2025年中考数学热点题型专项训练：三角形压轴题综合（原卷版）

专题10三角形压轴题综合

目录

热点题型归纳.........................................................................................1

题型01三角形与旋转变换.............................................................................1

题型02三角形与平移变换.............................................................................4

题型03三角形与翻折变换.............................................................................4

题型04三角形类比探究问题...........................................................................7

中考练场............................................................................................10

热点题型归纳

题型01三角形与旋转变换

【解题策略】

三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，旋转性质、平行线的判定和性质，解题的关

键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法。

【典例分析】

例.（2023・四川・中考真题）如图1,已知线段N8,AC,线段ZC绕点A在直线N5上方旋转，连接BC,以8C为边

在2c上方作RtABDC,且ND3C=30°.

⑴若/BDC=90。，以为边在AS上方作Rt/XBNE,且N/E8=90。，NEBA=30°,连接DE,用等式表示线段/C与

DE的数量关系是；

(2)如图2,在(1)的条件下，若DE_LAB,48=4,AC=2,求BC的长;

(3)如图3,若/BCD=90。，AB=4,AC=2,当4D的值最大时，求此时tan/CBN的值.

【变式演练】

1.（2023•贵州贵阳•二模）在AABC中，ZCAB=90°,在V/DE中，ZEAD=90°,已知Rt△他C和RtA4DF有公共

顶点/,连接2。和CE.

图②

（1）如图①，若4B=/C,AD=AE,当“3C绕点N旋转a（0°<c<360。），和CE的数量关系是,位置关系

是;

（2）如图②，若3：ZE=N3:/C=1：VL当RtZ\4BC绕点/旋转a（0°<a<360。），（1）中2。和CE的数量关系与位

置关系是否依然成立，判断并说明理由；

（3）在（2）的条件下，若AD=2&,AB=43,在旋转过程中，当C,B,。三点共线时，请直接写出CE的长度.

2.（2023•广西桂林•一模）在数学活动课上，小丽将两副相同的三角板中的两个等腰直角三角形按如图1方式放置，

使AZ）斯的顶点D与小3C的顶点C重合，4）£尸在绕点C的旋转过程中，边DE、。厂始终与的边48分别交

于M、N两点.

图1图2

⑴老师提了一个问题：试证明/Af+ap=MV2.

小丽开动脑筋，作了如下思考：考虑到C/=C2且44cB=90。，可将"av绕点。顺时针旋转90。至A/CM位置，连

结儿W',若能证明BN、分别等于RSNW的另两边则可以解决问题.

请帮小丽继续完成证明过程.

证明：将Mav绕点c顺时针旋转90。至A/CN'位置，连结w；

(2)如图2,小昆另取一块与“3C相同的三角板，放在A4BG位置，边CE与边/G相交于点〃，连NH、NG.

①小昆猜想：ZCNH=9Q°,请帮他给出证明；

②图2中始终与CN相等的线段有_；

③请探索/N、BN、之间的数量关系，并直接写出结论：

3.(2023•吉林•一模)如图，“8C和VADE是有公共顶点的直角三角形，NA4C=NDNE=90。，点尸为射线8。，CE

的交点.

（1）如图1,若AABC和V4DE是等腰三角形，求证：ZABD=ZACE；

（2）如图2,若NADE=NABC=30°,问：（1）中的结论是否成立？请说明理由.

⑶在（1）的条件下，AB=6,AD=4,若把VADE绕点/旋转，当NE/C=90。时，请直接写出尸3的长度.

题型02三角形与平移变换

【解题策略】

「著香了荃等三房形的河运前正贰一有徽三痛形而到适布桂扇厂率毯面函贰一三।形丙箱而兔踵的应甬厂芍庭急建「廨1

|题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.

ii

Ii

ts柯分布r

例.（2023•四川攀枝花•中考真题）如图1,在AABC中，AB=BC=2AC=8,AASC沿8c方向向左平移得到△£）色,

4、C对应点分别是。、£.点尸是线段3E上的一个动点，连接距，将线段所绕点/逆时针旋转至线段NG,使得

ABAD=ZFAG,连接尸G.

⑴当点厂与点。重合时，求FG的长；

⑵如图2,连接BG、DF.在点下的运动过程中：

①BG和。尸是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由；

②当3月的长为多少时，能构成等腰三角形？

【变式演练】

1.（2023•辽宁大连•模拟预测）如图，中，AB=AC=亚,NBAC=90。,DE经过点、4,且DELBC,垂足为E,

NDCE=60°.

（1）以点£为中心，逆时针旋转ACDE,使旋转后的AC'DZ'的边C'D'恰好经过点/,求此时旋转角的大小;

⑵在（1）的情况下，将AC力沿BC向右平移，（0</<1）.设平移后的图形与08C重叠部分的面积为S,求S与1

的函数关系式，并直接写出/的取值范围.

2.（2023•四川成都•一模）如图1,在“3C中，AC=4,以为底边作等腰AP/B,连接尸C,作APCD,使得尸C=PD,

且ZCPD=NAPB.

⑴如图2,若N4尸3=60。，请按题意补全图形，并写出画图步骤；

（2）将线段。沿CD的方向平移得到线段DE,连接3E,

①如图3,若ZCPD=NAPB=90°,求BE的长；②若4尸3=36。，直接写出3E的长.

题型03三角形与翻折变换

【解题策略】

著者亍至尊三鬲形的河蔻而桂原「闹彳以三鬲形的至0死前E瓦一折前而在贰一三鬲形丙函而遗函面盯为胺年逾;

解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.

TISW1

例.(2023•湖北武汉•中考真题)问题提出：如图(1),E是菱形/BCD边8c上一点，△/£尸是等腰三角形，AE=EF,

乙IEF=ZABC=a(a290°),AF交CD于点G,探究NGCF与a的数量关系.

(1)(2)(3)

问题探究：

(1)先将问题特殊化，如图(2),当a=90。时，直接写出NGCF的大小;

(2)再探究一般情形，如图(1),求NGCF与a的数量关系.

问题拓展:

口「1Dp

⑶将图(1)特殊化，如图(3),当。=120。时，若==求券的值.

CG2CE

【变式演练】

1.(2024•安徽阜阳•一模)(1)如图1,在矩形/BCD中，AB=5,BC=4,点、E为边BC上一点、,沿直线DE将矩

形折叠，使点C落在边上的点。处.求NC'的长；

(2)如图2,展开后，将AOC'E沿线段48向右平移，使点C'的对应点与点2重合，得到△OBE"DE与BC交于点、

F,求线段EF的长；

(3)在图1中，将ADC'E绕点C'旋转至/,C,£三点共线时，请直接写出CQ的长.

2.(2023・陕西榆林•一模)【问题背景】

(1)如图1,在矩形48CD中，BC=6,点£是3C上一点，连接AE,DE,若AAEB+ZCED=90°,则AE2+DE2=______

\/

BLE----LC

图1

(2)如图2,在正方形48co中，46=8,点E在边上，将V/DE沿/E翻折至△4FE,连接CF,求△(?£■尸周长

的最小值；

S

图2

【问题解决】

(3)如图3,某植物园在一个足够大的空地上拟修建一块四边形花圃48cZ),点〃■是该花圃的一个入口，沿DM和CM

分别铺两条小路，且/DWC=135。，AD+BC=am,AM=60m,BM=80m.管理员计划沿CD边上种植一条绿化带

(宽度不计)，为使美观，要求绿化带的长度尽可能的长，那么管理员是否可以种植一条满足要求的长度最大的绿化

带C0?若可以，求出满足要求的绿化带C0的最大长度(用含。的式子表示)；若不可以，请说明理由.

C

图3

题型04三角形类比探究问题

【解题策略】

著香了圣馨三鬲形的河运丽强质厂而彳以三鬲形的的正前I面「导布丙鬲而是踵的应甬厂芍底运瓯二廨窗的买键星孰1

i

练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论。

____________________________________________________________________________________________________________1

【典例分析】

例.（2023•浙江湖州•中考真题）【特例感知】

（1）如图1,在正方形Z8CD中，点尸在边48的延长线上，连接尸D,过点。作。“,尸。，交8C的延长线于点M.求

证：ADAPQADCM.

【变式求异】

（2）如图2,在RtA4SC中，N4BC=90。，点。在边上，过点。作。0_L/8,交NC于点。，点尸在边48的

延长线上，连接尸0,过点。作。M_LP。，交射线2c于点/.已知BC=8,AC=10,AD=2DB,求品的值.

【拓展应用】

（3）如图3,在RtAABC中，/A4c=90。，点P在边的延长线上，点。在边NC上（不与点/,。重合），连接

PQ,以0为顶点作/尸QM=/P8C,N尸。"的边W交射线BC于点M.若AC=mAB,CQ=nAC（加，〃是常数），

求需的值（用含如

"的代数式表示）.

图1图2图3

【变式演练】

1.（2023•河南洛阳•三模）在“8C中，乙4c8=90。,/。=8C,点。是直线上的一动点（不与点4台重合），连

接C0,在C。的右侧以C0为斜边作等腰直角三角形CDE,点H是3。的中点，连接E8.

【问题发现】（1）如图（1）,当点。是的中点时，线段即与的数量关系是,位置关系是

【猜想证明】（2）如图（2）,当点。在边NB上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅

就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由.

【拓展应用】⑺若AC=BC=26,其他条件不变，连接/E，BE.当ABCE是等边三角形时，直接写出VADE的

面积.

2.（2023•湖北十堰•二模）【问题背景】⑴如图1,ZACB=ZADE=90°,AC=BC,AD=DE.求证：BE=CCD;

【变式迁移】（2）如图2,E为正方形Z3CD外一点，/£=45。，过点。作。尸，3E,垂足为尸，连接CF.求的

CF

值；

【拓展创新】（3）如图3,A是内一点，BE=BF,AF=2,ZEAB=90°,ZFEA=ZBFA,AE=2AB,直接

写出的长.

图1

3.（2023•浙江宁波•模拟预测）【基础巩固】（1）如图1,“8C和VADE是直角三角形，NABC=N4DE=90。,

行iCB=AED,求证：ADABs^EAC；

【尝试应用】（2）如图2,在与RMEOC中，直角顶点重合于点C,点。在上，NBAC=NDEC,且

sinNB4C=g,连接NE,若BD=2,求4E1的长；

【拓展提高】（3）如图3,若/。3=90。，NE=ZABC,tanZ£=—,BD=5CD,过/作40，4D交仍延长线

3

Ar

于°,求质的值.

中考练场

1.（2023•浙江湖州•中考真题）【特例感知】

（1）如图1,在正方形48co中，点尸在边48的延长线上，连接尸D,过点。作。“,尸。，交8C的延长线于点求

证：ADAPQADCM.

【变式求异】

（2）如图2,在RtA4SC中，N4BC=90。，点。在边上，过点。作。0_L/8,交NC于点。，点尸在边48的

延长线上，连接P0,过点。作。M，P。，交射线2C于点已知BC=8,AC=10,AD=2DB,求品的值.

【拓展应用】

（3）如图3,在RtAABC中，/A4c=90。，点P在边的延长线上，点。在边NC上（不与点/,。重合），连接

PQ,以0为顶点作/尸QM=/P8C,NP0M的边0/交射线BC于点若4c="MB,CQ=nAC（加，〃是常数），

求冬■的值（用含小"的代数式表示）.

QM

图1图2图3

2.（2023•辽宁锦州•中考真题）【问题情境】如图，在“3C中，AB=AC,44cs=a.点。在边8c上将线段。8

绕点。顺时针旋转得到线段。E（旋转角小于180。）,连接BE,CE,以CE为底边在其上方作等腰三角形尸EC,使

乙FCE=a,连接上\

【尝试探究】

（1）如图1,当a=60。时，易知=

图1

如图2,当&=45。时，则呼'与8E的数量关系为_；

（2）如图3,写出相与BE的数量关系（用含a的三角函数表示）.并说明理由;

【拓展应用】

（3）如图4,当。=30。，且点3,E,k三点共线时.若BC=4疗，AD=（BC,请直接写出距的长.

3.（2023・湖北黄冈・中考真题）【问题呈现】

△C4B和ACDE都是直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,C5=mCA,CE=mCD,连接4D,BE,探究BE的位置

关系.

图1图2备用图

⑴如图1,当根=1时，直接写出3E的位置关系:

（2）如图2,当加工1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.

【拓展应用］

（3）当加=6,45=477,/方=4时，将ACDE绕点C旋转，使42E三点恰好在同一直线上，求BE的长.

4.（2023・四川成都・中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.

AT）1

在RtzX/HC中，NC=90°,AC=BC,。是45边上一点，且——=—（〃为正整数），E是/C边上的动点，过点。作

BDn

DE的垂线交直线BC于点F.

【初步感知】

(1)如图1,当〃=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=^AB,请写出证明过程.

【深入探究】

(2)①如图2,当"=2,且点尸在线段2C上时，试探究线段BF,N8之间的数量关系，请写出结论并证明；

②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段NE,BF,之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明)

【拓展运用】

(3)如图3,连接E尸，设E尸的中点为若AB=2g，求点E从点/运动到点C的过程中，点〃运动的路径长(用

含〃的代数式表示).

5.(2022・广东深圳•中考真题)(1)【探究发现】如图①所示，在正方形/BCD中，E为/。边上一点，将A/EB沿

3E翻折到△AEF处，延长E尸交边于G点.求证：ABFG四4BCG

图①

(2)【类比迁移】如图②，在矩形48。中，£为4D边上一点，且40=8,48=6,将4/股沿3£翻折到48£万处,

延长EF交BC边于点G,延长BF交CO边于点“，且切=CH,求AE的长.

(3)【拓展应用】如图③,在菱形ABCD中，4B=6,E为CD边上的三等分点，ZD=60°,将VADE沿AE翻折得到△/尸E,

直线E/交8C于点尸，求CP的长.

备用1备用2

6.(2023•内蒙古赤峰•中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图①，把一个含有45。角的三角尺放在正方

形48CD中，使45。角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45。角的两边CM,CN始终与正方

形的边ZD,AB所在直线分别相交于点M,N,连接儿W,可得ACW.

【探究一】如图②，把VCDW绕点C逆时针旋转90。得到ACB”,同时得到点H在直线48上.求证：ZCNM=ZCNH；

【探究二】在图②中，连接BD,分别交CM,CN于点E,F.求证：MEFs^CNM；

【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线8。与三角尺45。角两边CM,CN分别交于点£,F.连接ZC交2。

于点。，求黑的值.

7.（2023•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）综合与实践

数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联

系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.

F

图1

图3

⑴发现问题：如图1，在“3c和中，AB=AC,AE=AF,ABAC=ZEAF=30°,连接BE,CF,延长3E交

CF于点、D.则BE与CF的数量关系：,NBDC=°；

(2)类比探究：如图2,在"3C和AN跖中，AB=AC,AE=AF,ABAC=AEAF=120°,连接BE,CF,延长BE,

尸C交于点。.请猜想BE与CF的数量关系及乙BDC的度数，并说明理由；

(3)拓展延伸：如图3,和ANE尸均为等腰直角三角形，N