2025年中考数学技巧专项突破：最值模型之阿氏圆与胡不归（解析版）

专题2-5最值模型之阿氏圆与胡不归

知识点梳理

模块一胡不归模型

【题型1】胡不归模型•已有相关角直接作垂线

【题型2】胡不归模型♦构造相关角再作垂线

【题型3】胡不归模型•取最值时对其它量进行计算

模块二阿氏圆模型

【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1）

【题型5】点在圆内：向外取点（系数大于1）

【题型6】一内一外提系数

【题型7】隐圆型阿氏圆

满分•技巧/

知识点梳理

一、胡不归模型讲解

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为匕，在直线MN上运动的速度为力,且匕＜%,4、B为

.…ACBC

定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使厂+1的值最小.

,2八

CHUC

ACBC_1BC+^-AC\,记k=

即求BC+fc4c的最小值.

匕J“2

构造射线使得sinND4N=k,CH/AC=k,CH=kAC.

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH-LAD交MN于点C,交AD于H点，此时BC+CH取

到最小值，即BC+fa4c最小.

二、阿氏圆模型讲解

【模型来源】

所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯

圆，简称为阿圆.其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最

值，难点在于如何构造母子相似.

【模型建立】

2

如图1所示，。。的半径为R,点4、B都在。。外，P为。。上一动点，已知R=^OB,

2

连接PA、PB,则当“勿+《。夕’的值最小时，P点的位置如何确定？

22

解决办法：如图2,在线段0B上截取0C使OC=1R,则可说明ABP。与APC。相似，则有

2

=PC。故本题求“24+]PB”的最小值可以转化为“勿+P。'的最小值，其中与4与C为定点，P为动

点，故当4、P、C三点共线时，“PA+PO'值最小。

核心•题型/

模块一胡不归模型

【题型a胡不归模型•已有相关角直接作垂线

2023•西安•二模

1.如图，在菱形N8CD中，N4BC=60。,4D=6,对角线/C、8。相交于点。，点E在线段/C

上，且4E=2,点尸为线段3。上的一个动点，则EF+/BF的最小值为.

【答案】26

【分析】过户作FM_L8C,由菱形ABCD,NABC=60°,得到BD为NABC平分线，求出ZFBM=30°,

在RtAFBM中，利用30。角所对的直角边等于斜边的一半，得到尸Af=g尸，故E尸+尸=+

求出EF+FAf的最小值即为所求最小值，当E、尸、M三点共线时最小，求出即可.

【详解】解：过F作FM1BC,

■■■菱形ABCD,ZABC=60°,

ZFBM=^ZABC=30°,AB=BC,即为等边三角形，//CM=60°,

在RLFBM中，FM=-BF,

2

:.EF+-BF=EF+FM,

2

...当£、F、M三点共线时，取得最小值，

,/AE=2,AC=AB=BC=6,

/.EC=AC-AE=6-2=4f

在Rt^ECA/中，EM=EC・sin60°=4x1=2百，

2

则斯+/的最小值为2百.

故答案为：26.

2023•保定•一模

2.如图，在矩形4BCD中，对角线NGBD交于点O,N8=O2=3,点〃在线段NC上，且

=2.点尸为线段05上的一个动点.

(1)ZOBC=°；

(2)+；尸3的最小值为.

【答案】302

【分析】(1)由矩形的性质得到。4=O8=OC=OD,ZABC=90°,又由=08得到AO48是等边

三角形，则//8。=60°,即可得到答案；

(2)过点P作尸E_L3C于点£,过点A/作MF_L8C于点£证明+=MP+PE2披，进

一求解即可得到答案.

【详解】解：(1)•.•四边形48co是矩形，

OA=OB=OC=OD,ZABC=90°,

:AB=OB,

/.AB=OB—OA,

・・・△CM3是等边三角形，

：.ZABO=60°,

：.ZOBC=ZABC-AABO=90°-60°=30°,

故答案为：30.

(2)过点夕作P£_L5C于点瓦过点M作“F_LBC于点尸，

BEFC

在RtABPE中，

由（1）知：NPBE=30。，

：.PE=-PB,

2

：.MP+-PB=MP+PE>MF,

2

在矩形/BCD中，

AC=2OA=2OB=6,

•：AM=2,

CM=AC—AM=6—2=4,

在RtZkCW中，ZMCF=ZOBC=30°f

：.MF=-CM=2,

2

：.MP+^PB的最小值为2

2023•湘西•中考真题

3.如图，。。是等边三角形/3C的外接圆，其半径为4.过点8作班，ZC于点£,点尸为线段BE

上一动点（点尸不与8,E重合），贝工尸+33的最小值为----------

【分析】过点P作尸。_LZ8,连接CO并延长交于点尸，连接/。，根据等边三角形的性质和圆

内接三角形的性质得到。4=08=4,CF1AB,然后利用含30。角直角三角形的性质得到

OE=^OA=2,进而求出AEuBO+EOuG,然后利用CP+：3P=CP+POWC尸代入求解即可.

【详解】如图所示，过点P作尸。_L/B,连接CO并延长交于点忆连接力。

A

•・•力3C是等边三角形，BEVAC

：./ABE=/CBE=-ZABC=3CP

2

・・・。。是等边三角形力5C的外接圆，其半径为4

OA=OB=4fCF1AB,

：.NOBA=NOAB=30。

：.NOAE=NOAB=-ABAC=30c

2

•：BELAC

：.OE=-OA=2

2

BE=BO+EO=6

PDLAB,AABE=30°

PD^-PB

2

CP+-BP=CP+PD<CF

2

...CP+工AP的最小值为CF的长度

2

：。是等边三角形，BELAC,CF1AB

:.CF=BE=6

：.CP+’AP的最小值为6

2

4.如图，AB=AC,^(0，V15),C(1,0),。为射线/。上一点，一动点P从/出发，运动路径

为4-D-C,在4D上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间

最少时，。的坐标为

【答案】0,

【分析】如图，作DHLAB于H,CM_L48于M,交/。于。.运动时间/二任+里二任+仪），

414

由LAHDs^AOB,推出可得上4D+CD=CD+DH,推出当C,D,”共线且和CM

44

重合时，运动时间最短.

【详解】如图，作DH_LAB于H,交/。于。上

ADCD=Q+CD

*/运动时间t=---+---

414

VAB=AC,AOIBC,

BO=OC=\9

V^(0,V15),C(1,0),AB=AC,AOIBC,

••AB=AC=SH+OB2=J15+1=4,

♦:/DAH=/BAO,ZDHA=ZAOB=90°f

：.AAHDS^AOB,

・AD_PH

,•下一奇,

：.DH=-AD,

4

：.-AD+CD=CD+DH,

4

・••当C,D,“共线且和CM重合时，运动时间最短,

:.-BCAO=-ABCM,

22

.“V15

..CM=-----,

2

，AM=4AC1-CM7

2

VAD1=AMD1,设MD'=m,则40'=4加，

49

则有：16m2-m2=——

4

,m*或一巫（舍去），

3030

15

：.D

2023•江苏宿迁中考模拟

5.如图，二次函数了=62+2"-3a与x轴交于点/,B,对称轴为直线/,顶点C到x轴的距离为

2vL点尸为直线/上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿C尸运动到点

P,再以每秒1个单位长度的速度沿R4运动到点/停止，则时间最短为秒.

【分析】如图，连接NC,BC,作4D/3C于点。，与EC交点即为符合题意的点P,可得

CP

==利用30。角所对的直角边等于斜边的一半得到动点运动的时间为；-+/尸解题即可.

【详解】如图，连接作AD，BC于点、D,40与EC交点即为符合题意的点尸，

令歹=。，则ax2+2ax-3a=0,

解得x=-3或x=1,

：.Af8两点坐标为(—3,0),(1,0),

AB=4,

,：A,5两点关于/对称，

，AE=BE=2,

•顶点C到x轴的距离为2』,

AC=BC=dEA?+EC?=4

AB=AC=BC,

；/D,CE都是ABC的高，

AD=CE=2-5,

CP

由题意得动点运动的时间为《-+AP,

；AABC是等边三角形，CE1AB,

：.ZPCD=-ZACB=30°,

2

:作PD_LCD,

：.PD=-CP,

2

^CP+AP=PD+AP=2y[i,

显然在/上另取一点P,连接尸‘4P'D,

"：P'A+P'D>AD,

...当P/+PD=4D时，运动时间最短为26,

故答案为：2VL

2023•四川自贡•统考中考真题

6.如图，直线了=-；x+2与x轴，y轴分别交于/,2两点，点。是线段N8上一动点，点8是直

线y=-gx+2上的一动点，动点E（m,0）,F（m+3X））,连接BE,DF,HD.当5E+OF取最小

值时，38/7+5DH的最小值是.

【答案】y

【分析】作出点C(3,-2),作CD_L/8于点D,交x轴于点F,此时尸的最小值为的长,

利用解直角三角形求得尸］?,利用待定系数法求得直线CD的解析式，联立即可求得点D的坐

标，过点D作。G_Ly轴于点G,此时3BZ/+5DH的最小值是5OG的长，据此求解即可.

【详解】解：•.,直线y=-gx+2与x轴，y轴分别交于A,B两点，

.•.8(0,2),4(6,0),

作点B关于x轴的对称点5'(0,-2),把点8'向右平移3个单位得到C(3,-2),

作CD_L4B于点D,交x轴于点F,过点8'作B'E〃C。交x轴于点E,则四边形EFCB'是平行四边

形，

此时，BE=B'E=CF,

：.BE+DF^CF+DF=CD有最小值，

作CP_Lx轴于点P,

；・NFCP=/FAD,

tanZFCP=tanZFAD,

PFOB°PF2

..-,即——

PCOA26

2

:.PF=1,则尸

设直线CD的解析式为y=b+b,

3k+b=—2

k=3

则，11入八，解得

——左7+6=06=—11'

13

直线C。的解析式为了=3x-ll,

39

y=3x-\\x二一

7,即。

联立，，1解得＜黯;

y=——x+2

3

过点D作DGLy轴于点G,

直线y=-gx+2与X轴的交点为则80=切疗+好=|.,

3

sinNOB。=—=4=-,/.HG=BHsinNGBH=。BH,

BQI5,5

2

3BH+SDH=5^|BH+DH^=[〃G+O均=5DG,

即38〃+5。〃的最小值是5DG=5x记=了

2023•成都市七中校考

7.如图，在矩形褴。0中，AB=4,AD=8,点、E,尸分别在边ZD,8c上，且NE=3,沿直线

E尸翻折，点A的对应点H恰好落在对角线/C上，点3的对应点为"，点M为线段04,上一

动点，则EM+—A'M的最小值为.

5

【分析】过点M作肱V1,HE于点N,作点E关于/C的对称点G,连接MG.由勾股定理求出4D

的长，根据锐角三角函数的知识可得=从而可得当G,M,N三点共线时GM+AGV取

5

得最小值，即以/+且/'初取得最小值，然后利用锐角三角函数和勾股定理可求出GN的长.

5

【详解】解：如图，过点M作MN_L/'E于点N,作点E关于NC的对称点G,连接MG,则EM=MG.

由折叠的性质可知，EF1AC,AE=A'E,AAEF=ZA'EF,

:./DAC=NAA'E.•.•四边形"CD是矩形，CD=AB=4,ND=90°.

AD=^AD2+CD2=4A/5•

....„CDy/5..,V5MN.A/5,

•sin/Z/rX,4c-----——t••sin^-AAE———------,••]\dN=—A,

AC55AM5

：.EM+—A'M=GM+MN,

5

・••当G,M,N三点共线时GM+MN取得最小值，即取得最小值,

5

VZDAC+ZAEF=90°f/EGN+ZA'EF=90。，：,NEGN=/DAC,

•••sinZEGN=sinZDAC=——=-----

5GE

VsinZDAC=—=—,4E=3,：.OE=—,：.GE=^-,56也，--EN=-,

AE555-5

5

仁12

即瓦以+二目屈取得最小值是一.

55

【题型2】胡不归模型•构造相关角再作垂线

8.如图，在长方形48co中，AB=2,AD=2道,点£在3c上，连接DE,在点E的运动过程中,

BE+42DE的最小值为.

【答案】2+2百/2月+2

【分析】在线段BC下方作/CBM=45°,过点E作所于点尸，连接DF,求出此时的DF的

长度便可.

【详解】解：•..四边形48co是矩形，48=2,/。=2百，

NDCE=90°,CD=AB=2,BC=AD=2退，

BE=2y5-CE,

在线段3c下方作/CBM=45°,过点E作斯于点尸，连接。尸，

EF=—BE

2

：.-BE+DE=EF+DE>DF,

2

当。、E、b三点共线时，JBE+DE=EF+DE=DF的4邕最，1、,

2

此时ZDEC=ZBEF=45°,

:,CE=CD=2,

:・BE=26-2,DE=yJ*+*=2行,

••EF=---BE=-\/6—5/2,

2

•••2-BE+OE的最小值为：EF+DE=C+&,

2

的最小值为~BE+DE=2+2-\/3

2023•广西二模

9.如图所示，在“中，乙4=30。，M为线段43上一定点，尸为线段ZC上一动点.当点尸在

运动的过程中，满足9+工/尸的值最小时，则N4PM=

2

【答案】120°

【详解】解：作/CAF=/CAB,过M作必）_L力产交/C于一点即为点尸,

ZCAB=30°f

・•・/CAF=/CAB=30。,

：.DP=-AP,

2

.,.当儿〃)_L4F时尸M+』4P的值最小，

2

.•.在△/年中，ZAPM=90°+30°=120°,

故答案为120°;

10.如图，ZACB=90°,AC=2,AB=4,点P为48上一点，连接尸C,则尸C的最小值

2

为_J_

【答案】3

【解答】解：作N4BE=30。，过点C作CD_L8E于点。，

则此时尸C+gpB最小，

ZACB=90°,AC=2,AB=4,

Ar21______

sinZCBA=-=-=-,Bd?=2。

ZCBA=30°,

:.DP=-PB,

2

/CBE=60°,

DCCDV3

sin60°=—

BC2G2

解得：DC=3,

:.PC+-PB=DC=3.

2

故答案为：3.

11.如图，4c是圆。的直径，/C=4,弧A4=120。，点。是弦上的一个动点，那么OD+’B。

2

的最小值为（）

,6

A.——B.V3c.tD.1+V3

2

【答案】B

【解答】解::防的度数为120。，AZC=60°,•.•4C是直径，ZABC=90°,

/A=30°,作3K//C/,DE工BK于E,。/_L3K于连接。8.

ZDBE=ABAC=30°,在RtADBE中，DE=^BD,

-：BK!/AC,

根据垂线段最短可知，当点£与“重合时，+的值最小，最小值为。”，

■：ZBAO=NABO=30°,

ZOBM=60°,

在RtAOBM中,

■：OB=2,AOBM=60°,

:.OM=OB-sm60°=y5>

.1+的最小值为6，故选：B.

12.如图，在A45C中，乙4=15。，42=10,尸为4。边上的一个动点（不与4、。重合），连接5尸,

则+必的最小值是（）

C1°百

A.5A/2B.573D.8

,3

【答案】B

【解答】解：如图,以AP为斜边在/C下方作等腰RtAADP,过3作8£_L4D于E,

ZPAD=45°,

:“AD工旦,

AP2

:.DP=—AP,

2

—AP+PB=DP+PB^BE,

2

ABAC=\50,

ABAD=60°,

r.BE=ABsin60。=56，

J/P+P3的最小值为5人.故选：B.

2

13.如图，在放△NBC中，ZACB=9Q°,NB=30°,A8=4,点。、/分别是边3C上的动点,

连接CD,过点A作AELCD交BC于点E,垂足为G,连接GF,则GF+^FB的最小值是.

【分析】由3阳联想到给尸3构造含30。角的直角三角形，故把RtAABC补成等边N4BP,过厂作

BP的垂线FH,GF+^FB=GF+FH,易得当G、足〃成一直线时，GF+^FB又由于点G为

动点，易证点G在以NC为直径的圆上，求点G到PB的最短距离即当点G在点O到BP的垂线段

上时，G。的长度.

【详解】延长NC到点尸，使CP=4C,连接BP,这点、F作FHLBP于点、H,取NC中点。，连接

OG,过点O作OQLBP于点Q,

V^ACB=90°,N/8C=30。，AB=4

:.AC=CP=2,BP=AB=4

：.△ZAP是等边三角形

NFBH=30。

：.RtAFHB中,FH=gFB

.•.当G、F、X在同一直线上时，

GF+-FB=GF+取得最小值

2

"JAE-LCD于点G

：.N/GC=90°

VO为/c中点

：.OA=OC=OG=-AC

2

：.A.C、G三点共圆，圆心为O,即点G在。。上运动,

当点G运动到O。上时，GH取得最小值

■:R3OPQ中，NP=60°,。尸=3,sinNP=9=也

OP2

AOQ=—OP=—...GX最小值为述-1

222

14.如图，在RtA48C中，ZACB=90。，AC=4,BC=3,点。是斜边上的动点，则CD+在AD

2

的最小值为

AC

D

【答案】g1

5

［分析］根据两点之间线段最短画出图形，再根据锐角三角函数及相似三角形判定可知ABCESABAC,

最后利用相似三角形的性质及直角三角形的性质即可解答.

【详解】解：过点A做/34/=45。，过点。作04,■于过点。作CEJ.4B于点E,

，DH=AD-sinADAH=AD-sin45°=—AD,

2

/.CD+—AD=CD+DH,

2

•.•两点之间线段最短，

.•.当C、〃共线时，CD+D”的值最小，

即CD+OH的最小值为CH,

【法一：正切和角公式】详情见本专辑1-3”12345模型

1+3_

tanZCAH=—*=7,故△AHC的三边之比为1・7。5后，则答案为

1--5

4

【法二：常规法】

VZACB=90°,AC=4,BC=3,

JAB=NAC、BC?=5,

■:CE1AB,

：./CEB=ZACB=90。,

・・•NB=NB,

：・ABCES八BAC,

,CEBE_BC

••获一疏—商一《，

31239

：.CE=-x4=—,BE=_x3=_,

5555

VZCDE=ZADH=45°,：.DE=CE=-

59

_1?/?1?94

:.CD=®CE=^^,AD=AB-DE-BE=5---------=-,

5555

.41ATyV242>/2.「口「八八〃12722V214723及安打14友

22555555

【题型3］胡不归模型•取最值时对其它量进行计算

2023东深圳•统考三模

15.如图，在A/CE中，CA=CE,ZCAE=30°,。。经过点C,且圆的直径N5在线段NE上.

r

（2）若A/CE中/E边上的高为力，试用含〃的代数式表示。。的直径42；

（3）设点。是线段NC上任意一点（不含端点），连接。D,当的最小值为6时，求0。

的直径N3的长.

【答案】（1）证明见试题解析；（2）AB=^h;（3）8G.

3

【详解】解：（1）连接OC,如图1,VCA=CE,ZCAE=30°,

：.NE=NCAE=30°,NCOE=1N/=60°,

，ZOCE=90°,

:.CE建©O的切线；

（2）过点C作CH-LAB于H,连接OC,

如图2,由题可得C77=〃，在必△O/fC中，CH=OCsin^COH,

Ji2h2J3

h=OC・sin60°=——OC,OC=—j==------h,

2V33

4J3

：.AB=2OC=-^-h;

3

（3）作。尸平分N/OC,交。。于尸，连接/人CF、DF,

如图3,则N/OF=NCO尸N/OC=g（180°-60°）=60°,

'：OA=OF=OC,:.△AOF、ACO厂是等边三角形，

AF=AO=OC=FC,，四边形/OCb是菱形，

...根据对称性可得。/=。。，过点。作。HJ-OC于&VOA=OC,：.ZOCA=ZOAC=30°,

：.DH=DCsinZDCH=DC'sM00=^DC,

：.1CD+OD=DH+FD.

根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点、共线时，DH+FD（即1CD+OD）最小，此时FH=OFsin

ZFOH=—OF=6,贝I。尸=4坏，AB=2OF=SS5,

2

...当。CD+OD的最小值为6时，。。的直径的长为8百.

图3

16.如图，矩形的对角线/C,取）相交于点。，AC。。关于CD的对称图形为ACE0.

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）连接AE,若AB=6cm,BC=y/icm.

①求sin/E4D的值；

②若点P为线段/E上一动点（不与点/重合），连接。尸，一动点。从点。出发，以1c加/s的速度

沿线段。尸匀速运动到点尸，再以1.5cm/s的速度沿线段尸区匀速运动到点A,到达点A后停止运动,

当点。沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间.

AB

【解答】(1)证明：•・•四边形Z5C。是矩形.

/.OD=OB=OC=OA,

•「\EDC和AODC关于对称，

/.DE=DO9CE=CO,

DE=EC=CO=OD,

:.四边形CODE是菱形.

(2)①设AE交CD于K.

•・♦四边形CODE是菱形，

/.DE//AC,DE=OC=OA,

DKDE_1

,正一就一2

AB=CD=6,

DK=2,CK=4,

在RtAADK中，AK=>jAD2+DK2=J(V5)2+22=3,

sinZDAE=-2

AK3

2

②作尸产，4D于尸.易知尸尸二4尸位由/以月二孑人尸，

r)pAp2

=——+-=OP+-AP=OP+PF

•・•点。的运动时间133

2

.•・当。、P、b共线时，OP+P/的值最小，此时。尸是。CD的中位线,

:.OF=-CD=3.AF=-AD=—,PF=-DK=\,

2222

3

当点。沿上述路线运动到点/所需要的时间最短时，4P的长为点。走完全程所需的时间

为3s.

17.抛物线了=-/+云+。与x轴交于/、B两点，与y轴交于点C,且3(-1,0),C(0,3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿。方向平移，使点。落在点。处，且。。=2CD,

点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，轴交直线于点N,连结CN.当

好。W+CN的值最小时，求血W的长.

5

【解答】解：⑴:歹二一丁+6x+c经过8(-1,0),C(0,3),

fc=3[b=2

J,,八，解得〈c,，抛物线的解析式为y=-无2+2x+3.

[-l-o+c=0[c=3

(2)如图，连接过点N作于J,过点C作CT_L/。于7.

•.•抛物线了=-/+2尤+3=-(x-iy+4,顶点。(1,4),VC(0,3),

直线的解析式为夕=x+3,CD=42,

-：DD'=2CD,DD,=2V2,CO=30,，。'(3,6),v^(3,0),

AD'lx^,：.0D=d0#+DA?=庭+6?=36,

:.sinZOD'A=—=—,vCT1AD',CT=3,vNJYAD',

OD'5

NJ=ND'-sinZOD'A=—D'N,：.—D'N+CN=CN+NJ,；CN+NJ0T,

55

:.好D'N+CN#,：.旦D'N+CN的最4、悔为3,此时N为。。'与CT的交点，N(1.5,3),

55

••・平移后抛物线的解析式为了=-(尤-3)2+6,女W平行N轴，将x=1.5代入抛物线解析式，

.-.M(1.5,3.75),：.MN=0.75

模块二阿氏圆模型

【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1）

18.如图，已知正方ABCD的边长为6,圆B的半径为3,点P是圆B上的一个动点，贝巾尸。-工尸C

2

的最大值为.

【答案】—

2

【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3,根据题意要求构造!尸。，在BC上取M使得此时

PM=-,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，PC,从而将问题转化为求PD-PM的最大值.连接

22

PD,对于APDM,PD-PM<DM,故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值”.

19.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,圆。的半径为2,点尸为圆上一动点,

连接/P,BP.

AP+-BP；©2AP+BP；©-AP+BP；④月产+38尸的最/J、值.

23

【解答】解：①取CE的中点D,连结PD,AD,

PDCD11

•••NPCD=NBCP,NPCDsNBCP,：.—=——=一，:.PD=—PB,

PBCP22

AP+^PB=AP+PD,当P在上时，NP+PD最小，

最小值为/尸的长，AF=AC2+CF2=V37,+的最小值为67,

②•;2AP+BP=2QP+；BP),r.24P+AP的最小值为2厉，

_12

③在。。取一点G,ftCG——DC——

33

2

CGCP

vCG__1CP_2

PC~7~3,7C~6PC

GpCG1]

•;NACP=NPCG,:.NCGPs'CPA,——=——=-,/.GP=-AP,

APPC33

:.；AP+BF=GP+BP#G,当P在3G上B,GP+BP=BG,

22

BG=^BC+CG=磬=等，\AP+BP的最小值为客,

VVJ。J

④AP+3BP=^AP+BP),:.4P+3B尸的最小值为2历.

20.如图，48为。。的直径，N8=2,点C与点。在48的同侧，且BCLAB,/。=1,

8c=3,点P是OO上的一动点，则YZpo+PC的最小值为.

2

【答案】画

2

【分析】连接OD,先利用勾股定理求得。。=也，ZAOD=45°,在0。上截取O/=Y-,过/作

2

135V34

IHLAB于H,/6,8。于3,求得BG=IH=m，IG=BH=~,CG=~,进而求得C/=

2

BF)

证明APO/SADOP求得P/=JPD,利用两点之间线段最短得到注尸。+尸。二尸/+尸。2/。，当

22

C、P、/共线时取等号，即可求解.

【详解】解：连接O。，・・・/5为OO的直径，AB=2,

OA=OB=1,1•在Rt^AOD中，OA—AD=1,

•*-OD=yjAD^OA2=41,ZAOD=45°,

在。。上截取O/=注，过I作出上AB于H,IGLBC于G,连接ZP、IC,

2

Bi

・・・四边形〃汨G是矩形，IH=OH=—OI=-

22f

13

:・BG=IH=—，IG=BH=OH+OB=-

22

CG=BC-BG=3--=-

22f

V34

在RMC/G中，CI=y/lG2+CG2=35

・：2L=QL=旦,/p。。是公共角，

OPOD2

・・・APOIS^DOP,

•••旦=空=包,则叫qPD,

PDOD22

B

:.—PD+PC=PI+PC>IC当C、P、/共线时取等号,

29

故受尸。+尸。的最小值为。/=在工，

22

故答案为：X.

2

21.如图，正方形ABCD边长为2也,内切圆。上一动点尸，连接4尸、。尸，贝I」4尸十曲”的最小值

2

为

【答案】

作EO=；DO=1

△OEP-AOPD

WPD=EP

-^PD+AP=EP+AP>AE=V5

22.如图，等边三角形48c边长为43，圆O是△N8C的内切圆，尸是圆。上一动点，连接P3、

PC,则AP+1CP的最小值为

【答案】V2i

易知CO=4,OH=2

，-1

作OD=1OC=1

△ODP-AOPC

1

.-.PD=TPC

。J

BP=-PC=BP+DP>BD=721

23.如图，在平面直角坐标系中，M(6，3),N(10,0),A(5,0),点P为以。/为半径的圆。上一

动点，则P"十』PN的最小值为

2------------------------

(15

作OB=1ON=5

△OPB-AONP

1

,-.PB=-PN

1-麻

PM+TPN>BM=^—

2-2

2023•山东烟台•统考中考真题

24.如图，抛物线y=f-6x+5与x轴交于48两点，与V轴交于点C,4B=4,以点B为圆心，画

半径为2的圆，点尸为。5上一个动点，请求出%+的最小值.

【答案】V41

BFPB

［分析］在AB上取点尸，使AF=1,连接CF,证得——=——，又NPBF=NABP,得至U^PBF^^ABP,

PBAB

推出尸尸=；尸4,进而得到当点C、P、尸三点共线时，PC+^P/的值最小，即为线段CF的长，利

22

用勾股定理求出CF即可.

【详解】如图，在上取点/，使BF=1,连接CF,

PB=2,

BF_1

TB~29

PB_2_1

~AB~4~2

BF_PB

PB一A