2025年中考数学热点题型专项训练：几何最值问题（解析版）

专题09几何最值问题

目录

热点题型归纳

题型01将军饮马模型.................................................................................1

题型02费马点模型...................................................................................5

题型03阿氏圆模型..................................................................................14

题型04隐圆模型.....................................................................................19

题型05瓜豆圆模型..................................................................................26

中考练场............................................................................................32

热点摩型归纳

题型01将军饮马模型

【解题策略】

两定一动模型一定两动模型

两线段相减的最大值模型（三点共线）

【典例分析】

例.（2022•黑龙江•中考真题）如图，菱形A8CD中，对角线/C,AD相交于点。，ZBAD=60°,AD=3,AH是/B4C

的平分线，于点E,点尸是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是.

【答案】辽济

22

【分析】作点O关于AB的对称点F,连接OF交AB于G,连接PE交直线AB于P,连接尸。，则PO=PF,此时，PO+PE

最小，最小值=ER利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出。尸，OE长，再证明△EOF是直角三角形,

然后由勾股定理求出E厂长即可.

【详解】解：如图，作点。关于的对称点尸，连接。尸交48于G,连接PE交直线于尸，连接尸。，贝!］尸0=尸尸,

此时，PO+PE最小，最小值=£/的长，

•・•菱形ABCD,

：.ACLBD,OA=OC.OB=OD,AD=AB=3,

・.•ZBAD=60°,

/\ABD是等边三角形，

；・BD=AB=3,ZBAO=30°f

13

：.OB=-AB=~,

22

OA=^-43,

2

・••点。关于45的对称点R

：.OFLAB.OG=FG,

：.OF=2OG=OA=^,ZAOG=60°f

2

•；CEUH于E,OA=OC,

：.OE=OC=OA=1yf3,・・./AEC=/CAE,

2

平分NB4C,：.ZCAE=15°,:・NAEO=/CAE=15。,

：.ZCOE=ZAEO+ZCAE=30°,

ZCOE+NZOG=300+60°=90。,/./FOE=90。,

・•・由勾股定理，得以7。产2+o£=

2

...尸O+PE最小值=地.故答案为：巫

22

【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点。关于N8的对称

点凡连接。尸交N5于G,连接尸£交直线于尸，连接尸O,则尸O=P尸，则PO+PE最小，最小值=即的长是解题

的关键.

【变式演练】

1.（2022•山东枣庄♦二模）如图，点尸是内任意一点，0P=3cm,点M和点N分别是射线。4和射线上的

动点，4403=30。，贝UAPAW周长的最小值是.

B

P

0MA

【答案】3cm

【分析】分别作点尸关于0408的对称点C、。，连接分别交04于点M、N,连接。尸、OC、OD、PM、PN,

当点M、N在C。上时，△尸初N的周长最小.

【详解】解:分别作点尸关于。4。8的对称点C、，连接C。，分别交。8于点“、N,连接。只OC、OD、PM、PN.

:点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D,

:.PM=CM,OP=OC,ACOA-ZPOA；

:点P关于OB的对称点为。，

Z.PN=DN,OP=OD,ZDOB=ZPOB,

：.OC=OD=OP=3cm,ZCOD=ZCOA+ZPOA+ZPOB+ZDOB=2ZPOA+2NPOB=2ZAOB=60°,

△COO是等边三角形，.CD=oc=OD=3（cm）.

APMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN>CD=3cm.

故答案为：3cm.

【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定.作点尸关于。2的对称点C、£>是解题的关键所在.

2.（2023广东广州•模拟预测）如图，四边形48co中，AB//CD,AC1BC,ADAB=60°,4D=CD=4,点M是

四边形48CD内的一个动点，满足乙4MD=90°,贝！IAM8c面积的最小值为.

【答案】673-4

【分析】取的中点O,连接OM,过点”作MEL3C交BC的延长线于点E,过点。作。尸，3c于尸，交CD于G,

则OM+MEWO尸，通过计算得出当三点共线时，有最小值，求出最小值即可.

【详解】解：如图,

2G/也。

取4D的中点O,连接O",过点M作“E_L3C交8c的延长线于点E,过点。作。月_L2C于尸，交C0于G,则

OM+ME>OF,AB//CD,ZDAB=60°,AD=CD=4,：.ZADC=120°,

AD=CD,：.ADAC=30°,Z.CAB=30°,

ACIBC,：.ZACB=90°ZS=90°-30°=60°,:.NB=NDAB,四边形/BCD为等腰梯形,ABC=AD=4,

•••ZAMD=90°,4D=4,CM=。。，，OM=，4D=2,.•.点M在以点。为圆心，2为半径的圆上，

2

•••AB//CD,：.ZGCF=ZB=60°,：.ZDGO=ZCGF=30°,

OFIBC,ACIBC,ADOG=ADAC=30°=ZDGO,DG=DO=2,

OG=2t?r>-cos30°=2V3.GF=△,OF=3y[3,■■ME>OF-OM=343-2,

.•.当。，峪E三点共线时，ME有最小值36-2,.〔面积的最小值为=gx4x（3百-2）=66-4.

【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点”位置的确定是解题关键.

题型02费马点模型

【解题策略】

CB-

「一落入下石扬屋为质点通向轩旋转而「将到入。17迳接下土厂可入却6为等访三鬲形「正二五浦

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC,当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE。

【典例分析】

例.（2023全国•中考模拟预测）如图1,在中，乙4cB=90。,CB=4,CA=6,圆C的半径为2,点P为圆

上一动点，连接/P,BP,求：

@AP+-BP,

2

©2AP+BP,

@^AP+BP,

④/尸+33尸的最小值.

【答案】①屈'；②2历；③々詈；④2历.

【分析】①在C8上取点D使CD=1,连接CP、D尸、/D根据作图结合题意易证ADC尸~APC8,即可得出「。=：3尸，

从而推出4P+，8尸=/尸+尸说明当/、尸、。三点共线时，4P+PD最小，最小值即为4D长.最后在必A/CD中，

2

利用勾股定理求出AD的长即可；

②由2/P+AP=2（4P+ggP）,即可求出结果；

21

③在C4上取点£,使CE=§,连接。尸、EP、BE.根据作图结合题意易证AECP~APC4,即可得出EP=/P,从而

推出:4P+BP=EP+AP,说明当3、P、E三点共线时，EP+AP最小，最小值即为8E长.最后在RZkBCE中，利用勾

股定理求出8E的长即可；

④由/尸+38P=3（；4P+8P）,即可求出结果.

【详解】解：①如图，在C8上取点。，使C0=1,连接CP、DP、AD.

'：CD=1,CP=2,CB=4,

.CDCP\

""CP~CB~1'

又：ZDCP=ZPCB,

：.ADCP~APCB,

即

BP22

Z.AP+-BP=AP+PD,

2

...当/、P、。三点共线时，”+PD最小,最小值即为4D长.

:在MA/CZ)中，AD=yjAC2+CD2=A/62+12=737-

/.在+；2尸的最小值为历；

②,:2AP+BP=2(AP+^BP),

2NP+AP的最小值为2x历=2百；

2

③如图，在C4上取点E,使CE=§,连接CP、EP、BE.

：c*2，CP=2,CA=6,

.C

・・--E-=-C--P=——1

CPCA3'

又,：NECP=NPCA,

••^ECP〜&PCA,

.EP1।

・・方=丁即EP=严,

]4P+BP=EP+BP,

.•.当8、P、E三点共线时，EP+BP最小,最小值即为BE长

,在RtLBCE中，BE=yjBC2+CE1=卜2+（2y_

；，/尸+5P的最小值为独Z.

J3'

@VAP+3BP=^AP+BP）,

【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质,

勾股定理.正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线

段最短是解答本题的关键.

【变式演练】

L（2022•广东广州.一模）如图，在无△N2C中

ZBAC=90°,AB=AC,点P是AB边上一动点，作pD±BC于点D>

线段/。上存在一点。，当Q/+Q8+QC的值取得最小值，且/g=2时，则尸D=

【答案】3+73

【分析】如图1,将ABOC绕点8顺时针旋转60。得到△的VM,连接。N,当点/，点。，点N,点M共线时，QA+QB+QC

值最小，此时，如图2,连接MC,证明⑷/垂直平分8C,证明此时尸与。重合，设尸。=x,则£＞。=尤-2,

构建方程求出x可得结论.

【详解】解：如图1,将△BQC绕点8顺时针旋转60。得到连接0N,

：.BQ=BN,QC=NM,NQBN=60。,

△•BQN是等边三角形,

：.BQ=QN,

：.QA+QB+QC=AQ+QN+MN,

，当点工，点。，点N,点〃■共线时，。/+Q8+QC值最小,

此时，如图2,连接A/C

4（?）

图2

:将△BQC绕点B顺时针旋转60。得到△3NM,

：.BQ=BN,BC=BM,/QBN=6V=/CBM,

...△8QN是等边三角形，是等边三角形，

AZBQN=ZBNQ=60°,BM=CM,

,:BM=CM,AB=AC,

垂直平分3C,

"CADLBC,ZBQD=60°,

：.BD=y/3QD,

\'AB=AC,NB4c=90。,AD±BC,

：.AD=BD,此时尸与。重合，设PD=x,贝ij£>Q=x-2,

/.x=tan60°x（x-2）=V3（x-2）,

.,.x=3+V3,

：.PD=3+43.

故答案为：3+6.

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用等

边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题.

2.（2023广东•一模）如图，△48C中，NB4c=45。,AB=6,AC=4,尸为平面内一点，求25BP+亚AP+3PC最

小值

【答案】1273

【分析】将△APC绕点/逆时针旋转45。，得到将扩大逆倍，得到△4P"C〃，当点8、P、P"、

4

C"在同一直线上时，2而P+JL4尸+3尸。=2加（28+尸"+尸"。"）最短，利用勾股定理求出8c〃即可.

【详解】解：如图，将△/PC绕点/逆时针旋转45。，得到C',将C'扩大，相似比为逑倍，得到

4

贝|」/尸〃=迪/P,P"C"=^P'C,AC"=^AC,

444

过点尸作PELNP"于£,

：.AE=PE^—AP,

2

历

P"E=AP"-AE=—AP,

4

：.PP"=^PE2+P"E2=亚AP，

4

当点2、P、P"、C"在同一直线上时，2CBP+&P+3PC=26（PB+PP"+P"C、最短,此时

2庭（尸8+PP+尸"C"）=2&8C",

VZBAC"=ZBAC+ZCAC"=90°,AB=6,优=述/C=迪x4=g,

44

BC"7AB2+/C"2=M+(3回=3£.

242BP+45AP+3PC=2V2SC"=272x3V6=12V3

【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理，正确理解费马点问题的造图方法：利用旋转及全等的

性质构建等量的线段，利用三角形的三边关系及点共线的知识求解，有时根据系数将图形扩大或缩小构建图形.

3.（2024湖北中考・二模）如图，正方形4BC。的边长为4,点尸是正方形内部一点，求以+2用+@>。的最小值.

【答案】4而

【分析】延长。C到使得C〃=2BC=8,则8H=4石，在NC3H的内部作射线A/,使得NPBJ=/CBH,使得

BJ=45BP>连接PJ，JH,AH.先证明△JBPs/v/BC，可得尸J=2尸3,再证明△PBCs/vsa，可得：HJ=&C,

从而得到PA+2PB+45PC=PA+PJ+HJ>AH.计算出AH的长度即可.

【详解】解：延长DC到使得C"=2BC=8,则BH=4右，在NC8H的内部作射线即，使得NPBJ=/CBH,

使得RJ=后BP,连接力，JH,AH.

•PB_BJ

.△JBPs4HBe,

/.ZBPJ=/BCH=90°,

PJ=dBJ2-PB?=J（行尸5）2_PB2=2PB,

ZPBC=ZJBH,祟器，:APBCS^JBH,

DJBH

.PC_PB_45

:.HJ=后PC

:.PA+2PB+45PC=PA+PJ+HJ，

22

-：PA+PJ+JH>AH,PA+2PB+y/iPC>V4+12=4Jo-）

.•.£4+2用+回C的值最小，最小值为4&U.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正方形的性质，，正确理解费马点问题,

利用相似构造2PB与屈C,根据系数将图形扩大或缩小构建图形是解决问题的关键.

题型03阿氏圆模型

【解题策略】

问题：在圆上找一点P使得尸/+的值最小，解决步骤具体如下:

①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,OB

②计算出这两条线段的长度比j=k

OB

④则尸/++当A、P、C三点共线时可得最小值。

【典例分析】

例.(2023•广西・中考真题)如图，抛物线y=a/+6x+c与x轴交于/(Q,0),B两点(点8在点A的左侧)，与V

轴交于点C,且08=30/=痴C,/CMC的平分线/。交V轴于点D,过点A且垂直于/。的直线/交了轴于点E,

点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作跳1_Lx轴，垂足为F，交直线于点

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点P的横坐标为机，当=时，求机的值；

(3)当直线依为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，为半径作。〃，点。为。〃上的一个动点，求9/。+£。

24

的最小值.

【答案】（1）y=—x2^—A/3x~3；（2）—^3;（3）.

【分析】对于（1）,结合已知先求出点B和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可;

对于（2）,在Rt^OAC中，利用三角函数的知识求出/OAC的度数，再利用角平分线的定义求出/OAD的度数，

进而得到点D的坐标；接下来求出直线AD的解析式，表示出点P,H,F的坐标，再利用两点间的距离公式可完成解

答；对于（3）,首先求出。H的半径，在HA上取一点K,使得HK=24,此时K（-述，-二）；然后由HQ2=HK-HA,

得到△QHKS^AHQ,再利用相似三角形的性质求出KQ=：AQ,进而可得当E、Q、K共线时，JAQ+EQ的值最小,

44

据此解答.

【详解】（1）由题意/（百，0）,3（-3百，0）,C（0,-3）,设抛物线的解析式为y=a（X+3G）（x-百）,

把C（0,-3）代入得到...抛物线的解析式为产;x2+g有x-3.

（2）在RtZ\/OC中，tanZOAC=——=#>,：.ZOAC=60°.

OA

平分/CMC,：,ZOAD=30°,：.OD=OA-tan30°=l,：.D（0,-1）,二直线/。的解析式为y=/x-1,由

题意P（%,1m?+2—m-3）,H（m,-1）,F（m,0）.

333

"：FH=PH,-—1-（5苏+毡加-3）解得加=一人或。（舍弃），，当尸时，m的值为一JL

3333

（3）如图，是对称轴，.•.尸（-百，0）,H（一也,-2）.

"CAHLAE,：.ZEAO=60°,：.EO=43OA=?>,：.E（0,3）.

VC（0,-3）,:/=«后=2,AH=2FH=4,：.QH=1CH=1,在/£4上取一点K,使得此时K

715HQKH

（--Vr3,-y）.'：HQ-=\,HK*HA=\,：.HQ2=HK*HA,，京=质.

KQHQ111

VZQHK=ZAHQ,：.^QHK^/\AHQ,，方=请="--KQ=-AQ,：.~AQ+QE=KQ+EQ,.•.当£、0、K共

线时，的值最小，最小值=$学）2+（：+3）2=手.

【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的

表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.

【变式演练】

1.（2023•甘肃天水•一模）如图，已知正方形ABCD的边长为4,OB的半径为2,点P是。B上的一个动点，贝1JPD

-yPC的最大值为.

【答案】5

【详解】分析：由PD-：PC=PD-PGWDG,当点P在DG的延长线上时，PD-gpC的值最大，最大值为DG=5.

详解：在BC上取一点G,使得BG=1,如图，

..P£_25C_4.PBBC

•——乙,——乙,••一,

BG1PB2BGPB

VZPBG=ZPBC,.".△PBG^ACBP,：.PG=5PC,

PCPB22

当点P在DG的延长线上时，PD-：PC的值最大，最大值为DG=J42+32=5.

故答案为5

点睛：本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问

题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题.

2.（2023江苏•二模）如图，正方形48CD的边长为4,。3的半径为2,尸为。3上的动点，则回C-尸。的最大值

是.

【分析】如图：连接助、BP、PC,在8。上做点使纱£=连接〃尸，证明在BC上做点

BP4

N,使箸=；，连接稗，证明△8PC,接着推导出后。_尸。=2点河乂，最后证明△皿△BCD,即

可求解.

【详解】如图：连接3D、BP、PC

根据题意正方形/BCD的边长为4,的半径为2

BP=2，BD^BC1+CD1=A/42+42=472

..BP_2_72

BD4VI4

在2。上做点M,使我=正，则连接

BP42

在ABMP与ABPD中

BP_BM

NMBP=NPBD,

BDBP

■■ABMP~ABPD

,•喘=字,则*2件M

BP_2_1

~BC~4~2

在2C上做点N,使桨=：，则BN=1,连接NP

BP2

在ABNP与八BPC中

BNBP

ZNBP=ZPBC,

BP~TC

：.ABNP~Z\BPC

PN1

——=一，贝I尸C=2尸N

PC2

如图所示连接NM

41PC-PD=y/2x2PN-2A/2PM=2V2(PN-PM)

•••PN-PM<NM

：.6PC-PD=26(PN-PM)<26NM

在△皿W与△BQ）中

叵BN_1

ZNBM=ZDBC,BM_~Y,

BD4728

4r

BMBN

△BMN~Z\BCD

,MN_42

*cB---8-

vCZ)=4

.r_V2

,,MA/fNA——

2

2A/2MV=2V2X—=2

2

正PC-PDM2@NM=2

故答案为：2.

【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键.

题型04隐圆模型

【解题策略】

定点定长定弦定角四点共圆

最短距离：“一箭穿心”，然后点到圆心的距离-半径;

最长距离：“一箭穿心”，然后点到圆心的距离+半径。

【典例分析】

例.（2023•辽宁•中考真题）如图，在矩形/BCD中，AB=8,AD=10,点"为8c的中点，E是浏/上的一点，连

接作点2关于直线/£的对称点"，连接并延长交5c于点?当最大时，点夕到8c的距离是.

BEFM

【答案】y

【分析】如图，由题意可得：夕在。/上，过夕作B7/_L2C于由点8关于直线4E的对称点玄，可得48=48，，

BE=B'E,ZAEB=ZAEB',ZABE=ZAB'E,当DE与。/切于点8'时，BF最大,此时DF_L48',证明E,尸重合,

PR，R，H

可得NDAE=N4EB=N4EB',AD=DE=IQ,求解2E=BE=4,证明AEBTfsAEr）。，可得一=——,从而可得

EDCD

答案.

【详解】解：如图，由题意可得：夕在。/上，过作B'HLBC于H,

:点B关于直线AE的对称点B',

AB=AB',BE=B'E,ZAEB=NAEB：ZABE=ZAB'E,

当DE与O/切于点8'时，BF最大,此时DF_L481

/.AABE=NAB'F=90°,

：.E,尸重合，

NAEB=NAEB',

:矩形NBC。，

/.AD//BC,ZC=90°,AD=BC=1。,AB=CD=8,

：.NDAE=NAEB=NAEB',

AD=DE=10,

•'-C£=V102-82=6'BE=B'E=A,

'：B'H1BC,ZC=90°,

B'H//CD,：.AEB'HiEDC,

.EB'B'H.AB'H.___16

••一,・・一,・・DJTL—,

EDCD1085

点夕到BC的距离是故答案为：y.

【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，作

出合适的辅助线是解本题的关键.

【变式演练】

1.（2024浙江金华•模拟预测）如图，正方形/BCD的边长为4,点E是正方形/BCD内的动点，点尸是3c边上的动

点，且NE4B=NEBC.连结BE,PD,PE,则PD+PE的最小值为（）

A.2V13-2B.475-2C.473-2D.2V15-2

【答案】A

【分析】先证明N/EB=90。，即可得点£在以为直径的半圆上移动，设的中点为。，作正方形48c。关于直线

BC对称的正方形C/G8,则点。的对应点是尸，连接尸。交8C于P,交半圆。于£,根据对称性有：PD=PF,则

有：PE+PD=PE+PF,则线段EF的长即为尸E+尸。的长度最小值，问题随之得解.

【详解】解：；四边形/BCD是正方形，

ZABC=90°,

ZABE+ZEBC=90°,

'：NEAB=NEBC,

ZEAB+ZEBA=90°,

：.ZAEB=90°,

...点E在以N8为直径的半圆上移动，

如图，设48的中点为。，

作正方形48co关于直线8c对称的正方形CFG3,

则点。的对应点是尸,

连接尸O交8c于P,交半圆。于E,

根据对称性有：PD=PF,

贝U有：PE+PD=PE+PF,

则线段E尸的长即为尸E+PO的长度最小值，E

VZG=90°,FG=BG=AB=4,

：.OG=6,OA=OB=OE=2,

OF=y/FG2+OG2=2而，

EF=OF-OE=2y/\3-2，

故PE+PD的长度最小值为2Jil-2,

故选：A.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是

解题的关键.

2.（2022•山东泰安•三模）如图，在RtA42C中，ZACB=90°,ZBAC=30°,BC=2,线段3c绕点3旋转到3。，

连N。，£为/。的中点，连接CE,则CE的最大值是—.

【答案】3

【分析】通过已知求得。在以2为圆心，3。长为半径的圆上运动，：E为/。的中点，

...E在以切中点为圆心，!仍长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与圆心的距离

2

+圆的半径，求得CE的最大值.

【详解】解：：2C=2,线段3c绕点8旋转到8。,

D

:・BD=2,

：.-BD=\.

2

由题意可知，。在以8为圆心，2。长为半径的圆上运动，

；E为AD的中点，

在以氏4中点为圆心，；如长为半径的圆上运动，

CE的最大值即C到BA中点的距离加上工劭长.

2

ZACB=90°，ZBAC=30°,BC=2,

；.C到A4中点的距离即」N8=2,

2

又；LBD=I,

2

ACE的最大值即！/8+1AD=2+l=3.

22

故答案为3.

【点睛】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E点运动轨迹是解题的关键.

3.（2022•广东河源•二模）如图，已知NC=2/O=8,平面内点尸到点。的距离为2,连接/P,若乙4尸3=60。且=尸,

2

连接4S,BC,则线段8C的最小值为.

O

AC

P

B

【答案】2V7-V3

【分析】如图所示，延长必到。使得必=ZM,先证明△/尸。是等边三角形，从而推出45尸=90。，NA4P=30。，以/。

为斜边在4C下方作出使得乙忆4。=30。,连接。/,过点河作〃"_14。于巴解直角三角形得到坐=包=且，

AOAP2

从而证明5s△/。尸，得至|J2£=&=走，则则点8在以河为圆心，以百为半径的圆上，当河、B、

OPAP2

C三点共线时，即点5在点9的位置时，BC有最小值，据此求解即可.

【详解】解：如图所示，延长P8到。使得尸

u：BP=-AP,

2

JAP=PD=2PB,

又,:ZAPB=60°f

/\APD是等边三角形，

・・・5为尸。的中点，

：.ABLDP,即N45P=90。，

・•・/BAP=3U。,

以/。为斜边在/C下方作使得NM4O=30。，连接CM,过点河作〃"L4C于"，

・/c-/AMV3

・・cosZOAM=-=——,

AO2

同理可得丝=苴，

AP2

ZOAM=30°=ZPAB,

：.NBAM=NPAO,

p・・AMABV3

乂•----二----——,

AOAP2

:.△AMBsAaop,

.BMAB43

"'~OP~^P~^2'

:点尸到点。的距离为2,即。尸=2,

BM=用,

.,.点8在以M为圆心，以6为半径的圆上，

连接CM交圆M（半径为百）于"，

...当M、B、C三点共线时，即点5在点夕的位置时，3C有最小值，

'：AC=2AO=8,.\A0=4,：.AM=AO-cosZOAM=2.^,

••A.H=AM-cos/M4H=3,HM=AM,sinNMAH，••CH=5,■•CM-1HM?+CH2=2ypi，

B'C=CM-MB'=241-43,的最小值为2疗-5

故答案为：-杷.

D

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆外一点

到圆上一点的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握瓜豆模型即证明点8在以“为圆心，半径为由的圆上运动.

题型05瓜豆圆模型

【解题策略】

条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（NPAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）.

结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：ZPAQ=ZOAM；

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.

例.（2023・江苏•中考真题）在四边形4BCD中，42=2C=2,N4BC=120。,3H为N4BC内部的任一条射线（NCBH不

等于60。），点C关于8〃的对称点为C',直线NC'与88交于点F，连接CC'、CF,则△CCF面积的最大值

是.

【答案】4G

【分析】连接BC,根据轴对称的性质可得CB=CB,CF=CF,进而可得A,C,C在半径为2的。3上，证明ACCF是

等边三角形，当CC取得最大值时，△CCF面积最大，根据圆的直径最大，进而得出CC最大值为4,即可求解.

【详解】解：如图所示，连接8C',

:点C关于BH的对称点为C,

：.CB=C'B,CF=C'F,

•/AB=BC=2,

：.4C,C'在半径为2的。3上，

在优弧就上任取一点E,连接

贝ljZAEC=-NABC=60°,

2

ZABC=12O°,ZAC'C=\80°-AAEC=180°--AABC-120°,

2

ACC'F=60°,/.△CC户是等边三角形，

当CC'取得最大值时，△口?户面积最大，

在。8上运动，则CC最大值为4,

则户面积的最大值是@x42=46.

4

故答案为：4G.

【点睛】本题考查了轴对称的性质，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质，得出CC'最大值为4是

解题的关键.

【变式演练】

1.（2023江苏无锡•二模）如图，线段NB为。O的直径，点C在NB的延长线上，AB=4,3c=2,点尸是OO上一

动点，连接CP,以CP为斜边在尸C的上方作RtAPCD,且使/DC尸=60。，连接OD,则。。长的最大值为.

【答案】26+1/1+2百

【分析】作ACOE,使得/CEO=90°,ZECO=60°,贝！］CO=2CE,OE=2C，NOCP=NECD,由△COPs2Xc£p,

OPCP

推出访=而=2,即ED=goP=l（定长），由点E是定点，DE是定长，点。在半径为1的OE上，由此即可解决

问题.

【详解】解：如图,作ACOE,使得/CEO=90°,NECO=60°,贝IJCO=2CE,0£=2追，NOCP=NECD,

ZCDP=90°,ZDCP=60°,

:.CP=2CD,

COCPc

----=-----=2,

CECD

:ACOPS公CED,

OPCP1

----=-----=2,BPED=—OP=1（定长）,

EDCD2

,•,点£是定点，OE是定长，，点。在半径为1的OE上,

■：OD<OE+DE=2y/3+l,-.OD的最大值为26+1，

故答案为：2人+「

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,

构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

2.（2023•安徽•一模）如图，在矩形/BCD中，AB=8,月。=4,点£是矩形/BCD内部一动点，且NBEC=90。，点

尸是48边上一动点，连接PD、PE,则PD+PE的最小值为（）

A.8B.475C.10D.475-2

【答案】A

【分析】根据N5EC=90。得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将PE进行转化即可求解.

【详解】解：如图，设点。为3C的中点，由题意可知,

作半圆。关于48的对称图形（半圆（T）,

点£的对称点为连接则=

当点P、耳、O共线时，PO+PE的值最小，最小值为。心的长,

如图所示，在RtADCO,中，CD=8,CO'=6,

而+62=10,

又••.O'&=2,

DE广DO'-O'E'=8,即PD+PE的最小值为8,

故选：A.

【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将PE进行转化时解

题的关键.

3.（2023•江苏扬州•模拟预测）如图，/是08上任意一点，点。在。8外，已知谡=2,BC=4,"CD是等边三角

形，则△BCD的面积的最大值为（）

A.4月+4B.4C.473+8D.6

【答案】A

【分析】以5c为边向上作等边三角形3cM,连接。证明4。。/之2\』。8得到。河=48=2,分析出点。的运

动轨迹是以点M为圆心，DW长为半径的圆，在求出点。到线段2C的最大距离，即可求出面积的最大值.

【详解】解：如图，以3c为边向上作等边三角形3c连接DM,

ZDCA=ZMCB=60°,

ZDCA-AACM=AMCB-AACM,即ZDCM=ZACB,

在4DCM和ZUCB中，

DC=AC

NDCM=ZACB,

MC=BC

/.△OCM空△ZC8（SAS）,

：.DM=AB=2,

...点D的运动轨迹是以点“为圆心，DM长为半径的圆，要使△3CD的面积最大，则求出点。到线段8C的最大距离,

•/AHCM是边长为4的等边三角形，.•.点”到2C的距离为26，.♦.点。到8c的最大距离为2百+2,

△BCD的面积最大值是:X4X（2A/J+2）=4G+4,故选A.

【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点。的轨迹圆，再求出圆上

一点到定线段距离的最大值.

中考练场

1.（2023•黑龙江绥化•中考真题）如图，AABC是边长为6的等边三角形，点E为高区0上的动点.连接CE,将CE绕

点C顺时针旋转60。得到CF.连接胪，EF,DF,贝UACD下周长的最小值是.

BC

【答案】3+373/373+3

【分析】根据题意，证明ACBEgA。尸，进而得出厂点在射线■上运动，作点C关于"'的对称点C