2025年中考数学热点题型专项训练：解直角三角形的应用（原卷版）

专题06解直角三角形的应用

目录

热点题型归纳.........................................................................................1

题型01仰角与俯角问题...............................................................................1

题型02坡度问题.....................................................................................3

题型03方位角问题...................................................................................6

中考练场.............................................................................................8

热点题型归纳

题型01仰角与俯角问题

【解题策略】

仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角.

【典例分析】

例.（2023•湖北襄阳•中考真题）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像.某校数学兴趣小组利用热气球开展综

合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度.如图，在点。处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为

32m,从热气球C看铜像顶部A的俯角为45。，看铜像底部8的俯角为63.4。.已知底座8D的高度为41m,求铜像N8的

高度.（结果保留整数.参考数据；sin63.4°*0.89,cos63.4°~0.45,tan63.4°®2.00,07.41）

【变式演练】

I.（2024•山西朔州•一模）山西“应县木塔”，又名山西“应县佛宫寺释迦塔”，它是当今世界上的第一奇塔.它不仅是

中国，而且是世界上现存最古老、最高峻的木构建筑物，所以它在世界建筑中占有突出的地位.已知“应县木塔”的高

度为67.3米，塔前“女神雕像”的高度C。为10.3米，木塔与雕像之间有障碍物，不能直接测量，某测量小组为了测

量“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离，采用了如下测量方案（如图所示）：

①他们在“木塔”和“雕像”之间选择一观景平台£,测得“木塔”顶部A的仰角为30。，测得“雕像”顶部C的仰角为45。；

②测得测角仪的高度E尸为1.3米；

③测得点8,尸,。在同一条直线上，AB±BD,EF±BD,CD±BD,垂足分别是民尸,。.

求“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离瓦＞（结果精确到0.1米，参考数据：百,1.7）

2.（2024•陕西西安•一模）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐

长安城保留至今的重要标志.小港为测量小雁塔的高度、制定了如下测量方案：如图所示，当小港站在点力处仰望塔

顶，测得仰角为30。，再往塔的方向前进50m至2处，测得仰角为60。、小港的身高忽略不计，请根据题目信息，求出

小雁塔的高度CD.（参考数据：右土1.73,结果精确到0.1m）

3.（2024・西藏拉萨•一模）如图，学校的教学楼对面是一幢办公楼，教学楼与办公楼的水平距离BC=30m,卓玛在教

学楼顶部N处测得办公楼顶部。处的俯角a=30。，测得办公楼底部C处俯角£=60。，求办公楼高CD（结果保留根

号）

4.（2023•海南三亚•二模）某中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河的宽度CD.如图所示，一架水平飞行的无人

机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为a,无人机沿水平线心方向继续飞行60米至8处，测得正前方河流右

岸。处的俯角为30。，线段的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、。在同一条直线上，其中tana=G，

MC=60百米.

⑴填空：ZACMNBDC=_度；

（2）求无人机的飞行高度NM；

（3）求河流的宽度CD.（结果保留根号）

题型02坡度问题

【解题策略】

坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母，表示.

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用a表示，则有i=tana.

例.（2023•江苏泰州•中考真题）如图，堤坝48长为10m,坡度，为1:0.75,底端N在地面上，堤坝与对面的山之间

有一深沟，山顶。处立有高20m的铁塔CO.小明欲测量山高DE,他在/处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在

坝顶8处测得塔底。的仰角a为26。35'.求堤坝高及山高DE.（sin26°35'。0.45,cos26°35,«0.89,tan26°35,»0.50,

小明身高忽略不计，结果精确到1m）

【变式演练】

1.（2023•安徽•模拟）如图，一栋楼房48后有一个小山坡CD,其坡度:3:4.某一时刻太阳光线与水平线的夹角为

40。时，楼房在小山坡。上的影长为25米，测得坡脚C与楼房的水平距离3C=40米，求楼房N8的高度.（结果

精确到1米，参考数据：sin40°»0.64,cos40°«0.77,tan40°~0.84）

2.（2023•甘肃天水•模拟预测）如图，在葫芦河的右岸边有一高楼A8,左岸边有一坡度z,=l：2的山坡CF,点。与点

3在同一水平面上，CR与NB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼NB的高度，在坡底C处测得楼顶/的仰角

为45。，然后沿坡面B上行了20。米到达点。处，此时在。处测得楼顶/的仰角为30。.

（1）求。£的值.

（2）求楼42的高度.

3.（2023•河南濮阳•三模）如图，李东在延时课上利用所学的数学知识测量校园内教学楼CD的高度，在教学楼前方

有一斜坡，坡长/8=10m,坡比,李东在/点处测得楼顶端C的仰角为45。，在8点处测得楼顶端C的仰角为61。

4

（点4B,C,。在同一平面内）.求教学楼CO的高度（结果精确到0.1m,参考数据；tan61o^L80）

4.（2024•上海普陀•一模）如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AS的坡度，但由于山坡前有

小河阻碍，无法直接从山脚8处测得山顶/的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：

DR

第一步：从小河边的C处测得山顶/的仰角为37。；

第二步：从C处后退30米，在。处测得山顶/的仰角为26.6。；

第三步：测得小河宽8C为33米.

已知点3、C、。在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡的坡度.

（参考数据:sin22.6°a0.45,cos26.6°»0.89,tan26.6°®0.5,sin37°®0.6,cos37°~0.8,tan37°®0.75）

题型03方位角问题

【解题策略】

方向角：平面上，通过观察点。作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点o出发的视线与

水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.

【典例分析】

例.（2023・海南・中考真题）如图，一艘轮船在A处测得灯塔”位于A的北偏东30。方向上，轮船沿着正北方向航行

20海里到达8处，测得灯塔”位于B的北偏东60。方向上，测得港口C位于B的北偏东45。方向上.已知港口C在灯塔

M的正北方向上.

北上C

(1)填空：NAMB=_度,ZBCM=_度;

（2）求灯塔”到轮船航线N8的距离（结果保留根号）；

（3）求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）.

【变式演练】

1.（2024•陕西西安•一模）如图，我国某海域上有/、3两个小岛，2在N的正东方向.有一艘渔船在点。处捕鱼,

在/岛测得渔船在东北方向上，在5岛测得渔船在北偏西60。的方向上，且测得8、C两处的距离为200海里.

（1）求/、C两处的距离;

⑵突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援.此时，在。处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度沿。C方向

前往C处，测得。在小岛/的北偏西15。方向上距/岛30海里处.求救援船到达C处所用的时间.（结果保留根号）

3.（2024・湖南长沙•三模）如图，灯塔3位于港口A的北偏东58。方向，且48之间的距离为30km,灯塔C位于灯塔

8的正东方向，且氏C之间的距离为10km.一艘轮船从港口A出发，沿正南方向航行到达。处，测得灯塔C在北偏东

37。方向上，灯塔B到直线40的距离为BE.

D

(1)求BE的长；

(2)求。£的长(结果精确到0.1).(参考数据：

sin58°®0.85,cos58°®0.53,tan58°~1.60,sin37°~0.60,cos37°®0.80,tan37°®0.75)

4.（2023•山东青岛•模拟预测）如图，在航线/的两侧分别有观测点A和3,点A到航线/的距离为2km,点B位于点A

北偏东60。方向且与A相距10km处.现有一艘轮船从位于点&南偏西76。方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min

后该轮船行至点A的正北方向的。处.

A

（1）求观测点5到航线/的距离；

⑵求该轮船航行的距离CD的长（结果精确到0.1km）.（参考数据：6=1.732,sin76°«0.97,cos76°«0.24,

tan76°«4.01）

5.（2024・重庆大渡口•一模）某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：A-B-C-D.已知点8在点/

的北偏东45。方向3.6km处，点C在点8的正东方2.4km处，点。在点C的南偏东30。方向，点。在点N的正东方.（参

考数据：V2»1.414,621.732,V6»2.449）

⑴求线段CD的长度；（结果精确到0.01km）

（2）已知送货司机在送货过程中全程保持10〃次的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从4点运送到。点,

则送货司机按既定路线/-3-C-D进行运送能否按时送达？（送货司机在各站点停留的时间忽略不计）

中考练场

1.（2023・湖北恩施•中考真题）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他

认为利用台阶的可测数据与在点A,B处测出点。的仰角度数，可以求出信号塔DE的高.如图，N8的长为5m,高BC

为3m.他在点A处测得点。的仰角为45。，在点B处测得点。的仰角为38.7。，A,B,C,D,E在同一平面内.你认为

小王同学能求出信号塔。E的高吗？若能，请求出信号塔DE的高；若不能，请说明理由.（参考数据：sin38.7。。0.625,

cos38.7°~0.780,tan38.7°«0.80,结果保留整数）

2.（2023・辽宁•中考真题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600m高的山峰，由山底/处

先步行300m到达8处，再由8处乘坐登山缆车到达山顶。处.已知点4B.D,E,尸在同一平面内，山坡NB的坡

角为30。，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）

（1）求登山缆车上升的高度。E；

⑵若步行速度为30m/min,登山缆车的速度为60m/min,求从山底/处到达山顶。处大约需要多少分钟（结果精确

至[[0.1min）

（参考数据：sin53°X0.80,cos53°«0.60,tan53°a1.33）

3.（2023・贵州・中考真题）贵州旅游资源丰富.某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索

道.设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建/B、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶。处，中

途设计了一段与师平行的观光平台8C为50m.索道48与肝的夹角为15。，与水平线夹角为45。，43两处的水

平距离/£为576m,DFLAF,垂足为点尸.（图中所有点都在同一平面内，点4£、尸在同一水平线上）

图①

（1）求索道48的长（结果精确到1m）；

（2）求水平距离"的长（结果精确到1m）.

(参考数据：sinl5°~0.25,cosl5°»0.96,tanl5°~0.26,72-1.41)

4.（2023•辽宁丹东•中考真题）一艘轮船由西向东航行，行驶到/岛时，测得灯塔3在它北偏东31。方向上，继续向

东航行10nmile到达C港，此时测得灯塔2在它北偏西61。方向上，求轮船在航行过程中与灯塔3的最短距离.（结果

精确到0.Inmile）（参考数据：sin31°»0.52,cos31°~0.86,tan31°»0.60,sm61°»0.87,cos61°~0.48,tan61°®1.80）.

It

5.（2023・湖北・中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形/8CD,斜面坡

度力=3:4是指坡面的铅直高度"'与水平宽度8F的比.已知斜坡长度为20米，ZC=18°,求斜坡48的长.（结

果精确到米）（参考数据：sin18°«0.31,cos18°~0.95,tan18°»0.32）

6.（2023•山东青岛•中考真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排.某校组织学生进行

综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度.如图，太阳能电池板宽为点。是48的中点，OC是灯杆.地

面上三点E与C在一条直线上，DE=1.5m,EC=5m.该校学生在。处测得电池板边缘点2的仰角为37。，在E

处测得电池板边缘点2的仰角为45。.此时点/、2与E在一条直线上.求太阳能电池板宽的长度.（结果精确到

343

0.1m.参考数据:sin37°«-,cos37°®-,tan37°«—,72«1.41）

7.（2023•内蒙古•中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示，一架水平飞行的无人

机在A处测得河流左岸C处的俯角为a,无人机沿水平线"方向继续飞行12米至B处，测得河流右岸。处的俯角为

30°,线段3=246米为无人机距地面的铅直高度，点C,。在同一条直线上，其中tana=2.求河流的宽度CO

（结果精确到1米，参考数据：6。1.7）.

ABF

中~'<30°

、、、

、、、

\、'\D

-M-------

8.（2023•山东济南•中考真题）图1是某越野车的侧面示意图，折线段N3C表示车后盖，已知48=lm,5C=0.6m,

NABC=123°,该车的高度AO=1.7m.如图2,打开后备箱,车后盖/3C落在48'C'处，AB'与水平面的夹角ZB'AD=27°.

（1）求打开后备箱后，车后盖最高点夕到地面/的距离；

（2）若小琳爸爸的身高为L8m,他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险?请说明理由.

（结果精确到0.01m,参考数据:sin27°~0.454,cos27°»0.891,tan270®0.510,6冬1.732）

9.（2023•江苏宿迁・中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即/CE尸=4EF）.小