2025年中考数学复习之实数（原卷版）

专题02实数

【专题目录】

技巧1:实数大小比较的七种技巧

技巧2：实数与数轴的关系

技巧3：非负数应用的常见题型

【题型】一、求算术平方根【题型】二、求平方根

【题型】三、求立方根【题型】四、实数与数轴

【题型】五、实数比较大小

【题型】六、无理数的估值

【题型】七、非负数性质的应用

【题型】八、实数的运算

【考纲要求】

1、知道实数与数轴上的点一一对应.

2、了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.

3、熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小.

【考点总结】一、实数的分类

有理数整数

实分数

按定义分

数无理数正无理数

的负无理数

分正实数

类按正负分0

负实数

【考点总结】二、平方根、算术平方根、立方根

无理数无限不循环的小数叫做无理数

①如果一个数的平方等于°,那么这个数叫做。的平方根，记作土

实平方根

②性质：正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0；负数没有平方根.

数

①如果一个正数的平方等于4,即7=4,那么这个数％叫做〃的算术平方根，

的

记作4a.

相算术平方根

关②非负性：>0),=同

概

①如果一个数的立方等于那么这个数就叫做a的立方根，记作后.

念

立方根②性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根.

(3)Vfl3=a\[--a--\[a

零指数，负=l(aw0).a~n——(aw0)

'an

指数幕

1.常见的三种非负数：|a|>0,a2>0,7壮0(壮0).

2.非负数的性质：

非负数①非负数有最小值是零；

②任意几个非负数的和仍为非负数；

③几个非负数的和为0,则每个非负数都等于0.

【考点总结】三、实数的运算

同号两数相加，取原来的符号。并把它们的绝对值相加。

加法

异号两数相加，取绝对储较大的加数的符号,并用较大数的绝对值减失较小数的绝对值。

实

减法减去一个效等于加上这个数的相反数

数

两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘

的

几个非零实数相乘。积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当

运乘法

负因数有奇数个时，积为负

算

〃个数相乘，有一个因数为0,积为0.

除法两数相除，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相除

0除以任何一个不等于0的数都得0

几个相同因数的积的运算，叫做乘方，记作0"(存0,〃为正整数)开方与乘方互为逆运

乘方

算

分级：加减是一级运算。除是二级运算，乘方和开方是三级运算，三级运算的题序是三

运算顺序二一、(如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行

运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算)

【考点总结】五、实数的大小比较

1.在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.

2.正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小.

3.取差比较法

(1)Q—6>0U>Q>b；(2)a—b=0^^a=b；(3)Q-6Vo㈡>。<瓦

4.倒数比较法

若。>0,6>0,则a<B.

ab

5.平方法：因为由。>6>0,可得族,协，所以我们可以把，与g的大小问题转化成比较。和6的大小问

题.

【注意】

1.比较实数大小的五种方法

(1)绝对值比较法：两个负数比较大小，绝大值大的反而小

(2)数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大

(3)平方比较法：先将要平方的两个数分别平方，再根据Q>0力>0时，可由次得到。金来比较大小。

(4)取近以值法：首先对要比较的两个数取近以值通过比较其近似值来比较两个数的大小，

(5)差值比较法

2.无理数常见的四种类型

(1)开不尽的数，如J5,V6

JI

(2)含有兀的绝大部分数，如71,—

(3)具有特定结构的数，如0.10100000(两个1之间依次增加1个0)

(4)三角函数数中的一些数，如sin60°,cos20°,tan60°.

【技巧归纳】

技巧1:实数大小比较的七种技巧

【类型】一、比较绝对值法

1.比较一砧一2.与一曲一2的大小.

【类型】二、开方法

2.比较71与近的大小.

2

【类型】三、平方法或立方法

3.比较一旧和一71■的大小.

【类型】四、取近似值法

4.比较弱+2与4.3的大小.

【类型】五、放缩法

5.比较#+2与国一2的大小.

【类型】六、作差法

6.比较且皂和3的大小.

22

【类型】七、特殊值法

7.已知一l<x<0,将xJ,N,朱按从小到大的顺序排列为

X

技巧2：实数与数轴的关系

【类型】一、利用数轴上的点表示实数

1.已知d=3,那么在数轴上X对应的点（如图）可能是（

-3-2*-1,0*1*23»

A.点尸1B.点R

C.点尸2或点尸3D.点尸I或点尸4

2.如图，在数轴上表示标的点可能是（）

PQMN

01234"

A.点尸B.点。C.点〃D.点N

【类型】二、利用数轴比较实数的大小

3.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，把一a,~b,0按照从小到大的顺序排列，正确的是（）

____III»

a0b

A.—a<O<—J）B.0<~a<—b

C.-b<O<—aD.0<—b<—a

4.表示实数a,6的点在数轴上的位置如图所示，贝Ua0,b0,同______一6.（填“>”

或“<”）

___.■।A

ba0

【类型】三、利用实数与数轴的关系进行计算

5.实数a,6在数轴上对应点的位置如图所示，化简：（―b）2—\a—\l3\—\^3—b\+\a-b\.

-2-io12

技巧3：非负数应用的常见题型

【类型】一、绝对值的非负性

1.如果一个数的绝对值为。，那么数。在数轴上（如图）对应的点不可能是（）

A.点MB.点。C.点PD.点N

2.如果|a—2|+以=0,那么a,b的值为（）

A.a=l,b=\B.a=~\,6=3

C.a=2,b=0D.a=0,b=2

【类型】二、偶次方的非负性

3.若（x+3）2=0—2,则a的值可以是（）

A.-1B.0C.1D.2

4.若N+⑶一4）4=0,求M的值.

【类型】三、算术平方根的非负性

一、心中被开方数a>0的应用

5.如果A/1二a=6,那么a的取值范围是（）

A.a>\B.a<\C.a=\D.a<\

6.已知x,歹都是有理数，且y=Nx—3+3—x+8,求x+3y的立方根.

二、齿》0的应用

7.已知x,y是有理数，且[3x+4+[y—3|=0,则xy的值是（）

99

A.4B.-4C.-D.--

44

8.已知■'^P5+42y—4=0,求（x+y）2。18的值.

三、算术平方根的双重非负性的应用

9.当x为何值时，42x+l+6有最小值，最小值为多少？

10.若求4而的值.

【题型讲解】

【题型】一、求算术平方根

例1、若一个正方形的面积是12,则它的边长是()

A.273B.3C.3VID.4

【题型】二、求平方根

例、卜也|

2的平方是（）

A.-V2B.V2C.-2D.2

【题型】三、求立方根

例3、8的相反数的立方根是（)

11

A.2B.一C.-2D.——

22

【题型】四、实数与数轴

例4、实数。、6在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（）

1a1卜1

-2-1012

a八

A.a>bB.。＜力C.a+b>0D.-<0

b

【题型】五、实数比较大小

例5、在下列四个实数中，最小的数是（)

1

A.-2B.一C.0D.V3

3

【题型】六、无理数的估值

例6、估计（2百+3收卜小；的值应在（

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

【题型】七、非负数性质的应用

例7、若实数x,y满足＞2+（3—y）2=0,则代数式xy一9的值为.

【题型】八、实数的运算

例8、计算：（I）4cos30°sin600+（-2）-1(72019-2008)°；

（2）W-|-2+V3tan45°|+/2-1.41)°,

实数（达标训练）

一、单选题

1.（2022•湖南•邵阳县教育科学研究室模拟预测）如图，实数收在数轴上的对应点可能是（）

DCBA

-4-3-2-101234

A.A点、B.B点C.。点D.。点

2.（2022•广东・深圳市宝安第一外国语学校三模）下列实数中，最大的数是（）

「1

A.3B.V3C.--D.攵

3.（2022•陕西师大附中模拟预测）4的算术平方根是（）

A.±2B.±72C.2D.V2

4.（2022•广东北江实验学校三模）下列说法不正确的是（）

A.［的平方根是±（B.（-0.1）2的平方根是±0.1

C.-9是网的算术平方根D.^=27=-3

5.（2022•浙江丽水•一模）与指最接近的整数是（）

A.4B.3C.2D.1

二、填空题

6.（2022•浙江金华•一模）如图所示，数轴上表示1,G的点分别为4,B,且C4=2/3（C在/的左侧）,

则点C所表示的数是.

,C,d尸，.

0~~2

三、解答题

8.（2022•辽宁沈阳•二模）计算：2x（-3）-4+卜7|+[曰.

9.（2022・广东・深圳市南山外国语学校三模）计算：-;+&力^+4+（亚>.

实数（提升测评）

一、单选题

1.（2022・河北唐山•一模）估计病x《+点的值应在（）

A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间

2.（2022•河北•一模）已知y=工工+18,则代数式石的值为（）

A.-V2B.->/3C.72D.V3

3.（2022•山东临沂・二模）实数。力在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（