2025年中考数学难点突破与训练：最值问题中的将军饮马模型（解析版）

专题17最值问题中的将军饮马模型

【模型展示】

传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜

访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yin)马，然后

再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个被称为“将军饮马”的问题

广泛流传。

▲1

»•11I广

1”“前1

11111111

&A3

特点

三三三

实际问题：应该怎样走才能使路程最短？

C

作图问题：在直线1上求作一点C,

使AC+BC最短问题.

结论AC+BC最短

【模型证明】

(1)现在假设点A,B分别是直线1异侧的两个点，如何在1上找到一个点，使得这个点到点A,

点B的距离的和最短？

一

解决方案

连接AB,与直线1相交于一点C.

AC+BC最短(两点之西线段最短)

(2)现在假设点A,B分别是直线1同侧的两个点，如何在1上找到一个点，使得这个点到点A,

点B的距离的和最短？

作法：

(1)作点B关于直线1的对称点B，；

(2)连接AB，，与直线1相交于点C.

则点C即为所求.

所作的AC+BC最短吗？请说明理由？

【证明】

如图，在直线1上任取一点。(与点C不重合),

连接A。，BC,BV.由轴对称的性质知，

BC=B/C,BC,=B,C,.

.".AC+BC=AC+B'C=AB；

AC'+BC'=AC'+B'C'.

在△AB，C中,

ABYAC+BC,

AAC+BCVAC&BC.

即AC+BC最短.

【题型演练】

一、单选题

1.如图，正方形4SCD的边长是4,点E是。C上一个点，且。£=1,尸点在NC上移动，则尸E+尸。的

最小值是（）

A.4B.4.5C.5.5D.5

【答案】D

【分析】连接2E,交ZC于点N,连接DN,N即为所求的点，则8E的长即为DP+PE的最小值，利用勾

股定理求出BE的长即可.

【详解】解：如图，

•.•四边形是正方形，

工点、B与点D关于直线AC对称,

连接8E,交NC于点N,连接DV,

:.DN=BN,

DN+EN=BN+ENNBD,

则BE的长即为DP+PE的最小值,

：.AC是线段BD的垂直平分线,

又；CE=CD-DE=4-1=3,

在RtABCE中，

BE2=CE2+BC2=25,

■:BE>3

：.BE=5,

即DP+PE的最小值为5,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知识，将PE+PD

的最小值转化为BE的长是解题的关键.

2.如图，正方形45CD的边长为4,点M在DC上，且DM=1,N是/C上一动点，则DN+JW的最小值

为（）

AK------------------KD

B.472c.2y[5

【答案】D

【分析】由正方形的对称性可知点8与。关于直线/C对称，连接交ZC于M即为所求在RtZkBCM

中利用勾股定理即可求出BM的长即可.

【详解】；四边形是正方形，

；.点、B与D关于直线AC对称，

：.DN=BN,

连接2D,BM交AC于N',连接

...当8、N、Af共线时，ON+MV有最小值，则3M的长即为DV+TW的最小值,

：.AC是线段BD的垂直平分线，

XVC£>=4,DM=1

：.CM=CD-DM=4-1=3,

在RtABCM中，BM=^CM2+BC2=#+¥=5

故DN+MN的最小值是5.

故选：D.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出。关于直线4C的对称点，由轴对称

及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键.

3.如图，矩形/BCD中，AB=4,BC=6,点P是矩形NBCD内一动点，且&^=g%8，贝lJPC+尸。的最

小值是（）

A.46B.475

C.2713D.2729

【答案】B

【分析】作于跖作点。关于直线的对称点E，连接尸E,EC.设由尸河垂直平分线

段DE,推出尸尸E,推出尸C+PZ”尸C+*EC,利用勾股定理求出EC的值即可.

【详解】解：如图，作尸河，4。于M,作点。关于直线的对称点£,连接尸E,EC.设NM=x.

,••四边形/8C都是矩形，

J.AB//CD,48=8=4,BC=AD=6,

'：SAPAB=^SAPCD,

—x4xx=—x—X4X(6-x),

222

/.x=2,

：.AM=29DM=EM=4,

在必中，EC=y/cD2+DE2=475,

；尸河垂直平分线段DE,

:.PD=PE,

：.PC+PD=PC+PE>EC,

：.PD+PC>4y/5,

：.PD+PC的最小值为475.

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合

轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

4.如图，等边△ABC的边长为6,AD是边上的中线，M是4D上的动点，E是边/C上一点，若NE

=2,则EM+CM的最小值为（）

A

【分析】连接BE,交ND于点过点E作所，BC交于点R此时W+CM的值最小，求出5E即可.

【详解】解：连接2E,交4D于点初，过点E作斯，8c交于点厂，

是等边三角形，是BC边上的中线，

.•.2点与C点关于4D对称，

:"BM=CM,

：.EM+CM=EM+BM=BE,此;时EM+CM的值最小,

"：AC=6,AE=2,

，EC=4,

在用中，Z£CF=60°,

:.FC=2,EF=25

在RtABEF中,BF=4,

:.BE=2不，

故选：C.

【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题的关

键.

5.已知线段及直线/,在直线/上确定一点P,使上4+尸3最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（）.

C.

【答案】c

【分析】根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题.

【详解】解：：点4,2在直线/的同侧，

.••作8点关于/的对称点8',连接N8'与/的交点为尸，由对称性可知8尸=87，

R4+PB=PB'+R4=4B为最小

故选：C.

【点睛】本题考查轴对称求最短距离，掌握两点在直线同侧时，在直线上找一点到两点距离最短的方法是

解题的关键.

6.如图，点M是菱形/BCD的边2C的中点，P为对角线3。上的动点，若48=2,//=120。，则PM+

PC的最小值为（）

A________D

区t

BMC

A.2B.V3C.V2D.1

【答案】B

【分析】连接AM、AC,AM交BD于P,此时PM+PC最小，连接CP,由菱形的性质可知。和/关于BD

对称，AP=CP,由条件易证△Z2C是等边三角形，根据三线合一可知/WL2C,再根据勾股定理可求

的值，即可求解.

【详解】解:连接©W、AC,AM交BD于P,

此时尸M+PC最小，连接CP,

•.•四边形是菱形,

：.OA=OC,ACLBD,

和4关于2D对称，

：.AP=PC,

ZA=no0,

：.ZABC=60°,

AABC是等边三角形,

：.AC=AB=2,

•.•朋■是3C的中点，

C.AMLBC,

，ZBAM=?>0o,

••AM=-\lAB2~BM2=V3，

：.PM+PC=AM=^3.

故选B.

【点睛】本题考查了将军饮马类型的求最小值问题，涉及菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定

理等知识，解题的关键是准确找到P的位置.

7.如图，在△43C中，4B=2,N4BC=60°,ZACB=45°,。是的中点，直线/经过点。，AELI,

【答案】A

【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可.

【详解】解:如图，过点C作CKL1于点K,过点A作AHLBC于点H,

VZABC=60°,AB=2,

BH=1,AH=5

在RtZ\AHC中，NACB=45°,

*'•AC=^AH2+CH2=J(V3)2+(A/3)2=V6，

:点D为BC中点,

，BD=CD,

在ABED与△CKD中，

ABFD=ZCKD=90P

，NBDF=ZCDK,

BD=CD

.♦.△BFD丝△CKD（AAS）,

；.BF=CK,

延长AE,过点C作CN_LAE于点N,

可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RtAACN中，AN<AC,

当直线1_LAC时，最大值为几，

综上所述，AE+BF的最大值为

故选：A.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的

关键.

8.如图，凸四边形48co中，44=90。,/。=90。,/。=60。,71。=3,/3=6，若点M、N分别为边CD,40

上的动点，则ABMN的周长最小值为（）

【答案】C

【分析】由轴对称知识作出对称点，连接两对称点，由两点之间线段最短证明53"最短，多次用勾股定理

求出相关线段的长度，平角的定义及角的和差求出角度的大小，最后计算出ASMN的周长最小值为6.

【详解】解：作点B关于CD、ND的对称点分别为点8,和点『，

连接8方"交DC和/。于点M和点N,DB,连接MB、NB-,

再DC和/。上分别取一动点和N'（不同于点M和N）,

连接MB,M'B',N'B和N'B”,如图1所示:

B'M'=BM',B"N'=BN',

BM'+MN'+BN'>B'B",

又•1'B'B"=B'M+MN+NB",

MB=MB',NB=NB",

:.NB+NM+BM<BM'+M'N'+BN',

:j=NB+NM+BM时周长最小；

连接DB,过点3'作B'H1DB"于B"D的延长线于点H,

如图示2所示：

••,在比中，AD=3,AB=有,

DB=yiAlf+AB2=732+(V3)2=26

Z2=30°,

Z5=30°,DB=DB",

XZADC=Z1+Z2=60°,

Zl=30°,

Z7=30°,DB'=DB,

ZB'DB"=Z1+Z2+Z5+Z7=120°,

DB'=DB"=DB=2y13,

又函+N6=180°,

Z6=60°,

:.HD=>[?,>HB'=3,

在RtdB'HB"中,由勾股定理得：

B'B"=yjHB'2+HB"2=+(3后=727+9=6.

I^BMN=NB+NM+BM=6,

故选：C.

【点睛】本题综合考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，平角的定义和两点之间线段最短等相关知识点,

解题的关键是掌握轴对称-最短路线问题，难点是构建直角三角形求两点之间的长度.

二、填空题

9.在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、/4的打印纸等，其实这些矩形

的长与宽之比都为夜:1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形"ZBCD中，如图所示,

点。在DC上，且若G为8C边上一动点，当△NGQ的周长最小时，则誓的值为

CJB

【分析】先设出矩形的边长，将/。和C。表示出来，再通过作对称点确定△NG。的周长最小时的G点位

置后，利用平行线分线段成比例的基本事实的推论建立等式求解即可.

【详解】解：设DC=0x，DQ=AD=X,

Cg=(V2-l)x

:矩形/BCD,

••ND=NDCB=NB=90。,AB=DC=V2BC=AD=x,

：.AQ=yjAD2+DQ2=V2x,

如图，作。点关于BC的对称点E,连接NE交8c于点”,

AGQ=GE,CQ=CE=（41

：.AQ+QG+AG=亚x+AG+EGN瓜+AE，

...当N、G、£三点共线时，△4G。的周长最小，

此时G点应位于图中的M点处；

•.,矩形48co中，ZQCG=90°,

：.E点位于QC的延长线上，

C.CE//AB,

...CM_CE(0_1卜_2亚

MB-AB-41x-2

即空=小，

GB2

故答案为：三

【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、最短路径、平行线分线段成比例的基本事实的推论等内容,

解题关键是能正确找到满足题意的G点位置，同时要牢记平行线分线段成比例的推论，即平行于三角形的

一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

10.如图，点P是/498内任意一点，。尸=3cm,点M和点N分别是射线。4和射线03上的动点,

ZAOB=30°,则APMN周长的最小值是

【答案】3

【分析】根据“将军饮马”模型将最短路径问题转化为所学知识“两点之间线段最短”可找到△尸MN周长的最小

的位置，作出图示，充分利用对称性以及N/OB=30。，对线段长度进行等量转化即可.

解：如图所示，过点尸分别作P点关于。2、04边的对称点尸‘、P",连接收"、pp、P'P"、OP'、OP",

其中PP"分别交。8、0A于点、N、M,根据“两点之间线段最短”可知，此时点M、N的位置是使得APMN周

长的最小的位置.

由对称性可知：PN=P'N,PM=P"M,ZP'OB=ZPOB,ZPOA=ZP"OA

OP'=OP"=OP=3,

ZPOA+Z.POB=NAOB=30°

ZP"OA+ZP'OB=30°

ZPOA+ZPOB+ZP"OA+ZP'OB=ZP'OP"=60°

「.△POP'为等边三角形

P'P"=OP'=OP"=3

：.APMN的周长=PN+PW+A/N=P'N+P"M+MN=P'P"=3

故答案为：3

【点睛】本题是典型的的最短路径问题，考查了最短路径中的“将军饮马”模型，能够熟练利用其原理“两点

之间线段最短”作出最短路径示意图是解决本题的关键.

11.如图，等边AA8C的边长为4,点£是NC边的中点，点P是AABC的中线ND上的动点，则EP+C尸的

最小值是

A

【答案】273

【分析】当连接BE,交/。于点尸时，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值.

【详解】解：连接2E

A

是等边三角形，4D是2c边上的中线，

：.AD±BC,

：.4D是BC的垂直平分线，

/.点C关于AD的对应点为点B,

ABE就是EP+CP的最小值.

是等边三角形，£是/C边的中点，

；.BE是△4BC的中线，

:.CE=*AC=2,

•*-BE=YIBC2-CE2=273

即EP+CP的最小值为26，

故答案为：26.

【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形和

轴对称的性质是解题的关键.

12.如图，正方形/BCD的边长为8,点河在DC上且。M=2,N是NC上的一动点，则DN+九CV的最小

值是______

【分析】要求。N+MN的最小值，DN,不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN,aW的值，从而找

出其最小值求解.

【详解】解：：正方形是轴对称图形，点2与点。是关于直线NC为对称轴的对称点，

二连接8N,BD,

:.BN=ND,

：.DN+MN=BN+MN,

连接8M交NC于点尸，

•点N为/C上的动点，

由三角形两边和大于第三边，

知当点N运动到点尸时，BN+MN=BP+PM=BM,

BN+MN的最小值为BM的长度，

•.•四边形为正方形，

：.BC=CD=S,CM=8-2=6,NBCM=90。,

；.BM=762+82=10,

.•.DN+ACV的最小值是10.

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用.

13.如图所示，在中，AB=AC,直线所是的垂直平分线，。是3C的中点，M是昉上一个动

点，A4BC的面积为12,BC=4,贝UAADM周长的最小值是

E

M

【答案】8

【分析】连接ND,AM,由£尸是线段N8的垂直平分线，得至U/四=3四，则△BZW的周长

=BD+BM+DM=AM+DM+BD,要想的周长最小，即要使的值最小，故当/、M、。三点共

线时，NM+DM最小，即为N。，由此再根据三线合一定理求解即可.

【详解】解：如图所示，连接ND,AM,

尸是线段48的垂直平分线，

：.ABDM的周长=80+8"+£)河=/河+。河+20,

要想△ADM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，

...当/、M、。三点共线时，NM+DAf最小，即为

\'AB=AC,。为2C的中点，

：.ADLBC,BD=-BC=2,

2

S人/”=」/D3C=12,

/\rir)\'2,

：.AD=6,

：.ABDM的周长最小值=/D+AD=8,

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当/、

M、。三点共线时，4"+。新最小，即为4D.

14.如图，在四边形/BCD中，NBCD=50。,ZB=ZD=90°,在3C、CD上分别取一点M、N,使△/MN

的周长最小，则/M4N=°.

【答案】80

【分析】作点/关于8C、CD的对称点出、血，根据轴对称确定最短路线问题，连接小、也分别交8C、

。。于点M、N,利用三角形的内角和定理列式求出N//+N/2,再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得

AMAN.

【详解】如图，作点N关于BC、CD的对称点小、也，连接小、小分别交8C、DC于点河、N,连接//、

AN,则此时△WW的周长最小,

VZBCD=5Q°,NB=ND=90。,

：.ZBAD=360°-90°-90°-50°=130°,

AZAJ+ZA2=180°-130°=50°,

:点/关于8C、CO的对称点为出、A2,

：.NA=NA2,MA=MAI,

:.NA2=NNAD,NAI=NMAB,

...ZNAD+ZMAB=ZA1+ZA2^5O°,

：.ZMAN=ZBAD-(NNAD+/MAB)

=130°-50°

=80°,

故答案为：80.

【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是

解决本题的关键.

15.如图，在矩形N2CD中，/B=15,3c=20,把边48沿对角线AD平移，点4,夕分别对应点力,2给

出下列结论：

①顺次连接点B',C,。的图形是平行四边形；

②点c到它关于直线4r的对称点的距离为50；

③©C-9。的最大值为15；

®A'C+B'C的最小值为9后.

其中正确结论的序号是

【答案】③④

【分析】①根据平行四边形的判定定理判断即可；②作点C关于直线应4'的对称点E,交直线44吁点7,

交直线2。于点。，则C£=40C,利用等面积法求出0C即可；③根据HC-夕C<H",当线段平移至

H与。点重合，即：A',B',C三点共线时，/'C-8'。=/的即可判断；④作。关于直线44,的对称点。

连接。。交直线4r于点J,过点。M乍。'ELCD,交CD延长线于£点，连接CD',交直线44,于点4,此

时满足HC+夕。的值最小，即为CD的长度，结合相似三角形的判定与性质求解即可.

【详解】解：①由平移的性质可知：ABHAB',AB=A'B'，

由矩形的性质可知：AB//CD,AB=CD,

：.A'B'HCD,A'B'=CD,

.••四边形/AC。为平行四边形,

当点8,与。重合时，四边形不存在,

故①错误;

②如图1所示，作点C关于直线的对称点E,交直线N©于点7,交直线8。于点。，则CE=4OC,

•.•四边形为矩形,

AZBCD=90°,CD=AB=15,

BD=yjBC2+CD2=25，

•S&BCD=-BC-CD=-BD>OC,

22

20x15

OC==,

25

A£C=4xl2=48,故②错误;

③由二角形三边关系可知：A'C-B'C<A'B',

如图2所示，当线段平移至H与。点重合，即：A',B',C三点共线时，A'C-B'C=A'B'=15,

-8'C最大值为15,故③正确；

④如图2所示，由①可知，B'C=A'D,

：.A'C+B'C=A'C+A'D,

作D关于直线的对称点。内连接交直线44,于点J,

过点加作D'ELC。，交CD延长线于£点，连接CD',交直线44,于点4,

此时满足/'C+2C的值最小，即为CD'的长度，

由对称的性质可知：ZAJD=90°,

由平行的性质可知：/BDJ=180°-NAJD=90°,

即：ZADJ+ZADB=90°,

'：ZABD+ZADB=90°,

：.NABD=/ADJ,

：./\ABD^/\JDA,

.DJAD

"HB~~BD'

DJ20

n即n：一=—,

1525

：.DJ=n,

：.DD'=2DJ=24,

又：D'EIIAD,

ZED'D=/ADJ,

.*•NED'D=AABD，

"：NE=NBAD=90°,

：."BDfEDD,

.D'EEDD'D

"AB~AD~BD

D'E_ED24

即:

25

72

・・・DrE=—ED=9

5T

EC=ED+DC=——+15=—

55

由勾股定理：CD'=ND'E，EC?=9而，故④正确,

................E

【点睛】本题考查矩形的性质，平移的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，理

解并掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定与性质，熟练运用相似三角形的判定与性质是解题关键.

16.如图，O为矩形/BCD对角线NC,8。的交点，N3=8,M,N是直线上的动点，且MN=2,贝1JOM+ON

的最小值是.

【答案】2后

【分析】根据题意，过。作0H〃2C,且令0/7=2,连接八万，作。点关于3c的对称点K,连接OK,KH,

则OM+ON=NH+ON=NH+NKNHK,当X、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为//K的长.根

据矩形性质及图形的对称性，易知/KO〃=90。，在RtAKOH中,运用勾股定理求得的长即可.

【详解】解：过。作0H〃8C,且令08=2,连接NH,作。点关于2。的对称点K,连接OK,KH,

'COH//BC,0H=MN=2,

四边形0MNH是平行四边形，

：.OM=NH,

：.OM+ON=NH+ON.

。点关于BC的对称点是点K,

：.ON=NK,

：.OM+ON=NH+ON=NH+NK,

'：NH+NK>HK,

:.当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为的长.

-COH//BC,。点关于8c的对称点是点K,

：.ZKOH=90°.

为矩形A8CD对角线/C,3。的交点，。点关于BC的对称点是点K,

：.OK=AB=S.

"：OH=2,NKOH=90°,

•*-HK=yJOH2+OK2=2y/17>

OM+ON的最小值是2,

【点睛】本题考查了最短路径问题，矩形性质，勾股定理求直角三角形的边长，其中熟练画出0M+0N取

最小值时所对应的线段，是解题的关键.

17.如图，菱形45CD的边长为6,ZABC=120°,M是5C边的一个三等分点，P是对角线NC上的动点,

当PB+PM的值最小时，尸”的长是.

【答案】立

2

【分析】如图，连接。尸，BD,作。2c于当。、P、”共线时，户"+户"=2〃值最小，利用勾股定

理求出。再利用平行线的性质即可解决问题.

【详解】解：如图，连接DPBD,作。于〃.

•.•四边形/BCD是菱形，

：.ACLBD,B、。关于4c对称，

：.PB+PM=PD+PM

当。、P、初共线时，的值最小,

'：CM=-BC=1

3

ZABC=nO°,

：.ZDBC=ZABD=60°

：.△D8C是等边三角形，

,:BC=6,

：.CM=2,HM=\,DH=343，

在及△DM”中，

DM=y!DH2+W2=7（3V3）2+12=2A/7

'：CM//AD

.P'M_CM_2

••施—拓W

10

JP'M二-DM二—

42

故答案为：旦.

2

【点睛】本题考查轴对称一最短问题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、平行线线段成

比例定理等知识，解题的关键是灵活用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

三、解答题

18.如图，在RtZi/8C中，乙4cB=90。,ZABC=30°,AC=2,以为边向左作等边△BCE,点。为N3

中点，连接CD,点尸、。分别为CE、CD上的动点.

(1)求证：△/DC为等边三角形；

(2)求尸D+PQ+0E的最小值.

【答案】(1)证明见解析；(2)4.

【分析】(1)先根据直角三角形的性质可得/A4c=60。,/。=CD,再根据等边三角形的判定即可得证；

(2)连接尸408,先根据等边三角形的性质可得=再根据等腰三角形的三线合一可得CE

垂直平分4。，然后根据线段垂直平分线的性质可得尸4=PD,同样的方法可得。=。£,从而可得

PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,最后根据两点之间线段最短即可得出答案.

【详解】证明：(1),•・在RtA/3C中，AACB=90°,AABC=30°,=2,

ABAC=60°,AB=2AC=4,

•・•点。是RUABC斜边AB的中点，

4D=AC=2,

.〔AADC是等边三角形；

(2)如图，连接尸

QVBCE和A4DC都是等边三角形,

ZBCE=60°,ZACD^60°,

NACE=ZACB-ZBCE=30°=-ZACD,

2

.•.CE垂直平分4D,

PA=PD,

同理可得：CD垂直平分BE,

QB=QE,

:.PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,

由两点之间线段最短可知，当点4尸,0,8共线时，尸/+尸0+”取得最小值NB，

故尸。+尸0+的最小值为4.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含30。角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角

形的性质是解题关键.

19.如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴的负半轴、f轴的正半轴交于/、B两点,其中。/=

2,S/3C=12,点C在x轴的正半轴上，S.OC=OB.

(1)求直线的解析式；

(2)将直线N3向下平移6个单位长度得到直线乙，直线//与y轴交于点E,与直线CZ?交于点。，过点£作

y轴的垂线/2,若点尸为y轴上一个动点，。为直线/2上一个动点，求PD+P0+。。的最小值；

(3)若点M为直线上的一点，在y轴上是否存在点N,使以点N、D、M、N为顶点的四边形为平行四边

形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(l»=2x+4

(2)475

(3)存在以点4、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为(0,-2)或(0,10)

【分析】(1)设OB=OC=m,由S/45C=12,可得3(0,4),设直线N8解析式为利用待定

系数法即可求解；

(2)将直线向下平移6个单位，则直线//解析式为y=2x-2,可得E(0,-2),垂线的解析式为y=

-2,由2(0,4),C(4,0),得直线2c解析式为y=-x+4,从而可求得。(2,2),作。关于y轴的对

称点。，作。关于直线y=-2对称点。"，连接。。"交了轴于P,交直线》=-2于0,止匕时PD+PQ+O0

的最小，根据。(-2,2),D''(2,-6),得直线DTP解析式为y=-2x-2,从而尸(0,-2),Q(0,-2),

故此时PZ)=22石，PQ=0,DQ=2也,尸。+尸0+。。的最小值为4石.

(3)设P(p,2p+4),N(0,q),而/(-2,0),D(2,2),①以MN为对角线，此时4D中点即

为中点，根据中点公式得N(0,-2)；②以4W、DN为对角线，同理可得N(0,10)；③以/N、DM

为对角线，同理可得N(0,-2).

(1)

解：(1)设0B=0C=m,

•\AC=jn-^2fA(-2,0),

9：SAABC=n,

：.^AC'OB=n,即g7".（机+2）=12,

解得m=4或m=-6（舍去），

・・・。5=。。=4,

：.B（0,4）,

设直线AB解析式为歹

j0=-2k+b

i4=b

k=2

解得

b=4

，直线N3解析式为y=2x+4；

(2)

将直线ABy=2x+^向下平移6个单位，则直线//解析式为y=2x-2,

令x=0得尸-2,

：.E(0,-2),垂线心的解析式为y=-2,

,:B(0,4),C(4,0),

设直线BC解析式为y=px+q,

.\0=4p+q

4=q

。=-1

解得

q=4

,直线2C解析式为^=-x+4,

y=-x+4.x=2

由y=2x-2^：

,=2'

：.D(2,2),

作。关于y轴的对称点。，作。关于直线y=-2对称点。"，连接ZXD"交y轴于P,交直线＞=-2于0,

此时PD+PQ+DQ的最小，如图:

：.D'(-2,2),D"(2,-6),

设直线ZXD"解析式为夕=5升7,

2=—2s+£s=-2

则-6=2s+，,解得

t=—2

直线解析式为夕=-2x-2,

令x=0得y=-2,即尸(0,-2),

令y=-2得x=0,即0(0,-2),

二止匕时P£>=2石，PQ=Q,DQ=245,

C.PD+PQ+DQ的最小值为4VL

(3)

存在，理由如下：

设尸(0,2p+4),N(0,q),而/(-2,0),D(2,2),

①以为对角线，如图：

此时中点即为MV中点，

•.•[\o+-22+=22=p/+24++0/解得3fp-=20

：.N(0,-2)；

②以MW、ON为对角线，如图:

—2+夕=2+0p=4

同理可得:,解得

0+22+4=2+^q=10

：.N(0,10)；

③以/N、为对角线，如图:

—2+0二7+2p=-4

同理可得。+«=2+.+4,解得

q=—2’

：.N(0,-2),

综上所述，以点/、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0,-2）或（0,10）.

【点睛】本题考查一次函数及应用，涉及待定系数法、一次函数图象上点坐标特征、线段和的最小值、平

行四边形等知识，解题的关键是应用平行四边形对角线互相平分，列方程组解决问题.

20.如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似,

则称该直线为三角形的“自相似分割线”.如图1,在△/8C中，AB=AC=\,ZBAC=108°,垂直平分48,

且交8c于点。，连接/D

(1)证明直线AD是△/BC的自相似分割线；

(2)如图2,点尸为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度.

(3)如图3,射线CF平分//C2,点。为射线CF上一点，当+4要C0取最小值时，求/Q/C的正弦

值.

【答案】⑴直线是△N5C的自相似分割线；

(2)当点尸运动到。点时，为+PC的值最小，止匕时取+尸。=存匚；

(3)ZQAC的正弦值为1上1

【分析】(1)根据定义证明△DA4s△MC即可得证；

(2)根据垂直平分线的性质可得尸N+PCuPB+PC2BC,当点尸与。重合时，PA+PC=PB+PC=BC,

止匕时P/l+PC最小，设BO=x,贝l]BC=x+l

根据ADB/SA/BC,列出方程，解方程求解即可求得6。，进而即可求得3c的长，即尸/+PC最小值；

(3)过点A作于点“，过点。作QGL3C于点G,连接/G,设CF与交于点M,根据已

知条件求得GQ=4?CQ，进而转化为/Q+与。CQ=/Q+GQ，则当。点落在4G上时，点G与点b重

合，止匕时/0+与1CQ的值最小，最小值为NH,进而根据sin/"C=sin/应C=■1|求解即可.

(1)

•.•△N8C中，AB=AC=l,ZBAC=108°

:./B=/C=(180o-ZS^C)=36°

垂直平分

：.AD=BD

：.ZB=ZBAD=36°

：.ZC=ZBAD

又•・,ZB=ZB

：.ADBAsLABC

・,・直线AD是4ABC的自相似分割线.

(2)

如图，连接PB,AD,

A

4

BD\

图2

•••DE垂直平分

:.PA=PB

...PA+PC=PB+PC>BC

当点尸与。重合时，PA+PC=必+尸。=3C,止匕时H+尸c最小,

•・•/ADC=/B+ABAD=72°,ZDAC=ZBAC-/BAD=72°

ZADC=ZDAC

CD=CA=\

设=则5C=x+l

•1DBAs八ABC

.BDAB

x_1

1x+1

+x—1—0

2

*/x>0

.x-—1+V5

…2

5C=x+l=^il

2

;.PA+PC=^^-

2

二当点P运动到。点时，E4+PC的值最小，止匕时尸/+尸。=心里；

2

(3)

如图，过点A作/于点H,过点。作0GL8C于点G,连接/G,设C/与AD交于点M,

由（2）知，DC=AC=\

:CF平分/ACB

:.CM±AD

DM=AM=LAD=^^

24

5出/跖％>=丝=也=逐-1

CQCD4

rr）^5-1

CQ

J5-1

AQ+^—CQ=AQ+GQ>AG

'：AG>AH

.•・。点落在ZG上时，点G与点H重合，

即此时力0的值最小，最小值为4〃

/.AQAC=AHAC

•・•AB=AC,AH上BC

V5+1

:.CH=-BC=

24

■/八“八■/口”cCH>/5+1

.-.^QAC^AHAC^—

4

V5+1

AAQAC的正弦值为

4

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求角的正弦，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂

线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键.

21.在长方形中，48=4,5C=8,点P、0为3c边上的两个动点(点P位于点。的左侧，P、Q

图③

(1)如图①，若点£为CD边上的中点，当。移动到3c边上的中点时，求证：AP=QE-,

(2)如图②，若点£为CD边上的中点，在尸0的移动过程中，若四边形/尸。£的周长最小时，求3P的长;

(3)如图③，若以N分别为/£)边和CD边上的两个动点(M、N均不与顶点重合)，当BP=3,且四边形

PQW的周长最小时，求此时四边形PQVM的面积.

【答案】(1)见解析

(2)4

(3)4

【分析】(1)由“S4S"'可证尸出△QCE,可得NP=QE；

(2)要使四边形NPQE的周长最小，由于4E与P。都是定值，只需/P+E。的值最小即可.为此，先在

8c边上确定点尸、。的位置，可在上截取线段NF=DE=2,作尸点关于3C的对称点G,连接EG与

交于一点即为。点，过工点作尸。的平行线交8c于一点，即为尸点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G

点作2。的平行线交。C的延长线于〃点，那么先证明/GEH=45。，再由CQ=EC即可求出AP的长度；

(3)要使四边形尸QW的周长最小，由于尸0是定值，只需尸M+MV+QN的值最小即可，作点尸关于

的对称点P,作点。关于CD的对称点〃，连接切，交/。于交CD于N,连接尸M,QN,此时四边

形尸QVM的周长最小，由面积和差关系可求解.

(1)

解：证明：・・•四边形是矩形，

：.CD=AB=4,BC=AD=8,

・・,点E是CD的中点，点。是5C的中点，

：.BQ=CQ=4fCE=2,

:・AB=CQ,

•:PQ=2,

:・BP=2,

:・BP=CE,

又•・•/B=NC=90。,

:•△ABPQdQCE(SAS\

：.AP=QE；

⑵

如图②，在/。上截取线段4歹二尸0=2,作歹点关于8C的对称点G,连接£G与8C交于一点即为。点,

过4点作方。的平行线交5c于一点，即为尸点，过G点作5C的平行线交。。的延长线于H点.

YGH=DF=6,EH=2+4=6,Z7/=90°,

：・NGEH=45。,

：.ZCEQ=45°,

设,BP=x,贝！JCQ=8C-5P-尸Q=8-+2=6-x,

U

在△CQE中，：ZQCE=9009ZCEQ=45°,

:・CQ=EC,

6-x=2,

解得x=4,

；・BP=4；

⑶

如图③，作点尸关于4D的对称点尸，作点。关于CD的对称点“，连接交4。于河，交CD于N,

连接尸W,QN,此时四边形PQW的周长最小，连接方尸交/。于T,

F

图③

:・PT=FT=4,QC=BC-BP-PQ=S-3-2=3=CH,

:.PF=8,PH=8,

：.PF=PH,

XVNFPH=9。。,

：./F=NH=45。,

9：PFLAD,CD工QH,

:./F=/TMF=45。,ZH=ZCNH=45°,

：.FT=TM=4,CN=CH=3,

：.四边形PQNM的面积=:xPFxPH-g义PFxTM-gx°HxCN=；x8x8-1-x8x4-yx6、3=7.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角

三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点。位置是解题的关键.

22.在△ZBC中，£)5=90°,。为延长线上一点，点E为线段/C,CQ的垂直平分线的交点，连接E4,

EC,ED.

E

E

E

图1图2图3

(1)如图1,当/区4。=50。时，^\ZAED=°；

(2)当NB4C=60。时，

①如图2,连接判断△/即的形状，并证明；

②如图3,直线CF与助交于点R满足NCFD=NCAE.P为直线CF上一动点.当PE-PD的值最大时,

用等式表示PD与之间的数量关系为,并证明.

【答案】⑴80；(2)△/£/)是等边三角形；⑶PE-PD=2AB.

【分析】(1)根据垂直平分线性质可知/E=EC=E。