2025年中考数学技巧专项突破：八种隐圆类最值问题圆来如此简单（解析版）

专题2-3八种隐圆类最值问题，圆来如此简单

在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中

必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型

正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个

“隐藏圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！

题型•解读/

知识点梳理

题四O定点定长得圆

2023年湖北省鄂州市中考数学真题

2023•邵阳市中考真题

2023•广西南宁市二模

2022•辽宁抚顺•中考真题

2022•长春・中考真题

题包目直角的对边是直径

2023•荷泽市中考真题

2022•通辽•中考真题

2023•汕头市金平区一模

2023•广州市天河区三模

2022•成都市成华区二诊

题色目对角互补得圆

2023年•广元市一模

题园国定弦定角得圆

2023•成都市新都区二模

2023•成都市金牛区二模

2023•达州•中考真题

题四运四点共圆

题包式相切时取到最值

2023•随州市中考真题

2022•江苏无锡•中考真题

2022扬州中考真题

题幽电定角定高面积最小、周长最小问题

题圆加米勒角（最大张角）模型

徐州中考

MR/满分•技巧/

知识点梳理

一、定点定长得圆

在几何图形中,通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹,

并进行计算

二、直角的对边是直径

前世：在。0中，AB为直径，则始终有AB所对的NC=90°

今生：若有是固定线段，且总有N4CB=90°,则C在以ZB为直径径的圆上.（此类型本来属于定

弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类）

三、对角互补

前世：在。。上任意四点力，B,C,。所围成的四边形对角互补

今生：若四边形4BCZ）对角互补，则/,B,C,。四点共圆

四、定弦定角模型

定角模型是直危模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等''得到动点

的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算.

前世：在。0中，若弦AB长度固定则弦AB所对的圆周角都相等（注意：弦AB在劣弧AB上也有圆

周角，需要根据题目灵活运用）

今生：若有一固定线段ZB及线段4B所对的NC大小固定，根据圆的知识可知C点并不是唯一固定的

点，C在。。的优弧ZCB上均可（至于是优弧还是劣弧取决于NC的大小，小于90°,则C在优弧上运

动；等于90°,则。在半圆上运动；大于90°则C在劣弧运动）

五、四点共圆模型

D

前世:在。0中，ABCD是圆的内接四边形，则有N1=N2,N3=N4,ZiBPC〜4APD（同理4BPA〜4CPD）

今生:若四边形ABCD中有N1=N2（通常情况下N5=N6对顶角相等，故不需要N3=N4,实际应用中

长用N1=N2,N5=N6）则ABCD四点（某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形

相似也可），选填题可以直接使用

六、定角定高（探照灯模型）

什么叫定角定高，如右图，直线3c外一点/到直线BC距离为定值（定高），N3/C为定角。则

△/3C的面积有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。

问题解决：如果顶角和高，都为定值，那么三角形48c的外接圆的大小，也就是半径，是会随着/点

的运动而发生变化的。从而弦3c的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高40是定值，因

此三角形4BC的面积就有一个最小值。

所谓定角定高是指三角形的一条边和这条边上的高是定值.一般是考查直角三角形，此时我们可

以取斜边中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质及斜垂关系来解决面积最小值问

题；通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的问题.这类问题都是在等腰时取得最小值.

当定角不是直角时，通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的方法仍然适用，而面积最小值

可以通过构造三角形的外心或外接圆来解决.

七、米勒角（最大张角）问题

【问题提出】己知点4B是/MON的边。N上的两个定点，点P是边0M上的动点，当P在何处时，ZAPB

最大？

米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题.

米勒定理：

已知点AB是NMON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABP的外接

圆与边OM相切于点P时，NAPB最大。

知识铺垫：对于同一个圆来说，同弧所对的圆周角＞圆外角，即=尸

问题解决

证明：在直线/上任取一点Q（不与P点重合），连接4Q、BQ,/力QB即为圆。的圆外角

ZAPB>ZAQB,NAPB最大

.•.当圆与直线/相切时，/APB最大

Q

p

0

0

ABN

*y核心•题型/

题园。定点定长得圆

1.如图，在矩形N3CO中，已知N8=3,8C=4,点尸是8C边上一动点（点尸不与8,C重合），连接

AP,作点8关于直线/尸的对称点M,则线段MC的最小值为（）

A.2B.—C.3D.VTo

2

【答案】A

【思路点拨】根据对称性得到动点M的轨迹是在以N圆心，3为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利

用勾股定理求出线段长即可.

【详解】解：连接如图所示：

•.•点8和朋■关于N尸对称，

二用■在以/圆心，3为半径的圆上，

...当N,M,C三点共线时，CA/最短，

在矩形ABCD中，/C=^32+42=5,

AM=AB=3,，CA/=5-3=2

2.如图,在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点E,F分别为AD、DC边上的点，且EF=2,G为斯的

中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为？

【答案】4

【简析】简单：G的运动轨迹为圆，求AP+PG典型的“将军饮马”问题，故做A关于BC的对称点A，，则

AP+PG=AP+PG,当A'、P、G三点共线时，最短，又因为/为固定点，G在圆上运动，可知当A'、

G、D三点共线时，此时A'G最短，为4

2023年湖北省鄂州市中考数学真题

3

3.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，3=08=3右，点C为平面内一动点，BC.，连接/C,

点M的坐标是（

【答案】D

O/o/c\

【思路点拨】由题意可得点。在以点5为圆心，—为半径的08上，在％轴的负半轴上取点。-三一，°,

2I2J

连接BD,分别过C、M作b_LCM,MELOA,垂足为尸、E,先证ACMMSA.C,

CD4D3

从而当CD取得最大值时，0M取得最大值，结合图形可知当。，B,。三点共线，且点5在线段。。上时,

5取得最大值，然后分别证△BDOS^CDT"八AEMS公AFC,利用相似三角形的性质即可求解.

3

【详解】解：,・,点。为平面内一动点，BC.,

3

.,・点。在以点8为圆心，,为半径的。8上，

(3后、

在％轴的负半轴上取点。一——,0,连接AD,分别过。、M作CF_LCM,MELOA,垂足为尸、E,

•OA=OB=3出,

.AD=OD+OA=2^1

2

OA2

~AD~3

*CM:MA=1:2,

OA2CM

'AD~3~14Cf

,/NOAM=NDAC,

：.AOAM^DAC,

.OMOA_2

，9~CD~^4D~3"

・••当8取得最大值时，(W取得最大值，结合图形可知当。，B,。三点共线，且点8在线段。。上时，CD

取得最大值，

：OA=OB=3y[5,OD=^4-/s

2

：.BD=y/0B2+0D2=

2

：.CD=BC+BD=9,

OM2

.记二

・・・OM=6,

・・,＞轴_1不轴，CFLOA,

：.NDOB=NDFC=90。,

丁NBDO=NCDF,

：.ABDOS^CDF,

OB15

=2

~CF

CF9

解得。尸=身叵

5

同理可得，AAEMSAAFC,

ME2

.MEAM二1■即1875~3

,CF~AC3-------

5

解得ME=坦叵，

5

?.OE=4OM1-ME1=J62=虫“当线段（W取最大值时，点M的坐标是仅夕，与5

\I5J5I55

2023•邵阳市中考真题

4.如图，在矩形4BCD中，AB=2,AD=布,动点P在矩形的边上沿8'C-。一/运动.当点P不与

点48重合时，将尸沿AP对折，得到445'尸，连接C8',则在点尸的运动过程中，线段CB'的最小

值为.

【答案】711-2

【思路点拨】根据折叠的性质得出8'在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点尸在3c上时,

当点P在。C上时，当P在/D上时，即可求解.

【详解】解：•..在矩形48co中，AB=2,AD=布,

：•BC=ADM,AC=NBC?+AB?=777Z=Vn,

如图所示，当点P在2C上时，

AB'=AB=2

，？在A为圆心，2为半径的弧上运动,

当，,夕,。三点共线时，CB'最短，

此时”的=而—2，

当点尸在。C上时，如图所示，

此时⑦＞而—2

当尸在40上时，如图所示，此时函＞4_2

2023•广西南宁市二模

5.在矩形MCD中，AB=3,将绕点8顺时针旋转a（0。＜o＜90。）得到BE,连接。E,若DE的最小

值为2,则BC的长为

【答案】4

【思路点拨】根据三角形不等式得到BE+DE>？。，当点2,点E,点。三点共线时，3E+DE取得最小

值，得到8。=5,根据勾股定理计算3C即可.

【详斛】•：BE+DE>BD,

二当点2,点E,点。三点共线时，BE+DE■取得最小值，

;BE=AB=3,

：.DE的最小值为2,

/.BD=5,

;矩形NSCD,AB=3,

：.AB=CD=3,/BCD=90°

•**BC=yjBD1-CD2=4

2022•辽宁抚顺•中考真题

6.如图，正方形MCD的边长为10,点G是边CD的中点，点E是边/。上一动点，连接BE,将A/BE沿

BE翻折得到△尸BE,连接GF.当GF最小时，NE的长是.

D.__________.C

【答案】5/一5

【详解】解：①分析所求线段G下端点G是定点、尸是动点；②动点尸的轨迹：正方形刘CD的边长为

10,点E是边月。上一动点，连接3E,将“BE沿BE翻折得到4FBE,连接GF,则8尸=胡=10,因此

动点轨迹是以3为圆心，历1=10为半径的圆周上，如图所示：

T\,G_c

国飞

\/

\/

\X//

、、〜一一//

③最值模型为点圆模型；④G尸最小值对应的线段为G3-10:⑤求线段长,连接GB,如图所示:

qGc

在比A5CG中，ZC=90°,正方形/5CD的边长为10,点G是边。的中点，则CG=5,8C=10,根据勾

股定理可得BG=^CG1+BC2=A/52+102=56，

当G、F、8三点共线时，G厂最小为56-10,

接下来，求4E的长：连接EG,如图所示

根据翻折可知EF=EA,ZEFB=ZEAB=90°,设AE=x,则根据等面积法可知

S正方形=S空DG+8ABeG+S2AB+S2EG，即

=+++—%）+5xl0+10x+5氐］整理得（布+1）%=20,

20

解得x=AE=

V5+1

7.如图，在矩形45cZ）中，AB=3,40=4,E、产分别是边40、5。上的动点，且CF=24£,连接跖,

将四边形ABFE沿EF翻折，点4、B的对应点分别为，、B',连接4。则A'D的最小值为

提示：连接/C交跖于点。，连接。⑷、OD,作于//

BFC

则△4O£SZ\CO77

,:CF=2AE,：.CO=2AO,：.A,O=AO=-AC=—

33

443

：.AH=^AO=-,OH=—AO=\

535

；.DH=AD-AH=4——=-,0D=\joH2+DH2=山

333

；.A'D》OD—OA'='S3—5

3

8.如图，半圆O的直径N3的长为6,长度为2的弦CD在半圆上滑动，£是CD的中点，DFLAB于F,

连接/C、EF,当线段斯的长最大时，/C的长为.

【答案】2近

提示：连接OD、OE,取O£）的中点M,连接ME、MF

则OELCD,ME=MF=-OD

2

EF^ME+MF=OD,当E、M、尸三点共线时所最大

此时四边形EOFD为矩形，CD//AB

连接OC,作CH工AB于H

则O»=±CD=1,AH=2,CH=2yj2,NC=2\5

2022•长春•中考真题

9.如图，在YABCD中，AB=4,AD=BD=&i，点、M为近4B的中点，动点尸从点/出发,沿折线/D-D3

以每秒上个单位长度的速度向终点2运动，连结.作点/关于直线尸”的对称点出,连结4P、

A'M.设点P的运动时间为t秒.

(1)点D到边N8的距离为;

(2)用含/的代数式表示线段。尸的长；

(3)连结4D,当线段4。最短时，求△£＞口，的面积；

(4)当M、4、C三点共线时，直接写出f的值.

【答案】(1)3

⑵当时，DP=V13-V13/;当1＜/2时，PD=yli3t-413:

⑶I

/八2,20

(4)§或五

【思路点拨】(1)连接根据等腰三角形的性质可得再由勾股定理，即可求解；

(2)分两种情况讨论：当0WW1时，点尸在/£＞边上；当1＜云2时，点P在3。边上，即可求解；

(3)过点、P作PELDM于点、E,根据题意可得点4的运动轨迹为以点M为圆心，长为半径的圆，可得

到当点。、/'、Af三点共线时，线段4。最短，此时点尸在4D上，再证明可得

2

DE=3-3t,PE=2-2t,从而得到AE=DE-4'D=2-3t,在必A/'PE中，由勾股定理可得/=1,即可求

解；

(4)分两种情况讨论：当点"位于M、C之间时，此时点P在4D上；当点/(A")位于CM的延长线

上时，此时点尸在5。上，即可求解.

【详解】(1)解：如图，连接

DM=y/AD2-AM2=3,

即点。到边48的距离为3;

故答案为：3

(2)解：根据题意得：当把"1时，点P在4D边上，

。尸=而-屈/;

当1＜正2时，点尸在3。边上，PD=H-屈;

综上所述，当03W1时，£＞P=V13-VB?;当1VE2时，P£)=Vi3/-＞/B;

(3)解：如图，过点、P作PELDM于点、E,

:作点A关于直线PM的对称点4,

：.A'M=AM=2,

二点/的运动轨迹为以点M为圆心，长为半径的圆，

...当点。、A\M三点共线时，线段4D最短，此时点尸在/。上,

4D=1,

才艮据题意得：A'P=AP=413t,DP=413-413t,

由（1）得：DMLAB,

■:PE工DM,

J.PE//AB,

：./\PDE^/\ADM,

.PDDEPE

"AD~DM~AM'

.屈-岳t_DE_PE

■岳=亍=1"'

解得：DE=3-3t,PE=2-2t,

：.A'E=DE-A'D=2-3t,

在Rt^A'PE中，A'P2=PE2+A'E2,

：.（V13?）2=（2-2/）2+（2-3/）2,解得：，=|,

(4)解：如图,

当点M、4、C三点共线时，且点4位于M、。之间时，此时点尸在4。上，

连接44,AB,过点P作PFL4B于点F,过点4作4G-L45于点G,则44」产初;

■:AB为直径，

AZA=90°,即

:.PM〃AB,

:・NPMF=NABA,

过点。作CN±AB交延长线于点N,

在Y458中，AB//DC,

u：DM-LAB,

：.DM//CN9

・•・四边形cnw为平行四边形，

:・CN=DM=3,MN=CD=4,

：.CM=5,

・小人「CN

..sm•ZCMN=-----=—3,

CM5

VAfM=2,

A'G=2x—=—

55

Q

：.MG=-

5

BG=BM-MG=-

5

4G

AtanZAfBA=——=3,

BG

tan/PMF=tan/A'BA=3,

PF

：.——=3,PF=3FM

FMf

DMPF3CQSADAM=^-AF

・tanADAM=------=-----=—

AMAF2AD~AP

3

：.PF=-AF,

2

3

A3FM=-AFfAF=2FM,

・.FM=2,

_2

A3_2,解得：％=4；

VBZVB3

如图，当点4（4〃）位于CM的延长线上时，此时点尸在5。上，PB=2用-岳t,

过点4〃作H'GUZB于点G，，则44比4〃=/CW,取44〃的中点〃，则点河、尸、H三点共线，过点X作

HK1AB于点K,过点P作PT工AB于点T,

■:HKLAB,AnGrLAB,

:・HK〃A〃G,

・・・小AHK〜WG',

・・•点，是44〃的中点，

.HK_AKAH

一46，一而一看一万

31

：.HK=-,AK=-,

55

：.MK=~9,

5

HK1

tanZPMT=tan/HMK=-----二—

MK3

PT1o

J—二一，即MT=3尸T,

MT3

DMPTJc°"PBT=^=%=^

tanZPBT=----------二——二

BMBT2"PBBDV13

：.BT=-PT,

3

9

：.MT=-BT,

2

■:MT+BT=BM=2,

4

BT=—,

11

11_____2,解得：t=——;

2713-713^-V1311

综上所述，1的值为g或患

题园且直角的对边是直径

10.如图，在“BC中，44c8=30。，/C=4,。为3c上的一个动点，以AD为直径的OO与48相切于

点B,交AD于点、E,则CE的最小值为.

【答案】V13-1

【思路点拨】取4B的中点/，连接BE,EF,CF,则CE3CF-EF.由N8与。。相切，可得NN2C=90。,

通过解直角三角形可得NB=；/C=2,BC=NAC?-AB。=2拒,CF=JBF?+BC?=屈.才艮据BD是。。

的直径，可得A/BE是直角三角形，从而EF=；AB=1,因此CE2后-1,即CE的最小值为旧-1.

【详解】取48的中点/，连接BE,EF,CF,则CE2CF-EF

：.AB1BC,即N48C=90。，

：Z/4CB=3O。，ZC=4,

AB=-AC=-x4=2,

22

BC=y/AC2-AB2="-2?=273.

•点/是45的中点,

BF=LAB=LX2=I,

22

.•.在RGBCF中，CF=^BF2+BC2=yjl2+（273J"=VB.

：AD是。。的直径，

Z./BED=90。,

，ZXE5=180°—Z5ED=180°-90°=90°,

点点是48的中点,

：.EF=-AB=-x2=l,

22

ACE>CF-EF=413-1,即CE的最小值为屈-1

11.（2021威海）如图，在正方形4BCD中，48=2,点、E,尸分别在边/瓦2c上，AE=BF,连接DE

与NF交于点G,连接BG,则3G的最小值为.

【答案】V5-1

【解析】取AD的中点M,连接BM,GM,

BM=飞AM?+AB。=Vl2+22=石•

•..四边形ABCD是正方形，

；.DA=AB=2,NDAE=NABF=90°.

；AE=BF,.,.△DAE^AABF,

NADE=NBAF.

:ZBAF+ZDAF=90°,

NADE+NDAF=90。，；.NDGA=90°.

VGM=-^D=1.

2

VBG+GM^BM,ABG^BM-GM,

ABG的最小值为石-1.

12.(2023・嘉兴•二模)在RtZ\/3C中，NC=90o,//=3()o,BC=2,点。,E分别是的中点，点户是

NC上的一个动点，连结。尸，作8。，。尸交。尸于点。，连结E。.点尸从点。向点A运动的过程

中，E0的最小值为.

【答案】V3-1

【思路点拨】作EN_L/8于N,取8。中点M,连接M。，ME,由直角三角形的性质求出的长，MB

的长，EN的长,AN的长,得到儿W的长，由勾股定理求出ME的长，由EQ2ME-MQ,即可求出E。的

最小值.

【详解】解：如图，作ENA.AB于N,取8。中点M,连接血@,ME,

■：ZC=90°,/N=30。，BC=2,

AB=2BC=4,AC=用BC=2C,

■：D是AB中点，

:.BD=gAB=2,

ZBQD=90°,M是8。中点，

:.MQ==BD=1,MB=；BD=1,

是/C的中点，

AE=yAC=百,

:.NE=』AE=2,AN=^NE=-,

222

33

:.MN=AB-MB-AN=4-l--=-,

22

ME=yjMN2+EN2=V3，

­.•EQ>ME-MQ,

EQ>4i-\,；.E。的最小值是6-1

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形O/8C的边。40c分别在x轴、y轴的正半轴上，。/=6,

。。=4,点。是线段。/上的一个动点，连接CD,以CD为边作矩形CDER使得边斯经过点3,当

点F到原点。的距离最大时，点F的坐标为.

提示：取3c中点连接OROM、FM

则FM=CM=±8C=3,OM^CM2+CO2-5

OFWOM+FM=8,当点尸在OM延长线上时。尸最大

作CGJ_O尸于G,FHLBC于H

购AFMH出ACMG(AAS),:.FH=CG,MH=MG

在△CO河中，由面积法可得CG=1,勾股得

:.FH=-,MH=—,：.F(―,-)

5555

2023•荷泽市中考真题

14.如图，在四边形MCD中，乙48。=/840=90。,/8=5,/。=4,/。＜8。，点£在线段8C上运动，点

厂在线段/E上，ZADF=ZBAE,则线段3尸的最小值为.

BEC

【答案】V29-2

【思路点拨】设的中点为0,以AD为直径画圆，连接OB，设05与。。的交点为点广，证明ZDFA=90°,

可知点/在以4D为直径的半圆上运动，当点尸运动到03与。。的交点户'时，线段B尸有最小值，据此求

解即可.

【详解】解：设ND的中点为。，以为直径画圆，连接08,设08与。。的交点为点尸，，

J.AD//BC,

：.NDAE=NAEB,

ZADF=NBAE,

NDFA=/ABE=90。,

:.点、F在以AD为直径的半圆上运动，

当点尸运动到OB与。。的交点F'时，线段BF有最小值，

AD=4,

：.AO=OF'=-AD=2,,

2

BO=A/52+22=V29，

BF的最小值为J^-2

15.（2023・武汉•一模）如图，Rt4/BC中，ZACB=90°,AC=4-,BC=6.点尸为“8C内一点，且

满足PT+pc=/C?.当尸8的长度最小时，则尸的面积是.

【答案】673

【思路点拨】取/C中点。，连接。P,BO,由尸T+pc2=/c2即可得到/4PC=90°,再由BPNBO-OP,

可得当点尸在线段80上时，AP有最小值，然后利用直角三角形的性质可得尸0=/0=C0=；/C=2G,

即可推出ZBOC=60°,则ACOP是等边三角形，求得4cop的面积，根据OA=OC可得S^ACP=2邑=班.

【详解】解：如图，取/C的中点。，连接。尸，BO,

A

BC

・.•PA2+PC2=AC2,

ZAPC=90°,

・••点尸在以4C为直径的圆上运动，

在尸。中，BP>BO-OP,

，当点P在线段3。上时，有最小值，

:点。是/C的中点，AAPC=90°,

：.PO=AO=CO=^AC=243,

：.tanZJ8OC=—=V3,

oc

：.4OC=60。，

ACOP是等边三角形，

=^X12=3V3,

•:OA=OC,

S^ACP=2SACOP=66

2022•通辽・中考真题

16.如图，。。是“3C的外接圆，/C为直径，若AB=2△，BC=3,点尸从8点出发，在“BC内运动

且始终保持/C8P=/54P,当C,尸两点距离最小时，动点尸的运动路径长为

A

【答案】工

3

【思路点拨】根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定C尸的长最小时点P

的位置，进而求出点尸的运动路径长.

【详解】解：•.•/(7为。。的直径，

ZABC=90°.

:.NABP+NPBC=90°.

QZPAB=/PBC,

NPAB+NABP=90°.

・•・.•.ZAPB=90°.

・••点尸在以45为直径的圆上运动，且在的内部，

如图，记以为直径的圆的圆心为a,连接。。交©。1于点p,连接am.

QCP>OC—O]P,

.・・当点«,P,C三点共线时，即点。在点p处时，C尸有最小值,

*/AB=2百

/.OXB=y[3

Be3r~

在Rt^BCOx中，tanZ.BOXC=——=—j==v3.

ZBOXC=60.

...册竺*=&

，C,尸两点距离最小时，点p的运动路径长为22万.

3

17.（2023・广州•三模）如图，矩形4BCD中，AB=2,BC=26,点、E、F分别是线段4D,3c上的动

点，且过。作"的垂线，垂足为77.

（2）当£在月。上运动时，C"的最小值为.

【答案】451

【思路点拨】（1）过点/作WJ_3C于/,由条件可得四边形4BA/E是矩形，由题意可得从而

问题解决；

（2）连接3D交E厅于点。，可证明△DOE会/XBO尸，易得。。=<8。=2,由DH_LEF知,MH=2,即

点X在以CO中点M为圆心，1为半径的圆上运动，当点E与点/重合时，CH的值最小，由三角函数知

识即可求得此时最小值.

【详解】解：（1）过点/作EM_L3C于如图，

则ABME=ZEMF=90°;

;四边形4BCD为矩形,

：.ZA=ZB=90°,

：.四边形ABME是矩形，

:.EM=AB=2,BM=AE=道-1;

•：AE=CF,

：.CF=BM=43-1,

：.MF=BC-BM-CF=2e-2（6-1）=2,

：.ME=MF,

FMIBC,

：.NBFE=45°,

故答案为：45;

（2）连接BD交E尸于点。，如图,

由矩形性质知：AD//CB,AD=BC=2yf3,

：.NDEF=NBFE,AD-AE=BC-CF,

：.DE=BF,

'：AEOD=AFOB,

ADOE^ABOF,

OD=OB,

AE(

由勾股定理得BD=yjAB2+AD2=4，

Z.OD=-BD=2,

2

■:DHLEF,设中点为

MH=2,

即点〃在以点M为圆心，1为半径的圆上运动，

由于点£在4D边上运动，

当点£与点N重合时，即E厂与NC重合时，CH的值最小，

VAC=BD=4,cosZACD=—=—,

ACCD

CD24

CH=——=—=1,

AC4

即CH的最小值为1

18.（2023・安阳•一模）如图，正方形MCD的边长为2后，点£是边上的一个动点，点下是CD边上

的一个动点，且/£=b，过点3作尸于点G,连接/G,则NG长的最小值为.

【答案】V5-1

【思路点拨】连接力尸，CE,AC,设ZC与E尸的交点为点。，得到平行四边形NECF,点。是/C的中

点，连接3D,则3。经过点O,JLOA1OB,G在以BO为直径的圆上运动，取05的中点H,连接

根据三角形三边不等关系式，计算最值即可.

【详解】如图，连接NF,CE,AC,设/C与E尸的交点为点O,

；正方形4BCD,

：.AE||CF,

AE=CF,

：.四边形AECF是平行四边形,

AO=CO,OE=OF,

...点。是NC的中点，连接BD,

•.•正方形48CD,

二点。是8。的中点，且CU_LO8,

取08的中点X,连接4H,GH,

•：BGLEF,

：.AH=ylAO1+OH2,GH=-OB,

2

GH+AG^AH,

：.当4G,H三点共线时，ZG取得最小值,

;正方形4BCD的边长为2及，

；*4C=BD=⑸+（2司=4,

OA=OB=OC=OD=2,

...G〃=go8=l,3+F=氐

二/G长的最小值为君-1

19.（2023•深圳•模拟预测）如图，在矩形MCD中，4B=3,BC=4,E为边8c上一动点，尸为NE中

点，G为。E上一点，BF=FG,则CG的最小值为

【答案】V13-2

【思路点拨】连接/G,根据矩形的性质可得NABC=/3CD=/ADC=90。，DC=AB=3,根据中点的性质

和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得回^//E二/尸二斯，推得4F=FG=EF,则

4G£=AGD=90°,根据圆周角定理可知：点G在以/。为直径的圆上运动，取4。的中点0,当O,G,

C三点共线时，CG的值最小，由此可解答.

【详解】解：如图1,连接/G,

图1

•••四边形/BCD是矩形，

ZABC=/BCD=ZADC=90°,DC=AB=3,

,:F是AE的中点,

：.BF=-AE=AF=EF,

2

BF=FG,

：.AF=FG=EF,

：.ZAGE=ZAGD=9Q°,

.•.点G在以4D为直径的圆上运动，取2。的中点O,连接。G,如图2：

图2

当O,G,C三点共线时，CG的值最小，

OD=OG=2,

，OC=万百=而，，CG的最小值为而-2

2023•汕头市金平区一模

20.如图，为。。的直径，点C为05中点，弦DE经过点C,且。E448.点尸为公上一动点，连

接。尸./GLD/于点G.若/8=4,在点F运动过程中，线段OG的长度的最小值为.

A

【答案】V3-1

【思路点拨】如图，连接，OD,取4。的中点R,由力G_LDF.可得G在以R为圆心，4。为直径

的圆上运动，（圆的一部分）当R,O,G三点共线时，0G最小，再求解CD=卜=拒,

AD=JCD2+AC?=26，可得RA=RG=6,sinZCAD=—尸=一,则大=彳，可得火。=1,从而可得

2432Ao2

答案.

【详解】解：如图，连接，OD,取的中点五,

AGLDF.

；.G在以R为圆心，4D为直径的圆上运动，（圆的一部分）

当A,O,G三点共线时，0G最小，

VAB=4，点。为OS中点，

OB=OA=OD=2,0C=\,

,：DE1AB,

,,CD=^22—I2=sfi,

AD=VCD2+AC2=2V3,

■•RA=RG--xfi，sinNCAD=—广——,

2732

.7?O_1

••而一Q，

:.RO=1,：.OG=RG-RO=4i-\

2023•广州市天河区三模

21.如图，矩形MCD中，AB=2,BC=2C，点、E、厂分别是线段40,3C上的动点，且/E=CF,过

。作E尸的垂线，垂足为〃.

(2)当E在上运动时，S的最小值为.

【答案】451

【思路点拨】(1)过点/作9_L8C于由条件可得四边形48ME是矩形，由题意可得,从而

问题解决；

(2)连接AD交E尸于点。，可证明丝△3。尸，易得。。=；50=2,由。H_LE尸知，MH=2,即

点〃在以中点〃为圆心，1为半径的圆上运动，当点E与点N重合时，S的值最小，由三角函数知

识即可求得此时最小值.

【详解】解：(1)过点尸作W_L8C于如图，

则NBME=NEMF=90。；

:四边形4BCD为矩形，

二4=/3=90。，

二四边形4EWE是矩形，

EM=AB=2,BM=AE=0-1：

•：AE=CF,

：.CF=BM=y[2>-\,

AMF=BC-BM-CF=2A/3-2(6-1)=2,

：.ME=MF,

•：FMIBC,

：.NBFE=45。,

故答案为：45;

（2）连接50交E厂于点。，如图，

由矩形性质知：AD//CB,AD^BC=273,

:.NDEF=ZBFE,AD-AE=BC-CF,

：.DE=BF,

AEOD=/FOB,

：.ADOE^ABOF,

OD=OB,

由勾股定理得BD=yjAB2+AD2=4，

：.OD=-BD=2,

2

,:DHLEF,设0£>中点为M,

：.MH=2,

即点X在以点M为圆心，1为半径的圆上运动，

由于点£在月。边上运动，

，当点E与点/重合时，即E尸与ZC重合时，CH的值最小,

「口CH

AC=BD=4.cosZ.ACD==---

ACCD

CD24

：.CH=——=一=1,即。〃的最小值为1

AC4

2022•成都市成华区二诊

22.如图，在A43c中，/。=90。,/8=30。,/。=2百.若点。为平面上一个动点，且满足ZADC=60。,

则线段长度的最小值为,最大值为

【答案】2H22V13+2

【思路点拨】根据题意进行分类讨论，即当点。在/C右侧时，点。在就上运动；当点。在/C左侧时,

点。在G上运动，再分别计算即可.

【详解】①如图，

c

以/C为底边，在NC的右侧作等腰三角形NOC,^ZOAC=ZOCA=30°

贝，OC=120°

以。为圆心，以C。长为半径画优弧前•，连接8。交公于点E

则当点。在NC右侧时，点D在上运动

过点。作。尸_L3C于尸

•1•ZACB=90°,NABC=30°

ACV3

tanN4BC=-----------

BC3

BC=6AC=6

过点。作（W_L/C于”

OC=OA

:.CM=AM=-AC=43

2

tanNOCA=tan30°=—=—

MC3

h

:.OM=—MC=l

3

CO=2MO=2

...OE=OC=2

ZCMO=ZCFO=ZMCF=90°

:.四边形MCFO为矩形

：.CF=OM=1,OF=CM=拒

：.BF=6-1=5

在Rt^BOF中，BO=\lBF2+OF2=2J7

:.BE=2币-OE=2行-2

当点。于点£不重合时，BD>OB-OD

当点。于点E重合时，BD=OB-OD

:.BD>OB-OD

，当B、D、。三点共线时（此时，点。与E重合），AD有最小值为26-2

②如图，

以/C为底边，在NC的左侧作等腰三角形/O'C,使/O'/C=/O'C4=30。

则4O'C=120°

以。'为圆心，以C。'长为半径画优弧