2025年中考数学难点突破与训练：全等三角形中的截长补短模型（解析版）

专题06全等三角形中的截长补短模型

【模型展示】

4

•，

、•・■

、*/■

£

如图，在△NBC中，若N3=72,AC=8,求3c边上的中线4D的取值范围。

解决此问题可以用如下方法：

延长4D到点E使OE=4D,再连接BE,把N3、AC.24。集中在△4BE中，利用三角形三

边的关系即可判断中线4»的取值

【证明】

延长4D至E,ftDE=AD,连接5E,如图所示，

特点

,.1。是HC边上的中线，

：.BD=CD

在丛BDE和△S4中，

BD=CD

ZBDE=ZADC

DE=AE

：.ABDE妾ACDAiSAS)

：.BE=AC=8

在△N5E中，由三角形的三边关系得：AB-BE<AE<AB+BE

：.12-8<AE<12+8

：.2<AD<10

截长法和补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用.具体的做法是在某

结论条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用

全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题.

【模型证明】

如图，在5c中，。是5c边上的中点，OE_LnF于点。，交48于点E0F交NC于点

居连接EF,求证：BE+CF>EF.

【证明】

延长FD至点M,使OAf=Z)居连接5M£M,如图所示，

同上例得丝△CFD{SAS)

：.BM=CF

,:DE_LDFQM=DF

：.EM=EF

在△5ME1中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM

解决方案

如图，在四边形/BCD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=140°,以C为顶点作一个7俨角，

角的两边分别交AB^D于E,F两点连接M,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明.

【证明】

延长AB至点N,使BN=DF连携CN,如图所示

VZABC+ZD=180°,ZNBC+ZABC=180°

：.ZNBC=ZD

在ANBC和△FDC中

BN=DF

ZNBC=ZD

BC=DC

:•△NBCQAFDC(SAS)

JCN=CF,ZNCB=ZFCD

VZBCD=140°,ZECF=70°

：.ZBCE+ZFCD=70°

：.ZECN=70°=ZECF

在丛NCE和AFCE中

CN=CF

ZECN=ZECF

CE=CE

：.4NCEm/\FCE(SAS)

：.EN=EF

：.BE+DF=EF.

【题型演练】

一、解答题

1.阅读下面文字并填空：

数学习题课上李老师出了这样一道题:“如图1,在A/BC中,AD平分N8ZC,NB=2NC.求证：AB+BD=AC.

（图1）

李老师给出了如下简要分析：“要证+=就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截

长法，如图2,在AC上截取4E=M,连接DE,只要证即可，这就将证明线段和差问题

为证明线段相等问题，只要证出A,得出N3=ZAED及

BD=,再证出N=Z，进而得出E0=EC,则结论成立.此种证法的基

础是'已知AD平分NB4C,将沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处，成为可能.

E

（图2）

方法二:“补短法”如图3,延长AB至点F,使BF=BD.只要证/尸=/C即可.此时先证N=/C,

再证出△,则结论成立.”

“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法.

【答案】方法一：CE；转化；ABD；AED-.DE:EDC；C；方法二：F；AFD■,ACD

【分析】方法一：在AC上截取4E=/B,由SAS可证=可得=BD=DE,根据等角

对等边得到CE=DE,即可求证；

方法二：延长AB至点F,使BF=BD,由AAS可证。FD=,可得AC=AF,即可证明.

【详解】方法一：在AC上截取AE=4B,连接DE,如图2

VAD平分NB4C,

/.ABAD=ADAC,

在AABD和KAED中

AE=AB

</BAD=ADAC,

AD=AD

：.AABD=NAED,

:.NB=NAED,BD=DE,

,?ZB=2ZC,

NAED=2NC

而ZAED=ZC+NEDC=2ZC,

NEDC=ZC,

，DE=CE,

AB+BD=AE+CE=AC,

故答案为：CE；转化；ABD；AED；DE-,EDC；C；

方法二：如图3,延长AB至点F,使BF=BD,

：.ZF=ZBDF

：.ZABD=ZF+ZBDF=2ZF

：.ZABD=2ZC

NF=ZC

在A4FD和A4CD中

ZFAD=ACAD

<ZF=AC,

AD=AD

：.\AFD=NACD,

，AC=AF,

AC=AB+BF=AB+BD,

故答案为：F-,AFD-,ACD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转化思想，

此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式.

2.【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线

段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.

(1)如图1,A4BC是等边三角形，点。是边3c下方一点，ZBDC=120°,探索线段D4、DB、DC之

间的数量关系.

解题思路：延长。C到点E,使CE=8Z),连接4E,根据/A4C+/BZ)C=180。，可证4=易

证得得出是等边三角形，所以4D=DE,从而探寻线段7X4、DB、。。之间的数

量关系.

根据上述解题思路，请写出D4、DB、。。之间的数量关系是,并写出证明过程；

【拓展延伸】

（2）如图2,在必A48C中，/BAC=90°,AB=AC,若点。是边8c下方一点，ZBDC=90°,探索线段

DA、DB、0c之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

（3）如图3,两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距

离尸。的平方为多少？

【答案】（1）见解析；（2）2AD2=（DC+BD）2；见解析；（3）2+6

【分析】（1）由等边三角形知ZBAC=60°,结合48。。=120。知N/8D+//CZ）=180。，由

N/CE+//CD=180。知证AABD乌A4CE得4D=AE,/BAD=NCAE,再证△4DE是等边

三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB.

（2）延长。C到点£,使CE=BD,连接/£,先证△4BD0A4CE得4D=4E,ZBAD=ZCAE,据此可得

ZDAE=ZBAC=90°,由勾股定理知。/2+/炉=0炉，继而可得240?=（DC+BD）2；

（3）由直角三角形的性质知。N=gMN=1,MQ=^MN2-QN2=g,利用（2）中的结论知2PQ2=（QN+MQ）2,

据此可得答案.

【详解】解：（1）DA=DC+BD,理由如下：

:AABC是等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

"：ZBDC=nO°,

：.ZABD+ZACD=36O0-ZBAC-ZBDC=1SO°,

又：ZACE+ZACD=18Q°,

：.NABD=NACE,

在△48。和△/（?£■中，

'AB=AC

<AABD=ZACE,

BD=CE

:.LABD咨4ACE（SAS）,

：.AD=AE,NBAD=/CAE,

'：ZABC=60°,即ZBAD+ZDAC=60°,

：.ZDAC+ZCAE=60°,即/D/E=60°,

.♦.△4DE是等边三角形，

DA=DE=DC+CE=DC+DB,即DA=DC+DB,

故答案为：DA=DC+BD；

(2)2AD?=(DC+BD)2,如图2,延长。。到点E,使CE=BD,连接

图2

VZBAC=90°fZBDC=90°,

：.AABD+AACD=360°-ABAC-ZBDC=180°,

NACE+/ACD=180。,

：.NABD=NACE,

•；AB=AC,CE=BD,

在△45。和中，

AB=AC

<ZABD=ZACE,

BD=CE

・二△ABD咨LACE(弘S),

：.AD=AE,/BAD=NCAE,

：.ZDAE=ZBAC=90°,

：.DA2+AE2=DE2,

：.2AD2=(DC+BDy；

(3)如图3,连接尸。，

"：MN=2,ZQMN=3>0°,/MQN=90°,

：.QN=^MN=\,

/.MQ=yjMN2-QN2=V22-l2=73,

由(2)知2尸0=(QN+Mg『.

••・喈=(”丁。)、生"=2+5

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的

性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

3.如图，在等边△/BC中，点尸是边上一点，NBAP=a(30°<«<60°),作点2关于直线/P的对

称点。，连接。。并延长交直线/尸于点E,连接2瓦

(1)依题意补全图形，并直接写出助的度数；

(2)用等式表示线段/£,BE,CE之间的数量关系，并证明.

分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质……

②通过截长补短，利用60。角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的.

请根据上述分析过程，完成解答过程.

【答案】(1)图见解析，NAEB=60。；(2)AE=BE+CE,证明见解析

【分析】(1)依题意补全图形，如图所示：然后连接先求出NC4P=60。-a,然后根据轴对称的性质

得至U/尸,AD=AB=AC,/AEC=NAEB,求出NClZ)=2a-60。，即可求出

//CD=N4DC=；(180。-ZG4£>)=120°-a,再由ZEAC+ZAEC=ZACD=nO0-a进行求解即可；

(2)如图，在4E上截取EG=3£,连接3G.先证明△BGE是等边三角形，得至U8G=3£=EG,ZGBE

=60°.再证明//8G=/C8E,即可证明△N3G四△CBE得到/G=CE,贝I]NE=£G+NG=3E+CE.

【详解】解：（1）依题意补全图形，如图所示：连接4Q,

•：AABC是等边三角形，

AZBAC=60°fAB=AC,

•・・ABAP=a,

・・・ZCAP=60°-af

,:B、。关于4P对称，

ZPAD=ZBAP=a,AD=AB=AC,NAEC=NAEB,

：.ZCAD=ZPAD-ZCAP=a-(60。-a)=%-60c,

・・.ZACD=ZADC=^(l^°-ZCAD)=nO0-a9

：.ZEAC+ZAEC=ZACD=120°-a,

・•・ZAEC=60°

：.ZAEB=60°.

(2)AE=BE+CE.

证明：如图，在ZE上截取£G=5£,连接2G.

ZAEB=60°,

•••△5GE是等边三角形，

:・BG=BE=EG,ZGBE=6Q°.

4ABe是等边三角形，

:・AB=BC,ZABC=60o,

：./ABG+ZGBC=ZGBC+ZCBE=60°,

JZABG=ZCBE.

在△48G和中,

AB=CB,

<ZABG=NCBE,

BG=BE,

：.^ABG^/XCBE(SAS),

J.AG^CE,

：.AE=EG+AG=BE+CE.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性

质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键

4.阅读材料:

“截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系.截长，即在长线段上截

取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，

使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段.

依据上述材料，解答下列问题：

如图，在等边A/BC中，点£是边NC上一定点，点。是直线3C上一动点，以DE为边作等边ADEF,连

接CK

(1)如图，若点。在边3C上，试说明废+。尸=。〃；(提示：在线段CD上截取CG=CE,连接EG.)

(2)如图，若点。在边8c的延长线上，请探究线段CE,C户与CD之间的数量关系并说明理由.

【答案】(1)证明见解析

⑵FC=CD+CE

【分析】(1)在CD上截取CG=CE,易证ACEG是等边三角形，得出EG=EC=CG,证明△OEG0/XFEC

(SAS),得出。G=CR即可得出结论；

(2)过。作DG/U3,交NC的延长线于点G,由平行线的性质易证NGDC=/DGC=60。，得出△GCD

为等边三角形，贝i]DG=CD=CG,证明△EG。g△/CD(SAS),得出即可得出尸C=CD+C£

(1)

证明：在CD上截取CG=C£,如图1所示：

图1

-：AABC是等边三角形，

NECG=60。,

:.ACEG是等边三角形，

；.EG=EC=CG,ZCEG=60°,

：△£)£尸是等边三角形，

:.DE=FE,/DEF=60。,

：.ZDEG+ZGEF=ZFEC+ZGEF=60°,

ZDEG=ZFEC,

在ADEG和△庄C中，

DE=FE

<ZDEG=ZFEC,

EG=EC

：.ADEG^AFEC(SAS),

:,DG=CF,

：.CD=CG+DG=CE+CF,

：.CE+CF=CD；

(2)

解：线段比，C/与CD之间的等量关系是bC=CQ+CE；理由如下:

■:4ABC是等边三角形，

・・・ZA=ZB=60°,

过。作。G〃4B,交4C的延长线于点G,如图2所示：

：.ZGDC=Z5=60°,ZDGC=ZA=60°f

：.ZGDC=NQGC=60。，

•••△GCQ为等边三角形，

：.DG=CD=CG,ZGDC=60°,

•••△切正为等边三角形，

：.ED=DF,NEDF=NGDC=60。,

：.ZEDG=/FDC,

在△£GD和△尸CD中,

ED=DF

<ZEDG=ZFDC,

DG=CD

:.△EGD^XFCD(SAS),

：.EG=FC,

:.FC=EG=CG+CE=CD+CE.

【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形全等及其性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质等知识,

作辅助线构建等边三角形是解题的关键.

5.在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其

中有“截长补短”作辅助线的方法.

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；

补短法：延长较短线段和较长线段相等.

这两种方法统称截长补短法.

请用这两种方法分别解决下列问题：

已知，如图，在△N3C中，AB>AC,Zl=Z2,尸为/。上任一点，求证：AB-AC>PB~PC

【分析】截长法：在上截取连结尸N,可证得△4PN咨△4PC,可得至ABPN中,利

用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长NC至初，使/〃连结尸加；证明AAB尸之可

得PB=PM,在△尸CN中，利用三角形的三边关系，即可求证.

【详解】解：截长法：在上截取/N=/C,连结尸N,

在△NPN和△/PC中

"：AN=AC,Z1=Z2,AP=AP,

：.AAPN%AAPC,

：.PC=PN,

4BPN中有PB—PNVBN,

即PB—PCCAB—AC；

补短法：延长NC至使连结PM,

在△AB尸和1中，

•;AB=AM,Z1=Z2,AP=AP,

：.AABP丝LAMP,

：.PB=PM,

又在△尸CM中有CM>PM~PC,

即AB-AOPB-PC.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是解题的关键.

6.例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略.截长就

是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而

解决问题.

(1)如图1,△48C是等边三角形，点。是边下方一点，/BDC=120°,探索线段D/、DB、。。之间

的数量关系.

解题思路:将绕点A逆时针旋转60。得到可得AE=AD,CE=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=60°,

根据/B/C+/8DC=180。，可知/48O+//CD=180。，贝IZACE+ZACD=1SQ°,易知△/£)£是等边三角形,

所以从而解决问题.

根据上述解题思路，三条线段94、DB、DC之间的等量关系是；

(2)如图2,RtAABC中,/R4c=90。,4B=4C.点D是边BC下方一点、,ZBDC=90°,探索三条线段D4、

DB、。。之间的等量关系，并证明你的结论.

B

B

00

Mim2

【答案】(1)DA=DB+DC;(2)应DA=DB+DC,证明见解析.

【分析】(1)由旋转60。可得/£=/。，CE=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=60°,ZBAC+ZBDC=180°,

可知/48D+N/CD=180。，贝UZACE+ZACD=180°,易知△/〃£1是等边三角形，所以从而解决

问题.

(2)延长DC到点E,使CE=BD,连接AE,由已知可得ZABD+ZACD=180°,根据NACE+ZACD=180°,可得

AABD=N4CE,可证AABD,进而可得AD=AE,ABAD=/C4E,可得ADAE=ABAC=90°,由勾股定

理可得：。/2+/炉=。炉,进行等量代换可得结论.

【详解】⑴结论：DA=DB+DC.

理由：AABD绕点A逆时针旋转60。得到AACE,

；.AE=AD,CE=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=60°,

VZBAC+ZBDC=180°,

AZABD+ZACD=180°,

.,.ZACE+ZACD=180°,

；.D,C,E三点共线，

VAE=AD,ZDAE=60°,

」.△ADE是等边三角形，

；.AD=DE,

AD=DC+CE=DB+DC;

(2)结论：V2DA=DB+DC,

证明如下：

如图所示，延长DC到点E,使CE=BD,连接AE,

,/Za4c=90°,/3。。=90°,

ZABD+ZACD=i^,

ZACE+ZACD=180°,

：.ZABD=ZACE,

VAB=AC,CE=BD,

"BDmACE（SAS）,

/.AD=AE,NBAD=NCAE,

，ZDAE=ABAC=90°,

DA1+AE2=DE1,

：.2DA?=（DB+DC）2,

：.42DA=DB+DC.

【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关系，正确作出辅助线找到

全等三角形是解题的关键.

7.阅读材料并完成习题：

在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题.请看这个例题：如图1,在四边形ABCD

中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD,若AC=2cm,求四边形ABCD的面积.

解：延长线段CB到E,使得BE=CD,连接AE,我们可以证明ABAE之△DAC,根据全等三角形的性质得

AE=AC=2,ZEAB=ZCAD,贝UNEAC=/EAB+/BAC=NDAC+/BAC=NBAD=90°,得S四边彩

=

ABCD=SAABC+SAADCSAABC+SAABE=SAAEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积.

（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为cm2.

（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题.

H

AG

EN

如图2,已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm,ZG=ZN=90°,求五边形FGHMN的面积.

【答案】(1)2；(2)4

【分析】(1)根据题意可直接求等腰直角三角形EAC的面积即可;

(2)延长MN到K,使NK=GH,连接FK、FH、FM,由(1)易证.AFGHWFNK,则有FK=FH,因为

HM=GH+MN易证AF/必也AFMM,故可求解.

【详解】(1)由题意矢口S四边形"8=S^ABC+S^ADC=S"BC+=2,

故答案为2；

(2)延长MN到K,使NK=GH,连接FK、FH、FM,如图所示:

VFG=FN=HM=GH+MN=2cm,ZG=ZN=90°,

ZFNK=ZFGH=90°,二AFGHWFNK,

•,.FH=FK,

X---FM=FM,HM=KM=MN+GH=MN+NK,

AFMKAFMH,

：.MK=FN=2cm,

*,*S五边形FGHMN=SAFGH+S&HFM+MFN~2s/MK=2^-MK-FN=4.

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用.

8.【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线

段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题.

(1)如图①，△4BC是等边三角形，点。是边8c下方一点，连结。4DB、DC,且/助C=120。，探

索线段。4DB、。。之间的数量关系.

解题思路：延长。。到点E,使CE=BD,连接NE,根据/A4C+BZ)C=180。，贝(INABD+N4cD=180°,

因为/幺。。+/4。£=180。可证/48。=//。£,易证得g△/(?£,得出△4DE是等边三角形，所

以4D=DE,从而探寻线段DB、DC之间的数量关系.根据上述解题思路，请直接写出。4DB、DC

之间的数量关系是;

【拓展延伸】

(2)如图②，在RtZ\/3C中，ZBAC=90°,AB=AC.若点。是边3c下方一点，ZBDC=90°,探索线

段DB、DC之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

(3)如图③，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知30。所对直角边等于斜边一半,

则PQ的长为cm.(结果无需化简)

【答案】(1)DA=DB+DC；(2)猜想：42AD=DC+DB证明见解析；(3)匕妥.

V2

【分析】(1)由等边三角形知ZBAC=6Q°,结合/8OC=120。知N/8O+/4c0=180。，由

N/CE+N/CD=180。知证丝△NCE得/£>=/£NBAD=NCAE,再证△4DE是等边

三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB.

(2)延长DC到点£,使CE=BD,连接NE,先证△4BD0A4CE得4D=4E,NB4D=/CAE,据此可得

ZDAE=ZBAC=90°,由勾股定理知继而可得2"2=(DB+DC)2；

(3)由直角三角形的性质知。N=1■跖V=l,MQ=yjMN2-QN2=43,利用(2)中的结论知

y/2PQ=QN+QM=\+百，据此可得答案.

【详解】解：(1)DA=DC+DB,理由：

,**4ABC是等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

・・・ZBDC=nO0,

：.ZABD+ZACD=\SO0,

又•:ZACE+ZACD=\SO09

：.NABD=NACE,

在△45。和△4CE中，

AB=AC

<ZABD=ZACE,

BD=CE

:•△ABD/LACE(SAS),

：.AD=AE,/BAD=/CAE,

•・・ZABC=60°,即ZBAD+ZDAC=60°,

：.NDAC+NCAE=6Q。,即ZDAE=60°,

•••△/QE是等边三角形，

：・DA=DE=DC+CE=DC+DB,即DA=DC+DB,

故答案为：DA=DC+DB；

(2)4=ZM+QC如图2,延长DC到点E,使CE=BD,连接ZE,

图2

・.•ZBAC=90°fZBDC=90°：.ZABD+ZACD=lSO°f

,/ZACE+ZACD=18O°9

：./ABD=/ACE,

•：AB=AC,CE=BD,

在△45。和△4CE中,

AB=AC

<ZABD=ZACE,

BD=CE

.二△ABD沿AACE(SAS'),

：.AD=AE,ZBAD=ZCAE,

：.ZDAE=ZBAC=90°,

：.DA2+AE2=DE2,

：.2DA2=(DB+DC)2,

：.V2DA=DB+DC；

(3)如图3,连接尸0,

：.QN=^-MN=1,

：.MQ=^MN2-QN2=J22T2=色,

由(2)知也PQ=QN+QM=1+6，

.pgl+6

故答案为：■

V2

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形

的判定定理和性质定理是解题的关键.

9.【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线

段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.

(1)如图1,△48C是等边三角形，点D是边8C下方一点，ZBDC=120°,探索线段DB、OC之间的

数量关系.

解题思路：延长。。到点E,使CE=BD,连接/£,根据/8/。+/2。。=180。，可证N/CE易证

得△48。之△/(?£1,得出△4DE是等边三角形，所以40=。£,从而探寻线段以、DB、。。之间的数量关

系.根据上述解题思路，请直接写出可、DB、DC之间的数量关系是；

【拓展延伸】

(2)如图2,在放△/BC中，/R4c=90。，AB=AC.若点。是边3c下方一点，/BDC=90。,探索线段D4、

DB、0c之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

(3)如图3,两块斜边长都为4cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离

PQ的长为cm.

【答案】(1)04=08+。。

(2)42DA=DB+DC；理由见解析

⑶=+C卜加

【分析】(1)延长。C到点E,使CE=BD,连接4E,由等边三角形知4S=/C,ZBAC=60°,结合N2OC=120。，

知N/8D+//O180。，贝l]N/8D=/ZCE,证得△430=AACE得4D=AE,NBAD=/CAE,再证明

是等边三角形，等量代换可得结论；

(2)同理可证△A8DWLACE得AD=AE,/BAD=/CAE,由勾股定理得Df+/6？=〃£?,等量代换即

得结论；

(3)由直角三角形的性质可得。N的长，由勾股定理可得九父的长，由⑵知®PQ=QN+QM,由此可

求得P。长.

(1)

(1)延长。。到点E,使CE=5D,连接NE,

,:AABC是等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

Z5DC=120°,

・・・N5ZC+N5QC=180。，

・•・ZABD+ZACD=\SO°f

又,.・ZACE+ZACD=180°,

：.ZABD=ZACEf

：.AABD=△ACE(SAS),

：.AD=AE,ZBAD=ZCAE9

丁NR4c=60。,

・・・ZBAD+ZDAC=60°,

：.ZDAE=ZDAC+ZCAE=60°9

：.△/DE是等边三角形，

・•・DA=DE=DC+CE=DC+DB,

(2)

41DA=DB+DC,

理由如下：延长。。到点E,使CE=BD,连接4E,

E

VZBAC=90°f/BDC=90。,

：.ZABD+ZACD=1SO°

又：ZACE+ZACD=1SO°,

：./ABD=/ACE,

"：AB=AC,CE=BD,

：./\ABD色△/CE(SAS),

：.AD=AE,NBAD=NCAE,

：.ZDAE=ZBAC=90°,

DA1+AE~=DE1>

：.2DA2=(DB+DC》,

:.五DA=DB+DC，

(3)

如图所示：连接尸0,

2

YMN=4cm,ZQMN=30°,

：.QN=；MN=2cm,

根据勾股定理得QM=S]MN2-QN2=V42-22=,

由（2）知®PQ=QN+QM,

：.PQ=QN「晋”唱皿

【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边三角形的性质，

熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

10.现阅读下面的材料，然后解答问题：

截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法.在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广

泛的应用.截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等.补

短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段.

请用截长法解决问题（1）

（1）已知：如图1等腰直角三角形48c中，N3=90。，月。是角平分线，交8C边于点。.求证：AC=AB+BD.

E

BD

请用补短法解决问题(2)

(2)如图2,已知，如图2,在A43C中，NB=2NC,是AA8C的角平分线.求证：AC=AB+BD.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)根据截长法，在/C上截取=连接。E,通过题目条件可证A4D5=进而

证得AZ)£C是等腰直角三角形，等量代换即可得；

(2)根据补短法，延长NB到尸，使/尸=/C,连接。尸，根据已知条件可证AE4D三AC4D(&4S),进而

可证BD=BF,等量代换即可得证.

【详解】(1)证明：如图1,在NC上截取=连接DE,

VAD是角平分线，

/.ABAD=NEAD

在\ADB和AADE中

AB=AE

</BAD=ZEAD

AD=AD

：.AADB^AADE(SAS)

：.ZAED=NB=90°,DE=DB

又：ZUBC是等腰直角三角形，

，NC=45。，，AZ)EC是等腰直角三角形，

:.DE=EC,

：.AC=AE+EC^AB+BD.

(2)如图2,延长Z5到方，使4F=/C,连接。尸,

AD是\ABC的角平分线，

：.ZFAD=ZCAD

在\FAD和ACAD中

AF=AC

</FAD=/CAD

AD=AD

：."ADNACAD(SAS),

：./C=/F

VZABC=2ZCfZABC=/F+/BDF,

：.NF=ZBDF,

/.BD=BF,

：.AC=AF=AB+BD.

【点睛】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平

分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键.

11.数学课上，小白遇到这样一个问题：

如图1,在等腰及A/1BC中，NBAC=90。,AB=AC,AD=AE,求证=

在此问题的基础上，老师补充：

过点A作/尸，5E于点G交于点尸，过尸作b交班于点尸，交CQ于点试探究线段5。，FP,

力月之间的数量关系，并说明理由.

小白通过研究发现，a1EB与/*'C有某种数量关系；

小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出

结论.

阅读上面材料，请回答下面问题：

（1）求证=；

（2）猜想44所与尸C的数量关系，并证明；

（3）探究线段8P,FP,/尸之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）见解析；（2）ZHFC=ZBFA,证明见解析；（3）BP=AF+PF,证明见解析

【分析】（1）利用SAS证明三A/CD可得结论；

（2）设NABE=NACD=x,推出/3灯=45。+》，ZHFC=450+x,即可证明/77FC=；

（3）过点。作61.4。交2尸延长线于点屈，延长尸尸交/C于点N,证明△ABEgZ\CAM,得出BE=4/

和=从而证明△NFC02XMFC,得到尸N=内和=N尸NC,可得PN=PE,从而得出

BP=AF+PF.

【详解】解：（1）•.,在4ABE和4ACD中，

"AB=AC

<ZA=ZA,

AE=AD

NABE=\ACD（SAS）,

NABE=ZACD；

（2）ZABE=ZACD=x,

AFA.BE,

ZBAF=90°-x,

ABFA=9QP-（450-x）=45°+x,

•;NACD=x,

，/HCF=45°—x,

•・•FPLCD,

ZHFC=90。—(45。—x)=45°+x,

ZHFC=ZBFA；

(3)过点。作交/月延长线于点〃，延长尸产交ZC于点N,

ZBAF+ZFAC=90°,ZBAF+NABG=90°,

/.ZFAC=ZABG,

在AABE和ACAM中，

ZBAE=ZACM

<AB=AC,

ZABE=ZCAM

AABE=\CAM(ASA),

/.BE=AM,AM=/BEA,

vABFA=ZMFC=ZNFC,FC=FC,/ACB=/BCM=45。,

\NFC=\MFC(ASA),

,\FM=FN,Z-M=ZFNC,

ZFNC=NBEA,

PN=PE,

：.BP=BE-PE=AM-PE=AF+FM-PE=AF+FN-PN=AF+PF.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的

关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度.

12.【初步探索】

截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略.截长就是在长

边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问

题.

（1）如图1,△48。是等边三角形，点。是边8c下方一点，ZBDC=120°,探索线段£>/、DB、DC之间

的数量关系；

A

1）

图1

【灵活运用】

（2）如图2,△ABC为等边三角形，直线D为BC边上一点、,/4DE交直线a于点E,S.ZADE

=60°.求证：CD+CE=CA；

图2

【延伸拓展】

（3）如图3,在四边形中，ZABC+ZADC=l80°,AB=AD.若点£在C8的延长线上，点/在

CD的延长线上，满足EF=BE+FD,请直接写出/£/尸与NZX4B的数量关系.

图3

【答案】（1）DA=DC+DB,证明见详解；（2）见详解；（3）ZEAF=i80°--ZDAB,证明见详解.

2

【分析】（1）由等边三角形知AB=AC,ZBAC=60°,结合NBDC=120。知NABD+NACD=180。，由

/ACE+NACD=180。知NABD=/ACE,证△ABDgAACE得AD=AE,ZBAD=ZCAE,再证AADE是等

边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB；

(2)首先在AC上截取CM=CD,由△ABC为等边三角形，易得aCDM是等边三角形，继而可证得

△ADM^AEDC,即可得AM=EC,则可证得CD+CE=CA；

(3)在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,先判定△ADGgZiABE,再判定△AEFgAAGF,

得出NFAE=/FAG,最后根据/FAE+NFAG+NGAE=360。，进而推导得到2/FAE+NDAB=360。，即可得

出结论.

【详解】(1)如图1,延长DC到点E,使CE=BD,连接AE,

「△ABC是等边三角形，

；.AB=AC,ZBAC=60°,

VZBDC=120°,

AZABD+ZACD=180°,

又：ZACE+ZACD=180°,

ZABD=ZACE,

A△ABDACE(SAS),

，AD=AE,ZBAD=ZCAE,

ZBAC=60°,即NBAD+/DAC=60°,

ZDAC+ZCAE=60°,即ZDAE=60°,

.,.△ADE是等边三角形，

DA=DE=DC+CE=DC+DB,

即DA=DC+DB；

(2)证明：在AC上截取CM=CD,

A

E

M

VAABC是等边三角形，

ZACB=60°,

AACDM是等边三角形，

・・・MD=CD=CM,ZCMD=ZCDM=60°,

.\ZAMD=120o,

,/ZADE=60°,

AZADE=ZMDC,

AZADM=ZEDC,

・・•直线a〃AB,

・•・ZACE=ZBAC=60°,

・•・ZDCE=120°=ZAMD,

在AADM和AEDC中，

ZADM=/EDC

<MD=CD

ZAMD=ZECD

：.△ADMAEDC(ASA),

AAM=EC,

・・・CA=CM+AM=CD+CE；

即CD+CE=CA.

(3)ZEAF=180°--Z^S；

2

证明：如图3,在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,

G

图3

ZABC+ZADC=180°,ZABC+ZABE=180°,

ZADC=ZABE,

又：AB=AD,

.,.△ADG^AABE(SAS),

；.AG=AE,ZDAG=ZBAE,

EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

.".△AEF^AAGF(SSS),

ZFAE=ZFAG,

ZFAE+ZFAG+ZGAE=360°,

A2ZFAE+(ZGAB+ZBAE)=360°,

.♦.2/FAE+(ZGAB+ZDAG)=360°,

即2ZFAE+ZDAB=360°,

.,.ZEAF=180°--ZD^5.

2

【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质的综合应

用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形.

13.截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略.截长就是

在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解

决问题.

(1)如图1,Z\ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，ZBDC=120°,探索线段DA、DB、DC之

间的数量关系.

解题思路：延长DC到点E,使CE=BD,根据/BAC+NBDC=180。，可证/ABD=/ACE,易证

△ABD^AACE,得出4ADE是等边三角形，所以AD=DE,从而解决问题.

根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；(直接写出结果)

(2)如图2,RL^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC.点D是边BC下方一点，ZBDC=90°,探索三条线

段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论.

【答案】(1)DA=DB+DC；(2)42DA=DB+DC(或写成2。生二。？〉。。?)，证明详见解析.

【分析】(1)由等边三角形知AB=AC,ZBAC=60°,结合NBDC=120。知NABD+NACD=180。，由

NACE+NACD=180。知NABD=NACE,证△ABDgAACE得AD=AE,ZBAD=ZCAE,再证4ADE是等

边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB.

(2)延长DC到点E,使CE=BD,连接AE,先证4ABD且4ACE得AD=AE,ZBAD=ZCAE,据此可

得NDAE=/BAC=90。，由勾股定理知DA2+AE?=DE2,继而可得2DA?=(DB+DC)2.

【详解】解：(1)如图1,延长DC到点E,使CE=BD,连接AE,

图1

「△ABC是等边三角形，

；.AB=AC,ZBAC=60°,

VZBDC=120°,

.".ZABD+ZACD=180°,

又；ZACE+ZACD=180°,

ZABD=ZACE,

A△ABDACE(SAS),

；.AD=AE,ZBAD=ZCAE,

ZABC=60°,即/BAD+ZDAC=60°,

ZDAC+ZCAE=60°,即ZDAE