2025年中考数学复习：圆中证切线、求弧长、求面积、新定义探究问题（8题型）（原卷版）

抢分秘籍10圆中证切线、求弧长、求面积、新定义探究问题

（压轴通关）

目录

【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）

中考预测

圆中证切线、求弧长、求扇形面积问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有

一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看，证明切线是数学的基础，也是高频考点、必考点，圆通常还会和其他几何图形及函

数结合一起考查。

2.从题型角度看，以解答题的第六题或第七题为主，分值8〜10分左右，着实不少！

<I抢分通关

题型一证切线'求面积

典例精讲

【例1】（2024•湖北襄阳•一模）48是OO的直径，4437=45。，AT=AB,87与OO相交于点C.

图1图2

⑴如图1,求证：/T是。。的切线；

（2）如图2,连接/C,过点。作ODL/C分别交/T,/C于点。，E,交NC于点尸，若48=2收，求图

中阴影部分的面积.

通关指导

本题考查切线的判定，圆周角定理、垂径定理以及扇形面积；根据等腰三角形的性质切线的判定

方法进行解答即可；根据垂径定理，平行线的性质以及扇形面积的计算方法进行计算即可.

【例2】（2024・湖北十堰•一模）如图，CD是O。的直径，点8在O。上，点A为。C延长线上一点，过点O

作。8c交的延长线于点E,且=

⑴求证：/E是。。的切线；

⑵若线段与的交点厂是的中点，。。的半径为6,求阴影部分的面积.

朝模呵

1.（2024・广东佛山•一模）如图，点E是正方形N3CD的边8c延长线上一点，且/C=CE,连接/E交CD

于点O,以点。为圆心，。。为半径作交线段于点尸.

⑴求证：/C是。。的切线；

⑵若Ag=20+2，求阴影部分的面积.

2.（2024•辽宁沈阳•一模）如图，直线/与OO相切于点点尸为直线/上一点，直线尸。交OO于点/、

8,点。在线段aM上，连接3C,且CM=8C.

⑴判断直线与。。的位置关系，并说明理由；

⑵若A8=28尸，O。的半径为6cm,求图中阴影部分的面积.

题型二证切线、求线段或半径

典例精讲

【例1】（新考法，拓视野）（2024•广东深圳•一模）如图，已知是O。的直径.点P在B4的延长线上,

点。是。。上一点.连接尸。，过点8作8E垂直于PD,交尸。的延长线于点C、连接4D并延长，交BE于

点、E,且4B=BE

⑴求证：是OO的切线;

4

⑵若尸Z=2,ta"=§,求。。半径的长.

通关指导

本题考查切线的判定，圆周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的边角关系，

圆周角定理以及切线的判定方法是正确解答的关键.

【例2】(2024•辽宁沈阳・模拟预测)如图，在“3C中，44cB=90。，点。是上一点，且4co△44,

2

点。在BC上，以点。为圆心的圆经过C,。两点.

⑴求证：是OO的切线；

3

(2)若sin5=),的半径为3,求力。的长.

名校模拟

1.(2024•广东珠海•一模)如图，是OO的直径，AC^BC,E是03的中点，连结CE并延长到点R

4吏EF=CE.连结N尸交。。于点。，连结8。，BF.

⑴求证：直线3尸是OO的切线.

(2)若“b=5,求AD的长.

2.（2024・湖北随州•一模）如图，四边形/8C。是。。的内接四边形，NB是直径，C是访的中点，过点C

作CELAD交AD的延长线于点E.

⑴求证：CE是。。的切线；

（2）若BC=6,/C=8,求的长.

题型三圆与（特殊）平行四边形综合问题

典例精讲

【例1】（新考法，拓视野）（2024・广东江门•一模）如图，矩形48CC•中，/B=16,AD=6.E是CD的中

点，以/E为直径的。。与N2交于尸，过尸作FG_L8£于G.

⑴求证：尸G是。。的切线.

⑵求cosNEZ?/的值.

通关指导

本题主要考查了圆，矩形，三角形综合.熟练掌握圆的基本性质和圆周角定理推论，矩形的判

定和性质，三角形中位线的判定和性质，切线的判定，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数等知识,

是解题的关键.

【例2】（2024•安徽马鞍山•一模）如图，四边形48CD是。。的内接四边形，直径。E平分NADC.

⑴求证：BD=CD；

⑵过点/向圆外作=且/b=C。，求证：四边形NBQ尸为平行四边形.

名校模拟

...................2d

1.（2024•云南•模拟预测）如图，线段43与。。相切于点5,/。交。。于点其延长线交。。于点C,

连接8C,/48C=120。，。为O。上一点且弧D8的中点为连接AD,CD.

⑴求//C3的度数;

⑵四边形/BCD是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由;

⑶若“C=6,求弧CD的长.

2.（2024•河南平顶山•一模）如图，AB为OO的直径，点C是茄的中点，过点C作。。的切线CE,与BD

的延长线交于点E,连接8c.

⑴求证：ZCEB=9Q°

⑵连接CD,当CZ）〃48时：

①连接OC,判断四边形OBDC的形状，并说明理由.

②若BE=3,图中阴影部分的面积为------（用含有兀的式子表示）.

3.（2024•江苏南京•一模）如图,四边形/BCD是平行四边形，AB=AC；

（D如图①，当CD与。。相切时，求证：四边形48co是菱形.

⑵如图②，当CD与。。相交于点£时.

（I）若4D=6,CE=5,求OO的半径.

（II）连接3E,交AC于点、F,若EF-AB=CE?,则/。的度数是

题型四圆内接三角形和四边形

典例精讲

【例1】（2024・湖南•模拟预测）如图，RtA48C内接于eO,NNC8=90。，过点。作。尸交48于点£,

交。。于点。，连接"'交O。于点G,连接CG,OG,N。，设tanZDGF=m（%为常数）.

B

⑴求证：ZAGC=ZDGF；

（2）^：ZGDC-ZGCD=a,ZF=/3,求证：a=2/7；

⑶求半萨的值（用含加的代数式表示）.

通关指导

本题主要考查圆内接三角形的性质及相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，垂

径定理等，熟练掌握圆内接三角形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

【例2】（2024•天津滨海新•一模）如图，是OO的直径，弦CD与相交于点P,若乙4DC=24°.

⑴如图①，求/C43的度数;

（2汝口图②，过点C作O。的切线，与历1的延长线交于点£,若EP=EC,求/D4P的度数.

地模引

1.（2024•安徽芜湖•一模）四边形/BCD内接于AB=AC.

Cc

D.a

'o

B

图1图2

⑴如图1,若NBAC=a,求N/OC的度数;

(2)如图2.连接3D交4c于点及

①求证：AE2=AE-AB-BE-DE;

②若Z8/C=2ZD/C,AB=5,BC=6,求C£)的长.

2.(2024•黑龙江哈尔滨•一模)如图1,在。。中，直径AB垂直弦于点G,连接过点C作C厂

于尸，交4B于点、H,交。。于点E,连接DE.

图1图2图3

⑴如图1,求证：ZE=2ZC；

(2)如图2,求证：DE=CH；

(3)如图3,连接8E,分别交/D、CD于点M、N,当OH=2OG,HF=回,求线段EN的长.

和8C为弦，AB=BC且AB_LBC.

图1图2图3N

⑴求N/AD的度数；

（2）如图2,E为0D上一点、,连接/E,作EF_L/E于E交8c于尸，连接EC,求证：EF=EC；

⑶如图3,在（2）的条件下，连接0C交EF于G,过F作FN1EF于F,交EC延长线于N,若EG=\,CN=2,

求CF的长.

4.（2024•河北沧州•一模）如图，珍珍利用一张直径为8c机的半圆形纸片探究圆的知识，将半圆形纸片

沿弦/P折叠.

⑵如图2,当/尸/8=30。时，通过计算比较/P与弧BP哪个长度更长.（乃取3.14,6QL73）

（3）如图3,"为标的中点，AT为点M关于弦4尸的对称点，当/尸48=15。时，直接写出点与点M之

间的距离约为cro.（结果保留两位小数，参考数据：sinl5°«0.26,tanl5°»0.27）

题型五生活中的实物抽象出圆的综合问题

典例精讲；

【例1】（新考法，拓视野）（2024・河南洛阳•一模）中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前

考古发现最早的双轮马车始见年代为商代晚期（河南安阳殷城）.小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车

厢模型，他绘制了如图2的车轮侧面图.如图2,当过圆心。的车架NC的一端/落在地面上时，4c与OO

的另一个交点为点。，水平地面切。。于点8.

图1图2

⑴求证：Z^+2ZC=90°；

（2）若4。=2m,48=3m,求。。的直径.

通关指导

本题主要考查了切线的性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理等等.

1_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________!

【例2】（2024•广东珠海•一模）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏"滚铁环”列入了校运动会的比赛

项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环O。与

水平地面相切于点C,推杆A8与铅垂线4D的夹角为NB4D.点。，A,B,C,。在同一平面内.当推杆

与铁环。。相切于点3时，手上的力量通过切点3传递到铁环上，会有较好的启动效果.

⑴求证：NBOC+NBAD=9。°.

⑵实践中发现，切点8只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动.图中点8是该区域内最低位

置，此时点A距地面的距离AD最小，测得ABAD=60°.已知铁环QO的半径为30cm,推杆AB的长为70cm,

求此时40的长.

名校模拟

1.（2024•河北石家庄,一模）图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨

盘半径O0=2dm,用长为11dm的连杆将点。与动力装置尸相连尸大小可变），点尸在轨道上滑

动，带动点。使磨盘绕点。转动，04工4B,0A=5dm.

⑵点P由轨道最远处向A滑动，使磨盘转动不超过180。的过程中：

①与OO相切于点。，如图3,求/P的长；

②从①中相切的位置开始，点P继续向点A方向滑动2.4dm至点耳，点。随之逆时针运动至点2,此时

尸0，求点。运动的路径长（结果保留兀）.（参考数据：sin37。々0.60,cos37°~0.80,tan37°®0.75）

2.（2024•河北石家庄•一模）如图1,某玩具风车的支撑杆垂直于桌面肱V,点O为风车中心，OE=26cm,

风车在风吹动下绕着中心。旋转，叶片端点A,B,C,。将。。四等分，已知。。的半径为10cm.

⑴风车在转动过程中，当乙4。£=45。时，点A在左侧，如图2所示，求点A到桌面的距离（结果

保留根号）；

⑵在风车转动一周的过程中，求点A到桌面的距离不超过21cm时，点A所经过的路径长（结果保留万）；

⑶连接CE,当CE与。。相切时，求切线长CE的值，并直接写出A,C两点到桌面MN的距离的差.

题型六圆中动点问题

I典例精讲

【例1】（2024•江苏淮安•一模）如图，N3是。。的直径，48=18,延长CM至点C,^AC=OA.动点尸

从点/出发，沿圆周按顺时针方向以每秒万个单位的速度向终点8运动，设运动时间为，秒，连接。尸，作

点C关于直线。尸的对称点。，连接OD、BD、PC、PD.

D

⑴当f=3时.

①求N/OP的度数；

②判断直线尸C与。。的位置关系，并说明理由;

（2）若AD=9百，求才的值.

通关指导

本题考查切线的判定，圆的相关性质，勾股定理的逆定理，弧长公式等知识，熟练掌握相关图形

的性质是解决问题的关键.

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【例2】（2024•云南昆明•一模）如图，AB,是O。的两条直径，且48LCD,点E是5□上一动点（不

与点8,。重合），连接。E并延长交4?的延长线于点R点?在打'上，且NPEF=NDCE,连接NE,CE

分别交OD，OB于点、M,N,连接4C,设。。的半径为八

⑴求证：PE是O。的切线；

⑵当/DCE=15。时，求证：AM=2ME；

⑶在点E的移动过程中，判断CM是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

名校模拟

1.（2024•吉林长春•模拟预测）如图①，在RtACUB中，AAOB=90°,OA=OB=4,以点。为圆心，以2为

半径画圆，。。交。/于点C,交05于点。.点尸从点C出发，沿OO按顺时针方向运动，当点P再次经过

点C时停止运动.

⑴也的长为;

⑵在点P运动的过程中，点P到AB距离的最大值为；

⑶延长CO交。。于点E,连接ED,交CE于点

①当ARW为等腰三角形时，连结接DE,求AMDE的面积：

②如图②，连接C。，当点M在线段OC上时，作NPOC的角平分线交尸M于点尸.点尸的位置随着点P

的运动而发生改变，则点尸形成的轨迹路径长为.

题型七圆中新定义探究综合问题

J典例精讲

【例1】（新考法，拓视野）（2024•湖南长沙•一模）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的"奇妙四

边形

图1图2

⑴若Y/BCD是圆的"奇妙四边形"，则YA8CD是（填序号）：

①矩形；②菱形；③正方形

⑵如图1,已知0。的半径为五，四边形48C。是。。的“奇妙四边形求证：AB2+CD-=47?2;

⑶如图2,四边形/BCD是"奇妙四边形”，尸为圆内一点，ZAPD=ZBPC=90°,ZADP=ZPBC,BD=4,

Ap

且=当。。的长度最小时，求芸的值.

通关指导

本题是圆的综合题，考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，一元二次方程的解法，熟练

的建立数学模型并灵活应用是解本题的关键.

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【例2】（2024•浙江台州•一模）【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90

度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角.

【概念理解】（1）当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数.

【性质探究】（2）如图1,“3C是和美三角形，是钝角，//是和美角，

求证：tanA=.

AC

【拓展应用】（3）如图2,48是。。的直径，且48=13,点C,。是圆上的两点，弦CD与4B交于点、E,

连接/D,BD,是和美三角形.

①当3c=5时，求/£）的长.

②当△BCD是和美三角形时，直接写出段的值.

图1备用图

名校模拟

1.（2024・山东济宁•二模）【初步感知】

图3

（1）如图1,点B,尸均在上，若乙4。8=90°,则锐角NAPB的大小为度;

【深入探究】

（2）如图2,小明遇到这样一个问题：OO是等边三角形Z8C的外接圆，点P在就上（点尸不与点4

。重合），连接尸/,PB,PC.求证：PB=PA+PC；小明发现，延长尸/至点£,使=连接8E,

通过证明△P2C且AEB/.可推得△尸BE是等边三角形，进而得证.请根据小明的分析思路完成证明过程.

【启发应用】

（3）如图3,O。是的外接圆，ZABC=90°,/3=BC,点尸在。。上，且点尸与点3在NC的两

PB

侧，连接尸4,PB,PC,若PB=2血PA，则法的值为.

题型八圆与函数的综合问题

典例精讲

【例1】（新考法，拓视野）（2024・湖南长沙•一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=法+c

与x轴交于45两点，与>轴交于C点，B.OB=OC=WA.

⑴求该抛物线的解析式；

⑵抛物线上是否存在点使ZABC=NBCM,如果存在，求点M的坐标，如果不存在，说明理由；

⑶若点。是抛物线第二象限上一动点，过点。作。尸，x轴于点凡过点4瓦。的圆与。尸交于点E,连接

AE,BE,求A/BE的面积.

通关指导

本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求出函数解析式，抛物线上的点的坐标特征

以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键.

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【例2】（2024,江苏淮安•一模）在平面直角坐标系尤O