=5,〃6=—6时，贝|〃一6的值为—±7—.

②设/=x+?3,B=x_2y_3t计算：(/+3)2-(/-3)2的结果.

【考点】完全平方公式的几何背景

【分析】(1)根据图形面积直接得出即可；

(2)用两种方法表示阴影部分的面积可得结论；

(3)①根据(2)中的等量关系代入计算可得结论；

②同理根据(2)中的公式代入可得结论.

【解答】解：(1)图1:(。+牙=/+2a6+62；

图2:(。-6)2=/一2必+62；

图3:(〃+b)(a-b)=a2-b2,

(2)图4:(Q+6)2-("6)2=4"；

(3)①由(2)知：(a+Z?)2-(a-b)2=4ab,

・「a+6=5,ab=-6J

5?-(Q-bp=4x(—6),

0-6)2=25+24=49,

a—b=9

故答案为：±7；

A=X+2^~3,B=x-2y-3,

(A+B)2-(A-B)2=AxB=^^^i(x-2j；-3)=(x+2^-3)(x-2^-3)=[(x-3)+2^][(x-3)-2j；]=x2-6x+9-4y2

4

【点评】本题是完全平方式的实际应用，完全平方式经常与正方形的面积公式和长方形的面

积公式联系在一起，要学会观察图形.

28.(2020秋•延边州期末)【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示

一些代数恒等式.

例如图1可以得到(。+^a2+2ab+b2,基于此，请解答下列问题：

(1)根据图2,写出一个代数恒等式：—(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+Ibc

(2)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：若a+6+c=10,ab+ac+be=35,则

a2+b2+c2=.

(3)小明同学用图3中x张边长为。的正方形，y张边长为6的正方形，z张宽、长分别为

a、6的长方形纸片拼出一个面积为(2a+6)(。+26)长方形，贝Ux+y+z=.

【知识迁移】(4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示

的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图

形的变化关系，写出一个代数恒等式：—.

【考点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；完全平方式；认识立体图形

［分析］(1)依据正方形的面积=(a++c)2；正方形的面积=a2+b2+c2+lab+2ac+2bc,

可得等式；

(2)a2+b2+c2-(a+b+c)2-lab-lac-2bc,进行计算即可;

(3)依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab,而

(2a+b)(a+2b)—2a2+4ab+ab+2b1—2a2+5b2+lab,即可得到x,y,z的值.

(4)根据原几何体的体积=新几何体的体积，列式可得结论.

【解答】解：(1)由图2得：正方形的面积=(a+b+Cy；正方形的面积

=a2+b2+c2+lab+2ac+2bc,

222

，(Q+6+C)2=a+b+C+lab+lac+2bc,...(2分)

故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+lab+lac+2bc；

(2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,

a+b+c=10Jab+ac+be=35f

:.1O2=a2+b2+c2+2x35,

tz2+/72+c2=100-70=30,

故答案为：30；…(4分)

(3)由题意得：(2a+b)(a+2b)=xa2+yb2+zab,

/.2a2+5ab+2b2=xa2+yb2+zab，

x=2

..<y=2,

z=5

x+y+2=9,

故答案为：9；…(6分)

(4),・,原几何体的体积=》3一1义1.%=%3一%,新几何体的体积=(%+1)(%_1)%,

/.X3-X=(X+l)(x-l)x.

故答案为：x3-x=(x+l)(x-l)x....(8分)

【点评】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积

或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键.

29.(2020春叶R江区期末)如图1是一个长为4。、宽为6的长方形，沿图中虚线用剪刀平

均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2)

(1)观察图2请你写出他+份2、(4—6)2、口之间的等量关系是

(a+bp-(a-Z?)2=4ab—；

Q

(2)根据(1)中的结论，若x+y=5,x-y=—,则；

(3)拓展应用：若(2019—加了+(加—2020)2=15,求(2019—⑼(冽―2020)的值.

【考点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景

【分析】(1)由图可知，图1的面积为406,图2中白色部分的面积为

(«+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-Z>)2,根据图1的面积和图2中白色部分的面积相等可得答

案；

Q

(2)根据(1)中的结论，可知(x+>)2—(X—>)2=4切，将x+y=5,%.歹=：代入计算即

可得出答案；

(3)将等式(2019-冽)+(冽-2020)=-1两边平方，再根据已知条件及完全平方公式变形可

得答案.

【解答】解：(1)由图可知，图1的面积为4仍，图2中白色部分的面积为

222

(Q+6)2-(b—a)=(a+b)-(a—Z?),

・・•图1的面积和图2中白色部分的面积相等，

/.(Q+6)2—(CL—6)2=4QZ),

故答案为：(4+6)2—(0—6)2=446；

(2)根据(1)中的结论，可知(工+>)2—0—〉)2=4孙，

u9

x+y=5,x-y=—,

9

5?2-(x-y9)=4x—,

/.(x-y)2=16

x-y=±4,

故答案为：±4；

(3))v(2019-m)+(m-2020)=-l,

...[(2019-m)+(m-2020)]2=1,

...(2019—冽了+2(2019-ni)(m-2020)+(m-2020)2=1,

■,­(2019-加了+(m_2020)2=15,

.­.2(2019-m)(m-2020)=1-15=-14；

(2019-/M)(m-2020)=-7.

【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式并数形结合是解题的

关键.

30.(2021秋•鼓楼区校级期中)我们将(0+32=/+2仍+从进行变形，如：

a2+b2=(a+by-2ab,必=+61等.根据以上变形解决下列问题：

(1)已知。2+〃=10,(。+6)2=18,则ab=4.

(2)已知，若x满足(25-x)(x-10)=-15,求(25-尤¥+(x-IO)?的值.

(3)如图，长方形48FD,DA1AB,FB1AB,AD=AC,BE=BC,连接CD,CE,

若/C-8C=10,则图中阴影部分的面积为

【考点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景

【分析】(1)由而=①+心①一+⑹可计算此题结果;

(2)由/+〃=(a+与2一2.6可计算止匕题结果;

(3)设NC=a,BC=b,根据而可计算图中阴影部分的面积为

2

22222

(a+b)(a+b)ab(a+b)-(a+b),in

2222

【解答】解：(1)由题意得，.6=3+6)2—(/+/)=1^2=4,

22

故答案为：4；

(2)由a2+b2=(a+b)2-2ab得，

(25—x)2+(x—10)2

二[(25-x)+(x-l0)]2-2(25-x)(x-10)

=152-2x(-15)

=225+30

=255；

(3)设/C=a,BC=b,根据=可得,

2

图中阴影部分的面积为：(a+Z，)(a+Z，)----

222

_(a+6)2-(a2+Z)2)

一2

=ab

=AC•BC

二10,

故答案为：10.

【点评】此题考查了利用完全平方公式的几何背景解决问题的能力，关键是能根据完全平方

公式的变形解决相关问题.

31.（2021秋•光泽县期中）如图所示，已知长方形的长为°米，宽为6米，半圆半径为r米.

（1）这个长方形的面积等于_仍_平方米；

（2）用代数式表示阴影部分的面积S;

（3）当a=3,6=2,r=0.5时，求阴影部分的面积S（结果保留万）.

【考点】列代数式；代数式求值

【分析】本题应根据长方形和圆的面积公式进行计算.

【解答】解：（1）因为长方形面积=长乂宽，

故长方形的面积=仍平方米.

（2）因为圆的面积=乃产，

故5=（仍平方米.

（3）当a=3,6=2,r=0.5时，5=（6-可）平方米.

【点评】本题必须熟练掌握长方形和圆的面积计算公式，然后准确计算.

32.(2021秋•南安市期中)数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，/种纸

片是边长为。的正方形，8种纸片是边长为6的正方形，C种纸片是长为6,宽为。的长方

形.并用/种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.利用图2

正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：(a+6)2="+2"+".

(1)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：(a+6)(a+2b)=/+3.6+2",

请画出图形.

(2)已知：a+b=5,a1+b2=13,求的值；

(3)已知(202—)2+0-2020)2=4043,求(2021-a)(a-2020)的值；

(4)已知(a-2020)2+(a-2022/=64,求(0一2021)2的值.

a|A|bB

图1图2

【考点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景

【分析】(1)结合算式拼图即可；

(2)由(a+bp=/+2溺+/可推导出"=”+"-)进行计算即可；

(3)由M=("+办一(