2025新高考数学重难点突破：外接球与内切球问题（含答案）

2025新高考数学重难点突破：外接球与内切

球问题含答案

外族减与的切球冏败

o模拟精练Jo------------------------------------------

一、选择题：（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.（2024・江西・一模）在体积为12的三棱锥A—BCD中，AC±AD,8C，,平面/CD，平面

BCD,=/85=与，若点ABC,。都在球O的表面上，则球。的表面积为（）

34

A.12兀B.16兀C.32兀D.48兀

【答案】。

【难度】0.65

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、面面垂直证线面垂直

【详解】

如图，取CD的中点O,连接AO,BO,

因为AC±AD,BC_LBD,所以。4=OB=OC=OD,因此点O就是球心,

又=故根如是等腰直角三角形，所以OB_LCD.

因为平面AC。_L平面BCD,平面ACDA平面BOD=CD,

所以OB_L平面ACD

设球。半径为欠，则OB=R,AC=R,

又NACD=卷，则AD=-7?,

所以三棱锥A-BCD的体积V=^SAACD=x^-xAC-AD-OB^^-货=12,

332o

所以7?=23，所以球。的表面积为4兀五2=48兀.

故选：D.

2.（2024・湖北•模拟预测）已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=PB=PC=4：,AB

=8。=2,4。=2四,则球。的表面积为（）

A64兀口40兀c27兀n21兀

A.~~~h>.~-—：~U.~~~

3342

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【详解】如图：

•M

p

在△ABC中，AB=BC=2,AC=2V^,

222

出人^/人acBA+BC-AB4+4-121

由余弦无理：cosZABC^2BAB（J==--）

所以NABC=120°,所以△48。外接圆半径为一^—―=2胆=2,即QB=2.

2smZABGV3

在直角三角形PQB中，BQ=2,BP=4,所以QP=2，^.

设棱锥P-ABC外接球半径为R,在直角三角形OQB中，（2遍一A）?+22=4，

解得：R=

O

所以球O的表面积为：S=4兀7?2=4兀x殍=耳虫.

故选：4

3.（2024•福建•模拟预测）已知正四棱台下底面边长为4方，若内切球的体积为警兀，则其外接球表面积

O

是（）

A.49兀B.56兀C.65兀D.130兀

【答案】。

【难度】0.65

【知识点】球的截面的性质及计算、球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接

问题

【详解】正四棱台4BCD—ABiGR下底面边长AB=4血,设其内接球半径为r,则与"=挈兀，解得「

JJ

=2,

取AB,CD,ABi,CD的中点E,F,瓦，后，则四边形EFF.E,内切圆是正四棱台内接球的截面大圆，

EF

则四边形EFFIE,是等腰梯形，EEi=±（EF+Ei&，而EE：=E出），+（2r）2,

[y（EF+即叫=[J（EF—E闻，+（2r）2,整理得EF-E^=16,而EF=472,则氏R=2A/2,

设O为正四棱台ABCD—ABG。外接球球心,R为该球半径，则OC=OC、=R,

令河,N分别为正四棱台ABCD—4BQQ1上下底面的中心，则MC、=2,NC=4,MN=4,

OM=yJOCl-MCl=V,R2-4,ON=^OC^-NC2=V7?2-16,

当球心O在线段时，V7?2-4+V/?2-16=4,解得I=号■，球。的表面积为S=4兀用=65兀;

当球心O在线段2W的延长线时,“一4_〃打2-16=4,无解，

所以所求外接球表面积是65兀.

故选：C

4.（2024.陕西宝鸡.三模）ZVIBC与△4BD都是边长为2的正三角形，沿公共边AB折叠成60°的二面角,

若点在同一球。的球面上，则球。的表面积为（

13208兀521127r

A.KB.C.

~9~9T7r3

【答案】。

【难度】0.65

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【详解】解：由题，设正△ABC与AABD的中心分别为N,M,

根据外接球的性质有。M_L平面ABD,ON±平面ABC,

又二面角的大小为60°,故/DEC=60°,

又正△ABO与△ABD的边长均为2,

故DE=CE=4^),

故EM=EN=^-ED=4，

oo

・・・OE=OE/OME=ZONE,

・・・Rt^MEO空Rt/^NEO,

故/MEO=/NEO=30°,

ME2

故OE==g,又EB=\,

cos30°o

故球O的半径CB=JT+(4)2=等1,

（后

故球。的表面积为S=4兀xj_527r

故选：C.

5.（2024.山西太原.二模）已知圆锥的顶点为P,底面圆的直径48=2"，tanNARB=，^，则该圆锥内

切球的体积为（）

A.臂B.早C.争D.4兀

【答案】。

【难度】0.85

【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【详解】由圆锥的性质易知△BAB为以P为顶点的等腰三角形，

又tan/APB=V^，所以乙4PB=卷，则AB4B为正三角形，边长为2遍，

O

如图所示，作出圆锥及其内切球的轴截面，

设AB.AP中点分别为C、E,内切球球心为O,

由正三角形内心的性质易知OC=OE==x/”2—4。2=4x71^3=1

/JDo

即内切球球半径为1,所以体积■兀.

O

故选：C

6.（2024•全国•二模）已知圆锥的轴截面是底角为。的等腰三角形，圆锥的底面半径为a,圆锥内有一个内

接圆柱，则圆柱体积的最大值为（）

A.a2tan0B.岩^tan28C.2祟tan。D.“黑tan6

【答案】。

【难度】0.4

【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、柱体体积的有关计算

【详解】

如图，圆锥的轴截面是底角为个的等腰三角形SAB,圆锥的底面半径为OA=OB=a,则圆锥的高为SO=

atanf,

设圆锥内接圆柱CDEF的底面半径为OC=OD=T,高为DE=h,

叱

由4SHE〜ASOB可得，二=11>],解得无=g-r）tan（9,

aatanc/

则圆柱的体积为：V=xr2h=兀"（Q_r）tan0=—TrtanJ•r3+兀atan夕•r2,rG（0,a）

V'=m（2a—3r）tan。，由口=0,得/=冬，当0<rV与时，S>0,则V在（0,冬）上单调递增；

当等<r<a时，S<0,则V在（学,a）上单调递减.

故当「=要时，Kax=X（a--yL）tan6,=-^7ta3tan/9.

故选：D.

【点睛】思路点睛：本题主要考查利用导数解决圆锥体积的最值问题，属于难题.

解题思路是，借助于轴截面中的相似三角形，将圆锥的体积用底面半径r的解析式表示，再运用函数求导求

出其最大值.

7.（2024•浙江•模拟预测）已知边长为6的正方体与一个球相交，球与正方体的每个面所在平面的交线都

为一个面积为16兀的圆，则该球的表面积为（）

A.96兀B.1007TC.125兀D.204兀

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】球的截面的性质及计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【详解】由对称性，球心与正方体重心重合,且每个面的交线半径为4.

连球心与任意面中心，则连线长为3,且连线垂直该面，

再连交线圆上一点与球心（即为球半径），由勾股定理得球的半径为5,

则表面积为4兀-5z=100兀.

故选：B.

8.（2024•河南濮阳•模拟预测）某圆锥的侧面展开图是面积为3兀，圆心角为等的扇形，则该圆锥的轴截

O

面的面积为（）

A.yB.4V2C.2V2D.2

【答案】。

【难度】0.85

【知识点】圆锥中截面的有关计算、圆锥表面积的有关计算

5

【详解】设圆锥的底面半径为r,母线长为I,

因为圆锥的侧面展开图是面积为3兀，圆心南为冬的扇形,

O

所以■义x尸=3兀，解得Z=3,

ZiO

因为2兀/二有"x/,所以2兀安二专~x3,得『二1,

所以圆锥的高为％=庐彳=1=2/5,

所以圆锥的轴截面的面积是=x2x2^2=2^2,

故选：c.

9.(2024.青海.二模)如图，已知在四棱锥P—ABC©中，底面四边形48co为等腰梯形，BC〃AD,尸。

=2AD=4BC=4,底面积为,PD，4D且PB=，至，则四棱锥P—ABCD外接球的表面积为

()

A.9兀B.12V3?rC.39兀D.20K

【答案】。

【难度】0.65

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直

【详解】取AD的中点为F,因为40=25。=2,等腰梯形ABCD的面积为咨显,

2x

所以梯形的高为:=坐，所以cosABAD=*■，则NBAD=(■，所以AADC=看,连接BF、

/十_L//oO

CF,

所以AABF、/\DCF为等边三角形，点尸为梯形ABCD外接圆的圆心，

连接BD,在△BCD中，根据余弦定理得cos华=，即［芝君。=—q，解得=

o•(_>U2X1X1zBD

V3.

因为PB=屈，PD=4,所以P。2+BD=pg,所以p。，RD

因为PD_L40,ADCBD=O,AD,BDu平面ABCD,所以PD_L平面ABCD,

过A。的中点?作FO〃P。交R4于点O,则FO_L平面ABCD,且。为24的中点，

所以点。为Rt/^AD外接圆圆心，所以。为四棱锥P-ABCD外接球球心，

所以外接球半径为=}VPD2+AD2=0，故表面积S=4兀x(〃K)2=20兀.

故选：。

10.（2024•浙江•模拟预测）清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各地.为

了核准粮食的数量,苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛

的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台,上口为正方形，内边长为25cm,下底也为正方形，内边长

为50cm，斛内高36cm,那么一斗米的体积大约为立方厘米？（）

A.10500B.12500C.31500D.52500

【答案】A

【难度】0.85

［知识点】台体体积的有关计算

【详解】一斛米的体积为V=!（S上+S下+候匹=x（252+502+25x50）x36=52500（cm3）,

oo

因为五斗为一斛，所以一斗米的体积为卷=10500（cm3）,

故选：A.

11.（2024•江苏无锡•模拟预测）蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子,适于牧业生产和游牧生活.如图所

示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为2小,底面半径为4m,O是圆柱下底面的圆心.

若圆锥的侧面与以。为球心,半径为47n的球相切，则圆锥的侧面积为（）

A.8V5?tm2B.16^/57tm2C.207tm2D.407rm2

【答案】。

【难度】0.65

【知识点】圆锥表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【详解】设PQ=h,R4=Z（%为圆锥高，Z为圆锥母线长）

OMX.R4,•.•以。为球心，半径为4的球与圆锥侧面相切，则OM=4,

在△POA中，5在04=5（%+2）-4=]-4Z,可得九+2=/,

且无2+16=巴则。-2）2+16=匕解得％=5,

所以圆锥的侧面积为S删=兀4=兀x4x5=20兀（m?）.

故选：C.

12.（2024•云南大理•模拟预测）六氟化硫，化学式为S房,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气

体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体

每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图

所示，正八面体E-ABCD-斤的棱长为a,此八面体的外接球与内切球的体积之比为（）

A.3V3B.2V3C.3V2D.2V2

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【详解】正八面体E—4BCD—F的棱长为a,连接

由四边形ABOD为正方形，得AC?=+452=2口2=,

则四边形力ECF亦为正方形，即点O到各顶点距离相等，

于是此八面体的外接球球心为O,半径为_R=包,

此八面体的表面积为S—8szM理;=8x设此八面体的内切球半径为r,

由“-ABC0-F=2%_ABOD，得Js「=2XJXa?X,即2V^a2r=解得「=乎即

3326

所以此八面体的外接球与内切球的体积之比为3V3

【点睛】结论点睛：一个多面体的表面积为S,如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满

足:V=^-Sr.

O

13.（2024.天津北辰.三模）中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载

人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百

年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容

器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2,圆柱的

高为6,圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7,则该容器中液体的体积为（）

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算

【详解】由题意可知：容器中液体分为：下半部分为圆柱，上半部分为圆台，

取轴截面，如图所示，Oi,。3分别为AB,的中点，

可知：AB〃CD〃ER,且O田=02。=2,0102=6,02「=4,02。3=1。3「=3,

可得煞=靠=等,即03尸=得,

Cz2'->u2r4/

所以该容器中液体的体积为兀x22x6+'■［兀x2?+兀x（~|~J+J兀x2?义nx（,J］义1=当|二.

故选：A.

14.（2024・湖北武汉•二模）房屋建造时经常需要把长方体枝头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已

知长方体的规格为24cmX11cmX5cm，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1

11R

次后共可以得到12cnzx11cmx5cm,24cmx--cmx5cm,24cmx11cmx—cm三种不同规格的

长方体.按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第

3次截取，则共可得到体积为165cm3的不同规格长方体的个数为（）

A.8B.11C.12D.10

【答案】。

【难度】0.65

［知识点】柱体体积的有关计算

【详解】解：由题意知，长方体的规格为24X11X5=1320,现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截

面，

截取1次后共可以得到三种规模长方体为：12X11X5,24x^X5,24x11x,,体积为660,一共3种；

按照上述方式对第1次所截得的3种长方体进行第2次截取,得到的体积为330的不同规格长方体有：

11R1111nR

6x11X5,12X5,12xllX-2-,24x-y-X5,24x合，24x11x三，一共6种；

再对第2次所截得的6种长方体进行第3次截取，则共可得到体积为165的不同规格长方体有：

11K11115耳

3xllx5,6x^x5,6xllx-y,12x^x5,12x^x^-,12xllxy,

1111K11KK

24义甘义5,24乂今乂T，24乂分x一，24x11x总，一共10种.

842248

故选：D.

二、多选题：（每小题6分,在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.）

15.（2024・山东•模拟预测）四面体ABCD中，AC=BC=AB=6,CD=10,8,四面体ABCD外接

球的表面积记为S,则（）

A.当四面体4BCD体积最大时，S=112乃B.AD±BC

C.当AD=6时，$^兀D.S可以是400兀

【答案】ACD

【难度】0.4

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直

【详解】设四面体外接球的球心为O,半径为

。点在平面BCD内的投影是ABCD的外心Oi,

由CDZUBGZ+BJA.ABS为直角三角形，外心Oi是CD边的中点，

当四面体4BCD体积最大时，有平面ABC平面BCD,

设平面ABC的外心为O2,后为中点，连接05,AE,OiE,则OO2_L平面ABC,

由4C=BC=AB=6,则人。2=2盗，£；。2=通，

平面ABC_L平面BCD,平面ABCCI平面BCD=BC,

AEU平面ABC,AE_LBC,则AE_L平面BCD,

又OOi±平面BCD,则有OOi〃AE,

Rt^BCD中，BD1BC,入BD"。出,则。㈤±BC,

同理可得QE_L平面AB。，O田〃。。2,

所以四边形。国。2。为矩形，。。1=£。2=四，

22

RtAODOr中，由OB=OQ2+OQ2,得R=VV3+5=277,

此时S—4nli2=112兀,A选项正确；

假设AD±BC,由B£>_LBC,BDCAD=。,所以BC_L平面ABD,

ABU平面ABD,所以BC_LAB,与AC=BC=AB=6矛盾，所以假设不成立，B错误;

当AD=6时，AC=AD=AB,则A点在平面BCD内的投影是/XBCD的外心O,,

401，平面BCD,OOi，平面BCD,AO,Oi三点共线，

22

Rt/\ADOY中，AO,=JAHOQ2=76-5=V11,

RtAODOi中，由OB=OQ2+OD,得a=（灭—«1）2+52,解得五=18V11,

此时S—4兀£=„.兀,。选项正确；

当OB=00=00=10时，OOI=OD2-OiD2=102-52=75,OS2=OOHO^2=75+42=91,

则O#=OO2+AO2=OE2_EO2+AO2=91—通2+（2/）2=，即=10,

四面体ABCD外接球的半径R=10成立，此时S=400兀,D选项正确.

故选：ACD.

16.（2024•广东佛山•模拟预测）如图，几何体的底面是边长为6的正方形4BGA,441，底面A.B.C.D.,

AB//A1B1,AAi=AB=3,BC=AID=AA^D^AE［0,1］,则（）

A.当4=0时，该几何体的体积为45

B.当4=:时，该几何体为台体

C.当4=］时，在该几何体内放置一个表面积为S的球，则S的最大值为9兀

D.当点回到直线距离最大时，则4=1

【答案】42D

【难度】0.4

【知识点】棱台的结构特征和分类、多面体与球体内切外接问题、求组合体的体积、点到直线距离的向量求

法

--►---------►->

【详解】若才W0,即BC=AD=AA1D1W0,可知4BCD为矩形，

对于选项4:当/1=0时，即BC—AD=0,

取4A,GA的中点E,F,连接BE,EF,BF,如图所示：

因为人儿_L底面A5G2,4mU底面45Goi,则AAt±A.B.,

且为正方形，则4A±,

AAiAArDi=4,AAX,AYDXu平面AA^,可得4马_L平面AA^,

又因为AB=AiE,AB〃4E,可知A4EB为平行四边形，则BEIIAAX,

可知44Qi-BEF为直三棱柱,BE_L底面AiBGA,

所以该几何体的体积为V=VAAiDi_BEF+VB_EB1C1F=~^rx3x6x3+-1-x3x3x6=45,故>1正确;

/o

对于选项B:当仁春时，即熬=屈=春通亢可知普-=1■片卷-=J，所以该几何体不为台体，

334场23

故B错误；

对于选项。：当［=］时，即反?=#=士松，则普-=理-=~，所以该几何体为台体,

224与2

如图所示，E,Q,G为相应边的中点，则ABCD-4EO1G为正方形，

因为A4」底面4BQB,且AAr=3,可知所求球的半径R<=y,

且正方形ABCD-4EQG的内切球的半径即为"儿=y，

所以最大球的半径R=1■，即S的最大值为4兀序=9兀，故。正确；

对于选项。：以4为坐标原点，AJBJ.ADJ.AA分别为c,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则马（6,0,0）,Di（0,6,0）,0（0,643）,可得_®=（6,—6,0）,旋=（06/1-6,3）,

则点刀到直线皿距离为M=/^T无爵可=/2-署者=/6+二万

可知矶4）在［0,1］内单调递增，所以当点Bi到直线距离最大时，则4=1,故。正确；

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法

⑴涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空

间问题转化为平面问题求解；

（2）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；

（3）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；

（4）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置,

弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

17.（23-24高一下•福建福州•期末）某圆锥的底面半径为3,母线长为4,则下列关于此圆锥的说法正确的

是（）

A.圆锥的侧面展开图的圆心角为争

B.圆锥的体积为9。兀

C.过圆锥的两条母线作截面的面积最大值为8

D.圆锥轴截面的面积为3。

【答案】ACD

【难度】0.65

13

【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、圆锥中截面的有关计算、锥体体积的有关计算

【详解】对于4,设圆锥的侧面展开图的圆心角为a,则4a=2兀X3,所以a=[二，所以71正确，

对于石，圆锥的底面半径为3,母线长为4,所以圆锥的高为九="^=，7,

所以圆锥的体积为-^-Sh=3义兀x32xV7=3A/7兀，所以_B错误,

OO

对于。，设圆锥的两条母线的夹角为仇则过这两条母线所作截面的面积为

-yx4x4sin。=8sin。，

因为过圆锥母线的截面中，轴截面三角形对应的占最大，此时COS0=4：+=-1.<0,

2x、4x-4，8

所以个最大是钝角，

所以当（9=年时，截面的面积最大，最大值为8,所以。正确，

对于。，圆锥轴截面的面积为yx6x，7=3，7,所以。正确.

故选：ACD

18.（2024.湖南.三模）如图,在棱长为2的正方体ABCD-4瓦GR中，点P是正方体的上底面A.B.C.D.

内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（）

A.三棱锥Q-PCD的体积是定值

B.存在点P,使得PQ与441所成的角为60°

C.直线尸Q与平面44。口所成角的正弦值的取值范围为（0,彳）

D.若PD=PQ,则P的轨迹的长度为竽

【答案】ACD

【难度】0.85

【知识点】锥体体积的有关计算、异面直线夹角的向量求法、线面角的向量求法

【详解】对于A,三棱锥Q-PCD的体积等于三棱锥P一QCD的体积，

V^»P-QCD=^SAQCDX44]=4X*X2X1X2=1是定值，A正确；

以4为坐标原点,A1Bl,A1D1,AAl分别为⑨“z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

z

a/yc1

则Q(2,l,一2),设P(rr,g,O)(OVa;<2,O<9V2),则QP=(x-2,y-l,2')

对于B,NX=(0,0⑵，使得PQ与44i所成的角a满足：

\QP-AA1\2X2

IQPHAAI-2)?+(y-1)~+4X2

因为。<,<2,0<夕<2,故0<(cc-2)2+(夕-1)2<5,故cosaC信,1),

而cos60°0(y,l),B错误;

对于。，平面A1AD2的法向量为=(1,0,0),

1Irr—2l

所以直线PQ与平面AADDi所成角B的正弦值为：sin^=;'

V(^-2)2+(?/-l)2+4

因为0VcV2,0〈9V2,故一2<2；—2Vo

Mg一2|一限一2|/\x—2\

d(%-2)?+5J(力一2户+(g-1，+4J(力―2)?+4

而=/1e(0,2),,1=1e2

故0V/<即sin6的取值范围为(0,^^),C正确；

V(^-2)陵2+(?"/-l)2+42'2,

对于。，Z)1(O,2,O),Z)iF=(力,g—2,0),由PDX—PQ,

可得力2+(g—2)2=(力一2)2+(g—I)?+4,化简可得4/一2g—5=0,

在64g平面内，令力=0,得令g=0,得力=[■,则P的轨迹的长度为

J(2一0+(表匕手，。正确;

故选：ACD.

三、填空题：(每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上.)

19.(2025•广东•模拟预测)已知球O是某圆锥内可放入的最大的球，其半径为该圆锥底面半径的一半，则

该圆锥的体积与球O的体积之比为.

【答案】]/2日

OO

【难度】0.85

【知识点】圆锥中截面的有关计算、锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算

【详解】球O是某圆锥内可放入的最大的球，则该球为圆锥的内切球，

截面如图所示：设球。的半径为r,则圆锥底面半径为2r,

15

A

可得在△ABC中，_LB。,OF_L4C,GD=CF=2丁，

设由勾股定理得4F=\Z_AO2—O7?2=J(4+『)2—,2=J/2+2发力,

AD2+CD2=AC?,即(/+2r)2+(2r)2=(Vx1+2rx+2r)2,

化简得3x2+4rx-4/=0,即(3x—2r)(x+2r)=0,

oo

,・,比＞0,则%=仔丁,即=

oo

则圆锥体积为呆(2r)2倍+2r)=等上，

球O的体积为早，

O

32兀r.

所以圆锥的体积与球o的体积之比为」一=4.

4兀-3

3

故答案为：得.

O

20.(2023•江苏连云港•模拟预测)已知正四面体ABCD的棱长为6,点E,尸满足反5=4晟，质5=4说,

用过A,E,尸三点的平面截正四面体ABCD的外接球。，当NG［1,3］时，截面的面积的取值范围为

【答案】［12乃，干元］

【难度】0.4

［知识点］球的截面的性质及计算、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【详解】过点力作力O」平面BCD,则点Oi在中线DM上，且。Oi=2QM,

球心。在AQ上，连接AM,OD,

因为正四面体4BCD的棱长为6,所以。河=6sin誉=3®。。1=?。河=24

OO

由勾股定理得AO,=JAP?—。］。2=276,

设外接球。的半径为五，

设OA=OD=_R,则001=2^—7?,

』=日时，三点共线，此时过4E,F三点的平面过球心O,

此时截面面积最大，截面面积为nFf年兀；

当』=1或4=3时，此时球心O到截面的距离较大，

当/)=：!时，过A,E,尸三点的平面即为平面ACD,

由对称性可知，此时球心O到平面ACD的距离等于到平面BCD的距离，

即OOi=2y/Q-R=,

当4=3时，BE=BF=2,连接BOi,交EF于点K,则0冉=0］。=24，

由于△BEF为等边三角形，故BK=BFsin60°=V3,

则C\K=OXB—BK=V3,故O\E=OXF=2,SAO1EF=-1-O〔E-OiFsin60°=V3,

由勾股定理得AK=JOW+OK2=373,=-^EF-AK=3A/3,

设点Oi到平面AEF的距离为伍则:-h=^-SAO1EF-O.A,

oo

即£=x，^x2前，解得拉=冬1,

ooo

由于OXA=年。4,故点O到平面AEF的距离为为=平，

故/1=1与4=3时，点O到平面AEF的距离相等，均为平，

故平面4EF截正四面体ABCD的外接球的半径为』?2_（等）=2遍，

则截面面积为7T（2A/3）2=12兀，

综上，截面的面积的取值范围为［12兀，与兀］.

【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题

要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离

相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理

求得球的半径

21.（2024.陕西铜川.三模）樟卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝,在连接部分通过紧密的拼接，使得整个

结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得棒卯配合的牢度得

到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木檄、木片等.如图

为一个木楔子的直观图，其中四边形ABC©是边长为2的正方形，且均为正三角形,

EF〃CD,EF=4,则该木楔子的外接球的表面积为.

17

【答案】16兀

【难度】0.4

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【详解】如图，分别过点AB作EF的垂线，垂是分别为G,H,连接。G,CH,

则EG==1,故AG=dAE2—E。=（22—12=6

取AD的中点O',连接GO',

又AG=GD,：.GO'±AD,则GO'=《AG2-（怨『=V2.

由对称性易知，过正方形ABCD的中心Q且垂直于平面ABCD的直线必过线段EF的中点。2,

且所求外接球的球心O在这条直线上，如图.

设球O的半径为凡则H2=OOI+AOI，且兄2=OOI+EOI,

从而OO1=OO,+2,即（OO1+。。2）（。。1一。。2）=2,

当点O在线段QQ内（包括端点）时，有OOI+OO2=GO'=血，可得001—0。2=2，

从而OO1=血，即球心O在线段EF的中点,其半径R=2.

当点。在线段002外时，OIO2=V2,（V2+OS）?=05+2,解得=0（舍）.

故所求外接球的表面积为4兀五2=16兀.

故答案为：16兀.

【点睛】关键点点睛：本题考查球的切接问题，关键在于根据几何体的对称性，通过直观想象明确外接球的

球心位置，结合正方形ABCD的外接圆半径求解可得.

22.（2024•辽宁•模拟预测）在三棱锥P—ABC中，PA=P8=PC=2,ZBPA=ZBPC=60°,ZAPC

90°,若该三棱锥内有一球O与三棱锥各面均相切，则球O的半径为.

【答案】20—0

【难度】0.4

【知识点】多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直

【详解】

p

取4C中点E,连接PE,BE,

设三棱锥P—AB。的内切球的球心为。，半径为r,

在三棱锥P-ABC中，由P4=PB=PC=2,ABPA=4BPC=60°,

知APABAPBC为等边三角形，则AB=BC=2,

又AAPC=90°,则在Rt/\APC中，4。=y/AP2+CP2=272,

又AB-+BC2=AC2,则NABC=90°,

因此，在等腰直角三角形ZV%。和等腰直角三角形△AB。中，点后为A。中点，可得PE=BE=NC=

V2,

又PR=2,则PE2+BE2=PR2,即PE_LRE,

又PE_LAC,BECAC=E,BE,ACa平面AB。,则PE_L平面AB。，即PE为三棱锥P-ABO的高,

则三棱锥P—AB。的体积为：xJX2X2X2=2^Z,

又三棱锥P-ABC的体积可看作为三棱锥O-4BC,三棱锥O—PBC,三棱锥O-24。,三棱锥。一

的体积之和，

由SMBC~S"ACx2x2=2,S5BC~^^PAB=5义2X2sin60—A/3,