2025年中考数学大题专练：圆中的证明与计算问题（8大题型）（原卷版）

中考大题06圆中的证明与计算问题

考情分析-直击中考

中考数学中，圆的基本性质、与圆有关的位置关系一直都是必考的考点，难度从基础到综合都有通常

选择填空题会出圆的基本性质，如弧长、弦长、半径、圆周角等的关系,基本都是基础应用，难度不大，个

别会出选择题的压轴题，难度稍大.简答题部分，一般会把切线的问题和相似三角形、锐角三角函数等结合

考察，这是一般都是中等难度的问题.还有一些城市会把圆的基本性质等与其他动点问题综合考察,此时一

般都是压轴题，难度很大，这时候就需要考生综合思考的点比较多.

琢题突破•保分必拿

圆与全等/相似三角形的综合

圆幕定理

四点共圆正多边形与圆

题型一：圆中的角度和线段计算问题

茏能》大题典例

1.（2023,浙江杭州•中考真题）如图，在。。中，直径4B垂直弦CD于点E,连接2。/。,灰7,作CF12D于

点K交线段。B于点G（不与点。方重合）,连接。F.

B

（1）若BE=1,求GE的长.

（2）求证：BC2=BGBO.

（3）若FO=FG,猜想NC4D的度数，并证明你的结论.

2.（2023•山东•中考真题）如图，已知4B是。。的直径，CD=CB,BE切。。于点B,过点C作CF1OE交BE

于点/，若EF=2BF.

图1图2

⑴如图1,连接BD,求证：△ADBm4OBE；

（2）如图2,N是力。上一点，在4B上取一点M,使NMCN=60。，连接MN.请问：三条线段MN,BM,DN有

怎样的数量关系？并证明你的结论.

圆的基础定理：垂径定理、圆周角定理、切线长定理的内容和常考题型要熟悉，也要结合几何图形各自的

特征，综合应用起来解决相关问题.

垂径定理臂型三更三：

如图，可得①AB过圆心②AB_LCD③CE=DE④最=前⑤前=俞

【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的

弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其

中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt2X,用勾股，求长度；

2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.

【利用圆周角定理解题思路】

1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以

利用圆周角定理进行角的转化.

2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.

3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角.

4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧

的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.

蔻变式训级

1.（2023•河南商丘•模拟预测）如图，过。。外一点尸作。。的两条切线，切点分别为/,B,过点8作

BCIP4交。。于点C连接4B,AC.

（2）若2P=6,AB=4,求O。的半径.

2.（2023•广东深圳•模拟预测）如图，在Rt^ABC中，”=90。，以4B为直径的半圆交BC于。，过。作圆

(1)AE=CE；

{2}CD*CB=4DE2.

题型二：求弓形面积或不规则图形面积

龙麓»大题典例

1.（2023,江苏南通・中考真题）如图，等腰三角形OAB的顶角N40B=120。，O。和底边4B相切于点C,并

与两腰04。8分别相交于D,E两点，连接CD,CE.

（1）求证：四边形。DCE是菱形；

⑵若。。的半径为2,求图中阴影部分的面积.

2.（2023•江苏宿迁•中考真题）⑴如图，是。。的直径，4C与。。交于点凡弦4D平分NBAC,点E

在4c上，连接DE、DB,.求证：.

从①DE与。。相切；②DE14C中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写

序号），并完成证明过程.

（2）在（1）的前提下，若4B=6,/.BAD=30°,求阴影部分的面积.

茏龙》犀黄揖号.

设。O的半径为R,n。圆心角所对弧长为I,n为弧所对的圆心角的度数，则

扇形弧长公式1=鬻（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表

loU

示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位.）

扇形面积公式S扇形=需=夕R

圆锥侧面积公式S圆锥侧=nrl（其中1是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）

圆锥全面积公式S圆锥全=nrl+nr2（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）

圆锥的高h,圆厂2+=]2

锥的底面半径r

【阴影部分面积求解问题解题思路】求阴影部分面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则

的图形的面积转化为规则图形的面积.常用的方法有：

直接公式法

常

用直接和差法

方构造和差法

法全等法

等面积法

和差法割补法平移法

旋转法

对称法

容斥原理

茏塞》要其训级

1.（22-23九年级上•江苏扬州•期末）如图，CD是。。的直径，点B在。。上，点4为DC延长线上一点，过

点。作OEIIBC交力B的延长线于点E,且4»=NE

（1）求证：4E是。。的切线；

⑵若线段0E与。。的交点F是0E的中点，。。的半径为3,求阴影部分的面积.

2.（2023•江苏常州•一模）如图1,将一个三角形纸板△力BC绕点力逆时针旋转。到达的位置，那么

可以得到：AB=AB',AC=AC,BC=B'C,Z.BAC=/.B'AC,乙ABC=LAB'C,/.ACB=Z.AC

B'.（）图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变"中蕴含着"不变"，这是我们解决

图形旋转的关键.故数学就是一门哲学.

①上述问题情境中"()”处应填理由：;

(2)如图2,将一个半径为4cm,圆心角为60。的扇形纸板48C绕点。逆时针旋转90。到达扇形纸板4夕67的位

置.

①请在图中作出点0；

②如果BB，=6cm,则在旋转过程中，点8经过的路径长为cm；

⑶如果将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置.另一个在弧

的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止.此时，两个纸板重叠部分的面积是多少(如图

3)?

题型三：正多边形与圆

(2021•湖北随州•中考真题)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用"同一个图形的面积

相等"、"分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积"、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等"

等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程

简便快捷.

(1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4,则该直角三角形斜边上的高的长为,其内切圆的半

径长为;

(2)①如图1,P是边长为a的正△ABC内任意一点，点。为△力BC的中心，设点P到△4BC各边距离分别

为h],%2，％3，连接/尸，BP,CP,由等面积法，易知、（八1+八2+h3）=SaABC=3SA0/B，可得自+九2+八3

=;（结果用含。的式子表示）

②如图2,尸是边长为Q的正五边形4BCDE内任意一点，设点P到五边形ZBCDE各边距离分别为后，h2,h3,

心,九5,参照①的探索过程，试用含a的式子表示后+九2+上+鱼+的的值.（参考数据：tan36。七卷,

11

tan54°«—O）

(图3)（图4）

（3）①如图3,已知。。的半径为2,点2为O。外一点，04=4,4B切o。于点8,弦BC”0A,连接

AC,则图中阴影部分的面积为；（结果保留冗）

②如图4,现有六边形花坛2BCDEF,由于修路等原因需将花坛进行改造.若要将花坛形状改造成五边形

ABCDG,其中点G在4F的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理

由.

龙麓》舞黄揖号.

正多边形的常用公式

边长a=2R-sin^（Rn为正多边形外接圆的半径）

nnn

周长Pn=n-an外角/中心角度数360°

n

面积Sn=ganTn,n对角线条数n(n—3)

2

边心距内角和(n-2)X180°.

rn=Rn・COSn

内角度数(n-2)x180°n边形的边数(内角和+180°)+2

n

an,Rn、rn的关系解=温+苧（an、Rn、0为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个值

可以借助勾股定理求解.）

【解题思路】正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成

2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系,

故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算.

茏皿笠式训等

1.（2024•辽宁鞍山•三模）【发现问题】

蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1）,某数学兴趣小组的同学用若干个形状,

大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的

图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化.

【提出问题】

在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系?

【分析问题】

同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据

第一层正六边形模具的个数X1234

拼接图案中所需正六边形模具的总个数y171937

然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3,同学们根据图3中点的分布情况,

猜想其图象是二次函数图象的一部分.

图3图4图5图6

为了验证猜想，同学们从"形"的角度出发，借助"害I补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具

（虚线部分）移到下面（如图4）,并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如

图5）,使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正

六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式.

【解决问题】

（1）直接写出〉与x的关系式；

⑵若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的

个数；

⑶如图6,作正六边形模具的外接圆，圆心为O,A,8为正六边形模具相邻的两个顶点，瓶的长为|7Tcm,

现有一张长：LOOcm,宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计），最

多可以放下多少个正六边形模具？（遮=1.732）

2.（2023,河北邯郸•二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六

个全等的小圆组成（如图2）,大圆绕着圆心。匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点尸，N）均匀分布在大

圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如PQ）始终垂直于水平线/.

图1

⑴乙NOP='

（2）若。4=16,。。的半径为10,小圆的半径都为1：

①在旋转一周的过程中，圆心M与/的最大距离为；

②当圆心H到/的距离等于。力时，求。”的长；

③求证：在旋转过程中，MQ的长为定值，并求出这个定值.

题型四：切线的性质与判定

龙龙》大题典例

1.（2023•黑龙江大庆•中考真题）如图，力B是。。的直径，点C是圆上的一点，CD1力。于点D,力。交O。

于点F,连接4C,若4C平分ND48,过点尸作FG148于点G,交"于点延长AB,DC交于点E.

⑴求证：CD是。。的切线；

（2）求证：AF-AC=AE-AH；

（3）若sinADR4=］求霍的值.

3rn

2.（2023•湖北恩施•中考真题）如图，△ABC是等腰直角三角形，N4CB=90。，点。为力B的中点，连接C。

交。。于点E,。。与AC相切于点。.

①求证：BC是。。的切线；

⑵延长C。交。。于点G,连接4G交。。于点R若4C=4VL求FG的长.

奥蔻》犀黄揖等

圆的切线垂直于过切点的半径.（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆

性质心的直线.）

解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中

作辅助线的一种方法）.根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计

算或证明.

1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.

2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切.

3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

判定常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时,

1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，

简称“连半径，证垂直”；

3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，

简称“作垂直，证半径”.

龙A笠式训级

1.（2023,广西梧州•二模）如图，在△ABC中，。为4C上一点，以点。为圆心，为半径作圆，与8C相切

于点C,过点力作4。18。交B。的延长线于点D,且乙4。。=4艮4。.

⑴求证：48为O。的切线；

4

（2）若4B=10,sinzXSC=",求4D的长.

2.（22-23九年级上•河北保定•期中）如图，在RtaABC中，zC=90°,4。平分ABAC,交BC于点D,。是

边力8上的点，经过点4。的。。交48于点E.

⑴求证:BC是。。的切线;

（2）若NB=30。，BD=V3.

①求OE的长；

②求阴影部分的面积.

题型五：四点共圆

龙塞》大题典例

1.（2023•山东日照•中考真题）在探究"四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面

内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论.解决以下问题：

如图1,△ABC中，AB=AC,ABAC=a（60。<a<180。）.点。是8c边上的一动点（点D不与8,C重

合），将线段4。绕点/顺时针旋转a到线段力E,连接BE.

图2备用图

⑴求证：A,E,B,。四点共圆；

（2）如图2,当=时，。。是四边形2EBD的外接圆，求证：AC是。。的切线；

⑶已知a=120。，BC=6,点用■是边BC的中点，此时OP是四边形4E8D的外接圆，直接写出圆心P与点M

距离的最小值.

2.（2023•广东•中考真题）综合运用

如图1,在平面直角坐标系中，正方形。2BC的顶点A在乂轴的正半轴上，如图2,将正方形。4BC绕点。逆时

针旋转，旋转角为a（0。<a<45。），4B交直线y=x于点E,BC交y轴于点F.

图1图2

⑴当旋转角NCOF为多少度时，OE=OF；（直接写出结果，不要求写解答过程）

（2）若点4（4,3）,求FC的长；

（3）如图3,对角线4C交y轴于点M,交直线y=x于点N,连接FN,将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与

S?,设5=$1—S2，AN=n,求S关于ri的函数表达式.

茏莪》解:去揖号.

判定方法图形证明过程

若四个点到一个定点的距离相等，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上

（圆的定义）

则这四个点共圆（圆的定义）.

适用范围：题目出现共端点，等

线段时，可利用圆的定义构造辅助0

圆.

若一个四边形的一组对角互补，则反证法

这个四边形的四个点共圆.

若一个四边形的外角等于它的内反证法

对角，则这个四边形的四个点共

圆.

同侧共边三角形且公共边所对角反证法

相等的四个顶点共圆.

共斜边的两个直角三角形的四个连接AO、0D

顶点共圆.根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

可得AO=BO=CO=DO

适用范围：双直角三角形共斜边

...点A、B、C、D四点共圆

模型.

在4APB和4CPD中

在。0中，若弦AB、CD相交于点

JAP・DP=BP・CP

P,且AP・DP=BP・CP,则A,B,C,D四

1Z3=Z4

点共圆（相交弦定理的逆定理）

AAAPB^ACPD・・・N1=N2

则A、B、C、D四点共圆

在ZkAPC和Z\DPB中

在。。中，若AB、CD两线段延长

\AP・BP=CP・DP

后相交于点P,且AP«BP=DP«CP,

L/P=/P.,.△APC^ADPB

则A,B,C,D四点共圆（割线定理）

D.\Z1=Z3而N2+N3=180°

.•.Zl+Z2=180°

则A、B、C、D四点共圆

若四边形两组对边乘积的和等于

对角线的乘积，则四边形的四个顶

点共圆（托勒密定理的逆定理）.

茏变》萱式训您

1.（2023•河南南阳•三模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形

的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆.在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让

复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整.

图1图2

特殊情况分析

⑴如图1,正方形A8CD中，点P为对角线AC上一个动点，连接PD,将射线PD绕点P顺时针旋转乙4DC的度

数，交直线BC于点Q.

小明的思考如下：

连接。Q，

\'AD\\CQ,zXDC=zDC（2=90°,

.\^ACQ=^DAC,（依据1）

•:乙DPQ=90°,

：.^DPQ+ADCQ=180°,

:.点、D、P、Q、C共圆，

：./-PDQ=/-PCQ,^DQP=/.PCD,（依据2）

:.乙PDQ=々DQP,

：.DP=QP.（依据3）

填空：①依据1应为,

②依据2应为,

③依据3应为；

一般结论探究

⑵将图1中的正方形48CD改为菱形48CD,其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以图2

的形式证明，若不成立，请说明理由；

结论拓展延伸

⑶如图2,若NADC=120。，AD=3,当△PQC为直角三角形时，请直接写出线段PQ的长.

2.（2023•云南昆明•模拟预测）【问题引入】

如图1,在RtZ\48C中，ZC=9O°,过点B作直线MN,过点4作力E1MN于点E,判断：点E一定一RtZXABC

如图2,以线段4B上一点。为圆心，OB为半径画圆，交4B于点C,点D是异于点B,C的。。上一点，E为BD

的延长线上一点.当2E有最小值/时，止匕时DE=g,且=ZB.

（1）求证：4。是O。的切线；

（2）若f=8；以力为圆心，力。为半径画弧交射线BD于点F（与。不重合），G为BD的中点，判断点40,

G,尸是否在一个圆上？如果在，请求出这个圆的面积；如果不在，请说明理由.

题型六：圆幕定理

龙麓»大题典例

1.（2022,湖南长沙•中考真题）如图，四边形4BCD内接于。0,对角线AC,8。相交于点E,点尸在边力。

上，连接EF.

(1)求证：AABE-ADCE；

（2）当玩=而，NDFE=2NCDB时，则票一普=；■+萧=；京+今一亲=

.（直接将结果填写在相应的横线上）

⑶①记四边形ZBCD,AABE,△CDE的面积依次为SMS，若满足西=可+店，试判断，4ABE,

△CDE的形状，并说明理由.

②当反=而，AB=m,AD=n,CD=p时，试用含加，n,0的式子表示AE-CE.

2.（2022•湖南•中考真题）如图，四边形ABCD内接于圆。，4B是直径，点C是应）的中点，延长4。交BC的

延长线于点£

⑴求证：CE=CD；

(2)若4B=3,BC=V3,求力。的长.

犀黄揖等

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.

已知图形结论证明过程

在4APB^DACPD中

【基础】在。0中，AP・DP=BP・CP

-

弦AB、CD相交于Z1=Z2(同弧所对圆周角相等)

点P[Z3=Z4AAAPB^ACPD

APRP

•,•云=而则AP・DP=BP・CP

【进阶】在。0中，BP・CP=MP・NP同上

0P所在直线与。

二

0交于M、N两点，r(r-OP)(r+OP)

为。0的半径-Q=r2—OP2

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

已知图形结论证明过程

如图，线段ADC是一4B2=AD・ACVZ1=Z2(弦切角定理模型),

O0的一条割线，ABZA=ZA

是（30的一条切线，.,.AABD^AACB

切点为点B—贝MB2=AD・AC

ACAB

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等.

已知图形结论证明过程

【基础】在©0AP•即连接AC、BD

中，弦AB、CD相

二CP・DP通过已知条件证明AAPCs4

交于点P,且点P

在圆外DPB

•'噌=啜贝"AP,BP=CP'DP

DDDPBP

（请尝试连接AD,BC自行证

明）

【进阶】若从圆外AP*BP同上

一点P引圆的两条

二MP・NP

割线PAB和PMN,

且割线PMN经过圆二(OP-rXOP+r)

心，r为00的半径二OP2-r2

茏麓》变式训练

1.（2024•福建龙岩•二模）如图，已知4B是O。的直径，点。是圆上一点，过点。作。。的切线交B4延

长线于点C,连接AD,DC.

,2

(2)已知4。=3,sinzB=求4C的长.

2.(2023•河南商丘•一模)阅读下列材料，完成相应任务：

弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家.第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘累，带

来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父”.他还发现从圆外一点引圆的切线和割线，

切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项(切割线定理).

如图1,P是。。外一点，PC是。。的切线，P4是。。的一条割线，与。。的另一个交点为瓦则PC?

=PA-PB.

证明：如图2,连接4C、BC,过点C作。。的直径CD,连接4D.

；PC是。。的切线，.tPCICD,

：.^PCD=90°,即NPCB+N8CD=90°.

任务:

D

图1D图2

图3

(1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分.

(2)如图3,P4与。。相切于点4连接P。并延长与O。交于点8、C,乙P=^BAD,BC=8,AP=3BP,

连接CD.

①CD与4P的位置关系是____.

②求BD的长.

3.（2023,河南周口•二模）阅读与思考

学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务.

割线定理

如图，N是。。外一点，过点/作直线4C,4E分别交。。于点2,C,D,E,则有

AB-AC=AD-AE.

■:乙BCD=KBED（依据：①）,4CAD=4EAB,

：.AACD〜△AEB.

义②•

：.AB-ACAD-AE.

任务：

⑴上述阅读材料中①处应填的内容是,②处应填的内容是.

⑵兴趣小组的同学们继续思考，当直线/£与圆相切时，是否仍有类似的结论.请将下列已知、求证补充完

整，并给出证明.

己知：如图，/是。。外一点，过点/的直线交。。于点2,C,.

求证：AE2=

题型七：圆与全等/相似三角形的综合

1.（2023•浙江台州•中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直

线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，力B是。。的直径，直线2是。。的切线，B为切点.P,Q是圆上两

点（不与点4重合，且在直径力B的同侧），分别作射线2P,4Q交直线I于点C,点。.

AAA

⑴如图1,当AB=6,BP的长为11时，求BC的长.

⑵如图2,当器=1丽=而时，求筹的值.

/\DCU

⑶如图3,当sin/B4Q=半，8C=CD时，连接AP,PQ,直接写出券的值.

2.（2022•河北・中考真题）如图，四边形N8CD中，AD\\BC,ZABC=90a,ZC=30°,AD=3,AB=2

遮，DHLBC千点、H.将△PQW与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点尸与/重合，点3在上,

其中/Q=90。，ZQPM=30°,PM=4V3.

⑴求证：丛PQM沿丛CHD；

⑵△尸。河从图1的位置出发，先沿着8c方向向右平移（图2）,当点P到达点。后立刻绕点。逆时针旋

转（图3）,当边尸M旋转50。时停止.

①边P0从平移开始，到绕点。旋转结束，求边尸。扫过的面积；

②如图2,点、K在BHk,且BK=9—4g.若△尸。M右移的速度为每秒1个单位长，绕点。旋转的速度

为每秒5。，求点K在△尸区域（含边界）内的时长；

③如图3.在△尸旋转过程中，设尸。，PAf分别交2c于点E,F,若BE=d,直接写出C尸的长（用含

d的式子表示）.

茏龙》掷黄揖号.

全等三角形的判定：

1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；

2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；

3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；

4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或

“AAS”）；

5.对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”

或或L"）.

判定两个三角形全等的思路：

判

定

两

个

三

角

形

全

等

的

思

路

相似三角形的判定方法：

1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.

2）两个三角形相似的判定定理：

①三边成比例的两个三角形相似；

②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；

③两角分别相等的两个三角形相似.

④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.

判定两个三角形相似需要根据条件选择方法.有时条件不具备，需从以下几个方面探求：

1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；

2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；

3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例;

4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例.

茏塞》变式训练

1.（2023,浙江宁波•模拟预测）如图①，是O。的半径，点尸是上一动点，过尸作弦弦4C,

（2）当。4IICD时，求证：AC=BC.

⑶如图②，在（2）的条件下，连结。C.

①若△4BC的面积为12,cos乙4DB=g,求△4PD的面积.

②当尸是。4的中点时，求黑的值.

2.（2023•浙江温州•模拟预测）如图，在△4BC中，28=40=5,BC=6,4尸为482。的外角平分线，过

点4C及线段48上一点E作圆0,交射线4F于点。.

（2）试判断器是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.

DC,

⑶作点4关于CD的对称点4,当点4落在△2DE任一边所在直线上时，求所有满足条件的BE长.

题型八：圆与四边形综合

龙麓»大题典例

1.(2023,广东•中考真题)综合探究

如图1,在矩形4BCD中(AB>2。)，对角线AC,BD相交于点。，点2关于8。的对称点为4,连接44'交BD

于点E,连接C4.

图1图2图3

(1)求证：AA：1CA'；

(2)以点。为圆心，OE为半径作圆.

①如图2,。。与CD相切，求证：AA'=V3CA'；

②如图3,。。与CA相切，AD=1,求。。的面积.

2.(2022・上海•中考真题)平行四边形ABCD,若P为BC中点，AP交BD于点、E,连接CE.

(1)若4E=CE,

①证明4BCD为菱形；

②若力B=5,AE=3,求BD的长.

(2)以4为圆心，4E为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F,且。石=岳民若F在直线CE

上，求器的值.

DC

茏物要其训等

1.(23-24九年级上•江苏淮安•期中)在矩形4BCD中，已知BC=6,连接BD,ZCBD=30°,点。是边BC

上的一动点，。。的半径为定值几

⑴如下图，当。。经过点C时，恰好与8D相切，求。。的半径片

AD

⑵如下图，点加•是。。上的一动点，求三角形ADM面积的最大值:

⑶若。。从8出发，沿方向以每秒一个单位长度向C点运动，同时，动点E,尸分别从点，，点C出

发，其中点E沿着4D方向向点。运动，速度为每秒1个单位长度，点尸沿着射线CB方向运动，速度为每

秒2个单位长度，连接EF,如下图所示，当。。平移至点C（圆心。与点C重合）时停止运动，点£,F

也随之停止运动.设运动时间为/（秒）.在运动过程中，是否存在某一时间K使。。与EF相切，若存在,

请求出此时/的值；若不存在，请说明理由.

2.（2023,重庆大渡口•三模）如图，在正方形ABCD中，点尸为CB延长线上一点，连接2P.

⑴如图1,连接PD,若NPDC=60。，AD=4,求tan乙4PB的值;

⑵如图2,点/在DC上，连接4F.作乙4PB的平分线PE交4产于点E,连接DE、CE,若乙4PB=60。，且DE

平分"DF.求证：PA+PC=^PE；

⑶如图3,在（2）的条件下，点。为AP的中点，点〃为平面内一动点，且2Q=MQ,连接PM,以PM为

边长作等边若BP=2,直接写出的最小值.

|必卜刷H大H题）

茏涵好!模拟.

1.（2023•浙江宁波•一模）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容.先观察下

图，直线加阴，点/,3在直线办上，点G，C2,C3,G在直线乙上.AABC],AABC2,/\ABC},/\ABC4

这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。

【基础巩固】如图1,正方形A8CD内接于O0,直径MNIIAD,求阴影面积与圆面积的比值;

【尝试应用】如图2,在半径为5的。。中，BD=CD,乙ACO=24BDO,cos乙BOC=x,用含x的代数式表

不S44BC；

【拓展提高】如图3,48是。。的直径，点尸是。B上一点，过点P作弦CD148于点P,点尸是。。上的

点，且满足CF=CB,连接8F交CD于点E,若BF=8EP,SACEF=10V2,求O。的半径.

图3

2.（2023・陕西西安•模拟预测）在口4BCD中，4B14C,点E在边力。上，连接BE.

（1）如图1,4C交BE于点G,GH1AE,若BE平分N4BC,且NZMC=30。，CG=4,请求出四边形EGCD的面

积；

（2）如图2,点厂在对角线AC上，且4F=4B,连接BF,过点尸作1BE于点〃，连接2”,求证：HF+V2

AH=BH；

（3）如图3,线段PQ在线段BE上运动，点R在8C上，连接CQ,PR.若BE平分N&BC,ND4c=30。，AB=

V3,AC=BE=2PQ=3,BC=4BR.求线段CQ+PQ+PR的和的最小值.

3.（2024•福建龙岩•二模）已知△48C,NB4C=90。，AB=AC=642.

探究一：如图（1）,点。在BC上（点。不与点3,C重合），且BD=x.

①连接2。，当％=4时，AD=.

②在①的条件下，若以点A为旋转中心把线段逆时针旋转a（0。<a<360。），旋转后点B的对应点为点

B',连接DB，，设DB，为最大值为a,的最小值为b,贝必•6=.

③如图（2）,若把线段4。绕点N逆时针旋转90。得线段AE,连接DE交4C于点尸，求CF的最大值.

探究二：建立如图（3）所示的平面直角坐标系，把线段A8绕点/逆时针旋转45。得线段2M,再把线段4M

逆时针旋转90。得线段AN,MN交BC于点、P,NC与BM的延长线交于点0,请判断射线AP是否经过点Q.

4.（2024•湖南邵阳•一模）如图，以边△4BC的边4B为直径作圆。，交BC于。，E在弧BD上，连接4E、

ED、DA,J^Z-DAC=/-AED.

⑴求证：4C为。。切线；

（2）求证：AC2=CD-BC-,

⑶若点£是弧BD的中点，AE与BC交于点尸，当BD=5,CD=4时，求DF的长.

5.（2024・陕西西安・二模）图形旋转是解决几何问题的一种重要方法.如图1,正方形4BCD中，E、F分别

在边4B、8c上，且NEDF=45。，连接EF,试探究ZE、CF、EF之间的数量关系.解决这个问题可将△4DE

绕点。逆时针旋转90。到△CDH的位置（易得出点H