2025年中考数学热点题型专项训练：圆的证明与计算（解析版）

专题05圆的证明与计算

目录

热点题型归纳.........................................................................................1

题型01隐圆模型......................................................................................1

题型02圆与相似.....................................................................................11

题型03圆与全等.....................................................................................19

题型04圆的计算....................................................................................26

中考练场............................................................................................37

热点题型归纳

题型01隐圆模型

【解题策略】

定点定长的隐圆定弦定角的隐圆对角互补的隐圆

点A为定点，点B为动点，且AB若线段AB的长度及其所对的N

若四边形ABCD对角互补则A、B、C、

长度固定则点B的轨迹是以点AACB的大小不变，则点C的运动轨

D四点共圆。

为圆心，AB长为半径的圆。迹是以AB为弦的圆。

【典例分析】

例1.（2023•浙江•中考真题）如图，在四边形/BCD中，AD//BC,ZC=45°,以NB为腰作等腰直角三角形A4E,顶

点E恰好落在CD边上，若AD=1,则CE的长是（）

A.J2B.—C.2D.1

2

【答案】A

【分析】先根据等腰三角形的性质可得ZABE=ZAEB=45°,/BAE=90。,再判断出点4昆£,。四点共

圆，在以BE为直径的圆上，连接8。，根据圆周角定理可得/瓦乃=90。，ZADB=ZAEB=45°,然后根据相似三角形

的判定可得仍C,根据相似三角形的性质即可得.

【详解】解：•••△民4£是以48为腰的等腰直角三角形，

:.BE=6AB，^ABE=ZAEB=45°,ZBAE=90°,

VAD//BC,ZC=45°,

ZADE=180°-ZC=135°,

;.NADE+NABE=18Q°,

点四点共圆，在以BE为直径的圆上,

如图，连接3D,

由圆周角定理得：NBDE=90°,N4DB=N4EB=45°,

NADB="=ZCBD=45°,

ZABD+ZDBE=45°=NEBC+ZDBE,ZABD=NEBC,

NADB=NCCEEB/r

在和A£8C中,,：.AABD~AEBC,-----=-----=v2,

ZABD=ZEBCADAB

:.CE=42AD=yj2xl=yf2，

故选：A.

【点睛】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确判断

出点4瓦瓦。四点共圆，在以3E为直径的圆上是解题关键.

例2.(2023•山东泰安•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，RtZX/OB的一条直角边03在x轴上，点/的坐标为

(-6,4)；RtACO。中，ZCOD=90°,0D=473,40=30。，连接3C,点M是8c中点，连接将RtA。。。以点。

为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是()

A.3B.6拒-4C.2V13-2D.2

【答案】A

【分析】如图所示，延长A4到£,使得4E=4B,连接。£,CE,根据点/的坐标为(-6,4)得到BE=8,再证明/Af是

△8CE的中位线，得到=解RMC。。得到OC=4,进一步求出点C在以。为圆心，半径为4的圆上运动，

则当点M在线段上时，CE有最小值，即此时有最小值，据此求出CE的最小值，即可得到答案.

【详解】解：如图所示，延长加到E,使得4E=4B,连接OE,CE,

•/Rt^AOB的一条直角边08在x轴上，点/的坐标为(-6,4),

AB=4,OB=6,

：.AE=AB=4,

BE=8,

:点M为3c中点，点/为BE中点,

，是ABCE的中位线,

/.AM^-CE；

2

在RMC。。中，ZCOD=90°,OD=473,NO=30。，

OC=~OD=4,

3

•.•将RbCO。以点。为旋转中心按顺时针方向旋转，

...点。在以。为圆心，半径为4的圆上运动，

当点用■在线段。£上时，CE有最小值，即此时有最小值,

OE=YJBE2+OB2=10>

CE的最小值为10-4=6,AM的最小值为3,

故选A.

【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角

三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键.

【变式演练】

I.（23-24九年级上•湖北武汉•模拟训练）如图，已知等边“3C的边长为10,点P是AB边上的一个动点（与点4

3不重合）.直线/是经过点尸的一条直线，把AABC沿直线/折叠，点8的对应点是点9.当P2=8时，在直线/变

化过程中，则△NC9面积的最大值为.

A

【答案】5百+40/40+5百

【分析】本题考查了等边三角形的性质、含30。角的直角三角形的特征、圆与三角形综合问题，过点尸作

点"在以点P为圆心，半径长为8的圆上运动，利用等边三角形的性质得乙以〃=60。，进而可得4尸”=30。，可得

PH=43,进而可得而=8+百，再利用三角形的面积公式即可求解，找准当"产的延长线交圆尸于点2'时面积最大

是解题的关键.

【详解】解：过点P作7WL/C,如图：

由题意得，点3,在以点尸为圆心，半径长为8的圆上运动,

当HP的延长线交圆P于点B'时面积最大，

在RtAM/W中，48=10,尸5=8,

;.PA=2,

•.•△4BC是等边三角形，

ZPAH=60°,

:.ZAPH=90°-60°=30°,

AH=\,PH=也,

37/=8+V3,

的最大值为：-X10X（8+V3）=5A/3+40,

故答案为：50+40.

2.（2022•湖北武汉•三模）在AABC中，ABAC=60°,BC=2^,点。为/C上一动点，AB=2CD,则8。的最小值

是.

【答案】VB-I

【分析】作的外接圆。。，连接。4,OB,OC,作AO'DCSAO/B,根据圆周角定理求出4。。=120。，过点

。作OEL3C,垂足为E,根据等腰三角形三线合一求出06=3=00=2,再根据相似三角形的性质求得

O'C=O'D=-OB=\,设==则48。=30。+1,ZACB=90°-a,根据勾股定理求出03,根据三

2

角形边长关系即可得出结果.

【详解】解：如图，作“8C的外接圆O。，连接ON,OB,OC,作△OOCSAOLB,

ZBAC=60°

ZBOC=120°,

过点。作垂足为E,

ABOE=60°,NOBE=30°,BE=、BC=0

2

OB=OA=OC=BE=2

cos30°V3，

T

•;AO'DCSAOAB,AB=2CD,

O'C=O'D=-OB=\,

2

^ZOBA^ZO'CD=a,

则ZABC=30°+a,ZACB=120°-ZABC=90°-a,

NO'CB=90°,

O'B=y]BC2+O'C2=J12+1=V13，

:BD>O'B-O'D,O'B-O'D=y/13-l,

的最小值为历-1,

故答案为：V13-1.

【点睛】本题考查了三角形最值得求解，三角形函数求值，勾股定理，三角形边长关系，圆周角定理，相似三角形的

性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理性质是解答本题的关键.

3.（2023•陕西咸阳•一模）如图，在Y/BCD中，AB=AD=6,点尸在Y48。内运动，连接P4PB,PC,若

NAPB=NABC=60°,则P4+PC的最大值为.

I)

p

BC

【答案】4A/3

【分析】连接NC，作“3C的外接圆。。，证明四边形4BCD是菱形，由/3=BC=6及/4BC=60。证得“3C是等

边三角形，则/B=/C=6,ABAC=60°,在方尸上取=连接NE,证明VNPE是等边三角形，则

NEAP=6Qo,4E=AP,再证明A/EB乌A/PC（SAS）,则EB=PC,得至UP4+PC=EP+EB=BP,则当8P为。。的直

径时，8P的值最大，即P/+PC的值最大，解直角三角形求出2P的值即可得到尸N+PC的最大值.

【详解】解：连接/C,作“8C的外接圆OO,

在Y/BCD中，AB=AD=6,

，四边形48co是菱形，

AB=BC=6,

•；NABC=60°,

是等边三角形，

AB=AC=6,NB4c=60°,

在BP上取EP=4P,连接NE,

,?ZAPS=60°,

VAPE是等边三角形，

ZEAP=6Q°,AE=AP,

・•・ABAC-/CAE=/LEAP-ZCAE=60°-ZCAE，

：./BAE=APAC,

在/\AEB和AAPC中,

'AB=AC

</BAE=/CAP,

AE=AP

：.“功名△/尸C(SAS),

:.EB;PC,

：.PA+PC=EP+EB=BP,

当时为。。的直径时，5尸的值最大，即尸4+尸。的值最大，

此时/5/尸=90。，APBA=90°-ZAPB=30°,

PB=———二一6一二4百,

sin/APBsin60°

即PA+PC的最大值为4A/3,

故答案为：4^3

【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角

形的外接圆、圆周角定理等知识，作的外接圆。。是解题的关键.

4.（2023•广东深圳•模拟预测）如图，在矩形4BCD中，AB=3,BC=4,£为边8C上一动点，厂为/E中点，G为

DE上一点、,BF=FG,则CG的最小值为.

【答案】V13-2/-2+V13

【分析】连接/G,根据矩形的性质可得NABC=/8CZ）=/4DC=90。，DC=AB=3,根据中点的性质和直角三角形斜

边上的中线是斜边的一半可得8尸=L/£=/尸=所，推得4F=FG=EF,则44GE=4G。=90。，根据圆周角定理

2

可知：点G在以4D为直径的圆上运动，取4D的中点O,当。，G,C三点共线时，CG的值最小，由此可解答.

【详解】解：如图1,连接/G,

图1

,••四边形/BCD是矩形，/.ZABC=ZBCD=ZADC=90°,DC=AB=3,

:尸是的中点，ABF=-AE=AF=EF,

2

BF=FG,：.AF=FG=EF,：.ZAGE=ZAGD=90°,

...点G在以4D为直径的圆上运动，取4D的中点O,连接OG,如图2：

图2

当O,G,C三点共线时，CG的值最小，/.OD=OG=2,

oc=A/22+32=V13'CG的最小值为V13-2.

故答案为：V13-2.

【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构

造动点G的轨迹来解决问题.

题型02圆与相似

【解题策略】

『对手画i而似相结吾的1篇而更「廨蔻肝要冠焉观索丁分桥画形「把豆泵的囱形夯布成冗不墓区画形丁丽添加］

|辅助线补全或构造基本图形

LTiWSi」

例.(2023•湖北黄石•中考真题)如图，48为O。的直径，£%和OO相交于点尸，NC平分/ZMB,点C在。。上，

且CD_L£M,AC交BF于点P.

⑴求证：CO是。。的切线;

(2)求证：ACPC=BC2;

AF

(3)已知Be?=3尸PDC,求丁的值.

AB

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)：

【分析】(1)连接OC,由等腰三角形的性质得/GUC=/OC4,再证ND/C=NOC4,则。/〃。C,然后证。CLCD,

即可得出结论；

(2)由圆周角定理得Z4C8=90。，NDAC=NPBC,再证的C=ZP8C,然后证A/CB3cP,得江=生，即可

BCPC

得出结论；

(3)过尸作PE_L4B于点E,证/。尸C=3FP-OC,再证A/CZ)SABPC,AC-PC=BP-DC,则BPDC=3FP•DC,

进而得3尸=3依，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论.

【详解】(1)证明：如图1,连接。C,

D

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

・.・/。平分/。48,

・•・ZDAC=ZOAC,

：.zn4c=NOC4,

DA//OC,

CDIDA,

：.OCLCD,

・・・CZ)是O。的切线；

(2)证明：・・・45为。。的直径,

・•・ZACB=90°f

'：ZDAB,

：.ADAC=ABAC,

・・・/DAC=/PBC,

：.ABAC=ZPBC,

又,:ZACB=ABCP,

・•・小ACBs^BCP,

.ACBC

•・瓦一拓’

ACPC=BC2;

(3)如图2,过尸作尸于点£,

图2

由（2）可知，AC・PC=BC?,

\・BC2=3FPDC,

JACPC=3FPDC,

9：CDLDA,

：.ZADC=90°,

为。。的直径，

JZBCP=90°,

ZADC=/BCP,

ZDAC=/CBP,

：.AACDS^BPC,

.ACDC

••茄一记‘

JACPC=BPDC,

：・BPDC=3FPDC,

：.BP=3FP,

为。。的直径，

・•・ZAFB=90°,

：.PFLADf

VAC^^ZDAB,PEAB,

：.PF=PE,

*v11'

-ABPE-BPAF

22

.AF_FP_FP_1

AB~BP~3FP~3,

【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、

等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和切线的判定，证

明三角形相似是解题的关键.

【变式演练】

1.(2023•湖南湘西•二模)如图，NB是。。的直径，点C,。在。。上，4D平分交BC于点、E,连接50.

⑴求证：ABED~AABD.

3

(2)当tanN4BC=a，且48=10时，求线段AD的长.

(3)点G为线段/E上一点，且3G平分N48C,若GE=亚,3G=3,求CE的长.

【答案】(1)见角星析(2)2V1(3)g应

【分析】(1)根据角平分线的定义，与圆周角定理得440=/CBD,进而结合公共角便可证明

3

(2)由tan//5C=—,得出ZC与的数量关系，再由勾股定理求得ZC、BC,过E作斯于歹，在A5EF中

4

由勾股定理求得EC、EF、BF,进而求得,，再证,由相似比求得结果；

(3)由/。平分/C43,BG平分NABC,得ZBGE=45。,进而求得5。、0G的长度，由△3£/344班求得4。，

再由S/^BDE便可求得结果.

【详解】(1)证明：平分NC45,

/.ACAD=/BAD,

ACAD=ZCBD,

ABAD=ZCBD,

•・•ZD=ZD,

FBEDS八ABD；

(2)解：•••48为直径，

/.ZC=90°,

3

tan/ABC=—,

4

•4J3

,,—f

BC4

设NC=3x,贝U8C=4.x,

AC2+BC2=AB2=IO2,

(3x『+(4x)2=100,解得》=2,

:.AC=6,BC=8,

过E点作EF,48于点尸，如图所示:

D

・・・4D平分/C45,

EC=EF,

AE=AE,

△力阳HL),

,\AC=AF=6f

:.BF=AB-AF=10-6=4,

^EC=EF=y,贝U5£=8—y,

•・•EF2+BF2=BE2，

:.y2+42=(8-^)2,解得k3,

；.EC=EF=3,BE=8—3=5,

AE=YIAC2+CE2=A/62+32=3A/5，

QZC=ZD=90°,AAEC=ABED,

:AACES^BDE,

BDBEBD5

----=，即an=—r

ACAE63V5

BD=275;

(3)解：•.•/£>平分/C43,3G平分//3C,

ZBGE=ZBAG+NABG=^(ZBAC+NABC)=45°,

•・•/£)=90。，

/.BD2+DG2=BG2=2BD2,

:.BDDG叵BG三

22

/.DE=DG-GE=^--V2=—

22

'：/\BED^/\ABD,

BDDE[

行二而'即班=滥.，则=2TDA,

:.DA=-42,

2

AE=AD-DE=46，

,.,△ACES/\BDE,

CEAE芹=蜂

法=乐，即也逑,

22

:.CE=-4i.

3

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理的应用，解直角三角

形的应用，关键在于运用相似三角形解决问题.

2.（2024•陕西西安•一模）如图，是。。的直径，点。在直径A8上（。与43不重合），CD_L且CD=NB,

连接C5,与O。交于点尸，在C0上取一点E,使E尸与。。相切.

(1)求证：EF=EC；

⑵若。是CM的中点，AB=4,求8尸的长.

【答案】⑴见解析；（2）8尸=不

【分析】（1）本题连接。尸，根据切线的性质得到NE尸C+NO/吆=90。，由直角三角形性质得到NC+NO8尸=90。，

根据等腰三角形性质得到NO3尸推出/C=/EFC,再根据等腰三角形性质即可证明防=EC；

（2）连接即，利用圆周角定理，证明A/8尸SACB。，推出黑=笑，再根据线段中点的性质，以及勾股定理求出出）、

BDCB

BC,将3。、8c的值代入黑=级中求解，即可解题.

BDCn

【详解】（1）解：连接。尸，

•・•与。。相切，

NOFE=90。,

ZEFC+ZOFB=90°,

vCD1AB,

:.ZC+ZOBF=90°,

•：OB=OF,

/.ZOBF=ZOFB,

:./C=ZEFC,

/.EF=EC；

（2）解：连接相,

A

v4B是。O的直径,

ZAFB=90°=ZCDB，

•・•ZABF=ZCBD，

:AABFSACBD,

,BFAB

,•茄-ZF'

・•・。是CM的中点，AB=4,

BD=3,CD=AB=4,

CB=^BD2+CD2=5，

BF4

解得

5

【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形性质和判定、相似三角形性质和判定、圆周角定理、线段中点的性质、

勾股定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题.

题型03圆与全等

【解题策略】

对于圆与全等相结合的综合问题，解题时要注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加

辅助线补全或构造基本图形

【典例分析】

例.（2023•湖北襄阳•中考真题）如图，在中，AB=AC,。是8C的中点，。。与相切于点。，与8C交于

点、E,F,DG是。。的直径，弦G厂的延长线交/C于点且GC.

⑴求证：/C是。。的切线；

(2)若DE=2,GH=3,求五1的长/.

【答案】(1)见解析(2)W

【分析】(1)连接3,过点。作于点根据等腰三角形的性质得/。为/R4C的平分线，再根据。。与

N3相切于点D,DG是。。的直径得。〃=。。，进而根据切线的判定可得到结论；

(2)过点E作EN_L/B于点N,先证AODE也AOG尸得到DE=Gb=2,进而得到万H=l,再证ABNEACT/F得到

EN=FH=\,然而在Rt2硒中利用三角函数可求出NEDN=30。，进而得AODE为等边三角形，据此得NDOE=60。，

OD=OE=DE=2,则N。。尸=120。，最后得到弧长公式即可得到答案.

【详解】(1)证明：连接6M,过点。作(WLNC于点M,

-,AB=AC,O是3c的中点，

二/。为/A4c的平分线，

,・・。。与A8相切于点。，0G是。。的直径，

为。。的半径，

ODVAB,

又(W_L/C,

OM=OD,

即OAf为。。的半径，

・••/C是。。的切线；

(2)解：过点E作ENL48于点N,

・•,点。为。。的圆心,

:.OD=OG,OE=OF,

在△。。£和aOG尸中,

OD=OG

</DOE=/GOF,

OE=OF

:.AODE^OGF(SAS),

/.DE=GF,

♦:DE=2,GH=3,

GF=2,

:.FH=GH-GF=3-2=1,

•・・AB=AC,。是BC的中点,

:.OB=OC,/B=/C,

又OE=OF,

BE=CF,

•・・GHtAC,ENtAB,

ZBNE=ZCHF=90°,

在△即出和△CHF中，

ZBNE=ZCHF

<ZB=ZC,

BE=CF

.•.△8VE四△CHF(AAS),

:.EN=FH=1,

在RtADEN中，DE=2,EN=\,

sinZEDN=-=-

DE2f

ZEDN=30°,

•・•OD^AB,

/ODE=90°-ZEDN=90°-30°=60°,

又OD=OE,

「.△OOE为等边三角形，

/.ADOE=60°,OD=OE=DE=2,

/.ZDOF=180。—/DOE=180。—60°=120。，

760^x224

:.l=--------=——.

1803

【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性

质，弧长的计算公式，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答此题的关键.

【变式演练】

1.(2023•广东汕头洛一模)如图，”3C内接于OO.N8是直径，过点A作直线儿W,且1W是。。的切线.

OE

(1)求证：/MAC=ZABC.

(2)设。是弧/C的中点，连接3。交/C于点G,过点。作。于点E,交4c于点尸.

①求证：FD=FG.

②若3C=3,AB=5,试求/E的长.

【答案】(1)见解析Q)①见解析；②1

【分析】(1)由直径所对的圆周角等于90。得出NCNB+/48c=90。，由切线的性质定理得出，48,

NM4C+/C/B=90。即可得出结论；

(2)①由等弧所对的圆周角相等得出=由直角所对的圆周角为90。得出/C3G+/CGB=90°,由垂直

的定义得出/EDG+43Z)=90。，等量代换得出NEDGnNCGBuZFGD,即可得出结论；②连接4DCO,作

DHLBC,交BC的延长线于H点，由角平分线的性质得出=由全等三角形的判定得出

RABED咨R&BDH(HL)和Rt"DE咨RGCDH(HL),得出/£=S,BE=BC+CHAB-AE=BH,代入计算即可

求出/E的值.

【详解】(1)证明：•・•/3是直径，

:.ZACB=90°,

NCAB+NABC=90°；

•：MN是O。的切线；

MALAB,

ZMAC+ZCAB=9Q°,

：.ZMAC=ZABC；

(2)解：①是弧/C的中点，

:.ZDBC=ZABD,

是直径，

:.ZCBG+ZCGB=90°,

'：DE1AB,

ZFDG+ZABD=90°,

ZDBC=ZABD,

ZFDG=ZCGB=ZFGD,

FD=FG.

②连接40、CD,作DHLBC,交8C的延长线于H点.

ADBC=AABD,DHLBC,DE1AB,

DE=DH,

在RtZ\BDE与RtABDH中，

\DH=DE

[BD=BD'

/.RL3EDmRLBDH（HL）,

:,BE=BH,

•.•。是弧ZC的中点，/.AD=DC,

[DE=DH

在与RtZkCOH中，…，

\AD=CD

Ki^ADE^Rt^CDH（HL）.AE=CH.

:.BE=BC+CH=AB-AE=BH,即5-4E'=3+4E',AE=\.

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，熟练掌握各性质定理是

解答此题的关键.

2.（2022•安徽•模拟预测）如图，。。中两条弦4D,8C互相垂直，垂足为H,M为NB的中点，连接并延长交

CD于点N.

(1)求证：MN-LCD；

⑵连接OW,求器的值.

【答案】(1)证明见解析(2)岩=；

【分析】(1)本题根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，^\MA=MB=MH,推出/龌48=/3£4,利用同

弧所对的圆周角相等推出/3=〃，对顶角相等得到/0期=/必以，最后进行等量代换，即可解题.

(2)本题过点。作LCD于点E,连接/C,OB,OC,OD,OA.利用圆周角定理和等腰三角形性质推出

ZDOE=ADAC,ABOM=AACB,利用角的等量代换得到NO8M=NOOE,证明之△DOE,最后结合全等

三角形性质和垂径定理，即可解题.

【详解】(1)解：,〃•为43的中点，

：.MA=MB=MH,

ZMAH=ZMHA,

*/ZB=ZD,ZDHN=ZMHA,

ZDHN+ZD=ZB+ZMAH=90°,

;.MN工CD.

(2)解：过点。作O£J_CD于点E,连接力C,OB,OC,OD,OA.

ADOE=-ZDOC,ADAC=-ZDOC,

22

/DOE=ZDAC.

同理得=.

ZACB+ZDAC=90°,

ZDOE+ZBOM=90°.

•••ZBOM+NOBM=90°,

ZOBM=ZDOE.

又•••ZOMB=ZOED=90°,OB=OD,

OBMmADOE(AAS),

:.OM=DE=-CD,gp—=-.

2CD2

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边一半、等腰三角形性质、同弧所对的圆周角相等、对顶角性质、

全等三角形的性质和判定、垂径定理，解题的关键在于作辅助线构造等腰三角形和全等三角形.

题型04圆的计算

【解题策略】

对于圆的计算的综合问题，解题时要注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线

补全或构造基本图形

【典例分析】

例.（2023•辽宁丹东•中考真题）如图，已知NB是。。的直径，AD是。。的弦，点P是。。外的一点，PC工AB,垂

足为点C,尸C与AD相交于点E,连接PZ）,且PD=PE,延长尸。交加的延长线于点?

(1)求证：PD是。。的切线；

74

⑵若。尸=4,PE=-,cosZPFC=-,求BE的长.

【答案】(1)见解析(2)次

【分析】(1)根据尸D=PE,得出NPED=NPDE,进而得出NPOE=N8EC,易得/B=NODB,根据尸C_L/B,得

出N8+N8EC=90。，则N0D8+NPDE=90。，即可求证PD是。。的切线；

7154DF

(2)易得PD=PE=-,贝!］尸尸=互＞+。歹=一，根据cos/尸尸。=一，求出CF=PF-cos/PFC=6,OF=-------------=5,

225cosZPFC

o

则OC=B-OF=1,根据勾股定理求出OD=3,PC=j进而求出8C=2,CE=1,最后根据勾股定理即可求解.

2

【详解】(1)证明：：尸D=PE,

APED=ZPDE,

APED=ZBEC,

ZPDE=/BEC,

-：OB=OD,

：.ZB=ZODB,

•/PCLAB,

：.ZBCP=90°,贝IJZ8+/BEC=90°,

ZODB+NPDE=90°,即ZODP=90°,

:.PD是。O的切线;

7

(2)解：°：PD=PE,PE=~,

2

7

PD=~,

2

,:DF=4,

：.PF=PD+DF=—,

2

4

,.・cosZPFC=-,

154

CF=PF•cos/PFC=—x—=6,

25

丁尸。是。。的切线，

OD1PD,则/0。b二90。，

CLDF4「

.OF——~~r—5

・・CGS/PFC4,

5

OC=CF-OF=6-5=\,

根据勾股定理可得：OD=^OF2-DF2=45^=3^PC=^PF2-CF2=|,

OB=OD=3,

97

BC=OB-OC=3-1=2,CE=PC-PE=------=1,

22

根据勾股定理可得：BE=y]CE2+BC2=Vl2+22=V5.

【点睛】本题主要考查了切线的判定，解题直角三角形，解题的关键是熟练掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是

圆的切线，以及解直角三角形的方法和步骤.

【变式演练】

I.（2023•天津河东•一模）如图，为＜30的切线，C为切点,。是OO上一点，过点。作。尸_L/8,垂足为尸，DF

交。。于点£.

(1)如图①，若40=34。，求NDE。的度数；

(2)如图②，连接EO并延长交OO于点G,连接CG,OD,若NDOE=2NCGE,OO的半径为5,求CG的长.

【答案］(1)68°(2)573

【分析】(1)连接OC,由切线的性质证出OC〃D厂，由圆周角定理得出答案；

(2)连接0C,CE,证出AODE是等边三角形，得出NDOE=60。，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可

得出答案.

【详解】(1)解：连接OC,

/.OCVAB,

vDFLAB,

OC//DF,

•・•AD=34°,

/./EOC=2/D=68。，

/./DEO=/DOC=68。；

(2)解：连接OC,CE,

・・./COE=2/CGE,

•・•/DOE=2/CGE,

/.ZCOE=ZDOE,

・・•/B为。。的切线，C为切点,

OC1AB,

：.40cB=90°,

vDFLAB,

/DFB=90。,

ZOCG=ZDFB=90Q,

•••OC//DF,

/COE=/OED,

ZDOE=ZOED,

/.OD=DE,

OD=OE,

△!?国是等边三角形，

/DOE=60。，

ZCGE=30°，

OO半径为5,

EG=10,

•••EG是。。的直径,

NGCE=90°,

CE=5,

GC=y]GE2-CE2=5A/3.

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理及等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理

等知识，熟练掌握切线的性质和等边三角形的判定与性质是解决问题的关键.

2.（2024•陕西西安•模拟预测）如图，48为。。的直径，点。为。。上一点，过点8作OO切线交延长线于

点C,CE平分/ACB,CE,BD交于F.

（1）求证：BE=BF；

⑵若OO半径为2,sin^=|,求。/的长度.

9

【答案】（1）证明见解析（2）稔

【分析】⑴由直径所对的圆周角是直角得到/CD3=/4DB=90。，则乙DC/+ND"=90。，由切线的性质得到

NCBE=90°,则ZBCE+NBEC=90。，由角平分线的定义得到NBCE=NDCF，据此可证明/BFE=NBEF，则5E=B尸；

（2）过点E作EH_L/C于X,由角平分线的性质得到EH=8£=AF,解RtZUBC得到sin/,设

BC=3x,AC=5x,由勾股定理得42+（3x）2=（5x）、解得（负值舍去），则8c=3,AC=5,根据

312I?39

SAABC=SAACE+SABCE，求出解Rt/^^得到3O=/5・sin/=w，则。尸=助―■==―彳=右.

,5521。

【详解】（1）证明：・・・45为。。的直径，

，/CDB=ZADB=90。,

：.ZDCF+ZDFC=90°,

*/BC是。。的切线，

ZCBE=90°,

・・・/BCE+/BEC=9U。,

,：CE平分NACB,

：./BCE=/DCF,

ZBEC=ZDFC,

又•・・/DFC=4BFE,

：./BFE=ZBEF,

BE=BF；

（2）解；如图所示，过点石作E//JL4C于巴

・.・。七平分//。5,AABC=90°,ACVEH,

EH=BE=BF,

・・・。。半径为2,

・•・AB=4,

在RtZk/HC中，sin^=-^=|,

设2C=3x,AC=5x,

由勾股定理得/C2=3C2+/C2,

42+（3x）2=（5x）2,

解得X=1（负值舍去），

ABC=3,AC=5f

•^^ABC=S^ACE+S^BCE，

：.-x4x3=-x3BE+-x5EH,

222

：.-x4x3=-x3BE+-x5BE,

222

3

・・・BE=-

29

12

在RtZUBZ）中，BD=AB-sinA=—,

1239

：.DF=BD-BF=----=一.

5210

【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，角平分线的性质，等角

对等边等等，正确作出辅助线构造直角二角形是解题的关键.

3.（2024•陕西西安•一模）如图，是。。的直径，弦CB马AE交于点F,过点4的切线交C5的延长线于点。，点

8是。尸的中点.

⑴求证：NAFB=NC；

⑵若。。的半径为4,AB=5,求心.

【答案】(1)见解析(2)彳

【分析】(1)由切线性质可知，EAVAD,即/瓦4。=90。，根据点8是。尸的中点，可知43=；。尸=5？，进而可知

NBAE=ZAFB,由砺=砺可知NC=N3/E,即可证得结论；

(2)连接NC,贝1]/£/。=/£。尸+//05=90。，由(1)可知，ZEAD=90°,贝(JN4F8+ZD=90。，可得NNCZ)=N。，

/CEE=/ECF进而可知NC=4D,EC=EF,由48=5,AB=^DF=BF,得AD=AC="0。-AF?，同时推导出

CE=EF=8-AF,利用勾股定理AC2+CE2=AE2代入数据解答即可.

【详解】(1)证明：•.,/£＞是。。的切线，

：.EALAD,即/E4D=90°,

••,点B是。厂的中点，

AB=-DF=BF,

2

NBAE=ZAFB,

BE=BE，

ZC=NBAE,

ZAFB=ZC；

(2)解：连接/C,贝U/Ea=/ECF+—CD=90°,

由（1）可知，ZEAD=90°,贝l]N/FB+ND=90。，

;ZAFB=NECF,NAFB=NCFE,ZACD+ZECF=90°-ZACD+ZAFB,

ZACD=ZD,ZCFE=ZECF,

:.AC=AD,EC=EF,

AB=5,AB=-DF=BF,

2

:.DF=10,

AD=AC=y/DF2-AF2=yJlOO-AF2，

,.,OO半径的长为4,

AE=8,CE=EF=8-AF,

由勾股定理可知：AC2+CE1=AE1,即：(V100-^F2)2+(8-^F)2=82,

解得：AF=^2-5.

4

【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握并运用

勾股定理是解答本题的关键.

4.(2024•陕西西安•模拟预测)如图，在“3C中，AB=AC,以为直径的OO交2c于点。，过点。作。。的切

线DE,交ZC于点£,/C的反向延长线交。。于点尸.

(1)求证：DE1AC；

(2)若4E+DE=12,。。的半径为10,求师的长度.

【答案】(1)见解析(2)12

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，一元二次方程的解法.

(1)根据切线性质，得至ljDE"OD；结合AB=AC,得到ZB=ZC,OB=OD,得至UNB=ZODB,继而得到ZODB=ZC,

从而判定OD〃NC,可得结论。

(2)过点。作OG，/尸于点G,根据垂径定理，得到/尸=2NG=2尸G,判定四边形。GED是矩形，继而得到

OG=DE,OD=GE=AG+AE-10,结合ZE+DE=12,得至!]10-NG+OE=12即DE-AG=2,设NG=x,DE=x+2,

利用勾股定理，得到―+(x+2)2=102计算即可.

【详解】(1),・•过点。作O。的切线。£,交NC于点E,4c的反向延长线交。。于点尸,

DE0D；

AB=AC,

：.ZB=ZC,

・・•OB=OD,

：./B=/ODB,

：./ODB=ZC,

JOD〃AC,

：.DE1AC.

(2)如图，过点。作OG,力尸于点G,

则/尸=2/G=2/G,

DEIAC,DEOD,的半径为10,工四边形OGED是矩形，

：.OG=DE,OD=GE=AG+AE=10,

;AE+DE=\2,：A0-AG+DE=n即。£—NG=2,

^AG=x,DE=x+2,VAG2+GO2=OA2•9•x2+(x+2)2=102,解得x=6,x=—8(舍去),

・•・AF=2AG=12.